第1章 习题
第2讲 课下作业：教材第33-34页，1、2、4。
1、根据算符▽的微分性与矢量性，推导下列公式：
2()()()()()1
()()2
A ?=???+?+???+????=?-?A
B B A B A A B A B A A A A
2、设u 是空间坐标x,y,z 的函数，证明：
(),
(),
().
df
f u u du
d u u du d u u du
?=??=???=??A
A A
A 4、应用高斯定理证明 ,V
S
dV d ??=
??
?
f S f
应用斯托克斯（Stokes ）定理，证明 .S L
d d ????=??
S l
第3讲 课下作业：教材第34-35页，5、6。
5、已知一个电荷系统的偶极距定义为：()(,)V
P t x t x dV ρ'''=?
利用电荷守恒定律0j t
ρ
???+
=?,证明P 的变化率：
(,)V d p j x t dV dt ''=? 6、若m 为常矢量，证明除0R =点以外，矢量3m R
A R
?=
的旋度等于标量3m R
R
?=
的梯度的负值。 即：A ???=-?, 其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
补充题1：直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式：
()
();()0x x ρε?=??=E E 。
x
第4讲 课下作业：教材第35页，10。
10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律）。
补充题2：直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义，并推导出真空中静磁场的下列公式。
J
B B 00
μ=??=??
第5讲 课下作业:：
补充题3：直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。
补充题4：直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。
补充题5：设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写Maxwell 方程组，以包括磁荷密度ρm 和磁流密度J m 的贡献。
第6讲 课下作业：
补充题6：场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式，电磁场能量密度和能流密度表达式。
补充题7：场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式，动量密度和动量流密度表达式。
习题解答：
第2讲 课下作业：教材第33-34页，1、2、4。
1、根据算符▽的微分性与矢量性，推导下列公式：
2()()()()()1
()()2
A ?=???+?+???+????=?-?A
B B A B A A B A B A A A A
解： (i) ()()()B A A B A B A B ??=??+?? （1）
∵()()()a b c b a c c a b ??=?-? ∴()()()A B A B A B A ???=??-??
()()()B A B A B A B ???=??-?? 代入（1）式
得：()()()()()A B A B B A B B A B ??=???+???+??+?? (ii) 上式中令A B =：
则：()2()()A A A A A A ??????=???+??
∴21
()()2
A A A A A ???=?-?? [毕]
2、设u 是空间坐标x,y,z 的函数，证明：
(),
(),
().
df
f u u du
d u u du d u u du
?=??=???=??A
A A
A 证：(i) ()()()()df u du df u du df u du
f u i j k du dx du dy du dz
?=
?+?+? ()()df du du du df u i j k u du dx dy dz du
=
++=? (ii) ()()()()y x z dA u dA u dA u du du du
A u du dx du dy du dz
??=
?+?+?
()()()(
)()y x z dA u dA u dA u du du du
i j k i j k dx dy dz du du du =++?++ d A
u du
=??
(iii) ()()()()x
y z
i j k d
d d
A u dx dy dz A u A u A u ??=
(
)y z dA dA du du
i du dy du dz
=?-? (
)()y x x z dA dA dA dA du du
du du j k du dz du dx du dx du dy
+?-?+?-? y x z i j k
du
du du d A
u dx
dy dz du dA dA dA du
du
du
=
=??
[毕]
4、应用高斯定理证明 ,V
S
dV d ??=
??
?
f S f
应用斯托克斯（Stokes ）定理，证明 .S L
d d ????=??S l
证：（1）证明 ,
V
S
dV d ??=???f S f
设C 为任意非0的常矢量，则
()()()()()S
S
S V
S
V
S
V
d d d dV
d dV
d dV ?=
??=????=??-??=??∴?=??∴?=???
????
???c
S f S f c
S f c f c f c f c f c f c c
S f c
f S f f
事实上，右边三个等式恒成立：S V
S V S
V d dV d dV d dV ????=????
=???=?????????S f f
S f f
S
（2） 证明 .S
L
d d ????=??
S l
根据斯托克斯（Stokes ）定理：
().S
L
d d ??=??
A S A l
令：A a φ=，其中 a 为任意非0的常矢量
左边：()()S S a d S a a d S φφφ?????
??????=??+????? S S a d S a d S φφ???
?=???=????? 右边：L
a dl a dl φφ?=???
即：S
a d S a dl φφ???=??? 由a 的任意性得
S L d S dl φφ??=?? [证毕]
第3讲 课下作业：教材第34-35页，5、6。
5、已知一个电荷系统的偶极距定义为：()(,)V
P t x t x dV ρ'''=?
利用电荷守恒定律0j t
ρ
???+=?,证明P 的变化率：
(,)V d p j x t dV dt ''=? 证明：
方案1：（参考教材第163-164页）
将整个电荷系统视为很多带电粒子的组合，第i 个带电离子具有电荷q i 和位置x i , 速度v i 。
则，i
i d dt
=
x v
()(,)i i i
V
q P t x t x dV ρ'''==∑?x
(,)i i i i i i i i i
V d x d
q x q q v dt dt d p j x t dV dt ===''=∑∑∑?
