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北师大版九年级数学
例1：已知在Rt ABC △中，3
90sin 5C A ∠==
°，，则tan B 的值为（ ） A ．43
B ．4
5
C ．54
D ．
3
4
例2
：104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．
例3：先化简．再求代数式的值．2
2 ()211
1a a
a a a ++÷
+-- 其中a ＝tan60°－2sin30°． 1.如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．
sin A =
B ．1
tan 2
A = C
．cos B = D
．tan B =
2．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）
A ．34
B ．43
C ．35
D ．4
5
3．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ） A ．2cm 4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2
25
5.为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（ ）A ．
1
4
B ．4
C 6.如图，在梯形ABC
D 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA=
5
4
，BC ＝10，则AB 的值 1．如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB ∠的值是 ．
2．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米；
（3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．
根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1 1.73≈）
3．如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ．
（第18题图）
A
C B
5.如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为 .
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，点D 是BC 上一点，AD=BD ，若AB=8，BD=5，则CD= .
三、解答题 1．求值1
1|2|20093tan 303-⎛⎫
+--+ ⎪⎝⎭
°
2. 计算：0
2009
12sin 603tan 30(1)3⎛⎫
-++- ⎪⎝⎭°°
A C (
B ′)
B
A ′
C ′
A
D
B E
C
60°
第2题图
60°
P
Q
2cm
α
B
C
A
北师大版九年级数学 初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 知识点： 1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c （勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 除的内容还包含正割(sec)和余割(csc)两部分内容） 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、30°、45°、60 A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 解直角三角形的定义 1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 ，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。 所以,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是： 北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 例1：已知在Rt ABC △中，3 90sin 5 C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ． 34 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c = ，tan b B a =和222a b c +=；由3sin 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44 tan 33 b x B a x ===， 所以选A ． :i h l =h l α
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 学习目标： 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 学习重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小. 学习难点： 进一步体会三角函数的意义. 学习方法： 自主探索法 学习过程： 一、问题引入 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 二、新课 [问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢? [问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? 结论： 三角函数 角度sinαcoαtanα 30° 45° 60° [例1]计算： (1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°. [例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为
60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 三、随堂练习 1.计算： (1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷1 32 30sin 1+-?； ⑸(2+1)-1 +2sin30°-8； ⑹(1+2)0 -｜1-sin30°｜1+( 2 1)-1 ； ⑺sin60°+ ?-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0 -cos60°-2 11-. 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少? 3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多
