电动力学第一章习题及其答案
1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普
适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立.
2. 若a
为常矢量, k z z j y y i x x r )'()'()'(-+-+-=为从源点指向场点的矢量,
k E
,0为常矢量,则
)(2
a r ⋅∇=a r a r a r a r a r r r dr dr ⋅=⋅=⋅∇=⋅∇=⋅∇22))()(222,
=
⨯∇r
0'
''=---∂∂∂∂∂∂z z y y x x e e e z
y
x
x
x
x
， 3)
z'-(z )y'-(y )x'-(x =++=⋅∇∂∂∂∂∂∂z y x r ，
)()(=⨯∇⋅=⨯⋅∇r a r a ,
0)(3
211=⨯=
⨯=⨯∇+⨯∇=⨯∇∇r r r r r r r r r r
r
r
,a k j i r a z
a y
a x
a z y x =+
+
=
⋅∇∂∂∂∂∂∂)]
z'-(z [)]
y'-(y [)]
x'-(x [)(，
r r r
r r r
r
r r r r 23113=+⋅-=⋅∇+⋅∇=⋅∇ ，=⨯∇⋅∇)(A __0___. =⋅⋅∇)]sin([0r k E )cos(0r k E k ⋅⋅, 当0≠r 时,=⨯∇)/(3
r r __0__. =⋅∇⋅)(0r k i e E )exp(0r k i E k i ⋅⋅, =⨯∇)]([r f r _0_. =⋅∇)]([r f r dr r df r r f )()(3+
3. 矢量场f
的唯一性定理是说：在以
s 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的旋度和散
度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则
f
在V
内唯一确定.
4. 电荷守恒定律的微分形式为0=∂∂+⋅∇t
J ρ
,若J
为稳恒电流情况下的电流密度,则J
满足
0=⋅∇J
.
5. 场强与电势梯度的关系式为，ϕ-∇=E
.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为
)4/(3
0r r P πεϕ ⋅=，则该点的场强为()⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⋅=350341r P r
r r P E
πε.
6. 自由电荷Q 均匀分布于一个半径为
a 的球体内,则在球外)(a r >任意一点D
的散度为 0,
内)(a r <任意一点D
的散度为 34/3a Q π.
7. 已知空间电场为b a r
r
b r r a E ,(32 +=为常数），则空间电荷分布为______.
8. 电流I 均匀分布于半径为a 的无穷长直导线内，则在导线外)(a r >任意一点B
的旋度的大
小为 0 , 导线内)(a r <任意一点B
的旋度的大小为20/a I
πμ.
9. 均匀电介质（介电常数为ε）中,自由电荷体密度为f ρ与电位移矢量D
的微分关系为
f D ρ=⋅∇ , 束缚电荷体密度为P
ρ与电极化矢量P 的微分关系为P P ρ-=⋅∇
,则P ρ与f ρ间的关系为f
P ρρε
εε0
--
=.
10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P
，若在
介质中挖去半径为R 的球形区域，设空心球的球心到球
面某处的矢径为R
，则该处的极化电荷面密度为
R R P /
⋅-.
11. 电量为
q
的点电荷处于介电常数为
ε
的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为
q )1/(0-εε.
12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为f J
,磁化电流密度为M J ,磁导率μ,磁场强度为H ，磁
化强度为M ，则=⨯∇H f J ,=⨯∇M M J ,M J 与f J 间的关系为()f M J J
1/0-=μμ.
13. 在两种电介质的分界面上,E D ,所满足的边值关系的形式为()
f D D n σ=-⋅12
,
()
012=-⨯E E n
.
14. 介电常数为ε的均匀各向同性介质中的电场为E . 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝,则缝中
电场强度大小为E . 15. 介电常数为
ε的无限均匀的各项同性介质中的电场为E ，在垂
直于电场方向横挖一窄缝，则缝中电场强度大小为
R
R P P P P n n P ⋅-
=--=--=)
0cos ()
(12θ
,/0
sin 00011201212εεθεετττE E E E E E E E D D n n =⇒⎩⎨⎧
===⇒⎩⎨
⎧=-=-缝缝. 16. 在半径为R 的球内充满介电常数为ε的均匀介质，球心
处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，则锥体中的场强与介质中的场强之比为_1:1_.
17. 在半径为R 的球内充满介电常数为ε的均匀介质，球心
处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球
心的立体角等于2的一圆锥体介质，锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质附近导体壳上的自由电荷密度之比为εε/0
.
18. 在两种磁介质的分界面上, B H
,所满足的边值关系的矢量形式为
()
f
H H n α
=-⨯12,()
012=-⋅B B n
.
19. 一截面半径为b 无限长直圆柱导体，均匀地流过电流I ，则储存在单位长度导
体内的磁场能为__________________.
20. 在同轴电缆中填满磁导率为21,μμ的两种磁介质，它们沿轴各占一半空间。
设电流为 I (如图),则介质1μ中和介质2μ中离中心轴r 的磁感应强度分别为_______ 。
解：由边界条件可知，B 和H
必沿着圆周切线，并有2211H H μμ=，又因为
I rH rH =+21ππ，故有I H r
rH =+112
1μμππ
21. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为：
dV v f wdV dt
d d s v
v
S
⋅+=⋅-⎰⎰
⎰σ,则该表达式中s ，w ，v
f ⋅的物理意义分别为: 电磁场的能流密度,能量密度,场对V 内电荷作功的功率密度.
22. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为： dV v f wdV dt
d
d s v
v
S
⋅+=
⋅-⎰
⎰
⎰σ,则该表
达式中三大项的物理意义分别为：单位时间通过界面S 流入V 内的能量, V 内电磁场能量增加率,场对V 内电荷作功的功率.
23. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的微分形式为:
v f t w s
⋅+∂∂=⋅∇-/,则该表达式中
μ
11
1====t n H B B
物理量s
与E
,H 的关系为H E s
⨯=,w 与B H D E ,,,的关系为
t
B H t D E t w ∂∂⋅
+∂∂⋅=∂∂
, v f ⋅与J E ,的关系为E J v f ⋅=⋅ 24. 设半径为R ，高为l 的圆柱体磁介质（磁导率为μ），处于均匀磁场B 中均匀磁化，B
与柱轴
平行，求该圆柱体磁介质中的总磁能（忽略边缘效应）_________.
均匀磁化在圆柱体磁介质表面，产生垂直于B 的圆形磁化面电流。设n
沿着界面R 方向。 25. 同铀传输线内导线半径为a ,外导线半径为b ,两导线间为均匀绝缘介质.导线载有电流I ,两导线
间的电压为U .若忽略导线的电阻，则介质中的能流s 的大小为)ln 2/(2a b
r UI π，传输功率
为UI .
二、已知P 为电偶极子的电偶极矩,r
为从电偶极子中心指向考察点P 的矢径,试证明电偶极子在远
处P 点所激发的电势为3
4)(r r P r πεϕ
⋅=
,并求出r
处的P 点所产生的电场强度)(r E 。
解、 2
4cos 4)(44r ql r r r r q r q
r q
πεθ
πεπεπεϕ≈
-=
-
=
-++--+
34r
r
P πεϕ
⋅≈ (1分) P 为常矢
三、已知一个电荷系统的偶极矩定义为⎰
=
V
dV x t x t p '
'),'()(
ρ，利用电荷守恒定律
0),'(),'('
=∂∂+⋅∇t
t x t x J ρ，证明)(t p 的变化率为
⎰=V dV t x J dt t p d '),'()( 。 证明：由⎰=
V
dV x t x t p ''),'()(
ρ及电荷守恒定律0),'(),'('
=∂∂+⋅∇t
t x t x J ρ得⎰⎰⎰++⋅∇-=⋅∇-=∂∂=V
V
V dV k z j y i x t x J dV x t x J dV x t t x dt t x p d '
)''')](,'(['')],'([''),'(),'('
'
ρ 又因为
同理 j dV t x J dV j y t x J y V V
'),'('')],'([''
''
⎰⎰-=⋅∇； k dV t x J dV k z t x J z V V '),'('')],'([''
'
'
⎰⎰-=⋅∇；
故有
=dt
t x p d )
,'( dV t x J V
),'(
⎰
=
另解：
四、 对于稳恒磁场,在某均匀非铁磁介质内部, 磁化电流密度为M J ,自由电流密度为f
J
,磁导率μ,
试证明M J 与f J 间的关系为()f M J J
1/0-=μμ.
证明：H B M J M
μμμμμ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯∇=⨯∇=111100
第二章 静电场
练习一
1. 有导体存在时的唯一性定理是说: 若给出介质中自由电荷的分布,给定每个导体上的__电势
i ϕ__或每个导体上的__总电荷i Q _,以及（包围所有导体的）界面S 上s n s ∂∂ϕ
ϕ或,则S 内静电
场E
被唯一确定.