方案2：选取系统内任一确定点x ’，此点所在的dV ’内，(',)t ρx 只与t 相关, x ’、dV ’与时间无关。
或者说，设带电系统为n 个命名体积元，体积元的位置、体积都不随时间变化，但该体积元的电荷密度随时间变化，既体积元固定，电荷流动。
故有：
''d dV dt t
ρ
?=??p x ()''0
d dV dt
t
ρ=-????+=?∴?j p
j x ()()()()()
()()()?=?+?=?+?=?+?=?-jx j x j x j x j x j x j
j x jx j
'()''()
S
d dV dV dt dV d ∴=-?=-????p j jx j S jx
注意到在积分边界上j n =0，则有
(,)V d p
j x t dV dt
''=?
方案3：
随体方式，一般方式，普遍方式，带电粒子的位置和体积都随时间发生变化。
(,)(,)V V d p d d x t x dV x t x dV dt dt dt ρρ??????
''''''==?? ''(,)'dV dV d d x d x t x x dV dt dt dt ρρρ??????????
''''=+ 由于电荷既不会产生，也不会消失，所以，0'd
dV dt
ρ≡???? '''p dV vdV dV d d x j dt dt
ρρ=='
=??? 当然也可以利用公式：()()v v v ρρρ??=??+?? 计算如下：
'''''(,)'(,)dV dV x x dV dV t t x x v v dV t d d d x t dV x t dt dt dt d dt ρρρρρρρρρ''''????????????
??????++?????????????=+?+?????
''=+=?
)''0
(v dV t j dV t ρρρ???=+????????=+?????=?? ∴'''p dV vdV dV d d x j dt dt
ρρ=='=??? 方案4：
随体方式，一般方式，普遍方式，带电粒子的位置和体积都随时间发生变化。
(,)(,)V V dV d p d d x t x dV x t x dt dt dt ρρ??'????
'''''==?? 利用公式：()
()()v v v v ρρρρ??=??+??=??
''()()'
[)]'
()'
(,)'(d x x x dt x x
t t
x j v x t
j v x t j j x t j
d d x t dt dt v ρρρ
ρρ
ρ
ρρρρρ'''??+????
???=++????=++???=++??=++?='=??
∴'p
dV d j dt
=? [证毕]
6、若m 为常矢量，证明除0R =点以外，矢量3m R
A R
?=
的旋度等于标量3m R
R
?=
的梯度的负值。 即：A ???=-?, 其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
证： 左边：3()R A m R ??
???
???=???
利用()()()()()f g g f g f f g f g ???=??+??-??-?? )()g f f g f -????为常矢=(
∵30r r ??
??= ???
∴左边333()()()R R R
m m m r R R ?????
?=??-??=-?? （R ≠0）
右边3
()R
m R =-??
利用：()()()()()f g f g f g g f g f ??=???+??+???+?? ()()f g f g f =???+??为常矢 ；
30r r ????= ???
∴右边333()()()R R R
m m m R R R ?????
?=-???-??=-??
故：
3
()R A m R
???=-?=-?? [证毕]
补充题1：直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式：
()
();()0x x ρε?=??=E E 。
x
第4讲 课下作业：教材第35页，10。
10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律）。 证：
两电流元之间的互作用
121013
12
101212113
12
12201121222312222)
41
[()()]4(4I dl r r I r dl dl r r I dl r I dl d F I dl r I dl dl μπμπμπ?==-??=?
21
2111023
21
10211223
21
210222211132121)
41
[()()]4(4I dl r r I r dl dl r r I dl r I dl d F I dl r I dl dl μπμπμπ?==-??=?
（i ）若电流元互相垂直：即 1
20dl dl =
则：212112120121231202112321()()1414dl r dl dl r dl d F I I r d F I I r μπμπ?
???
???
==
2112d F d F ≠ ，故一般并不满足牛顿第三定律。
（ii ）两稳定电流圈情况 2
112
10
11222312
4L
L I dl r F I dl r μπ
?=?
?? 1212012
21312
()
4L L I I dl dl r r μπ
??=?? ()()()A B C B A C C A B ????=?-??? 12121212
12012
21331212
()()4L L L L l d r I I dl r dl dl r r μπ
??-=
????
同理：1
21
20221113
21
4L
I dl r F I dl r μπ
?=
?
??
[
121221
212012
121332121
()()4L L L L d r I I dl r dl dl l r r μπ
=??-???? ∵
21212
2331212
()0L S dl r r dS r r ?=???=???
121
1321
0L dl r r =?? 且有：1221r r =， 1221r r =- ∴120121
2
1221312
4()
L L
I I F r d dl l r μπ
=-
???
1201
2
2121321
4()
L L
I I r d dl l r μπ
=-
-
???
21F =- [证毕]
补充题2：直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义，并推导出真空中静磁场的下列公式。
J
B B 00
μ=??=??
第5讲 课下作业:：
补充题3：直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。
补充题4：直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。
补充题5：设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写Maxwell 方程组，以包括磁荷密度ρm 和磁流密度J m 的贡献。 [解]：在没有磁单极子时，Maxwell 方程组为： 解1：
0t t ρεμμε?
?=??
?=?
?????=-?
??
??
??=+???
E B B E E B J 0
000 在有磁单极子时，设磁荷量密度为ρm ，则磁场的高斯定理便不再是
0B ?=，而是： m B ρ?=
这时，t
???=-?B
E 便不再正确。因为对两边取散度，左边为0，而右边为：
0m t t
ρ??-?
=-≠??B
为了解决这个矛盾，利用磁流的连续性方程：
0m
m t
ρ?+?=?J 把t
???=-
?B
E , 改写为： m t
???=-
-?B
E J 于是便得出，包括磁单极子时的Maxwell 方程组：
m m t t ρερμμε?
?=??
?=??????=--???
??
??=+???
