解得0≤x <π2
.
故函数的定义域为⎣⎡⎭
⎫0，π2. 8．已知角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值． [解析] ∵点P 的坐标是(4t ，－3t )，且t ≠0， ∴r ＝OP ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.
当t >0时，α是第四象限的角，r ＝OP ＝5t . ∴sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝4
5，
tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3
4
；
当t <0时，α是第二象限的角， r ＝OP ＝－5t .
∴sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，
tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3
4.
9．已知：cos α<0，tan α<0. (1)求角α的集合；
(2)求角α
2的终边所在的象限；
(3)试判断sin α2、cos α2、tan α
2
的符号．
[解析] (1)∵cos α<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x 轴的非正半轴上． ∵tan α<0，∴角α的终边可能位于第二或第四象限．∴角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z .
(2)∵π2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )，∴π4＋k π<α2<π
2＋k π(k ∈Z )．
当k ＝2n (k ∈Z )时，π4＋2n π<α2<π2＋2n π(n ∈Z )，∴α
2是第一象限角；
当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，
5π4＋2n π<α2<3π2＋2n π(n ∈Z )，∴α
2
是第三象限角． (3)由(2)可知，当α2是第一象限角时，sin α2>0，cos α2>0，tan α
2>0；
当α2是第三象限角时，sin α2<0，cos α2<0，tan α
2
>0.
备选题目：
1.（2015福建卷）．若
135
-sin =α，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）
A ．125
B ．125-
C ．512
D ．5
12-
答案：D
2.（2015年1月·延庆期末·4．若角α的终边经过点)4,3(-P ，则tan =α A ．
5
4 B ．5
3-
C ．3
4-
D. 4
3-
答案：C
3.（2015年1月·昌平期末·2）已知角α
的终边经过点(P -，则cos α=
（A
）2 （B
）2- （C ）12
（D ）12- 答案：D
4.（2015年1月·西城期末·12．已知α是第二象限的角，且5
sin 13
α=
，则cos =α． 答案：12
13-
5.（2015年1月·顺义期末·9．已知角α的终边经过点()3,4P ，则sin α的值为____
4
5
___. 答案：
45 6.（2015年1月·石景山期末·11
．若cos α=
α的终边过点(,2)P x ，则x = . 答案
:
7.（2015年1月·石景山期末·12．sin α=3cos α，则tan α＝ .
答案:3
8.（2015年1月·房山期末·12）若角α的终边经过点(2,1)P ，则tan =α ，
π
tan()4
+=α
答案:1
2
；3
9.（2015年1月·丰台期末·12．已知点3(,)5
P m -为角α的终边与单位圆的交点，则=αcos ；
答案:35-
10.（2015年1月·丰台期末·18）（本小题满分9分） 已知θ为锐角
（Ⅰ）若tan 2θ=，求sin cos sin cos θθ
θθ+-的值；
解：（Ⅰ）
sin cos tan 121
3sin cos tan 121
θθθθθθ+++===--- ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄４分
11..（2015年1月·昌平期末·18）(本小题共14分)
在平面直角坐标系xOy 中，角,(0)2
π
αβαβπ<<
<<的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的
正半轴重合，终边分别与单位圆交于,A B 两点，,A B 两点的横坐标分别为54,135
-. （I ）写出cos ,cos αβ的值；（只需写出结果） （II ）求tan β的值；
解:（Ⅰ）5cos 13α=；4
cos 5
β=-.
