北师大版九年级三角函数
一．选择题
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
A．2 B．C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．
4．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）
A．msin35°B．mcos35°C．D．
5．下列式子错误的是（）
A．cos40°=sin50°B．tan15°?tan75°=1 C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（）
A．2 B．3 C．3D．2
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）
A．B．4 C．8D．4
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
二．填空题
9．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为m（结果保留根号）．
10．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米．
11．如图，在高出海平面120m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，那么船与观测者之间的水平距离为米．（结果用根号表示）
12．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）
13．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．
14．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．15．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．
16．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=．
三．解答题
17．计算：﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°．
18．（1）已知：sinα?cos60°=，求锐角α；
（2）计算：．
19．计算：．
20．如图，已知AC=4，求AB和BC的长．
21．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=31°，∠ABD=45°，BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．
22．某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB，河流两岸AC，BD互相平行，河流对岸有两棵树A和C，且A、C之间的距离是60m，他们在D处测得∠BDC=36°，前行140米后测得∠BPA=45°，请根据这些数据求出河流的宽度．
（结果精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81）
23．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：
≈1.4，≈1.7）
24．如图，利用热气球探测器测量大楼AB的高度．从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为37°，大楼底部A的俯角为60°，此时热气球P离地面的高度为120m．试求大楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
1.2 《30°, 45°, 60°角的三角函数值》导学案 华阳九年制学校：王利祥 【使用说明及学法指导】 1.先学习课本第8至9页内容，然后开始做导学案； 2.用红色笔将重难疑点勾画岀来； 3?针对预习自学及合作探究找出疑惑 点，组内外“兵教兵”，相互讨论交流，答疑解惑 【学习目标】1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【重难点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的 运算式 教学过程: 由此发现：在直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦均与 _________ 和 ____ 边有关，正切只与 ________ 边有关。 2.如图：P 是/ 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 贝U cos = ________ ， sin = _________ ，tan = __________ . （二）、设问导读（自学课本第8至9页的内容，完成下面的问题 ） 1、请阅读思考课本第 9页探究内容，会求并熟记30 °、45°、60。角的正弦值、余弦值、 正切值并填写特殊角的三角函数值表，总结记忆口诀。 0"-\^三角函数 锐角a 正弦sin a 余弦cos a 正切tan a 30° 45° 60° 2、记忆口诀: （一）温故互 查: 要求1. 认真复习旧知识 2 .课前用时 1 ?如图所示，在 Rt A ABC 中，/ C = 90° 5 sin A ― ) ，cos A -— ) 斜边 斜边 tan A ( ) ；sin B ( A 的邻边 斜边 cosB （ ） 斜边 tan B （ ） A 的邻边 3 科
九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案 一、填空题：（30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，2a=b ，则tanA=______，sinA=_______。 2．sin55°、cos36°、sin56°的大小关系是____<____<____。 3．在△ABC 中，∠C=90°，如果 31tan =A ，则cosB=_______。如果03cos 42=-A ，是∠A=______度。 4．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是_________。 5．如图6-29，某飞机于空中A 处探测得地面目标C ，此时飞行高度AC=h 米，从飞机上看到地面控制点B 的俯角为α，则飞机A 到控制点B 的距离是__________米。 6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。 7、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ 。 8、已知tan α＝ 12 5，α是锐角，则sin α＝ 。 9、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ ； 10、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东 60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）． （1） （2） （3） 1136cm ，则一底角的正切值为 . 12、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 13、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 14、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA=3 3，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______ 。 15、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子 x O A y B
第一章三角函数单元测试 一.选择题（60分） 1.将－300o 化为弧度为（） A ．－ B ．－ C ．－ D ．－ 2.如果点位于第三象限，那么角所在象限是（） Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．下列选项中叙述正确的是（） A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．锐角是第一象限的角 C ．第二象限的角比第一象限的角大 D ．终边不同的角同一三角函数值不相等 4．下列函数中为偶函数的是（） A ． B ． C ． D ． 5已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则（） . . 6．函数的单调递减区间（） 43 π ； 53π；76π；74π；)cos 2,cos (sin θθθP θsin ||y x =2sin y x =sin y x =-sin 1y x =+sin()y A x B ω?=++0,0,||2 A π ω?>> < 4=A 1ω=6 π ?= 4=B 3sin(2)6 y x π =+