E B B
E J E B J 0
000
解2：在有磁单极子时，设磁荷量密度为ρm ，则磁场的高斯定理便不再是
0B ?=，而是： 0m B μρ?=
这时，t
???=-?B
E 便不再正确。因为对两边取散度，左边为0，而右边为：
00m t t
ρμ??-?
=-≠??B
为了解决这个矛盾，利用磁流的连续性方程：
0m
m t
ρ?+?=?J 把t
???=-
?B
E , 改写为： 0m t
μ???=-
-?B
E J 于是便得出，包括磁单极子时的Maxwell 方程组：
00m m t t ρεμρμμμε?
?=??
?=??????=--?
??
??
??=+???
E B B E J E B J 0
000 [毕]
第6讲 课下作业：
补充题6：场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式，电磁场能量密度和能流密度表达式。
补充题7：场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式，动量密度和动量流密度表达式。
简答题（每题5分，共15分）。 1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什 么？ 3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关 系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足： 1 21 2εεθθ= t a n t a n ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两 侧电力线与法线的夹角。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和 2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1 σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分） 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分）
3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分） 4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化？（10分） 二、简答题 1、达朗伯方程：2 2 022 1A A j c t μ??-=-? 222201c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解：()()0 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμ?π π ?? ?? ''-- ? ?? ?? ? ''= =?? 2、由于电磁辐射的平均能流密度为222 3 2 0sin 32P S n c R θπε= ，正比于2 sin θ，反比于 2 R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3 、能量：2 m c W = ；动量：),,m iW P u ic P c μ?? == ??? ；能量、动量和静止质量的关系为：22 22 02 W P m c c -=- 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得： 切线方向 12t t E E = （1） 法线方向 12n n D D = （2） 1 ε
电动力学(A) 试卷 一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ? r = 。 2、已知矢量A 和标量φ，则=??)(A φ 。 3、区域V 内给定自由电荷分布ρ 、σ ，在V 的边界上给定 或 ，则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势φ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为 。 8、相对论的基本原理为 ， 。 9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 ρ = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、由0 ερ =??E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该 点散度有贡献。（ ） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。（ ） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。（ ） 5、只要区域V 内各处的电流密度0=j ，该区域内就可引入磁标势。（ ） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。（ ） 7、在0=B 的区域，其矢势A 也等于零。（ ） 8、E 、D 、B 、H 四个 ） 9、由于A B ??=，矢势A 不同，描述的磁场也不同。（ ） 10、电磁波的波动方程012222 =??-?E t v E 适用于任何形式的电磁波。（ ） 三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符? 的矢量性和微分性，证明 0)(=????φr 式中r 为矢径，φ为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin( 0ωω -=，求证此平面电磁波的磁场强度为
第一章 电磁现象的普遍规律 1） 麦克斯韦方程组是整个电动力学理论的完全描述。 1-1) 在介质中微分形式为 D ρ??=r 来自库仑定律，说明电荷是电场的源，电场是有源场。 0B ??=r 来自毕—萨定律，说明磁场是无源场。 B E t ???=-?r r 来自法拉第电磁感应定律，说明变化的磁场B t ??r 能产生电场。 D H J t ???=+?r r r 来自位移电流假说，说明变化的电场D t ??r 能产生磁场。 1-2) 在介质中积分形式为 L S d E dl B dS dt =-??r r r r g g ? , f L S d H dl I D dS dt =+??r r r r g g ?, f S D dl Q =?r r g ?, 0S B dl =?r r g ?。 2）电位移矢量D r 和磁场强度H r 并不是明确的物理量，电场强E r 度和磁感应强度B r ，两者 在实验上都能被测定。D r 和H r 不能被实验所测定，引入两个符号是为了简洁的表示电磁规律。 3）电荷守恒定律的微分形式为0J t ρ ??+ =?r g 。 4）麦克斯韦方程组的积分形式可以求得边值关系，矢量形式为 ()210n e E E ?-=r r r ，()21n e H H α?-=r r r r ，()21n e D D σ?-=r r r ，() 210n e B B ?-=r r r 具体写出是标量关系 21t t E E =，21t t H H α-=，21n n D D σ-=，21n n B B = 矢量比标量更广泛，所以教材用矢量来表示边值关系。 例题（28页）无穷大平行板电容器内有两层线性介质，极板上面电荷密度为f σ±，求电场和束缚电荷分布。 解：在介质1ε和下极板f σ+界面上，根据边值关系1f D D σ+-=和极板内电场为0，0 D +=r 得1f D σ=。同理得2f D σ=。由于是线性介质，有D E ε=r r ，得
