课 题：411已知三角函数值求角（2）
教学目的：
1．要求学生初步（了解）理解反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合
2．掌握已知三角函数值求角的解题步骤．
教学重点：已知三角函数值求角
教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．反正弦，反余弦函数的意义：
由y =
1︒在R 上无反函数
2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y
是一一对应的，且区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比较简单 ∴在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数， 记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，（奇函数）
在[]π,0上，x y cos =的反函数称作反余弦函数，
记作()11arccos ≤≤-=x x y
2．已知三角函数求角：
求角的多值性法则：1、先决定角的象限、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ； 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x ，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角
二、讲解新课： 反正切函数
R x k x x y ∈+≠=,2,tan π
π
1︒在整个定义域上无反函数
2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上x y tan =的反函数称作反正切函数
记作()R x x y ∈=arctan （奇函数）
三、讲解范例：
例1 （1）已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x （精确到π1.0） 解：在区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2ππ上x y tan =是增函数，符合条件的角是唯一的 ⎪⎭⎫ ⎝⎛π≈10'26180
x （2）已知31tan =
x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合 解：1010,10tan 10tan π
πππππ=+=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+x x 或 ∴所求的x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨
⎧1011,10ππ（即31arctan 31arctan +==πx x 和） （3）已知R x x ∈=且3
1tan ，求x 的取值集合
解：由上题可知：10ππ+
=k x ，()z k k x ∈+=1011ππ 合并为()z k k x ∈+=10π
π
例2已知2
3sin =α，根据所给范围求α： 1︒α为锐角 2︒α为某三角形内角 3︒α为第二象限角 4︒R ∈α 解：1︒由题设3πα=
2︒设31π
α=，或3
232ππ
πα=-= 3︒()z k k ∈+=3
22ππα 4︒由题设()()()z k k k k k ∈-+=-+=3
123arcsin
1πππα 例3 求适合下列关系的x 的集合 1︒()R x x ∈=2cos 2 2︒01tan 32=-x 3︒53sin -=x 解：1︒z k k k x x ∈±=±==,4
222arccos 2,22cos πππ ∴所求集合为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈±=z k k x x ,42|ππ 2︒∴±=±=,6,33tan ππk x x 所求集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=z k k x x ,6|ππ 3︒()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧--=-=53arcsin 1,53sin k k x x π 例4 直角ABC ∆锐角A ，B 满足：A A A B ∠+-=求,1sin tan 2
cos
22 解：由已知：1sin tan cos 1+-=+A A B A A A ,tan sin 2=∴为锐角，0sin ≠∴A
3
,20,21cos ππ=∠∴<<=
∴A A A 例5 1︒用反三角函数表示)2
3,(,65sin ππ∈-=x x 中的角x 2︒用反三角函数表示)2
7,3(,5tan ππ∈=x x 中的角x 解：1︒ ∵23π<<πx ∴02
<-π<π-x 又由65sin -=x 得6
5)sin(-=-πx ∴)65arcsin(-=-πx ∴)6
5arcsin(--π=x 2︒ ∵273π<<πx ∴230π<π- ∴5arctan 3=π-x ∴5arctan 3+π=x 例6已知2 1)32cos(-=π+ x ，求角x 的集合 解：∵21)32cos(-=π+x ∴)(3 2232Z k k x ∈π±π=π+ 由32232π+π=π+k x 得 )(3 24Z k k x ∈π+π= 由3 2232π-π=π+k x 得 )(24Z k k x ∈π-π= 故角x 的集合为},243 24|{Z k k x k x x ∈π-π=π+π=或 例7求3arctan 2arctan 1arctan ++的值解：arctan2 = α, arctan3 = β 则tan α = 2， tan β = 3 且24π<α<π， 2 4π<β<π ∴132132tan tan 1tan tan )tan(-=⨯-+=βα-β+α= β+α 而 π<β+α<π2 ∴α + β = 4 3π 又arctan1 = 4π ∴3arctan 2arctan 1arctan ++= π 例8求y = arccos(sin x ), (3 23π≤≤π-x )的值域 解：设u = sin x ∵323π≤≤π- x ∴123≤≤-u ∴65)arccos(sin 0π≤≤x ∴所求函数的值域为]6 5,0[π 四、课堂练习： 1若cos x ＝0，则角x 等于( ) A ．ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｂ． 2 π＋ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｃ．2π＋2ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｄ．－2π＋2ｋπ，（ｋ∈Z ） 2若tan x ＝0，则角x 等于( ) A ．ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｂ． 2 π＋ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｃ．2π＋2ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｄ．－2π＋2ｋπ，（ｋ∈Z ） 3已知cos x ＝－2 3，π＜x ＜2π，则x 等于( ) A ．67π Ｂ．34π Ｃ．611π Ｄ．3 5π 4若tan （3π－x ）＝－ 23，则x = 5满足tan x ＝2 2的x 的集合为 6在闭区间［0，2π］上，适合关系式cos x ＝－0．4099的角有 个,用0．4099的反余弦表示的x 值是 ___________；用－04099的反余弦表示的x 的值是 _________ 参考答案： 1 2A 3A 4x ＝6 π＋k π，k ∈Z 5｛x ｜x ＝arcta ｎ22＋k π，k ∈Z ｝ 6 π－arccos04099 π＋arccos04099 arccos(－0π－arccos(－04099) 五、小结：反正切函数的有关概念，并能运用知识已知三角函数值求角 六、课后作业： 1方程cos x ＝a （｜a ｜＜1)，x ∈［0，2π)的解的集合是( ) A ．｛arccos a ，－arccos a ｝ Ｂ．｛arccos a ｝ Ｃ．｛arccos a ，π－arccos a ｝ Ｄ．｛arccos a ，2π－arccosa ｝ 2适合cos x ＝－ 31，x ∈（－π，－2 π）的x 值是( ) A ． arccos （－31） Ｂ．π－arccos 3 1 Ｃ．