2. 无导体存在时的静电学问题的唯一性定理为: 设空间区域V 可以分为若干小区域i V ,每个小区
域i V 充满均匀介质i ε,若给出V 内自由电荷的分布,同时给出V 的界面S 上的______或_______,则V 内静电场E
被唯一确定. s
s
n
∂∂ϕϕ或
练习二
1. 半径为0R 的接地导体球置于均匀外电场0E
中,导体球外为真空.试用分离变量法,求导体球外的
电势、场强和导体球面上的自由电荷面密度σ. 解: 1.求电势
设未放导体球时，球心处原有电势为0，则有 由θϕ
cos 00R E x E R -=⋅-=∞
→
比较方程两边的系数得：01E a -=,)1(0≠=n a n 。
，0)(cos cos )
1(0
00=+
-∴+-∑
θθn n n n
P R b R E
300120
1000R E b R b R E =⇒=+-, )1
(0≠=n b n ， 不难看出，第一项是匀强电场产生的势。第二项是球面上非均匀分布的电荷（电偶极子）产生的势，； 2) 电荷分布 3)球外场强 故上式也能写为
2. 半径为0R 、电势为0Φ的导体球（其与地间接有电池）置于均匀外电场0E
中,球外真空, 试用
分离变量法,求电势、导体面上的电荷面密度及场强. 解: 1.电势
设未放导体球时，球心处原有电势为0ϕ，则有
上式的通解为 ()
0)1()(cos )(R R P R b R a R n n n n n n
>+=+-∑θϕ
由 θϕϕϕcos 0000R E x E R -=⋅-=∞
→
得
θϕθcos )(cos
00R E P R a n n n n
-=∑
比较方程两边的系数得：0100,E a a -==ϕ,)1,0(0≠=n a n 。
0,20
1000000=+-Φ=+
R b
R E R b ϕ, )1,0(0≠=n b n ， 因此，不难看出，第一、二项是匀强电场产生的势，第三项是球面上均匀分布的电荷产生的势，第
00
=R ϕ
ε
2
ϕ
四项是球面上非均匀分布的电荷（电偶极子）产生的势。 2) 电荷分布 3)球外场强
或θθθϕe E R
R e E R R R R R E r sin )1(cos )21()(03
3
003303000--++-Φ-= 3、半径为R 的空心带电球面，面电荷密度为θσσcos 0=f （0σ为常量）,球外充满介电常数为ε的均匀介质，求球内外的电势、场强.
解: （1）因球内外电荷密度均为0，故有
⎩⎨⎧<=∇>=∇)
2(0
)
1(0
22
12
R r R r ϕϕ; 由题意,边界条件为:
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=∂∂-∂∂=)4(cos )
3(0102
21θ
σϕεϕεϕϕR
R R R r r ；
自然边界条件为:⎪⎩⎪⎨⎧==∞
→→)
6(0
)5(2
01
r r ϕϕ有限
由条件（5）和（6）得
由（3）得 由（4）得
⎪⎩⎪⎨⎧≠=++==+⇒-+-)
10(1
0)1()9(1210)2(0103
1b n a nR b R n b n a R b n n n n εεσεε ，
由（10）得，⇒≠1n 由（9）得，时，有当1=n
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=-=300100110310311222R b a a R b R a b εεσεεσεεσ 故解为
3. 在两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内有一点电荷Q ,它到两个平面的距离为
a 和b
,其坐标为)0,,(b a ,那么当用镜像法求空间的电势时,其镜像电荷的数目为______,这
时所围成的直角空间内任意点),,(z y x 的电势为______.
4. 两个无穷大的接地导体平面分别组成一个θ为450、600、
900两面角，在两面角内与两导体平面等距离处置一点电荷Q ,则在这三种情形下，像电荷的个数分别为 _7, 5, 3_. 解：为使两导体平面的电势为0，必须每隔θ2放置一对异
号境像电荷，且在r x -=处,必须放置一对,这样在0
360的圆周上必须放置22360
⨯θ
个电荷,其中境
像电荷为13600
-θ
.
5. 一电量为q 的点电荷在两平行接地导体平面中间，离两板距离均为a ，则像电荷的个数为_______. 答：无穷多个
6. 有两个电量为q 的点电荷A 和B ，相距2b ，在它们的联线的中点放一半径为a 的接地导体球（b >a ）,
则每一个点电荷受力大小为_______.
答：])
/(/)/(/41[42222202b a b b a b a b b a b q +---πε 练习三（做7,8,9）
1. 均匀带电球体的电偶极矩的大小为_______，电四极矩为_______.
答： 0, 0
2. 一电荷系统，它的电四极矩的几个分量为
,4,332232112-====D D D D ,211=D
,1,5333113===D D D 则22D 等于______. 答：-3
3. 有一个电四极矩系统，它放在
0=z 处的无限大接地导体平面的上方，其中211-=D ，
112=D ，122-=D ，213=D ，则它的镜像系统电四极矩的=33'D _______.
解：2)3(22
11-=-=∑αααα
Q r x D ，1)3(2
2
22-=-=
∑αααα
Q r y D ，
对镜像系统：ααααy y x x ==','，ααz z -='，其 2))(3())(''3('222211=--=--=∑∑αααα
ααααQ r x Q r x D ，
))(''3('2
222αααα
Q r y D --=∑
1))(3(22
=--=∑αααα
Q r y ，由0'''332211=++D D D 得：3'33-=D
4. 一电偶极子P 平行于接地导体平面（P 到平面的距离很小）。设过P
与导体平面垂直的平面
为xy 平面，则系统的电偶极矩为_______,电四极矩的非0分量为___________分量. 答： 0, 0≠=yx xy
D D
设两个电量为Q 的点电荷位于直角坐标系中的b x ±=,两个电量为Q -的点电荷位于
a x ±=（并有a
b >）,则该系统的电偶极矩为_______,电四极矩的非0分量为___________.远处
一点的电势近似表达式为_______. 答：0,
(
)
2
2116a b Q D -=，R
x D R x x D j i j i ij
1
614116141
22110231,0)
2(∂∂=∂∂∂==∑=πεπεϕ
ϕ 或()
()()
)
3(4)31(4)1(66141
5
220225*********R R x a b Q R x R a b Q R y R x a b Q --=---=∂∂--
=πεπεπεϕ
5. 设两个电量为Q 的点电荷位于直角坐标系中的b y ±=,两个电量为Q -的点电荷位于
a y ±=（并有a
b >）,则该系统电四极矩的非0分量为_______，远处一点的电势近似表达
式为______.
(
)
2
2226a b Q D -=，R
y D R x x D j i j i ij
161411614122220231,0)
2(∂∂=∂∂∂==∑=πεπεϕ
ϕ 或(
)
()()
)
3(4)31(4)1(66141
5220225230222220R R y a b Q R y R a b Q R y R y a b Q --=---=∂∂--
=πεπεπεϕ 6. 设两个电量为6100.2-⨯库仑的点电荷位于cm z 4±=，两个电量为6
100.2-⨯-库仑的点电荷
位于cm z 2±=，则该系统的电偶极矩为_____,电四极矩的非0分量为_____.远处一点的电势近似表达式为______. 7. 电荷分布为
ρ
,体积为V 的带电体系在外电场（电势为e ϕ）中的能量为 _______.
8. 两个同心带电球面（内、外半径分别为a 、b ）均匀地带有相同的电荷Q ，则这两个带电球面
之间的相互作用能为_________；系统的总静电能为_________. 解：内球面在外球面处产生的电势为b
Q e b r 04πεϕϕ===，
b Q dV b Q
dV W e V e
02044περπερϕ===
⎰⎰
互；
b Q 042πεϕ=b)（总
b Q
a Q
0044πεπεϕ+=a)（总，)
31(8)4442(212102020202b
a b Q b Q a Q b Q dV W e
V +=++==⎰πεπεπεπερϕ总总 或,42,4202201
r Q E r Q
E πεπε==dr r r
Q dr r r Q W b b a 242022
420204)4(44)4(21ππεππεε⎰⎰∞+=总 9. 半径为R 的接地导体球外有一点电荷q ，它离球心的距离为a ，则他们的相互作用能为
_______.
解：可以用球内一个位于a R b /2
=假想点电荷a Rq Q /'-=代替球面上的感应电荷；则
它们的相互作用能为
)
(4)/(4/2
202
202R a Rq a R a a Rq --=--πεπε； 第三章 静磁场
练习一
1. 电磁场矢势A
沿闭合路径L 的环量等于通过以L 为边界的任意曲面S 的____________.
2. 一长直密绕通电螺线管，取管轴为坐标系的Z 轴，则它外面的某点的矢势A
与该点到管轴的距
离的可能的依赖关系为____c___.
（A. 正比于2-r ; B. 正比于r ; D. 正比于r ln ） 答：C
3. 已知z e B B 0=，则对应的矢势A 为);
C. )0,,0(0x B A -= ;
D. )0,2,2(00x B y B A =
.
答：A. 因为对于)0,0,(0y B A -=
有0,0,0==-=z y x A A y B A 代入
4. 稳恒电流分布J
在外场e A 中的相互作用能为_____________. 答：dV J A W e i ⎰
⋅=
练习二
1. 区域内任意一点r
处的静磁场可用磁标势描述，只当__ B ____：A. 区域内各处电流密度为零；
B. H 对区域内任意封闭路径积分为零;
C. 电流密度守恒；
D. r
处的电流密度为零。
2. 一半径为R 的均匀带电导体球壳，总电量为Q ，导体球壳绕自身直径以角速度ω转动（设ω的
方向沿z 方向），总磁偶极矩为____________.
3. 设分布在体积V 内的稳恒电流密度J
所激发的矢势为A ，则空间中的总磁场能量为_________.