电动力学试题库十及其答案 简答题（每题5分，共15分）。 1 .请写出达朗伯方程及其推迟势的解. 2 .当您接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离与方向有关，这就是为什 么？ 3. 请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量与静止质量的关系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足:史宜w,其中i与2分别为两种介质的介电常数，1与2分别为界面两tan 1 1 侧电力线与法线的火角。（15分） 四、综合题（共55分）。 1. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分另U为11与12,介电常数为1与2,今在两板上接上电动势为U的电池，若介质就是漏电的，电导率分别为1与2，当电流达到稳包时，求电容器两板上的自由电荷面密度f与介质分界面上的自由电荷面密度f。（15分） 2. 介电常数为的均匀介质中有均匀场强为E。，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分） 3. 一对无限大平行的理想导体板，相距为d，电磁波沿平行丁板面的z轴方向传播,设波在x方向就是均匀的，求可能传播的波型与相应的截止频率.（15分）
电动力学试题库十及其答案 4.一把直尺相对丁坐标系静止，直尺与x轴火角为，今有一观察者以速度v 沿x轴运动，她瞧到直尺与x轴的火角' 有何变化? (10分)二、简答题r、 (2v) 1、达朗伯万程：A i 2A c t2 ，八v v 推退势的 解：A x,t v,t v,t x,t —dV v 2、由于电磁辐射的平均能流密度为S32 2 c3R2 sin2音,正比于 sin2，反比于R2, 因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小与方向有关。 2 3、能量:W ：m。：. i u2c2 m 。 ,1 u2c2 v u,ic V iW …，一… P,—;能重、动重与静止 c 质量的关系为：P2W 2 c 2 2 m b c 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得 切线方向 法线万向 v v 又DE 由⑴得： E i sin i 由⑵(3)得： i E i cos E it D in E2t D2n E2sin i 2 E2 cos (5) 由⑷(5)两式可得：
福建师范大学物理与光电信息科技学院 20___ - 20___ 学年度学期____ 级物理教育专业 《电动力学》试题（一） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 姓名______________________ 学号____________________ 一．判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1．电磁场也是一种物质，因此它具有能量、动量，满足能量动量守恒定律。 ( ) 2．在静电情况，导体内无电荷分布，电荷只分布在表面上。 （） 3．当光从光密介质中射入，那么在光密与光疏介质界面上就会产生全反射。
（） 4．在相对论中，间隔2S在任何惯性系都是不变的，也就是说两事件时间先后关系保持不变。 （） 5．电磁波若要在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其角 频率为 2 2 ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ≥ b n a m με π ω （） 二．简答题。（每题5分，共15分） 1．写出麦克斯韦方程组，由此分析电场与磁场是否对称为什么 2．在稳恒电流情况下，有没有磁场存在若有磁场存在，磁场满足什么方程 3．请画出相对论的时空结构图，说明类空与类时的区别．
三． 证明题。（共15分） 从没有电荷、电流分布的麦克斯韦方程出发，推导真空中的E 、B 的波动方程。 四． 综合题。（共55分） 1．内外半径分别为1r 和2r 的无穷长空心导体圆柱，沿轴向流有稳恒均 匀自由电流f j ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。（15分） 2． 有一个很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流着均匀 的电流f j ，今在液体中置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和 面电荷分布。（分离变量法）（15分） 3． 有带电粒子沿z 轴作简谐振动t i e z z ω-=0，设c z <<ω0，求它的辐 射场E 、B 和能流S 。（13分） 4． 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物 时，看见其避雷针跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差。该建筑
判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1． 库仑力3 04r r Q Q F πε??'=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为： t j ??=??/ρ? 。 （ ） 4． 在介质的界面两侧，电场强度E ?切向分量连续，而磁感应强度B ? 法向分 量连续。 （ ） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为： 4 2022c m c P W += 。 （ ） 一． 简答题（每题5分，共15分）。 1．如果0>??E ρ ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ρ，能流密度s ρ 之间的关系。
二． 证明题（共15分）。 多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率 ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -= ，其中 122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求： （1）导体内、外空间的B ?、H ? ； （2）体内磁化电流密度M j ? ；（15分）。 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ? ，求介质中球形空腔内的电势和电场（分离变量法）。（15分） 3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2 π 。求合成波的偏振。若 合成波代表电场矢量，求磁场矢量B v 以及能流密度平均值S v 。（15分） 4．在接地的导体平面有一半径为a 的半球凸部，半球的球心在导体平面上，如图所示。点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （a b >）。试用电像法求空间电势。（10分） Q a b ?