【文库独家】 复习《三角函数及解直角三角形》 在是三角形ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°， 锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作ｓｉｎＡ。 （２）锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦，记作ｃｏｓＡ。 （３）锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的正切，记作ｔａｎＡ。 （４）锐角Ａ的邻边与对边的比叫做∠Ａ的余切，记作ｃｏｔＡ。 锐角Ａ的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠Ａ的三角函数。 注意：（１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义； （２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的； （３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。 （１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１α为锐角，即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１； （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１α为锐角，即同一锐角的正切与余切的积为１，互为倒数； （３）商的关系：ｔａｎα＝， ｃｏｔα＝， α为锐角，即同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。注意：（１）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形， 如：︳ｓｉｎＡ︳＝１－︳ｃｏｓ²Ａ︳，︳ｃｏｓＡ︳＝１－ｓｉｎ²Ａ； （２）ｓｉｎ²α是（ｓｉｎα）²的简写，读作“ｓｉｎα”的平方；不能将ｓｉｎ²α写成ｓｉｎα²，前者是α的正弦值的平方，后者表示α²的正弦值。 特殊角有０°、３０°、４５°、６０°、９０°，它们的三角函数值如下表： 注意： 记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法： ０°、３０°、４５°、６０°、９０°的正弦值分别是 它们的余弦值分别是 ３０°、４５°、６０°的正切值分别是 它们的余切值分别是 若∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°则 ｓｉｎＡ＝ｃｏｓ（９０°－Ａ）＝ｃｏｓＢ任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值ｃｏｓＡ＝ｓｉｎ（９０°－Ａ）＝ｓｉｎＢ任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值ｔａｎＡ＝ｃｏｔ（９０°－Ａ）＝ｃｏｔＢ任意锐角的正切值等于它的余角的余切值ｃｏｔＡ＝ｔａｎ（９０°－Ａ）＝ｔａｎＢ任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必须掌握的。
新北师大版九年级上册数学全册课件 新北师大版九年级上册数学全册课件 介绍： 本课件是新北师大版九年级上册数学的完整课件，旨在帮助学生更好地掌握数学知识和技能。本课件包括各章节的重点、难点、例题、练习题和思考题等，是学生自主学习和教师教学的有力辅助工具。 第一章：锐角三角函数 学习目标： 1、理解锐角三角函数的定义和意义。 2、掌握正弦、余弦、正切的概念和计算方法。 3、会使用锐角三角函数解决实际问题。 重点： 1、锐角三角函数的定义和计算方法。 2、使用锐角三角函数解决实际问题。 难点：
1、对于锐角三角函数的理解和应用。 2、对于特殊角的三角函数值的记忆和应用。 例题：已知锐角α，求sinα、cosα、tanα的值。分析：根据特殊角的三角函数值直接计算。 解答： sinα= ，cosα= ，tanα= 。 第二章：概率初步 学习目标： 1、理解概率的概念和意义。 2、掌握概率的基本计算方法。 3、会使用概率解决实际问题。 重点： 1、概率的基本计算方法。 2、使用概率解决实际问题。 难点： 1、对于概率的理解和应用。
2、对于概率的加法和乘法法则的理解和应用。 例题：已知一个袋子中有3个红球、2个白球、1个黄球，求取出红球的概率。 分析：根据概率的基本计算方法计算。 解答：取出红球的概率为 = 。 第三章：数据集中趋势及人口数量变化的描述 学习目标： 1、理解数据集中趋势的意义。 2、掌握计算数据集中趋势的方法。 3、会使用数据集中趋势描述人口数量变化。 重点： 1、计算数据集中趋势的方法。 2、使用数据集中趋势描述人口数量变化。 难点： 1、对于数据集中趋势的理解和应用。
3三角函数的计算 1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程,进一步体会三角函数的意义. 2.能够运用计算器进行有关三角函数的计算. 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题. 1.借助计算器,解决含三角函数的实际问题,提高用现代工具解决实际问题的能力. 2.发现实际问题中的边角关系,提高学生有条理地思考和表达的能力. 1.通过积极参与数学活动,体会解决问题后的快乐. 2.感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值. 【重点】 1.用计算器由已知锐角求三角函数值. 2.能够用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题. 【难点】用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题. 【教师准备】多媒体课件. 【学生准备】 1.科学计算器. 2.复习三角函数的计算方法.