答：dV J A W ⎰⋅=
2
1
4. 半径为R 磁导率为μ的均匀介质球，置于均匀恒定的磁场z e B B
00=中,球外为真空。用磁标势
法，求空间各点的磁感应强度． 解: 由于本题无传导电流，内、外磁标势为
⎩⎨⎧<=∇>=∇)
2(0
)1(022
12R
r R r m m ϕϕ;
由题意,边界条件为:
⎪⎩⎪
⎨⎧∂∂=∂∂=)
4()
3(201
21R
m R
m R m R m r r
ϕμϕμϕϕ,
自然边界条件为:
由条件（5）和（6）得 由（3）得 由（4）得
⎪⎩⎪⎨⎧
≠=++==--⇒-+-)
10(1
0)1()9(121
)2(0
13100b n a nR b R n b n a R
b B n n n n μμμμ ，
由（10）得，⇒≠1n 由（9）得
时，有当1=n (2分)
μ
故解为
参考题：
1. 半径为0R 的接地导体球外充满绝缘介质ε
，离球心为
a 处()0R a >置一点电荷Q 。1）试用分离
变量法,求导体球外的电势e ϕ.2) 球面()0R R =处的自由电荷面密度f
σ
及束缚电荷面密度P σ.提
示：()a R P a R Ra a R r
n n n
n <=-+=
+∞
=∑
)(cos cos 21
11
2
2
θθ
1）分离变量法
令
'cos 242
2
ϕθ
πεϕ+-+=Ra a R Q
注意：这一表达式并不是对任何R 成立，仅在()a R <时，才能如此展开.
由00
=R ϕ
，得
()
a R P R
b P a R Q n n n n n
n n
n <=+=∴+-+∞=∑∑0)
1(01000)(cos )(cos 4θθπεϕ1
120
4++-
=∴n n n a R Q b πε 将其代入（1）得
2). 球面()0R R =处的自由电荷面密度f
σ
及束缚电荷面密度P σ.
2. 一个不带电的空心导体球壳的内外半径为1R 和2R ,在壳内离球心为
a ()1
R a <处置一点电荷
Q ．(1)求空间各点的电势分布．(2)导体球上内、外表面的感应电荷面密度.
解: （1）. 由高斯定理可知，球内表面的电量为
Q -，球外表面的电量为Q
球内电荷的位置对球外的电势无影响，这样， 但点电荷Q 与球内表面上的感应电荷
Q -必须使内表面上电势保持为0.
若在球外距球心为a
R b 21=处放一镜像电荷Q a
R
Q 1'-=，
（说明：Q a R Q R a R Q R b Q Q b R Q a R b 112
111
2
1/''/-=-=-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-
==）代替球内表面上的
感应电荷，则可以使球面1R 上的电势保持为0。则所有电荷在1R R <空间产生的电势为
(2). 导体球上内表面的感应电荷面密度.1
1120R R i n n n f R
D D D =∂∂=-=-=ϕεσ
导体球上外表面的感应电荷面密度. 2
2
4R Q f πσ=
3. 半径为0R 的接地导体球外,充满绝缘介质ε,离球心为
a 处()0
R a >置一点电荷f
Q
.1）试求导体球外
的电势e ϕ.2)球面()0R R =处的自由电荷面密度f
σ及束缚电荷面密度P σ.
解: 采用镜像法
1）若在球内距球心为a
R b 2
0= 处放一镜像电荷Q a R Q 0'-=,代替球面上的感应电荷,则可以使球面上的电势保持为0.则Q 和'Q 在0R r >空间产生的电势为
这里θcos 222Ra a R r -+=
, θcos 2'22Rb b R r -+=
(3) 球面()0R R =处的自由电荷面密度f
σ及束缚电荷面密度P σ.
4. 磁导率为μ的均匀磁介质充满整个空间，且介质中的磁感应强度为B
.如果在介质中挖去半径为R
的介质球,求球内外的磁感应强度．
解:由于本题全空间无传导电流，故可采用磁标势解题，m H ϕ-∇=
.设内、外磁标势满足为
21,m m ϕϕ,他们满足
⎩⎨⎧<=∇>=∇)
2(0
)1(022
12R
r R r m m ϕϕ;
由题意,边界条件为:
⎪⎩
⎪
⎨⎧∂∂=∂∂=)
4()
3(21
021R
m R m R m R m r r ϕμϕμϕϕ,
自然边界条件为: 由条件（5）和（6）得 由（3）得 由（4）得
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠=++==--⇒-+-)
10(1
0)1()9(121
0)2(1031b n a nR b R n b n a R
b B n n n n μμμμ ，
由（10）得，⇒≠1n 由（9）得
时，有当1=n (2分)
故解为
5.
半径为R 的空心球外充满介电常数为ε的均匀电介质，该体系处于均匀外电场0E
中，取球心为坐
标原点，0E
沿z 轴方向。试用分离变量法求球内外的电场强度。
解: 由于本题无自由电荷，内、外电势满足
⎩⎨⎧<=∇>=∇)2(0
)
1(022
12R r R r ϕϕ; 由题意,边界条件为:
⎪⎩
⎪
⎨⎧∂∂=∂∂=)
4()
3(21
021R
R
R R r r ϕεϕεϕϕ,
自然边界条件为:
由条件（5）和（6）得 由（3）得 由（4）得
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠=++==--⇒-+-)
10(1
0)1()9(121
0)2(10310b n a nR b R n b n a R
b E n n n n εεεεε ，
由（10）得，⇒≠1n
0)1()1(0)1(0201
0)2()1(10)2()1(≠++-=+-⎩⎨⎧⇒=++=+--+-+--+-+-R n
n nR R n R R a nR b R
n a R b R n n n n n n n n n n n n εεεεεε 01==≠∴n n b a n 时，有当 (1分) 由（9）得，时，有当1=n
故解为
ε
电动力第四章习题及其答案
1. 一金属壁谐振腔，长宽高分别为,,,c b a 且满足,c b a ≥≥腔中为真空；则腔中所激发的最低频率
的谐振波模为 (1,1,0),与之相应的电磁波波长为2
21
1/
2b
a +. 提示：用2/122
22/123
2221])()()[(])()()[(c p b n a m c L p L n L m mnp
++=++=πμεπω，mnp mnp c ωπλ2=分析 2. 矩形波导管，管内为真空，管截面积s 一定，矩形的长和宽分别记为a 和b 。要使（1，1）模具
有最小的截至频率c ω，则a 或b 的表达式为_____________.
答：2
2
22
2
22
22
2
2
0y x y x z z y x k k k k k k k k k k k +>⇒>--=⇒=++，
2
2222
22
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>
⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>b n a m c b n a m b n a m πωμε
πωππμεω 2
2
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>b n a m c πω （,...2,1,0,=n m ）
截止频率为：22)
0()()(b
n
a m mn +=
μεπ
ω，若1,===n m ab s ，则有 s
a =∴时，有极小值s c s s s s s
c s c c /22/2πωππ==+= 3．一矩形波导管，管内为真空，管截面矩形的长和宽分别为a 和b ,且a > b ,要使角频率为ω的10TE 波能在管中传播，a 应满足ωπ
/c a >.
解： 2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>b n a m μεπ
ω ，10TE 对应于0,1==n m ，∴ωππω//c a a c >⇒>
4．在均匀介质中传播的平面单色波是横波,其E 和B 相互垂直且都__垂直___于波的传播方向,E
和B 的相位__相同___, B E
⨯沿着波矢k 的方向.
5．某试验室需要能传输频率为Hz f 9105⨯=的11TE 型微波，实验室有如下几种尺寸的矩形波导管（长度单位为厘米）：.84)(,83)(,54)(,62)(⨯⨯⨯⨯d c b a 问那几种尺寸波导管可供选择 （b ）,(d).
解：2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>b n a m c πω （1,1==n m ） ⇒
=⨯⨯⨯=<+⇒⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>⇒3110310522112109222
2
c f ab b a b a c f ππ3
1
22<+ab b a （以cm 为单位）
5． 试从Maxwell 方程组出发,证明在真空中传播的时谐电磁波⎩⎨⎧=
=
--t i t i e
x B t x B e
x E t x E ωω)(),()(),(
的空间部分,可由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧⨯∇==⋅∇=+∇)/()]([)(0)(0
)()(22ωi x E x B x E x E k x E 确定(其中
00εμωω==c k ). 证明：1) 证明亥姆霍兹方程
由t H t B E ∂∂-=∂∂-=⨯∇ 0μ ()
()
t
H
E ∂⨯∇∂-=⨯∇⨯∇∴
0μ 则有 012
222
=∂∂-∇t E c E 0
01με=c 2）0=⋅∇D ,,0E D ε=0)(=⋅∇∴x E
3）t
B E ∂∂-=⨯∇ ,B i E ω=⨯∇∴,)(1)(x E i x B ⨯∇=
∴ω 6．由Maxwell 方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中电场所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式. 解：Maxwell 方程组为 真空H B E D
00,
με==
由t
H t B E ∂∂-=∂∂-=⨯∇ 0μ, ()
()
t H
E ∂⨯∇∂-=⨯∇⨯∇
0μ
t E t D H ∂∂=∂∂=⨯∇ 0ε,()(
)
02
20
02
=⋅∇∂∂-=∇-⋅∇∇E t E E E
εμ
则有 012222
=∂∂-∇t E c E ,0
01εμ=c
7．由Maxwell 方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,均匀介质中传播的时谐电磁
波的电场E
所满足的波动方程和电磁波波速的表达式.