电动力学(C) 试卷 班级 姓名 学号 题号 一 二 三 四 总 分 分数 一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ×r = 。 2、已知矢量A 和标量 ，则 )(A 。 3、一定频率ω的电磁波在导体内传播时，形式上引入导体的“复电容率”为 。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势 ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的积分形 式 、 、 、 。 6、电磁场的能流密度为 S = 。 7、欧姆定律的微分形式为 。 8、相对论的基本原理 为 ， 。 9、事件A ( x 1 , y 1 , z 1 , t 1 ) 和事件B ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ) 的间隔为 s 2 = 。
10、位移电流的表达式为 。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、由j B 0 可知，周围电流不但对该点的磁感应强度有贡献，而且对该点磁感应强度的旋度有贡献。（ ） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波可以是横电波，也可以是横磁波。（ ） 4、任何相互作用都是以有限的速度传播的。（ ） 5、由0 j 可知，稳定电流场是无源场。。（ ） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时同地发生的，在其他任何惯性系中它们必同时发生。（ ） 7、平面电磁波的电矢量和磁矢量为同相位。（ ） 8、E 、D 、B 、H 四个物理量中只有E 、B 为描述场的基本物理量。（ ） 9、由于A B ，虽然矢势A 不同，但可以描述同一个磁场。（ ） 10、电磁波的亥姆霍兹方程022 E k E 适用于任何形式的电磁波。（ ） 三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符 的矢量性和微分性，证明 )cos()]sin([00r k E k r k E 式中r 为矢径，k 、0E 为常矢量。 2、已知平面电磁波的电场强度j t z c E E )sin(0 ，求证此平面电磁波的 磁场强度为 i t z c c E B )sin(0 四、计算题（每题10分，共30分） 1、迅变场中，已知)(0t r k i e A A , ) (0t r k i e ，求电磁场的E 和B 。 2、一星球距地球5光年，它与地球保持相对静止，一个宇航员在一年
电动力学期末考试 物理学 专业 级 班 《电动力学》 试卷A 一．填空（每空1分，共14分） 1. a 、k 及0E 为常矢量，则)]sin([0r k E ???= , )]sin([0r k E ???= 2. 能量守恒定律的积分式是－??σ d s =??dV f ν +dV w dt d ?，它的物理意义是____________________ 3. 反射波电场与入射波电场反相,这现象称为反射过程中的 4. 平面波e x t kx E E ?)cos(0ω-= ,e y t kx C E B ?)cos(0ω-= ，则动量密度B E g ?=0ε的周期平均值为 ；若这平面波垂直投射于一平板上，并全部被吸收，则平板所受的压强为 5. 波矢量αβ i k +=,其中相位常数是 ，衰减常数是 6．电容率ε'=ε+i ω σ ,其中实数部分ε代表______电流的贡献，它不能引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是______电流的贡献，它引起能量耗散。 7．频率为91030?HZ 的微波，在0.7cm ?0.4cm 的矩形波导管中，能以什么波模传播？答： 8. 洛伦兹规范辅助条件为____________ ；达朗贝尔方程的四维形式是 9. 洛伦兹变换矩阵为 二． 单项选择（每题2分，共26分） 1. 若m 为常矢量，矢量R R m A 3 ?=标量R R m 3 ?=φ，则除R=0点外，A 与φ应满足关系（ ） A. ▽?A =▽φ B. ▽?A =-▽φ C. A =▽φ D. 以上都不对 2．设区域V 内给定自由电荷分布)(x ρ,在V 的边界S 上给定电势φ/s 或电势的法向导数n ??φ /s,则V 内的电场（ ） A. 唯一确定 B.可以确定但不唯一 C.不能确定 D.以上都不对 3．对于均匀带电的立方体，有（ ） A.电偶极矩不为零，电四极矩也不为零 B.电偶极矩为零，电四极矩不为零 C.电偶极矩为零，电四极矩也为零 D.电偶极矩不为零，电四极矩为零 4．电四极矩是无迹对称张量，它有几个独立分量？（ ） A. 9个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 5．一个处于x ' 点上的单位点电荷所激发的电势)(x ψ满足方程（ ）
一、填空题（每小题4分，共40分）： 1、稳恒电磁场的麦克斯韦方程组为： ； ； ； 。 2、介质的电磁性质方程为： ； ； 。 3、一般情况下电磁场法向分量的边值关系为： ； 。 4、无旋场必可表为 的梯度。 5、矢势A 的物理意义是： 。 6、根据唯一性定理，当有导体存在时，为确定电场，所需条件有两类型：一类是给定 ，另一类是给定 。 7、洛伦兹规范的辅助条件为： 。 8、根据菲涅耳公式，如果入射电磁波为自然光，则经过反射或折射后，反射光为 光，折射光为 光。 9、当用矢势A 和标势?作为一个整体来描述电磁场时，在洛仑兹规范的条件下，A 和?满足的微分方程称为达朗贝尔方程，它们分别为： 和 。 10、当不同频率的电磁波在介质中传播时，ε和μ随频率而变的现象称为介质的 。 二、选择题（单选题，每小题3分，共18分）： 1、一般情况下电磁场切向分量的边值关系为：< > A: ()210n D D ?-=；()210n B B ?-=； B: ()21n D D σ?-=；()210n B B ?-= ； C: ()210n E E ?-=；()210n H H ?-=； D: ()210n E E ?-=；()21n H H α?-=。
2、微分方程?×J+ =0?t ρ ?表明：< > A ：电磁场能量与电荷系统的能量是守恒的； B ：电荷是守恒的； C ：电流密度矢量一定是有源的； D ：电流密度矢量一定是无源的。 3、电磁场的能流密度矢量S 和动量密度矢量g 分别可表示为：< > A ：S E H =?和0g E B ε=?； B ：S E B =?和00g E B με=?； C ：0S E H μ=?和g E B =?； D ：0S E B ε=?和g E H =?。 4、用电荷分布和电势表示出来的静电场的总能量为：< > A: 012W dV ερ?= ?； B: 212 W dV ρ?=?； C: 212W dV ρ?=?； D: 1 2 W dV ρ?=?。 5、在矩形波导中传播的10TE 波：< > A ：在波导窄边上的任何裂缝对10TE 波传播都没影响； B: 在波导窄边上的任何裂缝对10TE 波传播都有影响； C ：在波导窄边上的任何纵向裂缝对10TE 波传播都没影响； D ：在波导窄边上的任何横向裂缝对10TE 波传播都没影响； 6、矩形谐振腔的本征频率：< > A ：只取决于与谐振腔材料的μ和ε； B ：只取决于与谐振腔的边长； C ：与谐振腔材料的μ、ε及谐振腔的边长都无关； D ：与谐振腔材料的μ、ε及谐振腔的边长都有关。 三、计算(证明)题（共42分） 1、(本题8分)设u 为空间坐标x,y,z 的函数。证明： ()df f u u du ?= ? 2、(本题8分)试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静 班 级： 姓名： 学号： 密 封