（Ⅱ）因为4cos 5β=-，2πβπ<<， 所以3
sin 5
β=. ……………………4分
所以3
sin 3
5tan 4cos 4
5
βββ===--. ……………………6分
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三角函数y=Asin(ωx+φ)+b图像与性质 高一下学期数学 北师大版必修4
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的图像 知识点一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的图像 【问题导思】 1．对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝1 2sin x 的函数值有何关系？ 2．由y ＝sin x 的图像能得到y ＝sin(x ＋π 4)的图像吗？ 3．三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？ 1．参数A 、φ、ω、b 的作用 (1)左右平移(相位变换)：对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y ＝sin x 的 图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的． (2)上下平移：对于函数y ＝sin x ＋b 的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点向上(当b ＞0时)或向下 (当b ＜0时)平行移动|b |个单位长度得到的． 3．伸缩变换 (1)振幅变换：对于函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)的图像可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的． (2)周期变换：对于函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1 ω倍(纵坐标不变)而得到 的． 补充：奇偶性：当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数；当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是偶函数 函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤
必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)
任意角的三角函数(一) [学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等． 知识点一 三角函数的概念 1．利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？ 答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 思考三角函数在各象限的符号由什么决定？ 答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定． 知识点三诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z. 题型一三角函数定义的应用 例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝ 10 10 x，求sin θ，tan θ. 解由题意知r＝|OP|＝x2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝ x x2＋9 . 又∵cos θ＝ 10 10 x，∴ x x2＋9 ＝ 10 10 x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1,3)， 此时sin θ＝ 3 12＋32 ＝ 310 10 ，tan θ＝ 3 1 ＝3. 当x＝－1时，P(－1,3)，
高考一轮复习专题三角函数(全)
高考一轮复习专题——三角函数 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数 基础梳理 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制 ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零， |α|＝l r ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值l r 与所取的r 的大小无关， 仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ， 扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1 2|α|r 2. 2．任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α
＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线 有向线段MP 为正弦线 有向线段OM 为余弦线 有向线段AT 为正切线 一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集 合??????∈+=Z k k ,2ππ ββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为 ??????∈=Z k k ,2π ββ. 两个技巧 (1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意 (1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角． (2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 双基自测
高一数学必修4三角函数的定义讲义
三角函数的定义 知识梳理 1、任意角三角函数的定义 (1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 2、三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数． 3、三角函数的定义域 4、三角函数值的符号 5、终边相同的角的同一三角函数的值 (1)终边相同的角的同一三角函数的值相等． (2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z . 例题精讲 题型一、三角函数的定义及应用 例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin
北师大版高数必修四第2讲：任意角的三角函数
