九年级北师大版数学下三角函数的计算知识点知识点
三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割;
中心记上数字1，连结顶点三角形;
向下三角平方和，倒数关系是对角，
顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，
变成锐角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，
将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，
余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，
保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用;
1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，
幂升一次角减半，升幂降次它为范;
三角函数反函数，实质就是求角度，
先求三角函数值，再判角取值范围;
利用直角三角形，形象直观好换名，
简单三角的方程，化为最简求解集
课后练习
三角函数的计算知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家以更好的学习，取得优异的成绩。
精心整理，仅供学习参考。
北师大版九年级数学 初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 知识点： 1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c （勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 除的内容还包含正割(sec)和余割(csc)两部分内容） 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、30°、45°、60 A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 解直角三角形的定义 1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 ，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。 所以,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是： 北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 例1：已知在Rt ABC △中，3 90sin 5 C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ． 34 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c = ，tan b B a =和222a b c +=；由3sin 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44 tan 33 b x B a x ===， 所以选A ． :i h l =h l α
第一章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 2 30°，45°，60°角的三角函数值 3 三角函数的计算 4 解直角三角形 5 三角函数的应用 6 利用三角函数测高 ※一. 正切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．． ： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即 斜边 的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 斜边 的邻边 A A ∠= cos ;
※余切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即 的对边 的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3 0 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当 角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系： 倒数关系：tg α·ctg α=1。
九年级三角函数知识点梳理 在九年级数学学习中，三角函数是一个重要的知识点。三角函 数是数学中研究三角形的一种函数关系，它可以帮助我们解决与 三角形相关的各种计算问题。本文将对九年级三角函数的知识点 进行梳理，以帮助同学们更好地掌握这一内容。 1. 三角函数的定义 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。正弦函数（sin）定义为对边与斜边之比，余弦函数（cos）定义为邻边与斜边之比，正切函数（tan）定义为对边与邻边之比。三角函数在单位圆上通 过一个点的坐标值的来定义，可以转化为一种几何意义上的含义。 2. 三角函数的基本性质 正弦函数、余弦函数和正切函数都有一些基本的性质。例如， 正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]，正切函数的值域是整个实 数集。这些性质对于解题时的条件和限制起着重要的作用。 3. 三角函数的图像
正弦函数、余弦函数和正切函数在坐标系中的图像是由单位圆上的点的坐标值来确定的。它们的图像具有一定的周期性和对称性。通过观察图像，我们可以更好地理解三角函数的特点，并根据图像进行简单的计算和分析。 4. 三角函数的特殊角 在三角函数的学习中，特殊角是一个重要的内容。特殊角指的是某些角的度数取值特殊，以便于计算和应用。例如，常见的特殊角有30度、45度和60度，它们对应的三角函数值可以通过几何意义和相关公式进行计算。 5. 三角函数的应用 三角函数的应用广泛存在于各个学科和实际问题中。例如，在几何中可以利用三角函数计算三角形的边长和角度，也可以在物理学中用于计算力的分解和合成等。熟练掌握三角函数的应用方法，可以使我们更好地解决实际问题。
6. 三角函数与解三角形 解三角形是三角函数应用的一个重要内容。根据给定的已知条件，可以利用三角函数关系解出未知的边长和角度。这个过程往 往需要灵活应用三角函数的定理和公式，同时也需要一定的代数 运算能力。 7. 三角函数的扩展 在九年级数学学习完成了基本的三角函数知识后，同学们可以 进一步学习和扩展三角函数的内容。例如，可以学习三角函数的 周期性、幅角和反函数等。这些内容将为后续学习以及更高层次 数学的学习打下坚实的基础。 通过对九年级三角函数知识点的梳理，我们可以清晰地了解到 它的定义、基本性质、图像、特殊角、应用、解三角形以及扩展 内容。这些知识点不仅可以帮助我们在数学课堂上更好地理解和 掌握，也对相关学科和实际问题的解决提供了一定的帮助。因此，在学习三角函数时，我们应该注重理论的学习与实际问题的应用 相结合。只有不断积累和巩固这些知识，我们才能真正掌握三角 函数，并在以后的学习和应用中发挥出它的潜力。