A B ． C ． D ． 7．已知是三角形的一个内角,且,则这个三角形( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形 8．等于（） A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 9．若角的终边落在直线 y =2x 上，则sin 的值为（） A. B. C. D. 10．函数y=cos 2 x –3cosx+2的最小值是（） A ．2 B ．0 C ． D ．6 11．如果在第三象限，则 必定在（） A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限 C ．第三或第四象限D ．第二或第四象 12．已知函数在同一周期内，当时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数 的解析式为（） A ． B ． C ． D ． 二．填空题（20分） 13、已知角α的终边经过点P(3，)，则与α终边相同的角的集合是______ 14．、、的大小顺序是 5,12 12k k π πππ??- + ??? ?()k Z ∈511,1212k k ππππ??++???? ()k Z ∈,36k k ππππ??-+????()k Z ∈2,63k k ππππ??++???? ()k Z ∈α3 2 cos sin = +αα)2cos()2sin(21++-ππαα15±12 ±4 1 α2 α )sin(φ?+=x A y 3 π=x x y 23 sin 2=)23sin(2π+=x y )23sin(2π-=x y x y 3sin 2 1=31tan 2tan 3tan
北师大版九年级数学 初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 知识点： 1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c （勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 34
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 解直角三角形的定义 1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 222(注意：2(1)(2)1:m 3OC 、OD 的方向向角。 所以,OA 、北偏东30南偏西60 例1：已知在Rt ABC △中，3 90sin 5 C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ． 34 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c = ，tan b B a =和222a b c +=；由3s i n 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44 tan 33 b x B a x ===， 所以选A ．
例2 ：104cos30sin 60(2)2008)-??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 104cos30sin 60(2)2008)-??+-- =13412222 ??? ?+--= ???， 故填3 2． 1. A ．8米 2. 一架5A ．5sin 40° 3. 线，∠ABC 是（ ） A C ． 4. 铅直高度BC A ． 米C ．15米 D ． 5．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 2 5
三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,180 π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： x y O — + + — + y O — + + —
（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系： α α cos sin =tan α 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： 奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 降幂公式： 1+cos α=2 cos 22α cos 2α2 2cos 1α += 1-cos α=2 sin 22α sin 2α2 2cos 1α -= 8正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
107A 图2A B C 图1C B 第一章 直角三角形的三边关系1.1锐角三角函数（第一课时） 教学重点：1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比． 一．正切的定义，表示方法 问题1：(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 问题1： 如图，小明想通过测 量B 1C 1及AC 1，算出它们的比， 来说明梯子的倾斜程度；而 小亮则认为，通过测量B 2C 2 及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？ (1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ (2)1 11AC C B 和222AC C B 有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置如果改变B 2在梯子上的位置 呢？ 由此你能得出什么结论？ 结论： 在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的 的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tan gent)，记作： ，即ta n A ＝ ． 注意：1．tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”． 2．tan A 表示一个比值，没有单位。 3．tan A 不表示“tan ”乘以“A ”． 4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切． 练习： 1.判断正误：如图 (1), tan A ＝BC:AC 如图 (2), tanA ＝BC:AB 如图 (2), tanB ＝10:7
C D B A 如图 (2), tan A ＝AC:BC 2.填空: 1.tan =AC:BC tan =BC: 2.如图, ∠C=90°CD ⊥AB. tan ∠ACD= , tanB= 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝20cm ，求tan A 和tan B 的值． 思考：1. 思考：现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？ 2．∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？ 3．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1－3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？ 1．在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ） A 、扩大2倍 B 、缩小2倍 C 、扩大4倍 D 、没有变化 2．在Rt △ABC 中，∠C=90o，AC=3，AB=5，则tanB=( ) A.54 B.53 C.34 D.4 3 3.在Rt △ABC 中，∠C=90o，tanA ·tanB 的值（ ） A ．等于1 B.大于1 C.小于1 D.不确定 4.如图所示:在坡度为1:2的 山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离是5m,斜坡上相 邻两树间的坡面距离是( )米. 5. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,求tanA. 6.在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,求 tanA.