解：Maxwell 方程组为
由t H
t B E ∂∂-=∂∂-
=⨯∇ μ, ()
(
)t H
E ∂⨯∇∂-=⨯∇⨯∇
μ
t E t D H ∂∂=∂∂=⨯∇
ε,(
)(
)
02
22
=⋅∇∂∂-=∇-⋅∇∇E t E E E
με
则有 012
222
=∂∂-∇t E v E ,με
1=v
8．由Maxwell 方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中磁场B
所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式. 解：Maxwell 方程组为
真空H B E D
00,
με== 由t E t D B ∂∂=∂∂=⨯∇ 000εμμ, ()
(
)t
E
B ∂⨯∇∂=⨯∇⨯∇
00εμ
t B E ∂∂-=⨯∇ ,()(
)
02
20
02
=⋅∇∂∂-=∇-⋅∇∇B t B B B
εμ
则有 012
222
=∂∂-∇t B c B ,0
01εμ=c
9．由Maxwell 方程组出发,求证在真空中传播的平面单色电磁波)](exp[),(0t r k i E t x E ω-⋅=
, )]exp[(),(0t r k i B t x B ω-⋅= 是横波,而且满足关系ωE
k B
⨯=,其中k
和ω是平面单色电磁波的波矢
量与角频率.
解：0,,0,=⋅∇∂∂=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇B t
D H D t B
E
在真空中 H B E D
00,
με== ()t kz i e E t x E ω-=0),( , ()t x k
i e B t x B ω-⋅= 0),(
10．考虑频率为ω的电磁波在电导率为σ的金属导体中的传播，（1）写出金属良导体条件的表达式。（2）证明：在良导体条件下，电荷只能分布在导体表面上。 （1）金属良导体条件为1)/(0>>ωεσ
（2）证明：考虑良导体中某一区域初始电荷密度为0ρ，由方程
E j E
σερ==⋅∇,/0，
0/=⋅∇+∂∂j t
ρ，
容易得到0)/(/)(/0=+∂∂=⋅∇+∂∂ρεσρσρt E t
解得
])/e x p [(00t εσρρ-=
电荷密度随时间指数衰减，衰减特征时间为σ
ετ
/0=，因此只要电磁波的周期
σ
εντ01=>>=T 10
1>>⇒=>>=⇒νεσσ
εντT ，或1)/(0>>ωεσ，就可以认
为0)(=t ρ，即电荷只能分布在导体表面上
11．一频率为ω平面单色电磁波，垂直入射到很厚的金属表面上，金属导体电导率为σ；求1）进入金属的平均能流密度；2）金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值；证明透入金属内部的电磁波的能量全部变为焦尔热。
解：考虑到金属为良导体，电磁波进入导体后，很快衰减，故可设金属导体充满0>z 的半空间。电磁波由0 1） 进入到金属的电磁场为() t z i z e e E E ωβα--=0 ， ()t z i z z z e e E e i E e i H E k i B i t B E ωβαωμ αβωμαβω--⨯+=⨯+=⇒⨯=⇒∂∂-=⨯∇0 ， 这里复波矢z e i k )(αβ+= 金属中任意位置处的平均能流密度为 () ()()z z z z z z t z i z z t z i z e E e e E i e i E e E e i e e E e E e e H E s 20220200200*2Re 21)(Re 21)(Re 21Re 21αααωβαωβαωμβωμαβωμαβωμαβ--------=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⨯⨯=⨯=进入金属表面的平均能流密度为z e E s 202ωμ β= 2） 金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值 3) 金属表面单位面积为底的无穷长圆柱体所消耗的平均焦尔热功率 20022020204421E e E E e dz W z z α σασσαα===∞--∞⎰， ωμβασσωμαβ=⇒=221 ，2 02024E E W ωμ βασ== ∴。 由（1）可知，这正是单位时间内进入金属表面0=z 处的能量的值，即透入金属内 部的电磁波的能量全部变为焦尔热。 电动力第五章习题及其答案 1. 电磁场矢势A 与标势ϕ满足的库仑规范条件为0=⋅∇A ,罗仑兹规范条件为 012=∂∂+⋅∇t c A ϕ . 2. 对于一般的电磁场,E 和B 与矢势A 与标势ϕ的关系为（1）t A E ∂∂--∇= ϕ, (2) A B ⨯∇=. 3. 1）写出Maxwell 方程组；2）由Maxwell 方程组导出标势ϕ和矢势A 所满足的基本方程组；3） 在洛仑兹规范下,由上述方程组导出达朗贝尔方程组. 解：1）Maxwell 方程组⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧=⋅∇∂∂+ =⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇0 B t D J H D t B E f f ρ 2) ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧∂∂--∇=⇒=∂∂+⨯∇⇒=∂∂⨯∇+⨯∇⇒∂∂-=⨯∇⨯∇=⇒=⋅∇t A E t A E t A E t B E A B B ϕ0)(00 将t A E ∂∂--∇= ϕ及 E D 0ε=代入f D ρ=⋅∇ 得： 将A B ⨯∇=及H B 0μ=代入t D J H f ∂∂+=⨯∇ 得： 3）由洛伦兹规范 012 =∂∂+⋅∇t c A ϕ 4．由Maxwell 方程组出发,在库仑规范条件下，推导真空中电磁场的矢势与标势所满足的微分方程. 解：1）Maxwell 方程组⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧=⋅∇∂∂+ =⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇0 B t D J H D t B E f f ρ 2) ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧∂∂--∇=⇒=∂∂+⨯∇⇒=∂∂⨯∇+⨯∇⇒∂∂-=⨯∇⨯∇=⇒=⋅∇t A E t A E t A E t B E A B B ϕ0)(00 将t A E ∂∂--∇= ϕ及 E D 0ε=代入f D ρ=⋅∇ 得： 将A B ⨯∇=及H B 0μ=代入t D J H f ∂∂+=⨯∇ 得： 库仑规范 0=⋅∇A 5．试从Maxwell 方程组出发,给出变化的电磁场矢势和标势的定义，说明何谓电磁场的规范变换， 并证明电磁场的E 和B 在这种规范变换下保持不变. 解：由0=⋅∇B 得A B ⨯∇=，将其代入t B E ∂∂-=⨯∇ 得, 0=⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛∂∂+⨯∇t A E ， 故可引入标势ϕ，使得ϕ-∇=∂∂+t A E ，即： t A E ∂∂--∇= ϕ 设 ),(t x ψ是一个具有连续二阶偏导数的任意标量函数，做变换 6．一电量为q 的粒子沿z 轴作简谐振动，其坐标为t a z ωcos =。设它的速度为c c v (<<为真 空中的光速）求它的辐射场和平均能流密度以及辐射功率. 提示：直角坐标基矢与球坐标基矢关系为⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛φθθθφφ θφθφφθφθe e e e e e r z y x 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin 解：由定义这个带电粒子对原点的电偶极矩为：z e t qa t P ωcos )(= 振动电偶极矩产生的矢势为 z z e c r t r qa e t r qa dt t P d r t r A )(sin 4'sin 4')'(4),(000--=-==ωπωμωπωμπμ z e t kr r qa )sin(40ωπω μ-= 其中，c k /ω= 平均能流密度： 辐射功率： 另解：由定义这个带电粒子对原点的电偶极矩为：z e t i qa t P )exp()(ω-= ， 振动电偶极矩产生的矢势为 z e t kR i R qa i )](exp[40ωπωμ-- = 其中，c k /ω= φ θωπωμωπωμωπωμe t kR i cR qa e e t kR i cR qa e t kR i R qa i k i A B z r z sin )](exp[4)](exp[4)](exp[42 0200 --=⨯-=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--⨯=⨯∇= θ φθωπωμθωπωμωωωεμe t kR i R qa E e e t kR i R qa e B c E e B c c E B k i c E i B c B t E H t D r r r sin )](exp[4sin )](exp[41202022 200--=∴⨯--=⨯=⇒⨯=⇒⨯=-⇒⨯∇=⨯∇=∂∂⇒⨯∇=∂∂（2分） 平均能流密度： 辐射功率： 7．1）写出Maxwell 方程组；2）从此方程组出发，引入电磁场的矢势和标势，说明何谓电磁场的规 范变换，并证明电磁场的E 和B 在这种规范变换下保持不变. 解：1）Maxwell 方程组为 2）由 =⋅∇B 得 A B ⨯∇=。将其代入t B E ∂-∂=⨯∇/ 得, () 0/=∂∂+⨯∇t A E ，故可引入标势 ϕ ，使得ϕ-∇=∂∂+t A E / ，即： t A E ∂∂--∇=/ ϕ 设),(t x ψ是一个具有连续二阶偏导数的任意标量函数，做变换 8．一电偶极子位于坐标系的原点，它的电偶极矩为x e t P P ωcos 0=。试求1）它在ω πλ/2c r =>>辐射场的电场强度和磁场强度；2）该处辐射场的能流密度. (15分) 提示：直角坐标基矢与球坐标基矢关系为⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛φθθθφφ θφθφφθφθe e e e e e r z y x 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin 1）解：注意：本题电偶极矩x e t P P ωcos 0=沿着x 轴，但球坐标选取如常（如r 与Z 轴间的夹角为θ 等）这样，振动电偶极矩产生的矢势为 x x r e c r t i r p i e t i r p i dt t P d r dV t x J r r dV t x J t r A )](exp[4)'exp(4' ) '(4')','(4')','(4),(0000000---=--== ≈=⎰⎰>>ωπωμωπωμπμπμπμλ 1.7. 有一内外半径分别为 r 1 和 r 2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止由电荷f ρ求 1 空间各点的电场； 2 极化体电荷和极化面电荷分布。 解（1） f s D ds dV ρ→ ?=??， （r 2>r> r 1） 即：()2 3 31 443 f D r r r π πρ?