导入一: 同学们小的时候都玩过跷跷板吧?如图所示,跷跷板AB的一端B碰到地面时,AB与地面的夹角为15°,且OA=OB=3 m.你能求出此时另一端A离地面的高度吗? 【问题】要求A离地面的高度,实际上就是求直角三角形的直角边,所以只要求出sin B的值即可,但是15°不是特殊角怎么办呢?可以使用计算器进行解决. [设计意图]用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题,进而引出非特殊角的三角函数值,自然地引出本节课的课题. 导入二: 如图所示,已知一商场自动扶梯的长l为13 m,高度h为5 m,自动扶梯与地面所成的夹角为θ,你能求出夹角θ的度数吗? 【教师活动】要求学生注意观察夹角θ,l,h三者之间的关系,确定夹角θ的三角函数. 【学生活动】通过观察发现sin θ==,由于不是特殊角的三角函数值,尝试使用科学计算器求夹角θ的方法. [设计意图]通过对非特殊角的三角函数值的分析,让学生初步感知非特殊角的三角函数的计算方法——使用科学计算器,在引出课题的同时,又引导学生初步掌握了利用三角函数值求角度的方法. 一、用计算器计算非特殊角的三角函数值 课件出示: 如图所示,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?(结果精确到0.01 m)
1．3 三角函数的计算 教学目标 1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程． 2．能根据锐角的三角函数值用计算器求出该锐角的度数． 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力． 重点难点 重点 用计算器解决由已知锐角求三角函数值；能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题． 难点 用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题． 教学过程 一、创设情境，导入新课 问题：如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？ [生]在Rt △ABC 中，∠α＝16°，AB ＝200米，需求出BC . 根据正弦的定义，sin16°＝ BC AB ＝BC 200 ， ∴BC ＝AB sin16°＝200sin16°(米)． [师]200sin16°米中的“sin16°”是多少呢？我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定． 对于特殊角30°、45°、60°，可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值． 怎样用科学计算器求三角函数值呢？ 二、合作交流，探究新知 1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值． [师]用科学计算器求三角函数值，要用到sin 、cos 和tan 键．例如sin16°，tan85°和
cos72°38′25″的按键顺序如下表所示．(多媒体演示) 同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同． (教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法) [师]很好，同学们都能用自己的计算器计算出三角函数值．大家可能注意到用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位．我们的教材中有一个约定，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位．下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题． [生]用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m)． [师]下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示)． (1)sin56°；(2)sin15°49′； (3)cos20°；(4)tan29°； (5)tan44°59′59″；(6)sin15°＋cos61°＋tan76°. (以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确) [生](1)sin56°≈0.8290； (2)sin15°49′≈0.2726； (3)cos20°≈0.9397； (4)tan29°≈0.5543； (5)tan44°59′59″≈1.0000；
教学目标： 1.了解三角函数的定义及其在直角三角形中的应用。 2.掌握正弦、余弦、正切函数的计算方法。 3.能够解决与三角函数相关的实际问题。 教学重点： 1.正弦、余弦、正切函数的定义和计算方法。 2.应用正弦、余弦、正切函数求解实际问题。 教学难点： 应用三角函数求解实际问题。 教学准备： 1.北师大版九年级数学教材。 2. PowerPoint演示文稿。 3.直角三角形的模型与工具。 4.与三角函数相关的实际问题。 教学流程： Step 1: 引入（15分钟） 1.向学生介绍三角函数的概念，并与实际生活中的角度概念进行对比。 2.提问：你对三角函数有什么了解？它们有什么应用？
3.学生回答后，教师简要介绍三角函数的定义及其在直角三角形中的应用。 Step 2: 知识讲解（30分钟） 1.通过PPT演示，详细讲解三角函数的定义及其计算方法。 2.强调正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和计算方法，着重介绍三角函数与角度的对应关系。 Step 3: 实例演示（20分钟） 1.基于直角三角形的实例，演示如何通过给定的角度和边长计算三角函数的值。 2.通过实例演示的方式，让学生熟悉三角函数的计算过程，并解决相关计算题目。 Step 4: 实际应用（30分钟） 1.教师出示与三角函数相关的实际问题，并要求学生运用所学知识解决问题。 2.学生个别或小组合作，分析问题、制定解决方案并给出答案。 3.学生展示解题过程与结果，并与其他同学讨论对比。 Step 5: 总结（15分钟） 1.教师总结本节课的重点内容，并提醒学生复习。 2.学生提问与讨论相关问题。 3.教师对学生的学习情况进行评价，并提醒下节课的知识安排。
课题：1.2 特殊的三角函数值 教学目标： 1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值得过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义； 2．能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算； 3．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小. 教学重点与难点： 重点：能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算. 难点：记住30°，45°，60°角的三角函数值. 课前准备：多媒体课件. 教学过程: 一、复习旧知，导入新课 活动内容1： 通过如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°. （1）a，b，c三者之间的关系是什么？∠A＋∠B等于多少？ （2）如何表示sin A，cos A，tan A；sin B，cos B，tan B？ (此时学生已明确正切、正弦、余弦是比值，与直角三角形的 大小无关，抓住学生的探索心理,提出特殊角的三角函数值有何特 点，揭示课题） 处理方式：此处学生讲，教师听，在听的过程中，适时引导，抓住学生的好奇心理，引出新课内，揭示课题. 设计意图：通过复习正切、正弦、余弦定义加深掌握，复习的同时也拉近与学生之间的距离.也适合学生胃口，引入新课，揭示课题. 活动内容2: 观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ 处理方式:学生很容易找到四个锐角，分别是30°， 60°，45°,45°，学生总结，内容简单. 设计意图:创设情境从学生理解的内容入手，发现三角尺中的锐角 . a