C B C B 锐角三角函数（1） 学习目标： （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦的意义，能够正确应用sinA 、表示直角三角形中两边的比； （2）通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 学习重点与难点 1．重点：正弦概念及其应用． 2．难点：理解正弦的意义，并用它来表示两边的比。 一、预习案 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 3、归纳直角三角形中存在的边角关系： 二、探究案 1.为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？
C B A 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 2.从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当 ∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于1 2 ，是一个固定值；?当 ∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 3.探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比
锐角三角函数知识点总结与复习 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 3、任意锐 角的正弦值等 于它的余 角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切的增减性：当 0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大 一、知识性专题 专题1：锐角三角函数的定义 例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin A B ．tan A ＝1 2 C ．cos B D ．tan B 例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3 5 ,则tan A 等于 ； ． 例3在Rt △ABC 中，∠C=900 ，AC=4，AB=5，则sinB 的值是 ； 直角三角形中 的边角关系 解直角三角形
例4（2012内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ； 例5R t △ABC,∠C=900 ,AB=6,cosB=23 ,则BC 的长为 ； 例6如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α= BC AC = 的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30?= ； 例7把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）A ．不变B ．缩小为原来的 1 3 C ．扩大为原来的3倍 D ．不能确定 例11. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中， E 、 F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2， BC=5，CD=3，则tanC 等于 ． 例12（2011山东日照）在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA= a b ．则下列关系式中不成立的是（ ） A ．tanA?cotA=1 B ．sinA=tanA?cosA C ．cosA=cotA?sinA D ．tan 2A+cot 2A=1 点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=B A cos sin 或sinA=tanA?cosA ．（3）正切之间的关系：tanA?tanB=1． 例13（2011?贵港）如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=2 ， 则tan ∠CAD 的值是 ． 例14如果△ABC 中，sin A =cos B = 2 ，则下列最确切的结论是（ ）A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形 A 、 3 30sin 602 sin x ??<< B 、3 cos302 x ??<< cos45 C B A 图4 D C B A 图4 22题图
三角函数数学试卷 出题人:侯雪慧 一、 选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内.) 1、 600sin 的值是( ) )(A ;21 )(B ;23 )(C ;23- )(D ; 21- 2、),3(y P 为α终边上一点， 53 cos = α，则=αtan ( ) )(A 43- )(B 34 )(C 43± )(D 34 ± 3、已知cos θ＝cos30°，则θ等于( ) A. 30° B. k ·360°＋30°(k ∈Z) C. k ·360°±30°(k ∈Z) D. k ·180°＋30°(k ∈Z) 4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限( ) 5、函数 的递增区间是 6、函数) 62sin(5π +=x y 图象的一条对称轴方程是( ) ) (A ;12π - =x )(B ;0=x ) (C ;6π = x ) (D ; 3π = x 7、函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标 压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为 8、函数|x tan |)x (f =的周期为( )
A. π2 B. π C. 2π D. 4π 9、锐角α，β满足 41sin sin - =-βα，43 cos cos = -βα，则=-)cos( βα( ) A.1611 - B.85 C.85- D.1611 10、已知tan(α＋β)=2 5，tan(α＋4π)=322, 那么tan(β－4π)的值是( ) A ．15 B ．1 4 C ．1318 D ．1322 11．sin1,cos1,tan1的大小关系是( ) A.tan1>sin1>cos1 B.tan1>cos1>sin1 C.cos1>sin1>tan1 D.sin1>cos1>tan1 12．已知函数f (x )=f (π-x ),且当)2 ,2(ππ-∈x 时，f (x )=x +sin x ,设a =f (1),b =f (2),c =f (3),则( ) A.a 1.1 （1）锐角三角函数 一、教学目标 1.经历探索直角三角形中边的比值和角人小关系的过程;理解正切三角两数的意义和与 现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能 够用正切进行简单的计算. 二、教学重点和难点 重点：1 .从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解止切、倾斜程度、坡度的数学意义，井能进行简单的计算. 难点：理解正切的盘义，并用它來表示两边的比. 三. 