=- ∴()3 313 3f r r E r r ρε→ -= ， （r 2>r> r 1） 由 ()33 210 43f f s Q E d s r r πρεε?= = -? ， （r> r 2） ∴()3 32 13 03f r r E r r ρε→ -= ， （r> r 2） r> r 1时， 0E = （2）()0 00 00 e P E E E εεεχεεεε-===- ∴ ()()()33310103 30033303p f f f f r r r P r r r r r εερεερρεεεεεερρεε??-?? -??=-??=--??=-??- ???????--=--=- （r 2>r> r 1） 12p n n P P σ=- 考虑外球壳时， r= r 2 ，n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空），P 2n =0 () () 2 3 333 1021103 3 2 133p n f f r r r r r r P r r r εσεερρεε=--??==-=- ??? 考虑内球壳时， r= r 1 () () 1 3 3103 03p f r r r r r r σεερε=-=--= 1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l 1 和l 2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为 Ε 的电池，求 （1） 电容器两板上的自由电荷密度ωf （2） 介质分界面上的自由电荷密度ωf 若介质是漏电的，电导率分别为 σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？ 解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向 则11221211220(0) n n f l E l E E D D E E εεσ-=???-=-==??介质表面上 故：211221 E E l l εεε= +，121221 E E l l εεε= + 又根据12n n f D D σ-=， （n 从介质1指向介质2） 在上极板的交面上， 112f D D σ-= 2D 是金属板，故2D =0 即：11211221 f E D l l εεσεε==+ 而20f σ= 3 122f D D D σ'''=-=-，（1D '是下极板金属，故1D '=0） ∴31 121221 f f E l l εεσσεε=- =-+ 若是漏电，并有稳定电流时，由j E σ = 可得 1 11 j E σ= ， 2 22 j E σ= 又1 21 2121212,() n n j j l l E j j j j σσ?+=???===?稳定流动 2．一平面电磁波以045=θ从真空入射到24=ε的介质。电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数。 解：由 1 122sin sin εμεμθθ = ' ' 1r 2r 12sin sin εεεεθθ=='' 1 2 s i n s i n 450= ''∴θ 解得 030=''θ 由菲涅耳公式： θ εθεθεθε''+''-=' sin sin sin sin E E 2121 = =+= 3 12cos cos cos 2E E 211+= ''+=' 'θεθεθε 由定义: 3 2323131E E R 2 2 +-=? ??? ??+-='== 3 2321 22 223312cos cos E E T 2 1 22 +=???? ??+=''''= = εεθθ 7．已知海水的1 1m 1s ,1-?==σμ,试计算频率ν为50,9 61010和Hz 的三种电磁波在海 水中的透入深度. 解: ωμσ α δ2 1 = = , 72m 1 1042502 7 50 =????= -=ππδ γ , 5m .01 1042102 7610 r 6 =????= -=ππδ 16mm 1 1042102 7 910r 9 =????= -=ππδ 2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是 )/1/(2'22c v v v += （1） ∴在1'∑系中测量2'∑系中静长为0 l 的尺子的长度为 220/'1c v l l -= （2） 将（1）代入（2）即得： )/1/()/1(22220c v c v l l +-= （3） 此即是在1'∑系中观测到的相对于2'∑静止的尺子的长度。 3. 静止长度为l 0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u 0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 解：根据题意取地面为参考系S ，车厢为参考系S ’，于是相对于地面参考系S ，车长为 220/1c v l l -=， （1） 车速为v ，球速为 )/1/()(200c v u v u u ++= （2） 所以在地面参考系S 中观察小球由车后壁到车前壁 l t v t u +?=? 所以 )/(v u l t -=? （3） 将（1）（2）代入（3）得：2 2 0200/1)/1(c v u c v u l t -+= ? （4） 4. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l 0。 解：取地面为静止的参考系∑，列车为运动的参 考系'∑。 取 x 轴与 x ′轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为∑系与'∑的原点，如图。 在∑系中光经过c l t /0=的时间后同时照亮左 右两塔,但在'∑系中观察两塔的位置坐标为 ) /1(/1/1'2 2 02 2 0c v c v l c v vt l x --=--=右 )/1(/1/1'2 20 220c v c v l c v vt l x +--= ---= 左 即：)/1(/1'220c v c v l d --=右,)/1(/1'2 20 c v c v l d +--=左 时间差为 2220 /12''c v c vl c d c d t -= -= ?右左 5. 有一光源S 与接收器R 相对静止，距离为0l ,S-R 装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射 率n ）中。试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。 （1）液体介质相对于S-R 装置静止； 第五章多电子原子 1.选择题: (1)关于氦原子光谱下列说法错误的是：B A.第一激发态不能自发的跃迁到基态； B.1s2p 3P2,1,0能级是正 常顺序； C.基态与第一激发态能量相差很大； D.三重态与单态之间没有跃迁 (2)氦原子由状态1s2p 3P2,1,0向1s2s 3S1跃迁,可产生的谱线条数为：B A.0； B.3； C.2； D.1 (3)氦原子由状态1s3d 3D3,2,1向1s2p3P2,1,0跃迁时可产生的谱线条数为：C A.3； B.4； C.6； D.5 (4)氦原子有单态和三重态两套能级,从而它们产生的光谱特点是:D A.单能级各线系皆为单线,三重能级各线皆为三线； B.单重能级各线系皆为双线,三重能级各线系皆为三线； C.单重能级各线系皆为单线,三重能级各线系皆为双线; D.单重能级各线系皆为单线,三重能级各线系较为复杂,不一定是 三线. (5)若某原子的两个价电子处于2s2p组态,利用L－S耦合可得到其原子态的个数是：C A.1； B.3; C.4; D.6. (6)设原子的两个价电子是p电子和d电子,在Ｌ－Ｓ耦合下可能的原 子态有：C A.4个； B.9个； C.12个 D.15个； (7)若镁原子处于基态,它的电子组态应为：C A．2s2s B.2s2p C.3s3s D.3s3p (8)有状态2p3d3P 2s3p3P的跃迁：D A.可产生9条谱线 B.可产生7条谱线 C 可产生6条谱线 D.不能发生 课后习题 1．He 原子的两个电子处在2p3d态。问可能组成哪几种原子态？（按LS耦合） 解答：l1 = 1 l2 = 2 L = l1 + l2, l1 + l2?1, ……, | l1? l2| = 3, 2, 1 s1 =1/2 s2 =1/2 S = s1 + s2, s1 + s2?1, ……, |s1 ? s2| = 1, 0 这样按J = L+S, L+S?1, ……, |L?S| 形成如下原子态： S = 0 S = 1 L = 1 1P13P0,1,2 L =2 1D23D1,2,3 L = 3 1F33F2,3,4 3.Zn 原子(Z=30) 的最外层电子有两个。基态时的组态是4s4s。当 习题四参考答案 1．一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r r K P ，电容率为 ．计算 ⑴ 束缚电荷的体密度和面密度； ⑵ 自由电荷体密度； ⑶ 球外和球内的电势； ⑷ 该带电介质球产生的静电场的总能量． 答案：⑴ 2 r K p ，R K p ⑵ 2 0r K f ⑶ r KR 002 R r 00 1ln r K K R r ⑷ 2 0012 K R W 提示：⑴2r K P p ， R K P e R r r p ? ⑵ 因为f P 10 ，所以 2 r K f ⑶ 因为电荷分布具有球对称性，所以可以由高斯定理求电场强度E ，再求 ⑷ 两种方法都可以求解 v dV W 2 1 ，V 是电荷分布的球区间。 或者， dV D E W 21，这里V 是电场分布的全空间 ２．导体内有一半径为R 的球形空腔，腔内充满电容率为 的均匀电介质，现将电荷量为q 的点电荷放在腔内离球为)(R a a 处，如图所示，已知导体的电势为零，试求：①腔内任一点),( r p 的电势 ；②腔壁上感应电荷量的面密度；③介质极化电荷量的密度和面密度． 解：用电像法求解 ①设导体不存在，整个空间都充满了 电容率为 的均匀介质，像电荷q 使腔壁电势为0． 041 s q s q 解之得 a R b 2 q a R q 由此得介质内任一点),( r p 的电势为 cos 2cos 2412222br b r q ar a r q ． ②腔壁上感应电荷量的面密度为 2 /32222)cos 2(4)(?)(? aR a R R q a R r e E e D n R r r ③介质内极化电荷量的密度为 200)()( E P P )1())((00 ． q q p )1(0 ． 介质表面极化电荷面密度 R r p r E e p n ))(()(?00 2 /322220) cos 2(4))(( aR a R R q a R ． ３．接地的空心导体球内外半径为1R 和2R ，在球内离球心为 1R a a 处置一点电荷 q ，求空间的电势分布．导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？ 答案： cos /2//cos 241212 2121220a R R a R R a qR Ra a R q q q '，分布在内表面．感应电荷不等于像电荷． 1. 半径为a 的球形区域内充满分布不均匀的体密度电荷，设其体密度为ρ（r ）。若已知电场分布为 e r (r 3+Ar 2) r≤a e r (a 5+Aa 4)r -2 r>a 式中的A 为常数，试求电荷体密度ρ（r ）。 