【文库独家】 复习《三角函数及解直角三角形》 在是三角形ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°， 锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作ｓｉｎＡ。 （２）锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦，记作ｃｏｓＡ。 （３）锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的正切，记作ｔａｎＡ。 （４）锐角Ａ的邻边与对边的比叫做∠Ａ的余切，记作ｃｏｔＡ。 锐角Ａ的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠Ａ的三角函数。 注意：（１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义； （２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的； （３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。 （１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１α为锐角，即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１； （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１α为锐角，即同一锐角的正切与余切的积为１，互为倒数； （３）商的关系：ｔａｎα＝， ｃｏｔα＝， α为锐角，即同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。注意：（１）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形， 如：︳ｓｉｎＡ︳＝１－︳ｃｏｓ²Ａ︳，︳ｃｏｓＡ︳＝１－ｓｉｎ²Ａ； （２）ｓｉｎ²α是（ｓｉｎα）²的简写，读作“ｓｉｎα”的平方；不能将ｓｉｎ²α写成ｓｉｎα²，前者是α的正弦值的平方，后者表示α²的正弦值。 特殊角有０°、３０°、４５°、６０°、９０°，它们的三角函数值如下表： 注意： 记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法： ０°、３０°、４５°、６０°、９０°的正弦值分别是 它们的余弦值分别是 ３０°、４５°、６０°的正切值分别是 它们的余切值分别是 若∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°则 ｓｉｎＡ＝ｃｏｓ（９０°－Ａ）＝ｃｏｓＢ任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值ｃｏｓＡ＝ｓｉｎ（９０°－Ａ）＝ｓｉｎＢ任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值ｔａｎＡ＝ｃｏｔ（９０°－Ａ）＝ｃｏｔＢ任意锐角的正切值等于它的余角的余切值ｃｏｔＡ＝ｔａｎ（９０°－Ａ）＝ｔａｎＢ任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必须掌握的。
九年级下 第一章直角三角形的边角关系（10课时） 目标：探索直角三角形的边角关系，发现几何直观；探索30,45,60°角的三角函数值；学会用计算器解决一些三角函数计算问题；用三角函数解决实际问题，发现应用意识。 锐角三角函数（2课时），30°、45°、60°角的三角函数值（1课时），三角函数的计算（1课时），解直角三角形（1课时），三角函数的应用（1课时），利用三角函数测高（2课时），回顾与思考（2课时）；共10课时。1、锐角三角函数 正切tanA的概念；正切的值越大，梯子越陡。正切常用来描述山坡的坡度。 正弦余弦；sinA越大，梯子越陡；cosA越小，梯子越陡。锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化。 2、30°，45°，60°角的三角函数值 3、三角函数的计算 计算器计算 4、解直角三角形 直角三角形中有6个元素：三条边和三个角。 5、三角函数的应用 求小船是否遇到风暴或者触礁，求塔高。 6、利用三角函数测高 测角仪（测倾器等）、皮尺 第二章二次函数（13课时） 目标：探索变量之间的二次函数关系，体会其中的模型思想；会画二次函数的图象，发展几何直观；探究二次函数的性质，进一步积累研究函数性质的经验；会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，进一步体会方程和函数的关系；能够用二次函数解决现实生活中的问题，发展应用意识。 二次函数（1课时），二次函数的图像与性质（4课时），确定二次函数的表达式（2课时），二次函数的应用（2课时），二次函数与一元二次方程（2课时），回顾与思考（2课时）；共13课时。 1、二次函数 一般地，若两个变量x, y之间的对应关系可以表示成y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0)的形式，则称y是x 的二次函数。 2、二次函数的图像与性质 第一课时讨论简单的二次函数y=x^2和y=-x^2的图像的画法，并引出抛物线的概念，在此基础上初步归纳出这类抛物线的性质；第2课时借着讨论形如y=ax^2，y=ax^2+c的二次函数的图像和性质；第3课时探索形如y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k的二次函数的图像和性质；第4课时利用配方法推导二次函数y=ax^2+bx+c图像的对称轴（直线x=-b/(2a)）和顶点坐标公式(-b/(2a) , (4ac-b^2)/(4a))，并解决一些问题。二次函数y=x^2的图像是一条抛物线。开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图像的最低点。 二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。 3、确定二次函数的表达式 已知顶点，再知道图像上另一点的坐标，就可以确定二次函数的表达式；已知二次函数中的一项系数，再知道图像上的两点坐标，也可以确定二次函数。由三个点也可以确定一个二次函数。 4、二次函数的应用 求面积最大值或者利润最大值。 5、二次函数与一元二次方程 二次函数的图像与x轴的交点情况（3种）：有两个交点、一个交点、没有交点。与之对应，一元二次函数的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。二次函数的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根。 第三章圆（共13课时） 目标：探索圆及其结论；认识圆的轴对称性和中心对称性；探索并认识圆心角、弧、弦之间相等的定理，探索并证明垂径定理；圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；点与圆、直线与圆的位置关系；切线的概念，以及切线与过切点的半斤之间的关系，会过圆上一点画圆的切线；探索并证明切线长定理；正多边形的概念及正多边形与圆的关系；计算圆的弧长、扇形的面积；作圆，过不在同一直线上的三点作圆，作三角形的外接圆和内切圆，作圆的内接正方形和正六边形。 圆（1课时），圆的对称性（1课时），垂径定理（1课时），圆周角和圆心角的关系（2课时），确定圆的条件（1课时），直线和圆的位置关系（2课时），切线长定理（1课时），圆内接正多边形（1课时），弧长及扇形的面积（1课时），回顾与思考（2课时）；共13课时。 1、圆 圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点组成的图形，定点就是圆心，定长就是半径。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。能够重合的两个圆叫做等圆。 点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内。 2、圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3、垂径定理
