高中数学第四章—三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求:
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
（3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc—cosx\arctanx
表示．
(7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α，tan α•cos α=1”．
§04。 三角函数 知识要点
1。 ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终
边重合)：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ
②终边在x 轴上的角的集合： {
k =|ββ③终边在y 轴上的角的集合：{k ⨯=|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{=|ββ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|
ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系：βα-=k
360
⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系:βα-+=
180360k
⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k
180
⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系：
90360±+=βαk
2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0。01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π
180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°
＝180
π≈0.01745（rad ）
3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211
||22
s
lr r α=
=⋅扇形
SIN \COS 三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取(异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为
y
x =
αcot ；
x
r =
αsec ;.
r ，则
r
y =
αsin ；
r
x =
αcos ；
x
y =
αtan ；
y
r =
αcsc .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦)
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM ；
正切
线: AT.
7
。 三角函数的定义域:
αα
αtan cos sin =αα
α
cot sin cos =
(3) 若 o ,则sinx 16. 几个重要结论: 高中数学第四章-三角函数 考试内容： 角的概念的推广．弧度制． 任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切． 正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考试要求： （1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算． （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义． （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α?cos α=1”． §04. 三角函数 知识要点 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： { } Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 北师大版必修四“三角函数变换”教材分析 必修四作为高中数学课程的必修模块之一，由三角函数、平面向量和三角恒等变换三章内容组成．其中，三角函数与三角恒等变换属于我国高中数学课程的传统内容，而平面向量则是从1996年开始陆续进入我国高中数学课程的（我们陕西省从2002年开始进入高一数学课程；2005年开始作为高考内容）．相对于《全日制普通高级中学数学教学大纲（2002年颁布）》版教材（下称《大纲》版教材）而言，《高中数学课程标准》版教材以《高中数学课程标准》为基础对于该模块所涉及的相当一部分内容作了新的处理，在要求上也有了一定程度的变化．下边为了便于讨论，我们分章对于教材作一分析．由于我省各地市使用的数学教材均为北师大版，所以，下边的讨论均以北师大版教材为基础，并简称其为《标准》版教材． 本章所介绍的三角恒等变换，既是解决生产实际问题的工具，又是学后继内容和高等数学的基础．三角恒等变换是实践中经常使用的工具．在力学、物理、电气工程、机械制造、图像处理，及其他科学研究和工程实践中经常会用到这些公式．三角函数恒等变形的教学内容是在三角函数的教学内容基础上的，进一步研究单角的三角函数之间以及单角的三角函数与复角的三角函数之间的关系．他包括同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式、半角公式等．经验证明通过这一部分知识等教学，对于培养学生等运算能力、推理能力和逻辑思维能力起较大作用． 一、课程标准要求 ①理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα= ②经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； ○3理解以两角差的余弦公式导出的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； ④能运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用． 二、教学目标 三角恒等变换作为三角的一个重要内容，它是代数运算的一个重要组成部分，在数学 第七节 正弦定理和余弦定理 一、基础知识 1．正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 正弦定理的常见变形 (1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝ a 2R ，sin B ＝ b 2R ，sin C ＝ c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式 (1)S △ABC ＝1 2ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1 2 ac sin B ； (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角． 三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ， 定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan α= αcot 1,商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2 α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （ Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ?? ? ??-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限） 。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ????? ?+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间?????? ++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π 时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π 均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为 [-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ? ?+ 0,2π πk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2 π )上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+ π ，0）均为其对称中心。 高中数学第四章—三角函数 考试内容： 角的概念的推广．弧度制． 任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考试要求: （1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算． （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义． （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc—cosx\arctanx 表示． (7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α，tan α•cos α=1”． §04。 三角函数 知识要点 1。 ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终 边重合)：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： { k =|ββ③终边在y 轴上的角的集合：{k ⨯=|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{=|ββ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系:βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0。01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1° ＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211 ||22 s lr r α= =⋅扇形 SIN \COS 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 三角函数练习题 1．角α的终边上有一点P （a ，a ），a ∈R 且a ≠0，则sinα值为 （ ） A ．2 2- B ．22 C ．1 D ．22或2 2- 2．函数x sin y 2=是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 3、sinαcosα＝ 8 1，且4π＜α＜2π ，则cosα－sinα的值为 （ ） A ． 2 3 B ．23 - C ．4 3 D ．4 3 - 4、函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ） A ．)48sin(4π +π-=x y B ．)48sin(4π-π=x y C ．)4 8sin( 4π -π-=x y D ．)4 8sin(4π+π=x y 5、若tan(α+β)=3, tan(α－β)=5, 则tan2α= （ ） A ． 7 4 B ．－ 74 C ．2 1 D ．－ 2 1 6、设a =sin13°+cos13°，b =sin17°+cos17°，c = 26 ，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a 三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + — （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系： α α cos sin =tan α 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： 奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ ． ()6sin cos 2π αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫ +=- ⎪⎝⎭ ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 降幂公式： 1+cos α=2 cos 22α cos 2α2 2cos 1α += 1-cos α=2 sin 22α sin 2α2 2cos 1α -= 三角函数的诱导公式（一） 一、指导思想与理论依据 数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝 试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。 