二、探究学习，感悟新知 活动内容1：通过如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，那么a ，b ，c 三者之间又有什么样的关系？ 处理方式：利用勾股定理得到a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，紧接着学生很容易联想到在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可以得到c ＝2a ， b ＝3a . 设计意图: 检测学生的预习情况，让学生寻找特殊角，与课题呼应.同时运用相关知识解决a ，b ，c 三者之间的关系，为下一步的学习埋下伏笔. 活动内容2：刚才大家能够快速地得出了相关结果,现在我们继续思考以下问题:（多媒体出示） （1）sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流 （2）cos 30°等于多少？tan 30°呢？ 处理方式：给学生2分钟思考的时间，然后找学生回答.在学生的回答的过程中，既要求学生说出结果，同时也要说明如何得到的.有学生可以说出2 1 230sin == ︒a a ，，顺着学生思路得到232330cos == ︒a a ，333 1330tan ===︒a a ，最后留两分钟时间快速记忆.用一分钟时间集体提问，活跃课堂气氛. 设计意图: 通过对sin 30°，cos 30°，tan 30°值确定，既求出了值,又能根据产生的新问题为引导学生进行下一步自学埋下铺垫. 活动内容3：接着思考：sin 60°，cos 60°，tan 60°呢？ 处理方式：接着上题的图让学生先思考，后交流，最后回答.在学生的回答的过程中，既要求学生说出结果，同时也要说明如何得到的.有学生可以说出2 3 2360sin == ︒a a ，2 1 260cos == ︒a a ，3360tan ==︒a a ，最后留两分钟时间快速记忆.再用一分钟时间，把30°，60°的三角函数值全部提问，再次活跃课堂气氛. 设计意图: 通过对sin 60°，cos 60°，tan 60°值确定，既求出了值，有增加了对概念的理解. 活动内容3：接着求45°角的三角函数值.
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》题型分类练习题（附答案）一．测量计算物体高度问题 1．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上． （1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE． （2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73） 2．两栋居民楼之间的距离CD＝30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？ （2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部？ 3．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）． （1）求灯杆CD的高度； （2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： ＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37° ≈0.75）
4．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 5．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732） 6．“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75，结果保留小数点后一位）
第一章直角三角形的边角关系 2. 30°、45°、60°角的三角函数值教学设计 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本节课教学目标如下： 知识与技能： 1．历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算 3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 过程与方法： 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。 情感态度与价值观： 1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 教学难点：三角函数值的应用 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：复习巩固、活动探究、讲解新课、知识应用、小结与拓展、作业布置。
第一环节 复习巩固 活动内容：如图所示 在 Rt △ABC 中，∠C=90°。 B （1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ， ∠A+∠B= 。 c a （2）sinA= ，cosA= ， A b C tanA= 。 sinB= ，cosB= ，tanB= 。 （3）若A=30°，则c a = 。 活动目的：复习巩固上一节课的内容 第二环节 活动探究 活动内容： [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 我们组设计的方案如下： 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°