教学过程 （一〉情境引入： 1、用多媒体演示如下内容： 梯子是我们口常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？ （1）甲组中EF和AB哪组梯子比较陡，乙图中AB和EF哪组梯子较陡. （2）友情提示 （3）如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ （二〉探究新知 1. （1）如图：图中的三角形均为直角三角形，这些有直角三角形什么关系？ （3）若ZA 的人小改变，上面各比值关系如何? （第3题图） （第4题图） （三〉巩固训练 1.已知ZkABC 中，ZC=yo\ AC 二3, BC=4t 求 tanA 与 tanBo (2)墮、临 AC. AC 2 BG AC. 和宏什么关系 ? （4）若ZA 的人小改变, BG AC, 怎样变化？卷 鱼￡1和邑邑呢? AC. AC 4 （5）由上面的问题，你能得到什么结论? 2?在RtAABC 中，ZC 二90°,如果锐角A 确定，那么ZA 的 ___________ —的比便随之确定.这个比叫做ZA 的正切 ZA 的（ ）边 即 tanA 二 ---------------- ZA 的（ ）边 （ ） （ ） = ------ = -------- （字母表示） 3.如图：用正切符号表示卜?列角 ZA ： Z6Z : Z1： ZABD ： 4?填空:如图所示 AB tan _____ = ----- BC (tangent ),记作 tanA AE tan _____ 二 ---- BE 深圳龙文教育个性化辅导教学案 教学过程 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 5、已知一个三角函数值，求其他三角函数值。 例： 2 sin,cos,tan,cot 5 A A A A =则 6、三角形面积公式： 11 cos 22 s ah ab C ==（C为a,b边的夹角） 基本练习题 一、选择题 1. 4 sin tan 5 ααα = 若为锐角,且，则为 ( ) 9334 25543 A B C D ． ． ． ． 2．在Rt△ABC中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（） A．sinA = sinB B．cosA=sinB C．sinA=cosB D．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（） A．10 B．22 C．10或27 D．无法确定 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（） A．c = sin a A B．c = cos a A C．c = a·tanA D．c = tan a A 5、 45 cos 45 sin+的值等于（） A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=3，AC等于10，则S△ABC等于( ) A. 3 B. 300 C. 50 3 D. 15 7．当锐角α>30°时，则cosα的值是（） A．大于 1 2 B．小于 1 2 C．大于 3 2 D．小于 3 2 8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（） N M G E D C B A 三角函数复习专题 题型一：求三角函数值 例1.（直接求）(1)在△ABC 中，∠C ＝900 ，AC ＝BC ＝1，则tanA 的值是 . (2)在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是32，则AB AC 的值是 . (3)在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，若4 3 tan = A ，则sinA ＝ . 例2.(1)△ABC 中，A B ＝A C ＝3，BC ＝2，则cosB ＝ . (2)在△ABC 中，∠B ＝300 ，tanC ＝2，AB ＝2，则BC 的长是 . 例3.(1)某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的高度为（ ） A 、 βsin 100米 B 、βsin 100米 C 、β cos 100 米 D 、βcos 100米 (2)如下左图，重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、a 3450元 B 、a 3225元 C 、a 3150元 D 、a 3300元 变式1.如右图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为 米(结果用含α的三角函数表示). 例4.（转化求）如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重 合，折痕为MN ，若1 tan 3 AEN ∠=，DC+CE=10．（1）求△ANE 的面积； （2）求sin ENB ∠的值． 120 选择第4题图 30m 20m B 45°30° C B P 题型二：三角函数计算 例1.计算： （1 ) 013tan30--?； (2)0 00045tan 60cos 30tan 30sin ?++； 例2.△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2 =-+-A B ，试确定△ABC 的形状。 例3.(1)若α为锐角，化简αα2 sin sin 21+-＝ 。 cos351?-= 题型三：三角函数应用 例1.如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A —C —B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC=20km ，∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（参考数据：7.13, 4.12≈≈） 例2.如图，李明在南北方向的一条笔直的公路上观察建筑物P ，他于A 处测得∠PAC=30°，前进100米到达B 处测得∠PBC=45°，你能算出建筑物P 到公路的距离PC 的长吗？ 九年级数学《锐角三角函数》单元测试题 及答案 令狐文艳 一、填空题：（30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，2a=b ，则tanA=______， sinA=_______。 2．sin55°、cos36°、sin56°的大小关系是 ____<____<____。 3．在△ABC 中，∠C=90°，如果 31tan =A ，则cosB=_______。如果03cos 42=-A ，是∠A=______度。 4．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切 值是_________。 5．如图6-29，某飞机于空中A 处探测得地面目标C ，此时飞 行高度AC=h 米，从飞机上看到地面控制点B 的俯角为α，则 飞机A 到控制点B 的距离是__________米。 6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝， sinB ＝，tanB ＝。 7、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝。 8、已知tan α＝125，α是锐角，则sin α＝。 