1.半径为R的均匀磁化介质球，磁化强度为，则介质球的总磁矩为 A． B. C. D. 0 答案:B 2.下列函数中能描述静电场电场强度的是 A． B. C. D.（为非零常数） 答案:D 3.充满电容率为的介质平行板电容器，当两极板上的电量（很小），若电容器的电容为C，两极板间距离为d，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为： A． B. C. D. 答案:A 4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度式中的为非零常数 A．(柱坐标) B. C. D. 答案:A 5.变化磁场激发的感应电场是 A.有旋场,电场线不闭和 B.无旋场,电场线闭和 C.有旋场,电场线闭和 D.无旋场,电场线不闭和 答案: C 6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度满足 A. B. C. D. 答案:D 7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是:
A.只有法向分量; B.只有切向分量 ; C.表面外无电场 ; D.既有法向分量,又有切向分量 答案:A 8.介质中静电场满足的微分方程是 A. B.; C. D. 答案:B 9.对于铁磁质成立的关系是 A. B. C. D. 答案:C 10.线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ; B.; C. D. 答案:B 11.已知介质中的极化强度，其中A为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度；与垂直的表面处的极化电荷面密度分别等于 和。答案: 0, A, -A 12.已知真空中的的电位移矢量=（5xy+）cos500t，空间的自由电荷体密度为答案: 13.变化磁场激发的感应电场的旋度等于。答案: 14.介电常数为的均匀介质球，极化强度A为常数，则球内的极化电荷密度为，表面极化电荷密度等于答案0,
电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 21??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：
3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。 （2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯 （Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ? = ρ，利用电荷守恒定律0=??+ ??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?=的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。
. . 20___ - 20___ 学年度 学期 ____ 级物理教育专业 《电动力学》试题（五） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 ______________________ 学号____________________ 一． 判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每 题3分） 1． 库仑力3 04r r Q Q F πε '=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为： t j ??=??/ρ 。 （ ）
. . 4． 在介质的界面两侧，电场强度E 切向分量连续，而磁感应强度B 法向分 量 连续。 （ ） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为： 4 2022c m c P W += 。 （ ） 二． 简答题（每题5分，共15分）。 1．如果0>??E ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ，能流密度s 之间的关系。 三． 证明题（共15分）。
多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率 ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -= ，其中 122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求： （1）导体、外空间的B 、H ； （2）体磁化电流密度M j ；（15分）。 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔的电势 和电场（分离变量法）。（15分） 3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2 π 。求合成波的偏振。若 合成波代表电场矢量，求磁场矢量B 以及能流密度平均值S 。（15分）
简答题（每题5分，共15分）。 1． 请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 2． 当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这 是为什么 3． 请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质 量的关系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足： 1 2 12εεθθ=tan tan ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和 2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分） 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ? ，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分）
3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分） 4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化（10分） 二、简答题 1、达朗伯方程：220221A A j c t μ??-=-?v v v 2222 1c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解：()()00 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμ?π π ???? ''-- ? ? ??? ?''= =? ? v v v v v v 2、由于电磁辐射的平均能流密度为22 232 0sin 32P S n c R θπε= v &&v v ，正比于2sin θ，反比于2R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3 、能量：2 W = ；动量：),,iW P u ic P c μ?? == ???v v ；能量、动量 和静止质量的关系为：22 22 02W P m c c -=- 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得： 切线方向 12t t E E = （1） 法线方向 12n n D D = （2） 1 ε