－arccos （－31） Ｄ．－arccos 3 1 3若tan α＝8，且α∈（2π，23π），则α等于( ) A ．arctan8 Ｂ．arctan8－π Ｃ．π－arctan8 Ｄ．π＋arctan8 4已知3tan 2x ＝1，x 是第三象限角，则x 的集合是 5若tan θ＝88，且tan83°31′＝88，则θ的集合为 6若cos2x ＝－2 3且0＜x ＜2π，则x 等于 7求满足sin x cos x －sin x －cos x －1＝0的x 8已知sin x ＋cos x ＝1，求 .cos sin 1cos sin x x x x +-． 9求满足cos （πsin x ）＝21的x 的集合 参考答案： 1D 2C 3D 4x ＝6 7π＋2k π，k ∈Z 5｛θ｜θ＝83°31′＋k ·180°，k ∈Z ｝ 6 1219 1217 127 125ππππ 7x ＝－2π ＋2k π或x ＝π＋2k π，k ∈Z 81 9｛x ｜x ＝±arcsin 3 1＋k π，k ∈Z ｝ 七、板书设计（略） 八、课后记： 活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。 活动过程： 1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！” 主持人口述谜语： “双手抓不起，一刀劈不开， 煮饭和洗衣，都要请它来。” 主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！” 一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？” 主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。” 甲：如果没有水，我们人类就无法生存。 小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。 花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。 主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》 竹板一敲来说话，水的用处真叫大； 洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚， 煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。 栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸； 鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它； 采煤发电要靠它，京城美化更要它。 主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？ 甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。 乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。 丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。 2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？ （1）（生）：我要节约用水，保护水源。 （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。 （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。 （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。 3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。 （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。 （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。 （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写） （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？ 主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》 大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。” 旁白：“那又是谁家的呢？” 主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？ 甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。 乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。 主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？ 齐：主动关好。 小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？ 主持人：可以。 小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？ 答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。 小记者：请这位同学谈谈好吗？ 答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。 小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！ 水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！ 主持人：你们还有发言的吗？ 答：有。 生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类 自己。 动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！ 花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！ 水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。 主持人：水伯伯，您这是干什么呢？ 水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！ 主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！ 4.主持人：大家欢迎老师讲话！ 同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。 5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵 活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。 活动过程： 1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！” 主持人口述谜语： “双手抓不起，一刀劈不开， 煮饭和洗衣，都要请它来。” 主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！” 一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？” 主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。” 甲：如果没有水，我们人类就无法生存。 小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。 花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。 主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》 竹板一敲来说话，水的用处真叫大； 洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚， 煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。 栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸； 鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它； 采煤发电要靠它，京城美化更要它。 主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？ 甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。 乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。 丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。 2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？ （1）（生）：我要节约用水，保护水源。 （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。 （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。 （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。 3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。 （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。 （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。 （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写） （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？ 主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》 大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。” 旁白：“那又是谁家的呢？” 主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？ 第一章第四节三角函数的图象与性质第四课时 作者：张云全 整体设计 教学分析 本节课的背景是：这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质．函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书换了一个新的角度，采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法． 通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象．以提高学生的学习兴趣，提高课题教学质量．从学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果． 由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法． 三维目标 1．通过对正切函数的性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力． 2．在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力． 3．通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心． 重点难点 教学重点：正切函数的性质与图象的简单应用． 教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课． 思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法． 推进新课 新知探究 高中数学任意角三角函数第2课时学案 新人教A版必修4 【学习目标】 1.三角函数的符号； 2. 诱导公式（一）。 【重点难点】 符号及诱导公式（一） 【学习内容】 【复习回顾】：三角函数的定义 【新授】 一．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知： ①正弦值y r 对于第一、二象限为正（0,0 y r >>），对于第三、四象限 为负（0,0 y r <>）； ②余弦值x r 对于第一、四象限为正（0,0 x r >>），对于第二、三象限 为负（0,0 x r <>）； ③正切值y x 对于第一、三象限为正（,x y同号），对于第二、四象限为负（,x y异号）． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值. 口诀：一全正二正弦三正切四余弦 二．诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.即有： sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=， tan(2)tan k απα+=， 其中k Z ∈． 例1：已知sin 0α<且tan 0α>， （1）求角α的集合；（2）求角2α 终边所在的象限； （3）试判断tan ,sin cos 222ααα 的符号. 例2： 求函数x x x x y tan tan cos cos +=x x sin sin +的值域. 解： 例3：求下列三角函数的值： （1）9cos 4π ，（2）11tan()6π -，（3）9sin 2π ． 解： 例4：求函数x y sin 1 =的定义域和值域 解： 例5：求函数x y tan 1 =的定义域和值域 解： 《5.2.1 三角函数的概念》教学设计 教材内容： 现实生活中有着大量的周期运动，而三角函数就是描述周期运动的重要的数学模型，体现了数学与现实生活中的紧密联系。三角函数的概念是研究三角函数性质、图像的前提条件，在教材中有着承上启下的重要作用。同时，三角函数也是研究解析几何 的重要工具，在物理、天文学中也有着广泛的应用。 教学目标： 1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求给定角的三角函数值. 2.掌握三角函数的定义域及三角函数在各象限的符号. 3.掌握三角函数公式一及其应用. 教学重点与难点： 1、教学重点：三角函数的定义； 2、教学难点：求给定角的三角函数值。 教学过程： 1、新课导入 在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数.接下来这节课我们就来学习一下三角函数的相关知识. 2、探索新知 知识点1 三角函数的定义 设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆交于点()P x y ， . （1）把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin y α=； （2）把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos x α=； （3）把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan (0)y x x α=≠.tan (0)y x x α=≠也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数. 知识点2 三角函数及其定义域 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数sin y x =，x ∈R ； 余弦函数cos y x =，x ∈R ； 正切函数tan y x =，π{|π2()}x x x k k ∈≠ +∈Z . 例题点拨 例1 求5π3 的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作5π3AOB ∠= （如图）. 易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标为13,22⎛- ⎝⎭ . 所以5π3sin 3=，5π1cos 32=，5πtan 33=- 例2 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O 重合）的坐标为(),x y ，点P 与原点的距离为r .