3三角函数的计算 1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程,进一步体会三角函数的意义. 2.能够运用计算器进行有关三角函数的计算. 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题. 1.借助计算器,解决含三角函数的实际问题,提高用现代工具解决实际问题的能力. 2.发现实际问题中的边角关系,提高学生有条理地思考和表达的能力. 1.通过积极参与数学活动,体会解决问题后的快乐. 2.感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值. 【重点】 1.用计算器由已知锐角求三角函数值. 2.能够用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题. 【难点】用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题. 【教师准备】多媒体课件. 【学生准备】 1.科学计算器. 2.复习三角函数的计算方法.
导入一: 同学们小的时候都玩过跷跷板吧?如图所示,跷跷板AB的一端B碰到地面时,AB与地面的夹角为15°,且OA=OB=3 m.你能求出此时另一端A离地面的高度吗? 【问题】要求A离地面的高度,实际上就是求直角三角形的直角边,所以只要求出sin B的值即可,但是15°不是特殊角怎么办呢?可以使用计算器进行解决. [设计意图]用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题,进而引出非特殊角的三角函数值,自然地引出本节课的课题. 导入二: 如图所示,已知一商场自动扶梯的长l为13 m,高度h为5 m,自动扶梯与地面所成的夹角为θ,你能求出夹角θ的度数吗? 【教师活动】要求学生注意观察夹角θ,l,h三者之间的关系,确定夹角θ的三角函数. 【学生活动】通过观察发现sin θ==,由于不是特殊角的三角函数值,尝试使用科学计算器求夹角θ的方法. [设计意图]通过对非特殊角的三角函数值的分析,让学生初步感知非特殊角的三角函数的计算方法——使用科学计算器,在引出课题的同时,又引导学生初步掌握了利用三角函数值求角度的方法. 一、用计算器计算非特殊角的三角函数值 课件出示: 如图所示,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?(结果精确到0.01 m)
第一章直角三角形的边角关系 九年级下册 第1节锐角三角函数 一、锐角三角函数 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90° 【说明】①三角函数表示的是两边的比值，所以它只是一个数值，没有单位。 ②当用一个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sin A，cos B，tan C； 当用一个希腊字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sinα，cosβ，tanθ； 当用三个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠ABC， cos∠DEF，tan∠GHI；当用一个阿拉伯数字表示角时，其三角函数中角的符号不 能省略，如sin∠1，cos∠2，tan∠3。 ③如果要表示三角函数的倍数与乘方，应分别表示为2 sin A，3cos B，4tan C，sin2A， cos3B，tan4C；2 sin30°，3cos30°，4tan30°，sin230°，cos330°，tan430°。 二、坡度 1、坡度的概念 如图所示，我们把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比值叫做坡度（或坡比），通常用字母i表示。 【说明】坡面的坡度实际上就是坡角的正切值，即i＝tanα＝h l 2、三角函数与坡面的陡峭程度 （1）tan A的值越大，坡面越陡。 （2）sin A的值越大，坡面越陡。 （3）cos A的值越小，坡面越陡。 三、锐角三角函数的增减性（0°~90°） 1、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
2、余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 3、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。 四、同角三角函数的关系 1、互余关系：sinA ＝cos(90°－A) cosA ＝sin(90°－A) 2、平方关系：s in 2A ＋cos 2A ＝1 3、弦切关系：tan A ＝ sin cos A A 4、倒数关系：tan A ·tan(90°－A)＝1 第2节 30°，45°，60°角的三角函数值 一、探索30°，45°，60°角的三角函数值 求30°角的三角函数值，关键根据“直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，可设30°的锐角的对边为a ，则斜边为2a ，由勾股定理可求得30°3a ，因此可以求出30°的锐角的各个三角函数值： sin30°＝ 2a a ＝1 2 cos30°3a 3 tan30°3a 3 3也可以求出60°的锐角的各个三角函数值： sin60°3a ＝3 cos60°＝2a a ＝1 2 tan60°3a 3求45°角的三角函数值，关键根据“有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形”，可设一条直角边为a ，则另一条直角边也为a 2a ，因此可以求出45°的锐角的各个三角函数值： sin45°2a 2 2 cos45°2a 2 tan45°＝a a ＝1 二、熟记特殊角的三角函数值