电动力学第一章习题及其答案 1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普 适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r (x x ')i ( y y ')j (z z ')k 为从源点指向场点的矢量 , E , k 为常矢量,则 ！ (r 2 a ) =(r 2 a ) (r a 2r a , )a ) ddrr r a 2r r r 2 r i j — k (x x ') (y y ') (z z ') i j k — ！ 2(x x ') (x x ') ,同理， ？ x (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') 2 / r 2 (x x ')(y y ')(z z ') (y y ') (x x ') （ (y y ') 2 (z z ') y (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') # 2 , z 2 2 (z z ') r 【 r e e e x x x ！ r (x-x') r (y-y') y (z-z') 3 z ， ' x y z x x ' y y ' z z ' 0， x (a r ) a ( r ) 0 , : ) r r r r r r r 0 r rr ( r 1 1 r 《 a ， , ( ) [ a (x -x' )] [ a (y - y')] … j [a (z -z')] a r i k x y z * r r r r 1 r 1 r … r 3 r 2 3 r ， ( A ) __0___. r r , [E sin(k r )] k E 0 cos(k r ) __0__. (E 0e ik r ) , 当 r 0 时 , ! (r / r ) ik E 0 exp(ik r ) , [rf (r )] _0_. [ r f ( r )] 3f (r )r # s 3. 矢量场 f 的唯一性定理是说：在以 为界面的区域V 内, 若已知矢量场在V 内各点的旋度和散 度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 在 内唯一确定. f V 0 ,若 J 为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足 4. 电荷守恒定律的微分形式为 — J t J 0 . 5. 场强与电势梯度的关系式为， E .对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为
第二学期期末考试试题 课程编号：4091202 课程名称：电动力学（I ） 年级：2003 学制： 4 专业：物理学 试题类别： B 一、判断(正确打“√”，错则“ ×”)。（24分） 1. 无论稳恒电流激发的磁场还是变化的磁场，磁感应强度B 都是无散场。 （ ） 2. 在绝缘介质中传播的电磁波，E 和B 的振幅相等，而位相有可能不同。 （ ） 3. 电介质中，电位移矢量D 的散度仅由自由电荷密度决定，而电场E 的散度则由自 由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。 （ ） 4. 静电场总能量可以通过电荷分布和电势表示出来，即dV W ρ??=2 1，由此可见ρ?2 1的物理意义是表示空间区域的电场能量密度。 （ ） 5. 趋肤效应是指在静电条件下导体上的电荷总是分布在导体的表面。 （ ） 6. 推迟势的重要意义在于它反映了电磁作用具有一定的传播速度。 （ ） 7. 介质的电磁性质方程E D ε=和H B μ=，反映介质的宏观电磁性质，对于任何介 质都适用。 （ ） 8. 因为电磁矢势的散度可以任意取值，所以电磁场的规范就有无限多种。 ( ) 二、简答题：（40分） 1. 写出上半空间的第一类边值问题的格林函数。
2. 试述平面单色电磁波的性质。 3. 写出库仑规范和洛伦兹规范的规范条件。 4. 写出时谐电磁波的电场所满足的亥姆霍兹方程及其附加条件。 5. 用矢势A 和标势 表示出变化电磁场的磁感强度和电场强度。 6. 写出推迟势的表达式，并说明它所反映的物理意义。 7. 相对论的基本原理是什么？ 8. 写出一个四维矢量。
三、（12分）设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'X 到场点X 的 距离，r 的方向规定为从源点指向场点。计算：（1）r ?? （2）)(r a ?? （3）)(0r k ???i e E ，其中a ，k ，0E 都是常矢量。 四、（12分）一个内外半径分别为R 1和R 2的接地空心导体球，在球内离球心为a (a 总复习试卷 一．填空题（30分,每空2分） 1. 麦克斯韦电磁场理论的两个基本假设是（ ）和（ ）。 2. 电磁波（电矢量和磁矢量分别为E 和H ）在真空中传播，空间某点处的能流密度 =S （ ）。 3. 在矩形波导管（a, b ）内，且b a >，能够传播TE 10型波的最长波长为（ ）； 能够传播TM 型波的最低波模为（ ）。 4. 静止μ子的平均寿命是6 102.2-?s. 在实验室中，从高能加速器出来的μ子以0.6c （c 为真空中光速）运动。在实验室中观察，(1)这些μ子的平均寿命是（ ）(2)它们在衰变前飞行的平均距离是（ ）。 5. 设导体表面所带电荷面密度为σ，它外面的介质电容率为ε，导体表面的外法线方向 为n 。在导体静电条件下，电势φ在导体表面的边界条件是（ ）和（ ）。 6. 如图所示，真空中有一半径为a 的接地导体球，距球心为d （d>a ）处有一点电荷q ，则 其镜像电荷q '的大小为（ ），距球心的距离d '大小为（ ）。 7. 阿哈罗诺夫－玻姆（Aharonov-Bohm ）效应的存在表明了（ ）。 8. 若一平面电磁波垂直入射到理想导体表面上，则该电磁波的穿透深度δ为（ ）。 9. 利用格林函数法求解静电场时，通常根据已知边界条件选取适当的格林函数。若r 为源 点x ' 到场点x 的距离，则真空中无界空间的格林函数可以表示为（ ）。 10. 高速运动粒子寿命的测定，可以证实相对论的（ ）效应。 二．判断题（20分，每小题2分）(说法正确的打“√”，不正确的打“”) 1. 无论稳恒电流磁场还是变化的磁场，磁感应强度B 都是无源场。 （ ） 2. 亥姆霍兹方程的解代表电磁波场强在空间中的分布情况，是电磁波的基本方程，它在任 何情况下都成立。 （ ） 3. 无限长矩形波导管中不能传播TEM 波。 （ ） 4. 电介质中，电位移矢量D 的散度仅由自由电荷密度决定，而电场E 的散度则由自由电 荷密度和束缚电荷密度共同决定。 （ ） 5. 静电场总能量可以通过电荷分布和电势表示出来，即dV W ρ??=21，由此可见ρ? 21的 物理意义是表示空间区域的电场能量密度。 （ ） 6. 趋肤效应是指在静电条件下导体上的电荷总是分布在导体的表面。 （ ） 7. 若物体在S '系中的速度为c u 6.0='，S '相对S 的速度为c v 8.0=，当二者方向相同时， 则物体相对于S 的速度为1.4c 。 （ ） 8. 推迟势的重要意义在于它反映了电磁作用具有一定的传播速度。 （ ） 一、填空题(每空2分,共32分) 1、已知矢径r ,则 r = 。 2、已知矢量A 与标量 ,则 )(A 。 3、区域V 内给定自由电荷分布 、 ,在V 的边界上给定 或 ,则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中,引入矢势A 与标势 ,则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为 。 8、相对论的基本原理为 , 。 9、电磁波在导电介质中传播时,导体内的电荷密度 = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。 