任意角的三角函数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r += 1.三角函数定义： 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2 2 22(||||0)r r x y x y =+=+>，那么 （1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值 x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的 大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； （2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2 k k Z π απ= +∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，
【同步练习】必修四 1.2.1 任意角的三角函数-高一数学人教版(必修4)(解析版)
第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 一、选择题 1．已知sin α+cos α=–1 5 ，α∈（0，π），则tan α的值为 A ．–43或–34 B ．–43 C ．– 34 D ． 34 【答案】C 【解析】∵sin α+cos α=–15，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin 2α+cos 2α=1，∴sin α=35，cos α=–4 5，则 tan α= sin cos αα =–3 4，故选C ． 2．若点5π 5πsin cos 66?? ?? ?，在角α的终边上，则sin α的值为 A ．1 2 - B ． 12 C ．3 D 3 【答案】C 【解析】因为点5π 5πsin cos 66?? ???，在角α的终边上，即点132?- ?? ，在角α的终边上，则3sin α=，故选C ． 3．若角α的终边过点P （3，–4），则cos α等于 A ．3 5 B ．34 - C ．45 - D ． 45 【答案】A 【解析】∵角α的终边过点P （3，–4），∴r =5，∴cos α=3 5 ，故选A ． 4．如果角θ的终边经过点（3，–4），那么sin θ的值是 A ．3 5 B ．35 - C ． 45 D ．45 - 【答案】D 【解析】∵角θ的终边经过点（3，–4），∴x =3，y =–4，r 22x y +，∴sin θ= y r =–4 5，故选D ．
5．若sinαtanα<0，且cos tan α α <0，则角α是 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 【答案】C 【解析】∵sinαtanα<0，可知α是第二或第三象限角，又cos tan α α <0，可知α是第三或第四象限角．∴角α 是第三象限角．故选C． 6．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–4 5 ，则x的值为 A．5 B．–5 C．4 D．–4 【答案】D 【解析】∵P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–4 5 ，∴cosθ= 29 x+ =– 4 5 ，∴x=–4．故选D． 7．若点P（sinα，tanα）在第三象限，则角α是 A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角 【答案】D 【解析】∵点P（sinα，tanα）在第三象限，∴sinα<0，tanα<0．∴角α是第四象限角．故选D．8．如果角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），则sinα的值等于 A．1 2 B．– 1 2 C．– 3 D．– 3 【答案】B 【解析】角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），即（31 - ，），由任意角的三角函数的定义可知： sinα= ()() 221 2 31=- +- ．故选B． 9．若角120°的终边上有一点（–4，a），则a的值是 A．43B．43 -C．43 ±D．3 10．已知 4 sin 5 α=，并且P（–1，m）是α终边上一点，那么tanα的值等于
高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数例题与探究 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试
高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数例题与探究 苏 教版必修4 典题精讲 例1 已知sinα=t 且|t|<1,求角α的余弦值和正切值. 思路分析:利用三角函数基本关系式,分类讨论求解，即要考虑到α所在象限，以及要求的三角函数值的正负情况. 解:∵sinα=t 且|t|<1,∴角α可能为四个象限的角和x 轴上的轴线角. (1)当α为第一、四象限或x 轴正半轴上的角时, 有cosα=221sin 1t -=-α,tanα=ααcos sin =21t t -. (2)当α为第二、三象限或x 轴负半轴上的角时, 有cosα=221sin 1t --=--α, tanα=ααcos sin =-21t t -. 绿色通道:若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论. 变式训练 1 (2006某某高考卷，文13) 已知sinα=552，2 π≤α≤π，则tanα等于______. 思路解析:由sinα= 552，2 π≤α≤π⇒cosα=55-,所以tanα=-2. 答案:-2 变式训练 2 sin2α>0且cosα<0,试确定α所在的象限. 思路分析:由sin2α>0得出α的X 围,再由cosα<0得出α的X 围,两者取交集即可. 解:∵sin2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z ).
∴kπ<α必修4第一章任意角的概念与弧度制,三角函数定义