二．教材分析 三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教A 版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）．本节是第一课时,教学内容为公式（二）、（三）、（四）.教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，利用对称思想发现任意角与、、终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式（二）、（三）、（四）.同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法， 为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求.为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位. 三．学情分析 本节课的授课对象是本校高一（1）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容. 四．教学目标 (1).基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式； (2).能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简； (3).创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力； (4).个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观． 五．教学重点和难点 第四章三角恒等变换 1同角三角函数的基本关系........................................................................................ - 1 - 2两角和与差的三角函数公式.................................................................................. - 11 - 3二倍角的三角函数公式.......................................................................................... - 42 - 1同角三角函数的基本关系 学习任务核心素养 1．理解同角三角函数的基本关系式sin2x ＋cos2x＝1，sin x cos x＝tan x．(重点、难点) 2．会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明．(重点、难点)1．通过对同角三角函数基本关系式的推导，培养学生逻辑推理素养． 2．通过利用三角函数基本关系式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养． 气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索．从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点． 蝴蝶效应 问题既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？ 2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公 式 考纲要求 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2 α＝1，sin αcos α＝πtan π2k αα⎛⎫ ≠ ⎪⎝⎭ ＋(k ∈Z ))． 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2 α±，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用． 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__________； (2)商数关系：__________； (3)倒数关系：__________. 2．诱导公式 总口诀为：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇”“偶”是指“k ·π 2 ±α(k ∈Z )”中k 的奇偶性；“符号”是指把任意角α看 作锐角时，原函数值的符号． 即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成__________时原函数值的 符号；π 2 ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函 数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 1．已知cos(α－π)＝－5 13 ，且α是第四象限角，则sin α ＝( )． A ．－1213 B ．1213 C ．±1213 D ．512 2．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2 x ＋1＝( )． A ．65 B ．95 C ．43 D ．53 3．已知α是第四象限角，tan α＝－5 12 ，则sin α等于( )． A ．15 B ．－15 C ．513 D ．－513 4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α ＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值 是________． 思维拓展 1．有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？ 提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 2．“符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？ 提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋ α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－α，π 2 ＋α分别是第一， 三，四，二，一，二象限的角． 一、同角三角函数关系式的应用 【例1－1】已知tan α＝14 ，则cos 2α＋sin 2 α的值为 __________． 【例1－2】已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1 5 . (1)求tan α的值； (2)把1 cos 2α－sin 2 α 用tan α表示出来，并求其值． 方法提炼1．利用sin 2α＋cos 2 α＝1可以实现角α的正弦、 余弦的互化，利用sin α cos α＝tan α⎝ ⎛⎭ ⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 可以实现角 三角函数本章复习与小结 彭泽一中谷中庆 教学目标： 1、知识与技能 （1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；（2）加深对任意角、弧度及三角函数的理解；（3）掌握三角函数的图像与性质，能利用性质进行解题；（4）掌握一定的解题方法，形成较好的能力。 2、过程与方法 三角函数是一种重要的函数，通过整理本章的各知识点以及它们之间的联系，帮助学生系统地认识本章内容，从而对本章内容有全面的认识，上升到更高一个水平；启发学生将本章内容与数学1、数学2的横向联系，形成知识的网络化。 3、情感态度与价值观 通过本节的复习，使同学们对三角函数有一个全面的认识；以辩证唯物主义的观点看待任何事，养成一种科学的态度；帮助学生树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国争光，为洋浦的开发建设贡献力量。 二、教学重、难点 重点: 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质 难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用 三、学法与教学用具 师生共同整理本章的知识结构体系，从角到角的度量，从三角函数的定义到它们之间的关系，再到三角函数的图像与性质；整理本章出现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当归类，提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通。 教学用具：投影仪、三角板 四、教学思路 【知识的初步整合】 【知识的概括与引申】 1．角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的问题，所以必须推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式在形式上变得简单，引进了弧度制，这一度量单位不仅使弧长公式、扇形面积公式得以简化，也为定义任意角的三角函数作好了准备。 2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的一种三角函数值，就能求出另一种三角函数值。 3．诱导公式的作用是：把求任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数值。 2021年新高考数学总复习：第四章《三角函数》 第4节 三角函数的图象与性质 1．(多选题)已知函数f (x )＝cos 2x －1sin 2x ，则有( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2 对称 B ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2，0对称 C ．函数f (x )的最小正周期为π2 D ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减 2．(2020·临沂市联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B ．－102 C ．2 D ．－2 3．(2019·湖南三湘名校教育联盟联考)若f (x )为偶函数，且在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1 ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－π6，π3上是增函数”的函数为( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2x －π6 5．(多选题)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－π4，π3上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值可以是( ) A.83 B ．3 C.103 D ．4 6．(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π， 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－2 C. 2 D ．2 7．函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12 的定义域为________． 8．