解 0 ()sin x x D y z m y H H D J H e e kH t kz e t z y ω???= =??=-=-??? ()00 11 sin m y E H kH t kz e t ωεε?=??=-? 对t 积分得()01 cos m y E kH t kz e ωεω =- - 4. 铜的电导率σ= 5.8×107 S/m ，相对介电常数εr =1。设铜中的传导电流密度为 J =e x J m cosωt A/m 2。试证明在无线电频率范围内铜中的位移电流与传导电流相 比是可以忽略的。 由J E σ=得J E σ = 位移电流200sin D m D J J J t A m t t εωεωσσ ??= ==-?? 12078.85101 5.810r D J J ωεεωσ-???== ? 5. 正弦交流电压源u=U m sinωt 连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。（1）证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；（2）求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。 1）t u d t E J D ??=??=00 εε t u d S t E S SJ I D D ??=??==00εε 一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ∇ r = 。 2、已知矢量A 和标量φ，则=⨯∇)(A φ 。 3、区域V 内给定自由电荷分布ρ 、σ ，在V 的边界上给定 或 ，则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势φ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为 。 8、相对论的基本原理为 ， 。 9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 ρ = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、由0 ερ =⋅∇E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该 点散度有贡献。 （ ） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。（ ） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。（ ） 5、只要区域V 内各处的电流密度0=j ，该区域内就可引入磁标势。（ ） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。（ ） 7、在0=B 的区域，其矢势A 也等于零。（ ） 8、E 、D 、B 、H 四个物理量均为描述场的基本物理量。（ ） 9、由于A B ⨯∇=，矢势A 不同，描述的磁场也不同。（ ） 10、电磁波的波动方程012222 =∂∂-∇E t v E 适用于任何形式的电磁波。（ ） 三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符∇ 的矢量性和微分性，证明 0)(=∇⨯⋅∇φr 式中r 为矢径，φ为任一标量。 电动力学第三版答案 第一章：静电学 1.1 静电场 静电场是由电荷所产生的场，它是一种无时间变化的电磁场。静电场的性质可以通过电场强度、电势和电荷分布来描述。 电场强度表示单位正电荷所受到的力，并且是一个向量量。在任意一点的电场强度可以通过库仑定律计算。 电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。电势 可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。 1.2 电场的高斯定律 电场的高斯定律是描述电场在闭合曲面上的通量与该闭合 曲面内的电荷有关系的定律。它可以通过以下公式表示：\[ \oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, ds = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \] 其中，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(\mathbf{n}\) 是曲面上的单位法向量，\(ds\) 是曲面上的微元面积， \(Q_{\text{enc}}\) 是闭合曲面内的总电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空电容率。 1.3 电势 电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。它可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。电势可以通过以下公式计算： \[ V = - \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \] 其中，\(V\) 是电势，\(\mathbf{E}\) 是电场强度， \(d\mathbf{l}\) 是路径上的微元长度。 1.4 静电场中的导体 在静电场中，导体内部的电场强度为零。当导体受到外部电场作用时，其表面会产生等效于外部电场的电荷分布，这种现象被称为静电感应。 静电感应可以通过以下公式来计算表面电荷密度： \[ \sigma = \mathbf{n} \cdot \mathbf{E} \] 其中，\(\sigma\) 是表面电荷密度，\(\mathbf{n}\) 是表面法向量，\(\mathbf{E}\) 是外部电场强度。 电动力学习题解答 若干运算公式的证明 ϕψψϕϕψψϕϕψψϕϕψ∇+∇=∇+∇=∇+∇=∇c c c c )()()( f f f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c f f f f f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c )()()( g f g f g f ⨯⋅∇+⨯⋅∇=⨯⋅∇c c )()(g f f g ⨯∇⋅-⨯∇⋅=c c )()(g f g f ⨯∇⋅-⋅⨯∇= )()()(g f g f g f ⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇c c g f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=c c c c g f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅= )()()(c c g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇)()(c c g f f g ⋅∇+⋅∇= （利用公式b a c b a c c b a )()()(⋅+⨯⨯=⋅得） f g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c c f g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯= 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ A A A A )()(2 2 1∇⋅-∇= ⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇ B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c c B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇， 所以 A A A A A A )()()(2 1 ∇⋅-⋅∇= ⨯∇⨯ 即 A A A A )()(2 2 1∇⋅-∇= ⨯∇⨯A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ∇= ∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅ ∇=⋅∇， u u u d d )(A A ⨯ ∇=⨯∇ 证明： （1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂= ∇)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ∂∂+ ∂∂+ ∂∂= d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ∇= ∂∂+ ∂∂+∂∂=d d )(d d e e e 《电动力学》简答题参考答案 1. 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式,并简单说明它的物理意义。解答:电流的连续性方程的微分形式为0J t ρ∂∇⋅+=∂K 。其积分形式为d d d d S J S V t ρΩ⋅=−∫∫∫∫K K v 。 电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式,它表示:当某区域内电荷减少时,是因为有电荷从该区域表面流出的缘故;相反,当某区域内电荷增加时,是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。 2. 写出麦克斯韦方程组,并对每一个方程用一句话概括其物理意义。解答: (1)f D ρ∇⋅=K 电荷是电场的源; (2)B E t ∂∇×=−∂K K 变化的磁场产生电场; (3)0B ∇⋅=K 磁场是无源场; (4)f D H J t ∂∇×=+∂K K K 传导电流以及变化的电场产生磁场。 3. 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称?为什么? 解答:麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称,因为电场是有源场,电荷是电场的源,而磁场是无源场,不存在磁荷。 4. 一个空间矢量场A K ,给出哪些条件能把它唯一确定? 解答:由矢量场的唯一性定理: (1)位于空间有限区域内的矢量场,当它的散度,旋度以及它在区域 边界上的场分布给定之后,该矢量场就被唯一确定; (2)对于无限大空间,如果矢量在无限远处减少至零,则该矢量由其 散度和旋度唯一确定。 5. 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。解答:极化电流与极化强度之间的关系式为P P J t ∂=∂K K ; 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为M J M =∇×K K 。 6. 简述公式d d d d d V V w V f V S t σ−=⋅+⋅∫∫∫v K K K K v 的物理意义。解答:d d d V w V t −∫表示单位时间区域V 内电磁场能量的减少,d V f V ⋅∫v K K 表示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功,d S σ⋅∫K K v 表示单位时间流 出该区域的能量。