专题1.8 三角函数的应用（知识讲解） 【学习目标】 会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC 中，△C ＝90°． （1）互余关系：sin cos A B =，0c sin(9)s n os i A A B ︒=-∠=； （2）平方关系：22sin cos 1A A +=； （3）倒数关系：tan(90)1tan A A ︒⋅-∠=或1t n an a t A B =； （4）商数关系：i t n an s cos A A A =． 要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【典型例题】 类型一、利用同角三角函数关系求值 1．计算： （1）2tan452sin30cos 30-+； （2）22tan1tan89sin 1sin 89⋅++． 举一反三： 【变式1】 2．已知△A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A 的值是多少。 【变式2】 3．如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD ∠=∠=︒．
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形． （2）当5AB =，3tan 4 ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，求BD 的长． 【变式3】 4．求值： (1)260453456cos sin tan tan +-⋅； ()2已知2tanA =，求245sinA cosA sinA cosA -+的值． 类型二、求证同角三角函数关系式 5．已知：1sin15cos15sin302⋅=，1sin20cos20sin402⋅=，1sin30cos30sin602 ⋅=，请你根据上式写出你发现的规律________． 举一反三： 【变式1】 6．已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：△sin cos 0a b c θθ+-=；△cos sin 0a b d θθ-+=（其中θ为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是： ___________ 【变式2】 7．△sin 2A+cos 2A=________，△tanA•cotA=________． 类型三、互余两角的三角函数的关系 8．在Rt△ABC 中，已知△C ＝90°，sin A ＝35 ，求cos A 、tan A 以及△B 的三个三角函数值． 举一反三： 【变式1】 9．在Rt △ABC 中，△C ＝90°，sin B ＝35 ，求cos A 的值．
第一章直角三角形的边角关系 1.5三角函数的应用教学设计 一、教学目标 1．经历应用三角函数解决实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用． 2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．发展数学应用意识和解决问题的能力. 二、教学重点及难点 重点：1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用． 2．发展学生的数学应用意识和解决问题的能力． 难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图． 三、教学用具 多媒体课件、直尺或三角板。 四、相关资源 《货轮航行》动画，《测量塔高》动画. 五、教学过程 【情境引入】
如图，海中有一个小岛A ，该岛四周10 n mile 内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20 n mile 后到达该岛的南偏西25°的C 处．之后，货轮继续向东航行． 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流． 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论解决问题的方法． 设计意图：通过实际问题引入本课激发学生学习本节课的兴趣． 【探究新知】 1．请同学们根据题意画出上面问题的示意图，并将相关数据标注在图上． 答： 2．货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？ 教师分析：根据题意，小岛四周10 n mile 内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A 的最短距离大于10 n mile ，则货轮无触礁的危险，如果小于10 n mile ，则货轮有触礁的危险．A 到BC 所在直线的最短距离为过A 作AD ⊥直线BC ，D 为垂足，即AD 的长度．我们需根据题意，计算出AD 的长度，然后与10 n mile 比较． 3．如何求AD 呢？ 解：过A 作BC 的垂线，交直线BC 于点D ，得到Rt △ABD 和Rt △ACD ， 从而BD =AD ·tan 55°，CD =AD ·tan 25°．由BD -CD =BC ，BC =20 n mile ，得 AD ·tan 55°- AD ·tan 25°=20，AD (tan 55°-tan 25°)=20， 25° 55°
教案：北师大版九年级数学15三角函数的应用 【教学目标】 1.掌握三角函数在实际问题中的应用。 2.运用三角函数解决实际问题，培养学生的数学建模能力。 3.培养学生的逻辑思维和数学分析能力。 【教学重难点】 1.理解三角函数的定义和基本性质。 2.能够运用三角函数求解实际问题。 【教学准备】 教师准备电脑、投影仪，教学PPT，学生准备课本、笔记本等。 【教学过程】 一、导入（5分钟） 1.引入教学话题：请学生思考一个问题：我们生活中有哪些与三角函数相关的实际问题？ 2.学生回答问题，教师进行总结，并激发学生的学习兴趣。 二、概念讲解（10分钟） 1.通过PPT展示，简要概括三角函数的定义和基本性质，包括正弦、余弦和正切函数的定义和周期等。 2.通过例题的讲解，加深学生对三角函数的理解。
三、应用实例分析（35分钟） 1.通过PPT展示一些实际问题，并引导学生分析问题，思考如何运用 三角函数来解决。 2.以角度测量、三角恒等变换、海伦公式等为例，引导学生运用三角 函数解决实际问题。 3.给学生提供一些实际问题，让他们自己思考如何用三角函数来解决，然后展示并讨论答案。 4.教师对学生的解答进行点评和指导，引导学生思考解题思路和方法。 四、拓展应用（20分钟） 1.引导学生思考：三角函数在哪些领域有更广泛的应用？ 2.教师通过PPT展示三角函数在工程、物理等领域的应用案例，并引 导学生进行讨论和思考。 3.教师组织小组讨论，要求学生结合实际问题，自行设计一道题目， 并用三角函数解决。 五、课堂讨论（10分钟） 1.教师组织学生就本节课所学知识进行讨论，及时解答学生的疑问。 2.教师提问学生：通过本节课的学习，你们对三角函数的应用有什么 新的认识？你们学到了什么？ 3.学生回答问题并进行交流。 【教学反思】
三角函数的应用教学设计