9、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－ α)tan(60°＋α)＝； 10、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单 位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向 上，则原来A 的坐标为.（结果保留根号）． （1） （2） （3） 11、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ， 则一底角的正切值为. 12、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面米高。 13、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 14、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA= 33，AB ＝8cm ，则 x O A y B 北师大版九年级三角函数 一．选择题 1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2 B．C．D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D． 4．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（） A．msin35°B．mcos35°C．D． 5．下列式子错误的是（） A．cos40°=sin50°B．tan15°?tan75°=1 C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（） A．2 B．3 C．3D．2 7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（） A．B．4 C．8D．4 8．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 二．填空题 9．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为m（结果保留根号）． 10．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米． 11．如图，在高出海平面120m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，那么船与观测者之间的水平距离为米．（结果用根号表示） 12．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.73） 13．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为米（参考数据：tan78°12′≈4.8）． 14．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．15．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时． 16．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=． 三．解答题 17．计算：﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°． 18．（1）已知：sinα?cos60°=，求锐角α； （2）计算：． 北师大版九年级数学下第一章1 锐角三角函数 1.2正弦和余弦练习题（含答案） 一、选择题 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式成立的是( ) A ．sinA ＝AC AB B ．sinA ＝ BC AB C ．sinA ＝AC BC D ．sinA ＝BC AC 2．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于链接听P2例1归纳总结( ) 图1 A.35 B.45 C.34 D.43 3．如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝2 3 ，则BC 的长为( ) 图2 A ．4 B ．2 5 C.181313 D.121313 4．如图3，A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是( ) 图3 A.CD AC B.BC AB C.BD BC D.AD AC 5．如图4，梯子与地面的夹角为∠α，则下列关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的叙述正确的是( ) 图4 A ．sinα的值越小，梯子越陡 B ．cosα的值越小，梯子越陡 C ．tanα的值越小，梯子越陡 D ．梯子的倾斜程度与∠α的三角函数值无关 6．如图5，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( ) 图5 A.43 B.34 C.35 D.45 7．如果等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦值是( ) A.513 B.1213 C.1013 D.512 二、填空题 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则cosB ＝________． 9．如图6，点A(t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，sinα＝2 3 ，则t 的值为________． 图6 10．在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝1 2 ，则sinB ＝________. 11．已知正方形ABCD 的边长为2，P 是直线CD 上的一点．若DP ＝1，则sin ∠BPC 的值是____________． 12．如图7，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC ＝2 3 ，那么线段 10 图2C 图1第一章 直角三角形的三边关系1.1锐角三角函数（第一课时） 教学重点：1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比． 问题1：(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 问题1： 如图，小明想通过测 量B 1C 1及AC 1，算出它们的比， 来说明梯子的倾斜程度；而 小亮则认为，通过测量B 2C 2 及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？ (1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ (2)111AC C B 和2 22AC C B 有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置如果改变B 2在梯子上的位置 呢？ 由此你能得出什么结论？ 结论： 在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的 的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tan gent)，记作： ，即ta n A ＝ ． 