二、判断题(每题2分,共20分) 1、由0 E 可知电荷就是电场的源,空间任一点,周围电荷不但对该点的场强有贡献,而且对该点散度有贡献。( ) 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。( ) 3、电磁波在波导管内传播时,其电磁波就是横电磁波。( ) 4、任何相互作用都不就是瞬时作用,而就是以有限的速度传播的。( ) 5、只要区域V 内各处的电流密度0 j ,该区域内就可引入磁标势。( ) 6、如果两事件在某一惯性系中就是同时发生的,在其她任何惯性系中它们必不同时发生。( ) 7、在0 B 的区域,其矢势A 也等于零。( ) 8、E 、D 、B 、H 四个物理量均为描述场的基本物理量。( ) 9、由于A B ,矢势A 不同,描述的磁场也不同。( ) 10、电磁波的波动方程012222 E t v E 适用于任何形式的电磁波。( ) 三、证明题(每题9分,共18分) 1、利用算符 的矢量性与微分性,证明 0)( r 式中r 为矢径, 为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0 ,求证此平面电磁波的磁场强度为 j t z c c E B )sin(0 四、计算题(每题10分,共30分) 1、迅变场中,已知)cos(0t r K A A , )cos(0 t r K ,求电磁场的E 与B 。 2、一长度为80厘米的杆,沿其长度方向以0、8 c 的速率相对观察者运动,求该杆首、尾端通过观察者 时的时间间隔。 第一章电磁现象的普遍规律 1）麦克斯韦方程组是整个电动力学理论的完全描述。 1-1）在介质中微分形式为 ?U D = -■来自库仑定律，说明电荷是电场的源，电场是有源场。 '■ *B =O来自毕一萨定律，说明磁场是无源场。 '、、E=来自法拉第电磁感应定律，说明变化的磁场能产生电场。 Ct Ct ID ID ?. H ^J —来自位移电流假说，说明变化的电场能产生磁场。 Ct St 1-2）在介质中积分形式为 ?- ■^d ■-L E .dl B JdS , 二Hd=I f D .dS ,二SDgl=Q f, _-SBjdI = 0。 2）电位移矢量D和磁场强度H并不是明确的物理量，电场强E度和磁感应强度B，两者 在实验上都能被测定。D和H不能被实验所测定，引入两个符号是为了简洁的表示电磁规 律。 N PP 3）电荷守恒定律的微分形式为V J 0。 Gt 4）麦克斯韦方程组的积分形式可以求得边值关系，矢量形式为 e n E^E I = 0，e n H 2 -H1-匚，e n ?D^D^=^，e^ B^B^-O 具体写出是标量关系 E2t =E1t，H 2t 一H 1t = ：，D2n 一Dm =二，B2n = B l n 矢量比标量更广泛，所以教材用矢量来表示边值关系。 例题（28页）无穷大平行板电容器内有两层线性介质，极板上面电荷密度为,求电场和束缚电荷分布。 解：在介质I和下极板■ G界面上，根据边值关系D1 -D . 和极板内电场为 0, D . = 0 得D^Cf。同理得D^Cf。由于是线性介质，有 D = ;E ,得 +σj, 解：以距对称轴为r 的半径作一圆周a < r < b ,应用安培定律得2二rH ?. = I ,有 在两个介质表面上，由于没有自由电荷，由 介质1和下表面分界处，有 介质2和上表面分界处，有 D 2 G E 2 二 --- 二 --- 。 ■- 2 2 >0 E 2n IEIn = ；“ p ■ ；- f 得 p = ；0 [ E 2 - E I p f Io E I >0 >0 >2 >1 1一 ；0 5）在电磁场中,能流密度S 为S =E H ,能量密度变化率 ；:D 汨 =E H jt O ;:t II I 在真空中，能流密度S 为S =— μ -E B 。能量密度W 为W 0 2 ；°E I 2 丄 B 2 % 6）在电路中，电磁场分布在导线和负载周围的空间。负载和导线上的消耗的功率完全是在 电磁场中传输的，而不是由导线传送的。 例（32页）同轴传输线内导线半径为 a ,外导线半径为 b ,两导线间为均匀绝缘介质 （如图 所示）?导线载有电流I ,两导线间的电压为 U 。忽略导线的电阻，计算介质中的能流 传输功率P 。 2 二 In 1 ~e z r 。传输功率为 b -J - P= S ?ds =Ul 。 a 简答题(每题5分,共15分)。 1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解. 2．当您接受无线电讯号时,感到讯号大小与距离与方向有关,这就是为什么？ 3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量与静止质量的关系式。 证明题(共15分)。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时,电力线的曲折满足: 1 2 12εεθθ=tan tan ,其中1ε与2ε分别为两种介质的介电常数,1θ与2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角。(15分) 四、 综合题(共55分)。 1.平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为1l 与2l ,介电常数为1ε与2ε,今在两板上接上电动势为U 的电池,若介质就是漏电的,电导率分别为1σ与2σ,当电流达到稳恒时,求电容器两板上的自由电荷面密度f ω与介质分界面上的自由电荷面密度f ω。(15分) 2.介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ? ,求介质中球形空腔内的电场(分离变量法)。(15分) 3.一对无限大平行的理想导体板,相距为d ,电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播,设波在x 方向就是均匀的,求可能传播的波型与相应的截止频率.(15分) 4.一把直尺相对于∑坐标系静止,直尺与x 轴夹角为θ,今有一观察者以速度v 沿x 轴运动,她瞧到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化？(10分) 二、简答题 1、达朗伯方程:220221A A j c t μ??-=-?v v v 2222 1c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解:()()0 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμ μ?π π ???? ''-- ? ? ??? ?''==? ? v v v v v v 2、由于电磁辐射的平均能流密度为22 232 0sin 32P S n c R θπε= v &&v v ,正比于2sin θ,反比于2R ,因此接收无线电讯号时,会感到讯号大小与大小与方向有关。 3、能量 :2W = ;动量 :),,iW P u ic P c μ?? = = ???v v ;能量、动量与静止质量的关系为:22 22 02W P m c c -=- 三、证明:如图所示 在分界面处,由边值关系可得: 切线方向 12t t E E = (1) 法线方向 12n n D D = (2) 又 D E ε=v v (3) 由(1)得: 1122sin sin E E θθ= (4) 由(2)(3)得: 111222cos cos E E εθεθ= (5) 由(4)(5)两式可得: 1 ε电动力学期终总复习及试题
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