角的概念的推广 一、考点突破 1. 掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同 的角”的含义； 2. 掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 3. 体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 二、重难点提示 重点：掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 难点：终边相同的角、第几象限角的表示。 1. 角的概念的推广： 一条射线由原来位置OA,绕着它的端点O 点，可以向两个方向旋转：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转时，也看作一个角，叫零角。这样就形成了任意大小的角。 2. 记法与运算： （1）记法： 射线OA 绕O 点旋转到OB 所成的角记作∠AOB ； 射线OB 绕O 点旋转到OA 所成的角记作∠BOA ； （2）运算：各角和的旋转量等于各角旋转量的和： 射线OA 绕点O 旋转到OB ，又从OB 旋转到OC ，得到∠AOC ，这个过程可表示成角的运算：∠AOC=∠AOB+∠BOC 。 3. 终边相同的角： 与α终边相同的角的集合：},360|{Z k k ∈??+=αββ。 4. 象限角： 角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正半轴重合，此时终边在第几象限，则称这个角是第几象限角。 例题1 射线OA 绕点A 顺时针旋转80°到OB ，再逆时针旋转300°到OC ，再顺时
针旋转100°到OD 位置，求AOD ∠的大小。 思路分析：利用正负角的概念结合角的运算求解。 答案：解：AOD ∠=AOB ∠+BOC ∠+COD ∠=?=?-+?+?-120)100(300)80(。 例题2 在ο0～ο 360之间,找出下列终边相同的角,并判定它们是第几象限角: （1）?-150；（2）?650；（3）'?-15950。 思路分析：把负角逆时针旋转一周或者几周，即可得到ο0～ο360之间的角，把超过ο360 的角顺时针旋转一周或者几周，即可得到ο0～ο360之间的角。 答案：（1）?=?+?-210360150，第三象限角； （2）?=?-?290360650，第四象限角； （3）95015360312945-?'+??=?'，第二象限角。 例题3 写出终边在下列位置上的角的集合。 （1）在坐标轴上； （2）在第三象限； （3）在第一和三象限； （4）在y 轴左方。 思路分析：（1）利用旋转的方法，选择0°开始，旋转k 个90°，即得坐标轴上的所有角；对于（2）（3）（4）表示某一区域内的角，可以选择这一区域边界上的一条射线或直线逆时针旋转到另一边界，然后将终边在两边界上的角的集合用不等式连接起来即可。 答案： （1）{} 90,k k Z αα=?∈o ； （2）{}180********,k k k Z αα-+?<<-+?∈o o o o ； （3）{}18090180,k k k Z αα?<<+?∈o o o ； （4）{}90360270360,k k k Z αα+?<<+?∈o o o o 。 【综合拓展】 当α是第一象限角时，请在坐标系内画出 3 α 所在的位置。 思路分析：根据α是第几象限角，表示出α的范围，进而求出3 α 的范围，再根据范围判断是第几象限角。 答案：以α是第一象限角为例：
高考数学总复习 第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式教案 理 北师大版
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公 式 考纲要求 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2 α＝1，sin αcos α＝πtan π2k αα⎛⎫ ≠ ⎪⎝⎭ ＋(k ∈Z ))． 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2 α±，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用． 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__________； (2)商数关系：__________； (3)倒数关系：__________. 2．诱导公式 总口诀为：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇”“偶”是指“k ·π 2 ±α(k ∈Z )”中k 的奇偶性；“符号”是指把任意角α看 作锐角时，原函数值的符号． 即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成__________时原函数值的 符号；π 2 ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函 数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 1．已知cos(α－π)＝－5 13 ，且α是第四象限角，则sin α ＝( )．
A ．－1213 B ．1213 C ．±1213 D ．512 2．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2 x ＋1＝( )． A ．65 B ．95 C ．43 D ．53 3．已知α是第四象限角，tan α＝－5 12 ，则sin α等于( )． A ．15 B ．－15 C ．513 D ．－513 4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α ＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值 是________． 思维拓展 1．有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？ 提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 2．“符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？ 提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋ α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－α，π 2 ＋α分别是第一， 三，四，二，一，二象限的角． 一、同角三角函数关系式的应用 【例1－1】已知tan α＝14 ，则cos 2α＋sin 2 α的值为 __________． 【例1－2】已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1 5 . (1)求tan α的值； (2)把1 cos 2α－sin 2 α 用tan α表示出来，并求其值． 方法提炼1．利用sin 2α＋cos 2 α＝1可以实现角α的正弦、 余弦的互化，利用sin α cos α＝tan α⎝ ⎛⎭ ⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 可以实现角
高一数学 必修4示范教案：第一章第二节任意角的三角函数(第三课时) Word版含解析