函数f (x )＝sin 2 x ＋3cos x －34的最大值是________，此时自变 北师大版高中数学必修四知识点汇总 北师大高中数学必修四知识点 第一章三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 弧长公式：r l ||α= ；扇形面积：2||2 1 21r lr S α=== 5、三角函数: （1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ( 那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ; u 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时， u v 叫 做α的正切，记作tan α, 即tan α= u v . ②设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 6讲 正弦定理和余弦定理 课时作业 1．(2020·广东广雅中学模拟)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( ) A ．2∶3 B ．4∶3 C ．3∶1 D ．3∶2 答案 C 解析 由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B,3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，故选C. 2．(2019·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π 3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( ) A ．27 B ．7 C ．2 2 D ．2 3 答案 D 解析 由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2 －2ab cos C ＝12，故c ＝2 3. 3．(2019·兰州市实战考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2 ＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.2 4 B ．－ 24 C.34 D ．－34 答案 B 解析 由题意得，b 2 ＝ac ＝2a 2 ，所以b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 2 2a ×2a ＝－ 2 4 ，故选B. 4．(2019·广西南宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( ) A.12 B ．32 C ．1 D ．34 答案 A 第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角 函数模型的简单应用 突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 [基本知识] 1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ω>0)的图象的两种方法 [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( ) (2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π 4 个单位后所得图象的解析式是 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x ＋π4.( ) 答案：(1)× (2)× 二、填空题 1．函数y ＝1 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 x ＋π4的振幅为__________，周期为 ________，初相为________． 答案：13 4π3 π 4 2．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π 4个单位长度，再向上 平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________． 答案：y ＝1＋cos 2x 3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4，2π3 [全析考法] 考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 1．“五点法”画图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 3π2，0，(2π，1)． 2．三角函数图象的变换 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ， k 的变化引起图象的变换： 第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α ＝tan α； 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 公式一二三四五六 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α－απ－α π 2－α π 2＋α 正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限 [微点提醒] 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不 变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 基础自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin α cos α恒成立.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3， 当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.(必修4P115练习1T4改编)已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45 B.－45 C.35 D.－35 解析 由同角三角函数关系得cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－ 4 5. 答案 B 3.(必修4P23练习2T2改编)已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－3 5. 答案 A 4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝4 3，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29 D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， 4。2同角三角函数的基本关系及诱导公式 必备知识预案自诊 知识梳理 1。同角三角函数的基本关系 （1）平方关系:sin2α+cos2α=。 (2)商数关系:sinα cosα=(α≠π 2 +kπ,k∈Z)。 2.三角函数的诱导公式 公 式 一二三四五六 角2kπ+α (k∈ Z) π+α-απ-απ 2 -απ 2 +α 正 弦 sin α 余 弦 cos α 正 切 tan α 续表 公 式 一二三四五六 口诀函数名不 变,符号看 象限 函数 名改 变, 符号 看象 限 1。特殊角的三角函数值 2.同角三角函数基本关系式的常用变形 (1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π 2 +kπ,k∈Z ； (3）sin2α=sin2α sin2α+cos2α=tan2α tan2α+1 ; （4）cos 2α= cos 2αsin 2α+cos 2α = 1 tan 2α+1 。 考点自诊 1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。 （1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。 ( ） （2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα 恒成立. （ ） （3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。 ( ) (4）若cos(n π—θ）=13 (n ∈Z )，则cos θ=13 . （ ） 2。(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α -π2 =-2√55 ，α∈ π，3π2 ,则tan α=（ ） A 。2 B 。32 C.1 D.12 3。(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ） A.12 B 。-12 C 。√3 2 D.-√32 4。函数f (x )=15 sin x+π3 +cos x —π6 的最大值为（ ) A.65 B.1 C.35 D.15 关键能力学案突破 考 点 同角三角函数基本关系式的应用 【例1】（1)若tan(α-π）=12 ，则 sin 2α+1cos 2α-sin 2α = ( ) 第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用 [最新考纲] 1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数的图像,了解参数 A ,ω,φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描 述周期变化现象的重要函数模型． (对应学生用书第67页 ) 1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞ 0,x ≥0)表示一个简 谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相 A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2π ωx ＋φ φ x －φω π2 －φω π－φ ω 3 2 π－φω 2π－φ ω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋ φ) 0 A 0 －A [常用结论] 1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图像平移的规律：“左加右减,上加下减”． 2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,φ＞0)的变换：向左平移φω 个单位长度而非φ个单位长度． 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)利用图像变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的单位长度一致． ( ) (2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ( ) (3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像向右平移π2个单位得到的． ( ) (4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ,那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T 2 . ( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编 1．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x －π3的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2,4π,π 3 B ．2,14π,π 3 C ．2,14π,－π3 D ．2,4π,－π 3 C [由题意知A ＝2,f ＝1T ＝ω2π＝14π,初相为－π 3 .] 2．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像,可以将函数y ＝2sin 2x 的图像( ) A ．向右平移π 6个单位长度 B ．向右平移π 3个单位长度 C ．向左平移π 6个单位长度 D ．向左平移π 3 个单位长度 A [y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.] 3．如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ,则这段曲线的函数解析式为________．高考数学三角函数知识点总结
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