注意：1．tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”． 2．tan A 表示一个比值，没有单位。 3．tan A 不表示“tan ”乘以“A ”． 4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切． 练习： 1.判断正误：如图 (1), tan A ＝BC:AC 如图 (2), tanA ＝BC:AB 如图 (2), tanB ＝10:7 如图 (2), tan A ＝AC:BC 2.填空: 1.tan =AC:BC tan =BC: 2.如图, ∠C=90°CD ⊥AB. tan ∠ACD= , tanB= 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝20cm ，求tan A 和tan B 的值． 思考：1. 思考：现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？ 2．∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？ 3．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1－3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？ 1．在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ） A 、扩大2倍 B 、缩小2倍 C 、扩大4倍 D 、没有变化 2．在Rt △ABC 中，∠C=90o，AC=3，AB=5，则tanB=( ) A.54 B.53 C.34 D.4 3 3.在Rt △ABC 中，∠C=90o，tanA ·tanB 的值（ ） A ．等于1 B.大于1 C.小于1 D.不确定 4.如图所示:在坡度为1:2的 山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离是5m,斜坡上相 邻两树间的坡面距离是( )米. 5. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,求tanA. 6.在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,求 tanA. （1998?台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（） A．32 B．1 C．13 D．23 考点：锐角三角函数的定义；三角形中位线定理． 分析：若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比． 解答：解：过B作BE∥AC交CD于E． ∵AB=BD， ∴E是CD中点， ∴AC=2BE， ∵AC⊥BC， ∴BE⊥BC，∠CBE=90°． ∴BE∥AC． ∵AB=BD， ∴AC=2BE． 又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x， ∴tanA=BCAC=3x2x=32，故选A． 点评：此题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算． （2009?益阳）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（） A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：利用所给的角的余弦值求解即可． 解答：解：∵BC=5米，∠CBA=∠α． ∴AB=BCcosα=5cosα． 故选B． 点评：此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用． （ （2008?武汉）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（） A．250m B．2503m C．50033m D．2502m 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 分析：由已知可得，∠AOB=30°，OA=500m，根据三角函数定义即可求得AB的长． 解答：解：由已知得，∠AOB=30°，OA=500m．则AB=12OA=250m．故选A． 点评：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图像与性质试题 理 北 师大版 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2， －1)，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，(π 2，0)，(π，－1)， ( 3π 2 ，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图像 定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π 2 ＋ k π，k ∈Z } 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－π2＋2k π，π2 ＋ 2k π](k ∈Z )上是增加的； 在[π2＋2k π，3π 2＋ 2k π](k ∈Z )上是减少的 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上是增加 的； 在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上是减少的 在(－π2＋k π，π 2 ＋ k π)(k ∈Z )上是增加 的 最值 当x ＝π2 ＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； 当x ＝－π 2 ＋2k π(k ∈Z )当x ＝2k π(k ∈Z )时， y max ＝1； 当x ＝π＋2k π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π 2 ＋k π，0) (k ∈Z ) (k π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π2 ＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z ) 周期 2π 2π π 【知识拓展】 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4 个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π 2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × ) (2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x > 22，则x >π 4 .( × ) 1．函数f (x )＝cos(2x －π 6)的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π北师大版初三数学下册《锐角三角函数》(20210204020921)
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