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟 北师大版初三数学三角函数的计算知识点 本文为学生介绍的是初三数学三角函数的计算，主要包括了幂级数、泰勒展开式、实用幂级数、三角函数恒等变形公式、课后习题与解析等内容，具体内容请阅读： 三角函数知识点公式定理记忆口诀三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn （n=0..∞） c0+c1（x-a）+c2（x-a）2+...+cn（x-a）n+...=∑cn（x-a）n （n=0..∞） 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,.....及a 都是常数, 这种级数称为幂级数. 泰勒展开式（幂级数展开法） f（x）=f（a）+f’（a）/1!*（x-a）+f’’（a）/2!*（x-a）2+...f（n）（a）/n!* （x-a）n+... 实用幂级数 ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+... ln（1+x）= x-x2/3+x3/3-...（-1）k-1*xk/k+... （|x|小于1） sin x = x-x3/3!+x5/5!-...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!+... （-∞） cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...（-1）k*x2k/（2k）!+... （-∞） arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/（2*4）*x5/5 + ... （|x|小于1） arccos x = π - （x + 1/2*x3/3 + 1*3/（2*4）*x5/5 + ... ）（|x|小于1）arctan x = x - x/3 + x /5 - ... （x 小于等于1） 今天的努力是为了明天的幸福
图1 九年级数学下册知识点总结 第一章 直角三角形边的关系 一．锐角三角函数 1.正切： 定义：在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．,记作tanA, 即的邻边 的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大；∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大. 2.正弦．． ： 定义：在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA,即斜边 的对边A A ∠=sin ; 3.余弦： 定义：在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA,即斜边 的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化. 二．特殊角的三角函数值 30 o 45 o 60 o 图2 h i=h: l B C
图3 图4 三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表,可以看出,1当角度在0°～90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大或减小而增大或减小；余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大.20≤sin α≤1,0≤cos α≤1. 4.坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． 或坡比．．.用字母i 表示,即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角．．．.如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°. 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角．．． .如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°,南偏东45°东南方向、南偏西为60°,北偏西60°. 7.同角的三角函数间的关系： ①互余关系sinA=cos90°－A 、cosA=sin90°－A ②平方关系： ③商数关系： 8.解直角三角形：在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二 sin α 2 1 2 2 2 3 cos α 2 3 2 2 2 1 tan α 3 3 1 3
【文库独家】 九下三角形边角关系知识点总结 、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b 2 c 2 1 2、以下列图，在 Rt △ABC 中，∠ C 为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠ A 可换成∠ B) ： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正 sin A A 的对边 sin A a 0 sin A 1 sin A cosB 弦 斜边 c ( ∠A 为锐角 ) cos A sin B 余 cos A A 的邻边 cos A b 0 cos A 1 sin 2 A cos 2 A 1 弦 斜边 c ( ∠ A 为锐角 ) 正 tan A A 的对边 tan A a tan A tan A cot B cot A tan B 切 A 的邻边 b ( ∠A 为锐角 ) 1 tan A ( 倒数 ) A 的邻边 cot A 0 cot A 余 cot A cot A b tan A cot A 1 切 A 的对边 a ( ∠A 为锐角 ) 3、随意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；随意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 B sin A cosB 由 A B 90 sin A cos(90 A) 对 cos A sin B 得 B 90 A cos A sin(90 A) 斜边 c a 边 A b C 邻边 4、随意锐角的正切值等于它的余角的余切值；随意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 tan A cot B 由 A B 90 tan A cot(90 A) cot A tan B 得 B 90 A cot A tan(90 A) 5、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特别角的三角函数值 (重要 ) 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sin 1 2 3 1 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 2 2 2 tan 0 3 1 3 不存在 3 cot 不存在 3 1 3 0 3 6 、正弦、余弦的增减性： 当 0°≤ ≤ 90°时， sin 随 的增大而增大， cos 随 的增大而减小。 7 、正切、余切的增减性： - 1 -
北师大版九年级下册数学 全册知识点梳理及重点题型巩固练习 锐角三角函数—知识讲解 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜 边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， ，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF ”；另外， 、 、 常写成 、 、 ． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0． 要点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° B C a b c