的应用变化规律。由于采用了形式活泼的教学手段，学生能够全身心的投入到思考问题中去，让学生亲身参加了探索发现及获取解决问题能力的全过程。最后由学生对规律进行归纳总结补充，从而发展学生数学应用意识。 3、巩固练习：在习题的配备上，我注意了学生的思维是一个循序渐进的过程，所以习题的配备由易而难，使学生在练习的过程中能够逐步的提高能力并得到发展。 4、归纳总结：归纳总结由学生完成，并且做适当的补充。最后教师对本节课进行说明。 五、教学过程： 教学环节教师活动学生活动设计意图 一、创设问题情境，引入新课 例1 如图，一船以20 n mile/h 的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行 1 h 到 达B处，再测得灯塔C在北偏东30° 方向上.已知灯塔C四周10 n mile内有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全？你是如何想的?与同伴进行交流。 1、[师]直角三角形就 像一个万花筒，为我们展 现出了一个色彩斑澜的 世界.我们在欣赏了它神 秘的“勾股”、知道了它 的边的关系后，接着又为 我们展现了在它的世界 中的边角关系，它使我们 现实生活中不可能实现 的问题，都可迎刃而解. 它在航海、工程等测量问 题中有着广泛应用，例如 测旗杆的高度、树的高 度、塔高等。 2、多媒体演示图片 和例1，并板书：船有触 礁的危险吗？ 观看多媒体 演示，了解仰 角、俯角等相 关定义并思考 问题。 课堂 引入，使 学生有一 种解决问 题的成就 感，从而 使学生积 极主动的 学习，并 且营造了 良好的学 习氛围。 二、讲授新课 1、【分析】这船继续向东 航行是否安全，取决于灯 塔C到AB航线的距离是 否大于10 n mile。2、板书例1的参考答案。两人一组，小 组讨论。 通过 探索船是 否有触礁 危险，使 学生在解 决问题的 过程中体 会三角函 数的应用 变化规 律，并能 对结果的 意义进行 说明。 做一做： 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处. 1、[师] 接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来
北师大版九年级三角函数 一．选择题 1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2 B．C．D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D． 4．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（） A．msin35°B．mcos35°C．D． 5．下列式子错误的是（） A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1 C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（） A．2 B．3 C．3D．2 7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（） A．B．4 C．8D．4 8．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 二．填空题 9．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为m（结果保留根号）．
10．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米． 11．如图，在高出海平面120m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，那么船与观测者之间的水平距离为米．（结果用根号表示） 12．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.73） 13．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为米（参考数据：tan78°12′≈4.8）． 14．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．15．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时． 16．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=． 三．解答题 17．计算：﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°． 18．（1）已知：sinα•cos60°=，求锐角α； （2）计算：．
（1998•台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（） A．32 B．1 C．13 D．23 考点：锐角三角函数的定义；三角形中位线定理． 分析：若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比． 解答：解：过B作BE∥AC交CD于E． ∵AB=BD， ∴E是CD中点， ∴AC=2BE， ∵AC⊥BC， ∴BE⊥BC，∠CBE=90°． ∴BE∥AC． ∵AB=BD， ∴AC=2BE． 又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x， ∴tanA=BCAC=3x2x=32，故选A． 点评：此题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．
（2009•益阳）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（） A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：利用所给的角的余弦值求解即可． 解答：解：∵BC=5米，∠CBA=∠α． ∴AB=BCcosα=5cosα． 故选B． 点评：此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用． （ （2008•武汉）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（） A．250m B．2503m C．50033m D．2502m 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 分析：由已知可得，∠AOB=30°，OA=500m，根据三角函数定义即可求得AB的长． 解答：解：由已知得，∠AOB=30°，OA=500m．则AB=12OA=250m．故选A． 点评：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．