所以,此公式的物理意义为:单位时间区域V 内电磁场能量的减少,等于单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功与流出该区域的能量之和。它实际上就是区域V 内电磁场能量守恒的表达式。 7. 简述介质中静电场的唯一性定理。 电动力学第一章习题及其答案 1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普 适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若a 为常矢量, k z z j y y i x x r )'()'()'(-+-+-=为从源点指向场点的矢量, k E ,0为常矢量,则 )(2 a r ⋅∇=a r a r a r a r a r r r dr dr ⋅=⋅=⋅∇=⋅∇=⋅∇22))()(222, = ⨯∇r 0' ''=---∂∂∂∂∂∂z z y y x x e e e z y x x x x ， 3) z'-(z )y'-(y )x'-(x =++=⋅∇∂∂∂∂∂∂z y x r ， )()(=⨯∇⋅=⨯⋅∇r a r a , 0)(3 211=⨯= ⨯=⨯∇+⨯∇=⨯∇∇r r r r r r r r r r r r ,a k j i r a z a y a x a z y x =+ + = ⋅∇∂∂∂∂∂∂)] z'-(z [)] y'-(y [)] x'-(x [)(， r r r r r r r r r r r 23113=+⋅-=⋅∇+⋅∇=⋅∇ ，=⨯∇⋅∇)(A __0___. =⋅⋅∇)]sin([0r k E )cos(0r k E k ⋅⋅, 当0≠r 时,=⨯∇)/(3 r r __0__. =⋅∇⋅)(0r k i e E )exp(0r k i E k i ⋅⋅, =⨯∇)]([r f r _0_. =⋅∇)]([r f r dr r df r r f )()(3+ 3. 矢量场f 的唯一性定理是说：在以 s 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的旋度和散 度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 f 在V 内唯一确定. 4. 电荷守恒定律的微分形式为0=∂∂+⋅∇t J ρ ,若J 为稳恒电流情况下的电流密度,则J 满足 0=⋅∇J . 5. 场强与电势梯度的关系式为，ϕ-∇=E .对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为 )4/(3 0r r P πεϕ ⋅=，则该点的场强为()⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-⋅=350341r P r r r P E πε. 6. 自由电荷Q 均匀分布于一个半径为 a 的球体内,则在球外)(a r >任意一点D 的散度为 0, 福师《电动力学》一 一、判断概念是否正确，若不正确，请写出正确答案（共15分，每小题3分） 1、磁场强度H 是个辅助物理量,它与磁感应强度B 的普遍关系为：) (0M H B +=μ． （ ） 参考答案：⨯ 2、静电场总能量可表示为 V d W ⎰ = ρϕ21 ，则其能量密度为 ρϕ2 1= w 。 （ ） 参考答案：⨯ 3、在研究辐射问题时，我们用小区域展开，所谓小区域是指它的线度l ，波长为λ，以及观察点与源点距离r 之间满足关系：r l <<λ, ． （ ） 参考答案：⨯ 4、电场与引力场一样是保守场，即电场是无旋场。 （ ） 参考答案：√ 5、在导体表面上，电力线总是与界面正交，磁力线与界面相切。 （ ） 参考答案：⨯ 二、简答题（共15分，每小题5分） 1、由麦克斯韦方程组出发，分析产生电场的方式有几种？为什么？ 参考答案要点： 在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场 ，变化磁场也可激发电场。 2、当您用收音机接收信号时，感觉与无线电方向有关，这是为什么？ 参考答案要点： 因为收音机接收信号的天线（天线杆、线圈和磁棒）具有方向性，在不同方向的增益或者说灵敏度不一样，所以与无线电波的来波方向有关。 3、在稳恒电流情况下，有没有磁场存在？若有磁场存在，磁场满足什么方程？电场满足什么方程？ 参考答案要点： 在稳恒电流情况下，有磁场存在。 稳恒电流产生的磁场满足方程： 02 4Idl r B r μπ ⨯= ⎰。 电场满足J E σ=，S I J d S =⋅⎰ 三、证明题（共15分，每小题15分） 1、多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率ω与它的静止角频率0ω的关系为： 1cos v c ωωγθ= ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，其中 1 22) /1(--=c v γ；v 为光源运动 速度。 参考答案：（仅包含主要解题步骤，仅供参考） 设运动光源的波矢为k ，静止光源的波矢为'k 光源的相位不随参考系而变， 0'''k x t k x t φωω=⋅-=⋅- ''k x k x μμμμ==常数 可得 ,k k i c μω⎛⎫= ⎪ ⎝ ⎭ 根据洛伦兹变换有 () '112'22'3301v k k c k k k k vk γωωγω⎧⎛ ⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 设设波矢量k 与x 轴方向的夹角为θ，'k 与x 轴方向的夹角为'θ 有 1cos k c ω θ = ， 1' 'cos ' k c ωθ= 可解出 01cos v c ωωγθ⎛⎫=- ⎪ ⎝ ⎭即01cos v c ωωγθ= ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 其中 1 22) /1(--=c v γ 四、综合题（共55分，前三每题题15分，最后一题10分） 1、有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的介电常数为ε，使介质内均匀 带静止自由电荷 f ρ，求：(1)空间各点的电场；(2) 极化体电荷和极化面电荷分布。 2 电动力学练习题 第一章电磁现象的根本规律 一. 选择题 1•下面函数中能描述静电场强度的是 〔 〕 A. 2xe x 3ye y xe z B • 8cos e 〔球坐系〕 C • 6x y e x 3Y e y D • ae z 4•非稳恒电流的电流线起自于〔 〕 A.正点荷增加的地方； B.负电荷减少的地方； C.正电荷减少的地方； D.电荷不发生改变的地方。 5•在电路中负载消耗的能量是〔 〕 A.通过导线内的电场传递的； B.通过导线外周围的电磁场传递的； C.通过导线内的载流子传递； D.通过导线外周围的电磁场传递的，且和导线内电流无关。 二、填空题 1. ______________ 极化强度为 P 的均匀极化介质球，半径为R,设 P 与球面法线夹角为，那么介质球的 电偶极矩等于 __ ，球面上极化电荷面密度为 ______ 。 2•位移电流的实质是 _________ • 3•真空中一稳恒磁场的磁感应强度 B are 〔柱坐标系〕产生该磁场的电流密度等 于 _______ 。 4. 在两种导电介质分界面上， 有电荷分布 ，J N 3 3 3 〕 一般情况下，电流密 度满足的边值关系是 。 J c 〔xex ye y zez 〕 5. 某一区域在给定瞬间的的电流密度： 其中c 是大于零 的常量。此瞬间电荷密度的时间变 化率等于— ，假设以原点为中心，a 为半径作一球面，球内此刻的总 电荷的时间变化率等于 。 6. 在两绝缘介质的界面处，电场的边值关系应采用 n 〔E 2巳〕 --------- 。在绝缘介质与导体的界面 〔或两导体的界面 处〕稳恒电流的情况下，电流的边值关系为 n 〔 J 2 J 1 〕 ___________________ 和 _________________________ 。 7.真空中电 磁场的能量密度w = ______________ ，能流密度 S = ___________ 。 r r E a — b "y 8.真空中电场为 r r 〔 a ，b 为常数〕，那么其电荷分布为 ________ 。 A. are r 〔柱坐标系〕 B. aye x axe 『 C. axe x aye y D. are 〔柱坐标系〕 3. 变 化的磁场激 发的感应 A. E / 0, E 0 B. E 0, E 0 C. E 0, E B t D. E / 0, E 电场满足〔 〕 2•下面矢量函数中不能表示磁场强度的是〔 〕 《电动力学》试题库 一、填空： 1、空间某点的场强的散度∇·E和该点的__________有关，而与其它点的__________无关，该点的E决定于__________。 2、静电场方程的微分形式适用于__________；在不同介质的分界面上，由于介质的性质__________，场也会__________。 3、在任一个带电的分界面两侧，矢量D的法向分量__________；它满足关系式__________。在任意一个不带电的分界的分界面两侧矢量D的法向分量__________，而E 的法向分量__________。在两种不同介质的分界面上，场强E的切向分量总是__________；它满足关系式____________________；而电感强度D的切向分量却有__________。 4、在静电场中，引入标势ϕ的根据是静电场的__________；性质，在稳恒电流磁场中，引入矢势A的根据是稳恒电流磁场的__________性质。变化的电磁场E和B用势表为E=__________；B=__________。 5、变化的电磁场，可以脱离__________而独立存在，它可以与__________相互作用，但是它的存在并不依赖于__________。 6、和稳恒场相比，变化电磁场的新规律主要是（1）____________________（2）______________________________。 7、规范变换自由度的存在是由于矢势A的定义式中，只给出了A的__________。洛仑兹规范对A的__________进行了了如限制，限制条件为____________________。 8、推迟势的重要性在于说明电磁作用是____________________，而不是瞬间的__________作用。 9、若用库仑规范∇·A=O代替洛仑兹条件，电磁势ϕ和A所满足的微分方程应为______________________________。 10、洛仑兹规范的最大优点是它使矢势和标势的方程具有__________，在相对论中，显示出__________。 11、电场的基本性质是：_____________________________；引入电场强度的概念后，指出了电荷之间的相互作用是____________________________，解决了_______________定律没有解决的物理本质。 电动力学习题 典型知识点 一．电磁现象的普遍规律 1. 高斯定理的积分形式为0εQ S d E S =?? ，静电场的散度公式为0 ερ =??E ，静电场对任一 闭合回路的环量公式为0=??L l d E ，静电场的旋度公式为0=??E 。 2. 