图 1 新北师大版九年级数学下册知识点总结 第一章 直角三角形边的关系 一．锐角三角函数 1。正切： 定义：在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA, 即的邻边 的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠"; ②tanA 没有单位，它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段,我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大;∠A 越大，梯子越陡,tanA 的值越大。 2.正弦．． ： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ，即斜边 的对边A A ∠=sin ; 3.余弦： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边 的邻边A A ∠=cos ； 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。 二．特殊角的三角函数值 三．三角函数的计算 1. 仰角：当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3。规律:利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1）当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大（或减小）而增大(或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小)而减小（或增大)。（2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1. 4。坡度:如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示,即A l h i tan == 5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6。方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°（东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7。同角的三角函数间的关系： 30 º 45 º 60 º sin α 2 1 2 2 2 3 cos α 23 2 2 2 1 tan α 3 3 1 3 图2 h i=h:l B C
i=h:l 北师大版九年级下册数学知识点大总结 第一章 直角三角形边的关系 一．锐角三角函数1.正切： 定义：在 R t △A B C 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正．切．，记作tanA ， 即tan A = ∠A 的对边 ; ∠A 的邻边 ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。2.正．弦．： 定义：在 R t △A B C 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即 sin A = ∠A 的对边; 斜边 3.余弦： 定义：在 R t △A B C 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 cos A = ∠A 的邻边 ; 斜边 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正 切之也随之变化。 B 二．特殊角的三角函数值 h C l A 图 2 图 1 30 º 45 º 60 º sinα 1 2 3 2 2 2
cosα 3 2 2 2 1 2 tanα 3 3 1 3 三．三角函数的计算 1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰．角． 2.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯．角． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。 4.坡度：如图 2，坡面与水平面的夹角叫做坡．角．坡．角．的．正．切．称．为．坡．度．(或坡．比．)。用字母 i 表示，即i =h = tan A l 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方．位．角．。如图 3，OA、OB、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方．向．角．。如图4，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： 第2页 图4
北师大版数学九年级下册知识点归纳总结 第一章直角三角形边的关系 一．锐角三角函数 1.正切： 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即; ①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比； ③tanA不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切； ⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 2.正弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即; 3.余弦： 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即; 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。 二．特殊角的三角函数值 三．三角函数的计算 1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角
2.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度(或坡比)。用字母i表示，即 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： ①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A) ②平方关系： ③商数关系：
锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 A 90 B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90B 90∠-︒=∠︒ =∠+∠得由B A
8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 9、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做 坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 :i h l =h l α