第一章第二节任意角的三角函数第三课时 教学过程 导入新课 先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值： (1)sin 290°＋cos 290°；(2)sin 230°＋cos 230°；(3)sin60°cos60°；(4)sin135°cos135° . 推进新课 新知探究 提出问题 ①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角？若不能，角α应受什么影响？ 如图1，以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，而且OP ＝1. 图1 由勾股定理有OM 2＋MP 2＝1. 因此x 2＋y 2＝1，即sin 2α＋cos 2α＝1(等式1)． 显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立． 根据三角函数的定义，当α≠k π＋π2 ，k ∈Z 时，有 sin αcos α ＝tan α(等式2)． 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． ②对于同一个角的正弦、余弦、正切，至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值． 活动：问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系，然后教师点拨学生思考这两个公式的用处．同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件，及使等式分别有意义的角的取值范围． 问题②可让学生展开讨论，点拨学生从方程的角度进行探究，对思考正确的学生给予鼓励，对没有思路的学生教师点拨其思考的方法，最后得出结论“知一求二”． 讨论结果：①在上述两个等式中，不是所有的角都可以是任意角，在第一个等式中，α 可以是任意角，在第二个等式中α≠k π＋π2 ，k ∈Z . ②在上述两个等式中，只要知道其中任意一个，就可以求出其余的两个．知道正弦(余弦)，就可以先求出余弦(正弦)，用等式1；进而用等式2求出正切． 应用示例 思路1 例1已知sin α＝45 ，并且α是第二象限的角，求cos α，tan α的值． 活动：同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握，先让学生接触比较简单的应用问题，明确和正确地应用同角三角函数关系．可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α＋cos 2α＝1，故cos α的值最容易求得，在求cos α时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在的象限确定cos α的符号，在此基础上教师指导学生独立地完成此题． 解：因为sin 2α＋cos 2α＝1，
高数三角函数知识
三角函数基础知识 （划红线内容重点学习，其余部分建议学习） 1、任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义：角α的终边上任意一点p的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是 (2)三角函数值的符号 正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的．余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的． 正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数来记，即“一全、二正弦，三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同) 2．同角三角函数的基本关系式 (1)倒数关系：sinαcsc=1 cosαsecα= tgαctgα=1 (3)平方关系：sin2α+cos2α=1 1+tg2α=sec2α 1+ctg2α=csc2α 3．诱导公式
(1) k²360°+α(k∈Z)，-α，180°±a，360°-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号，即 sin(k²360°+α)＝sinα，cos(k²360°+α)=cosα tg(k²360°+α)=tgα，ctg(k²360°+α)=ctgα(k∈Z) sin(-α)=-sinα，cos(-α)＝cosα tg(-α)=-tgα，ctg(-α)=-tgα sin(180°+α)=-sinα， cos(180°+α)=-cosα tg(180°+α)=tgα， ctg(180°+α)=ctgα sin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosα tg(180°-α)=-tgα，ctg(180°-α)=-ctgα sin(360°-α)=-sinα，cos(360°-α)=cosα tg(360°-α)=-tgα，ctg(360°-α)=-ctgα (2) 90°±α， 270°±α的三角函数值等于a的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，例如sin(90°+α)=cosα， tg(270°+α)=-ctgα 综上，诱导公式可概括为k²90°±α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k为偶数时)或余名(k为奇数时)的函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简称之为“奇余偶不变，符号看象限”． 4．三角函数的图象和性质 (1)三角函数线 以原点为圆心，以单位长为半径的圆叫做单位圆，如图2—3，设角α的终边与单位圆的交点为p ，过p作PM垂直于x轴，垂足为M，A(1，0)、B(0，1)，过A、B点作单位的切
高中数学 第1章 三角函数 1 周期现象 2 角的概念的推广(教师用书)教案 北师大版必修4-北师大
§1周期现象 §2角的概念的推广 学习目标核心素养 1.了解现实生活中的周期现象． 2．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点) 3．掌握终边相同角的含义及其表示．(难点) 4．会用集合表示象限角．(易错点)1.通过学习周期现象、任意角的概念，象限角的概念，培养数学抽象素养． 2．通过终边相同的角的表示及象限角的表示，培养数学运算素养． 1．周期现象 (1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象． (2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，假设出现，那么为周期现象；否那么，不是周期现象． 思考1：“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．〞这样的现象，具有怎样的特征？ [提示]周而复始，重复出现． 2．角的概念 (1)角的有关概念 (2)角的概念的推广 类型定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角