电荷Q 均匀分布于半径为a 的球体内，则当a r >时电场强度为3 04r r Q E πε = ，当a r <时电场强度为304a r Q E πε = 。电荷守恒定律的积分形式为dV t S d J V S -=?ρ ，微分形式为0=??+ t J ρ 。 3. 安培环路定律的公式为I l d B L 0μ=?? ，恒定磁场的旋度为J B 0μ=??，磁感应强度对 任何闭合曲面的总通量的表达式为0=??S S d B ，其微分形式为0=??B 。 4. 电流I 均匀分布于半径为a 的无穷长直导线内，则a r >时磁感 应强度为φπμe r I B 20= ，当a r <时磁感应强度为φ πμe a Ir B 202= 。电磁感应定律的积分表达式为-=?S L S d B dt d l d E ，微分形式为t B E ??-=?? 。 5. 真空中的麦克斯韦微分方程组为t B E ??-=?? ，t E J B ??+=?? 000εμμ，0ερ=??E ， 0=??B 。 6. 介质中的麦克斯韦微分方程组为t B E ??-=?? ，t D J H ??+=?? ，ρ=??D ， 0=??B 。 7. 位移电流的表达式为t E J D ??= 0ε,各向同性线性介质的电磁性质方程为E D ε=， H B μ=和E J σ=。 8. 介质中麦克斯韦方程组的积分形式为-=?S L S d B dt d l d E ， +=?S f L S d D dt d I l d H ，f S Q S d D =?? ，0=??S S d B 。 《电动力学》习题库 2011-12-13 一、判断题 1. 电荷守恒定律的微分形式为：/J t ρ∇⋅=∂∂ 。 （ ） 2. 根据亥姆霍兹定理，一个矢量场的性质由它的散度和旋度确定( ) 3. 磁场强度H 是个辅助物理量,它与磁感应强度B 的普遍关系为：)(0M H B +=μ． （ ） 4. 静电场总能量表示为V d W ⎰=ρϕ21，则其能量密度为ρϕ21=w （ ） 5. 用势描述电磁场，客观规律和势的特殊选择有关 （ ） 6. 在介质分界面上，磁场强度的切向分量总是连续的。 （ ） 7. 矩形波导中不能传输TEM 模式的电磁波。 （ ） 8. 可以直接引入磁标势，不需要条件。 （ ） 9. 导电媒质中的平面波是衰减波。 （ ） 10. 时变电磁场中，电场和磁场相互激发形成电磁波。 （ ） 11. 变化的电磁场中，场点在r t c +时刻对源点t 时刻的变化作出响应（ ）。 12. 在相对论中，时间先后是相对的。在某一惯性系中，A 事件比B 事件先发生。在 另一惯性系中，A 事件就可能比B 事件迟发生。 （ ） 13. 在相对论中，能量为,2mc W =其中22 01c v m m -=． （ ） 14. 电偶极辐射场的分布具有方向性。 （ ） 15. 在相对论中，间隔2S 在任何惯性系都是不变的，也就是说两事件时间先后关系保 持不变。 （ ） 二、选择题 1. 下面关于静电场中导体的描述不正确的是 A 导体处于平衡状态； B 导体内部电场处处为零； C 电荷分布在导体内部； D 导体表面的电场垂直于导体表面。 2. 导体中的平面波电磁波不具有（ ）性质。 A ．电场和磁场垂直 B ．振幅沿传播方向衰减 C ．电场和磁场同相 电动力学 第一章练习 一、填空 1. 一个半径为a 的带电球，其介电常数为ε，电荷在球内均匀分布，总电荷为Q ，则球内电场满足 =⋅∇E ____________，球外电场满足=⋅∇E ____________。 2. 一个半径为a 的带电导体球处于静电平衡状态，所带总电荷为Q ，其介电常数为ε0，则球内电场 满足=⋅∇E ____________，球外电场满足=⋅∇E ____________。 3. 一个半径为a 的带电球，其介电常数为ε，电荷在球内均匀分布，总电荷为Q ，则球内电场满足 =⨯∇E ____________，球外电场满足=⨯∇E ____________。 4. 电流I 均匀分布于半径为a 的无穷长直导线内，导线外为真空，则导线内磁场B ⨯∇=__________， 导线外磁场B ⨯∇=_________。 5. 电流I 均匀分布于半径为a 的无穷长直导线内，导线外为真空，则导线内磁场B ⋅∇=__________， 导线外磁场B ⋅∇=_________。 6. 位移电流的实质是 。介质中位移电流密度等于 。 7. 在两种导电介质分界面上，优点和分布σ。一般情况下，电流密度满足的边值关系是 。 8. 坡印亭矢量描述 。 9. 场强与电势梯度的关系式为 .。 10. 电量为q 的点电荷处于介电常数为ε的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为 . 11. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为f J ,磁化电流密度为M J ,磁导率μ,磁场强度为H ，磁化 强度为M ，则=⨯∇H ,=⨯∇M . 12. 介电常数为ε的均匀各向同性介质中的电场为E . 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝,则缝中 电场强度大小为 。 二、选择 1. 在带自由面电流的磁介质界面上，两边介质的介电常数不同，这时候边值关系为： A. 磁感应强度法向不连续，磁场强度切向连续。 B. 磁感应强度切向连续，磁场强度法向不连续。 C. 磁感应强度法向连续，磁场强度切向不连续。 D. 磁感应强度切向不连续，磁场强度法向连续。 2. 介质极化时，束缚电荷体密度P ρ与电极化矢量P 的普遍关系为： A. P P ⨯-∇=ρ B. P P ⋅∇=ρ C. P P ⨯∇=ρ D. P P ⋅-∇=ρ 3. 在稳恒电流电路中，电流总是闭合的，表示此特征的方程为（J 为电流密度，ρ为电荷体密度）： .z D a e 2 .63x y C xye y e + .x y B aye axe -+ .()r A are 柱坐标系p p B are ϕ =电动力学练习题 第一章电磁现象的基本规律 一.选择题 1.下面函数中能描述静电场强度的是( ) 2.下面矢量函数中不能表示磁场强度的是（ ） 3.变化的 磁场激发的感应电场满足（ ） 4.非稳恒电流的电流线起自于（ ） A.正点荷增加的地方； B.负电荷减少的地方； C.正电荷减少的地方； D.电荷不发生改变的地方。 5.在电路中负载消耗的能量是（ ） A.通过导线内的电场传递的； B.通过导线外周围的电磁场传递的； C.通过导线内的载流子传递； D. 通过导线外周围的电磁场传递的，且和导线内电流无关。 二、填空题 1.极化强度为 的均匀极化介质球,半径为R,设与球面法线夹角为θ，则介质球的电偶极矩等于_____，球面上极化电荷面密度为_____。 2.位移电流的实质是_________. 3.真空中一稳恒磁场的磁感应强度（柱坐标系）产生该磁场的电流密度等于_______。 4.在两种导电介质分界面上，有电荷分布，一般情况下，电流密度满足的边值关系是____。 5.已知某一区域在给定瞬间的的电流密度：其中c 是大于零的常量。此瞬间电荷密度的时间变化率等于___ ，若以原点为中心，a 为半径作一球面，球内此刻的总电荷的时间变化率等于_____。 6.在两绝缘介质的界面处，电场的边值关系应采用 () 21 ,n D D ⋅-= 21()n E E ⨯-=。 在绝缘介质与导体的界面(或两导体的界面处)稳恒电流的情况 下，电流的边值关系为 7.真空中电磁场的能量密度w =_____________，能流密度S =_________。 8.已知真空中电场为 23r r E a b r r =+（a ，b 为常数）,则其电荷分布为______。 9.传导电流与自由电荷之间的关系为:f J ∇⋅= _____________ 极化电流与束缚电荷之间的关系为: p J ∇⋅= _____________ 然而按分子电流观点，磁化电流的散度为 M J ∇⋅=_____________ 10.电荷守恒定律的微分形式为_____________。 三、简答题 1.电磁场能量守恒定律的积分形式为： S v v d S d f vd wd dt σττ -⋅=⋅+ ⎰⎰⎰ 简要说明上式各项所表达的物理意义。 2.由真空中静电场的方程 0ρε∇⋅=E 0∇⨯=E 说明电场线的性质。 3.从电荷、电流以及电磁场分布的角度，说明为什么稳恒载流导线外既有顺着导线传递的能流，又有垂直进入导线表面的能流。 四、判断题 1.无论是稳恒磁场还是变化的磁场，磁感应强度总是无源的。 第2讲 场论基础（2） 2-1 证明修正矢量Green 定量 ⎰⎰⋅⨯∇⨯-⨯∇⨯=⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⨯∇⋅→ → → → → →→→S v s d A B B A dv B A A B )]()([)]()([ϕϕϕ 证明： ⎰→ →→→⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⨯∇⋅v dv B A A B )]()([ϕϕ ⎰→ →→→→→→→⨯∇⋅⨯∇-⨯⨯∇⋅∇-⨯∇⋅⨯∇+⨯⨯∇⋅∇=v dv A B A B B A B A )}()(])[()()(])[({ϕϕϕϕ⎰→ →→→→→→→⨯∇⋅⨯∇-⨯⨯∇⋅∇-⨯∇⋅⨯∇+⨯⨯∇⋅∇=v dv A B A B B A B A )}()(])[()()(])[({ϕϕϕϕ ⎰→ →→→⨯⨯∇⋅∇-⨯⨯∇⋅∇=v dv A B B A ]})[(])[({ϕϕ ⎰→ →→→⨯⨯∇-⨯⨯∇⋅∇=v dv A B B A ]})()[({ϕϕ ⎰⋅⨯∇⨯-⨯∇⨯=→ → → → S s d A B B A )]()([ϕϕ ⎰⋅⨯∇⨯-⨯∇⨯=→ → → → S s d A B B A )]()([ϕ （主要公式：()()()f g f g f g ∇⋅⨯=∇⨯⋅-⋅∇⨯；v S fdv f ds ∇⋅= ⋅⎰⎰） 证毕. 2-2证明 f g g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇)( 证明： 一种理解：)()()(c c f g g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇ c c f g g f ⋅∇+⋅∇= f g g f ⋅∇+⋅∇= 严格证明（直角坐标系）： 设 z y x f z f y f x f ˆˆˆ++= ，z y x g z g y g x g ˆˆˆ++= 左边：)(g f ⋅∇=)(z z y y x x g f g f g f ++∇ 右边：f g g f ⋅∇+⋅∇=)ˆˆˆ()ˆˆˆ(z y x z y x g z g y g x f z f y f x ++⋅∇+∇+∇ +)ˆˆˆ()ˆˆˆ(z y x z y x f z f y f x g z g y g x ++⋅∇+∇+∇ =z z y y x x z z y y x x g f g f g f f g f g f g ∇+∇+∇+∇+∇+∇ =)()()(z z y y x x g f g f g f ∇+∇+∇ =)(z z y y x x g f g f g f ++∇=左边 证毕. 2-3 证明 ⎰⎰⋅=⨯∇⋅l s f l d f s d 证明：如右图，设场f 在曲线l 和曲面s 上是良性的。 把S 分成n 个小块，设第m 块的面积为m s ∆，边界 为m l ，设点m p 在m s ∆上。由旋度的原始定义， l s m l m s ∆m p m i ˆ电动力学答案完整
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