负角按顺时针方向旋转形成的角 一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与 零角 起始位置OA重合，我们称这样的角为零度角，又称零角 思考2：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？ [提示]不一定，假设角的终边未作旋转，那么这个角是零角．假设角的终边作了旋转，那么这个角就不是零角． 3．象限角的概念 (1)前提条件 ①角的顶点与原点重合． ②角的始边与x轴的非负半轴重合． (2)结论 角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． (3)终边相同的角及其表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k ∈Z}． 如下图： 注意以下几点： ①k是整数，这个条件不能漏掉． ②α是任意角． ③k·360°与α之间用“＋〞号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z). ④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 思考3：假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
2020-2021学年高一数学北师大版必修4第三章3.1同角三角函数的基本关系(第2课时) 教案
§1.2 同角三角函数的基本关系（第2课时） 【教学目标】 ⒈能熟练选取同角三角函数的两种关系的不同变形进行三角函数的化简求值与证明； ⒉在解决三角函数化简求值及证明的过程中，提升学生对数学式子的恒等变形能力，树立转化与化归的思想； ⒊培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感，培养学生学习数学的兴趣和信心。 【教材分析】本节课是《同角三角函数的基本关系》第2课时，重点在于两个基本关系式的变形运用，体现在化简、求值和证明三种题型上，教材上的例5、例6旨在化简求值，例7旨在恒等式证明，针对性强，但对ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二的问题，只在课后习题和作业中体现，为了加强对学生的指导，特设置了例1。 【教学重点】熟练应用同角三角函数的两种关系进行化简求值与证明 【教学难点】关系式在解题中的灵活选取，及应用同角三角函数的两种关系对数学式子进行变形、转化 【教学方法与手段】教师启发引导，学生合作探究，突出学生在解题教学中的主体作用 【教学过程】 一、 知识检查 利用 和 填空： ⒈α2sin = ，α2sin = ，1= . ⒉⋅=ααtan sin ( ) ⒊()=+2cos sin αα ； ()=-2 cos sin αα . 设计目的：检查公式，灵活变形 二、 例题探究 例1 已知α是第二象限角，5 1cos sin =+αα，求下列各式的值： 1cos sin 22=+αααααcos sin tan =
⑴ααcos sin ⋅ ⑵ααcos sin - 设计目的：ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二，整体代换 解：⑴由51cos sin =+αα得()25 1cos sin 2=+αα 25 1cos cos sin 2sin 22=++αααα 125 1cos sin 2-=αα 25 12cos sin -=αα ⑵()()ααααααcos sin 4cos sin cos sin 22-+=- = )25 12(4251-⨯- =2549 ∵α是第二象限角 ∴0sin >α，0cos <α ∴0cos sin >-αα ∴5 7cos sin =-αα 例2 化简02620cos 1- 设计目的：综合运用诱导公式及 进行化简 解：原式=0620sin =()0000080sin 80sin 100sin 100720sin ===- 例3 化简θθθθ cos cos 1sin 1sin 22-+- 设计目的：化简时渗透分类讨论的意识 解：原式=θ θθθcos sin cos sin + 1cos sin 22=+αα
必修四第一章任意角的三角函数
任意角的三角函数 知识点： 一．任意角的三角函数的定义 锐角三角函数的定义： AB BC A ==斜边 对边sin ， AB AC A = =斜边邻边cos ， AC BC A = = 邻边对边tan . sin y r α= , cos x r α= , tan y x α= . ααπsin )2sin(=+k ，ααsin )360sin(=+︒⋅k ； ααπcos )2cos(=+k ，ααcos )360cos(=+︒⋅k ； ααπtan )2tan(=+k ，ααtan )360tan(=+︒⋅k . 例题：求下列各三角函数值： (1)49sin π； (2))330cos(︒-； (3))3 23tan(π-. 例题：（2010•山东模拟）已知角α的终边经过点（-3，4），则tan α=（ ） A. - 43 B. 43 C. -34 D. 3 4 变式：（2005•温州一模）已知角θ的终边过点（4，-3），则co s θ=（ ） A. 54 B. -54 C. 53 D. -5 3 例题：（2013•乐山一模）已知锐角θ的终边上有一点P （sin10°，1+sin80°），则锐角 θ=（ ） A ．85° B ．65° C ．10° D ．5° 变式：（2012•长春模拟）已知锐角α的终边上一点P （1+sin50°，cos50°），则锐角α=（ ） A ．80° B ．70° C ．20° D ．10°
例题：（2012•泸州一模）已知角α的终边过点P （2，-3），则tan α的值为（ ） A. 23 B. 23- C. -32 D. 3 2 变式：（2011•厦门模拟）已知α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点( 53,54 )，则cos α的值为（ ） A. 54 B. -54 C. -43 D. -5 3 二．三角函数线 ① 定义有向线段：直线规定方向→轴；线段规定方向→有向线段； ② 讨论有向线段表示：与轴正向同为正，否则为负. ③ 练习：如图，AB ＝ BA ＝ OC ＝ CD ＝ DC ＝ ④ 画出下列角度与单位圆的交点P ，并作x 轴的垂线PM ，写出PM 、OM 的值，并与正弦、余弦值比较： 120°、240° ⑤ 定义正余弦线：设角α的终边与单位圆交点P (x ，y ),过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP 为正弦线，OM 为余弦线. ⑥ 练习：画出各象限终边角的正弦线、余弦线，并分析符号. ⑦ 定义正切线：过点A (1,0)作单位圆的切线，与终边或延长线交于T ，则有向线段AT 叫角α的正切线. ⑧ 练习：画出各象限终边角的正切线，并分析符号. 2. 讨论问题： ① 讨论一：三角函数线为什么可以表示三角函数值？ 先单位圆中计算得sin α=y ，cos α＝x ； 比较MP 的长度与|y |、OM 的长度与|x |； 比较MP 的符号与y 的符号，OM 的符号与x 的符号； 所以 sin α＝y ＝MP ， cos α＝x ＝OM ， tan α＝y x ＝MP OM =AT OA ＝AT （由三角形相似得） ② 讨论二：α终边在坐标轴上时的正弦线、余弦线、正切线的情况？ 例题：sin1、cos1、tan1的大小关系为（ ） A ．sin1＞cos1＞tan1 B ．sin1＞tan1＞cos1 C ．tan1＞sin1＞cos1 D ．tan1＞cos1＞sin1 变式：sin 83π，cos 83π，83π的大小关系是（ ） A. sin 83π ＜cos 83π＜83π B. cos 83π＜ sin 83π＜83π C. cos 83π＜ 83π sin 83π D. sin 83π＜83π cos 8 3π 例题：如果 4π ＜θ＜ 2 π，那么下列各式中正确的是（ ） D y x
北师大版高中数学必修四知识点汇总
北师大版高中数学必修四知识点汇总 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
北师大高中数学必修四知识点 第一章 三角函数 ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重 合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360| αββ} 4、弧度制： （1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． （2）度数与弧度数的换算：π= 180 rad ，1 rad '185730.57)180( =≈=π （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式：r l ||α= ；扇形面积：2||21 21r lr S α=== 5、三角函数: （1）定义:①设α 那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ; u
1.2 任意角的三角函数-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)
知识点一任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. 思考1角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案sin α＝ y r，cos α＝ x r，tan α＝ y x. 思考2对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ 答案不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 思考3在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ y x. 梳理(1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向 1.三角函数的定义数学抽象水平1 水平1 1.以锐角三角函数的定 义来推广记忆任意角的 三角函数的定义。 2.充分理解同角三角函 数的基本关系式，掌握 公式成立的条件及公式 的变形。 3.理解并记忆求值、化 简及证明的模型，领会 解题常用的方法技巧。 【考查内容】根据三角函 数的定义求值，三角函数 平方关系的应用。 【考查题型】选择题、填 空题 【分值情况】5分 2.终边相同的角的同一三 角函数值的关系 数学运算水平1 水平2 3.单位圆数学直观水平1 水平2 4.同角三角函数的两个基 本关系式 数学运算水平1 水平2 第二讲任意角的三角函数 知识通关
【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案） 目录 §1周期现象 §2角的概念的推广 §3弧度制 4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4．2 单位圆与周期性 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一) 4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二) 5．1 正弦函数的图像 5.2 正弦函数的性质 §6余弦函数的图像与性质 7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质 7.3 正切函数的诱导公式 §8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一) §8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二) §9三角函数的简单应用 章末复习课 第二章平面向量 §1从位移、速度、力到向量 2．1 向量的加法 2.2 向量的减法 3．1 数乘向量 3.2 平面向量基本定理 §4平面向量的坐标 §5从力做的功到向量的数量积
§1周期现象 内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)． 知识点周期现象 (1)概念：相同间隔重复出现的现象． (2)特点： ①有一定的规律； ②不断重复出现． 【预习评价】 1．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√) (2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√) 2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________． 解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2 题型一周期现象的判断 【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由． (1)地球的自转； (2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数； (3)钟表的秒针的转动； (4)某段高速公路每天通过的车辆数． 解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象． (2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象． (3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象． (4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象． 规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．