求证：sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=. 课 题：411已知三角函数值求角（2） 教学目的： 1．要求学生初步（了解）理解反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 2．掌握已知三角函数值求角的解题步骤． 教学重点：已知三角函数值求角 教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．反正弦，反余弦函数的意义： 由y = 1︒在R 上无反函数 2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y 是一一对应的，且区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比较简单 ∴在⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数， 记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，（奇函数） 在[]π,0上，x y cos =的反函数称作反余弦函数， 记作()11arccos ≤≤-=x x y 2．已知三角函数求角： 求角的多值性法则：1、先决定角的象限、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ； 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x ，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角 二、讲解新课： 反正切函数 R x k x x y ∈+≠=,2,tan π π 1︒在整个定义域上无反函数 2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上x y tan =的反函数称作反正切函数 记作()R x x y ∈=arctan （奇函数） 三、讲解范例： 例1 （1）已知⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x （精确到π1.0） 解：在区间⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-2,2ππ上x y tan =是增函数，符合条件的角是唯一的 ⎪⎭⎫ ⎝⎛π≈10'26180 x （2）已知31tan = x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合 解：1010,10tan 10tan π πππππ=+=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛ +x x 或 ∴所求的x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨ ⎧1011,10ππ（即31arctan 31arctan +==πx x 和） （3）已知R x x ∈=且3 1tan ，求x 的取值集合 课 题§4.11.2 已知三角函数值求角(二) 教学目标 (一)知识目标 1.由已知三角函数值求角； 2.反三角函数表示角. (二)能力目标 1.会由三角函数值求角； 2.会用反三角函数表示角. (三)德育目标 1.培养学生的应用意识； 2.锻炼学生的思维能力； 3.提高解题能力； 4.提高数学素质. 教学重点 已知三角函数值求角 教学难点 根据角的三角函数值，确定出所属范围内的角 教学方法 强化训练题目，深刻理解其过程.(讲练结合法) 教具准备 计算器 教学过程 Ⅰ.课题导入 师：今天，我们继续探讨已知三角函数值求角问题. Ⅱ.讲授新课 首先，来看这样一个例子： ［例1］(1)已知tan x ＝ 31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝3 1，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 解：(1)由正切曲线可知 y ＝tan x 在(－2π，2 π)上是增函数； 可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知 当x ＝ 10π＋π时，tan x ＝3 1 且10π＋π＝10 11π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝ 师：从这一题目可看出某一三角函数值在这一函数的单调区间上所对应的角是惟一的，对于正切函数，它在每个区间(k π－2π，k π＋2 π)(k ∈Z )上均具有单调性，为了使符合条 件tan x ＝a (a 为任意实数)的角x 有且只有一个，我们选择开区间(－2 π，π)作为基本范围，在这个开区间内，符合条件tan x ＝a (a 为任意实数)的角x ,叫做实数a 的反正切，记作arctan a . 即：若tan x ＝a ，其中x ∈(－ 2π，2π) 则x ＝arctan a 例如：上例答案可写为(1)x ＝arctan 31 (2)｛arctan 31，π＋arctan 3 1｝ ［例2］(1)已知sin x ＝－0．3322，且x ∈［－2π，2 π］，求x . (2)已知sin x ＝－0．3322，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 解：(1)∵sin(－x )＝－sin x ＝0．3322 由正弦曲线可知： y ＝sin x 在［－2π，2 π］上为增函数. 符合条件的角有且只有一个. 利用计算器可求得x ＝－19°24′(或－ 90097π) (2)由sin(180°＋19°24′)＝－sin19°24′＝sin(－19°24′) sin(360°－19°24′)＝－sin19°24′＝sin(－19°24′) 可知：180°＋19°24′，360°－19°24′角的正弦值也是－0．3322. ∴所求的x 的集合是 ｛199°24′，340°36′｝或｛900 1703,90097ππ｝ 根据正弦函数的图象的性质，为了使符合条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的角有且只有一个，我们选择闭区间［－2π，2 π］作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的角x ，叫做实数a 的反正弦，记作arcsin a . 即：当sin x ＝a (－1≤a ≤1)且x ∈［－ 2π，2π］，则x ＝arcsin a 这样的话，上例答案可写为： (1)｛arcsin(－0．3322)｝ (2)｛2π＋arcsin(－0．3322)，π－arcsin(－0．3322)｝ 依此类推，根据余弦函数的图象的性质，要使符合条件cos x ＝a (－1≤a ≤1)的角x 有且只有一个，我们选择闭区间［0，π］作为基本范围.在这个闭区间上，符合条件cos x ＝a (－1≤a ≤1)的角x ，叫做实数a 的反余弦，记作arccos a . 即：若cos x ＝a (－1≤a ≤1)，x ∈［0，π］ 则x ＝arccos a 例如：4π＝arccos 22，43π＝π－arccos 223 π＝arccos 21，35π＝2π－arccos 21 江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.2 二倍角的三角函数（第2课 时）教案 新人教版必修4 教学目标： 1．运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 2．能运用公式解决一些简单的实际问题； 3．培养学生观察、推理的思维能力． 教学过程： 一、复习引入 二倍角公式： sin 22sin cos ααα=； 22cos 2cos sin ααα=-； 22tan tan 21tan α αα=-； 2cos 22cos 1αα=-； 2cos 212sin αα=-． （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数， 它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题． （2）二倍角公式为仅限于2α是α的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的 （3）熟悉“倍角”与“二次”的关系（括角—降次，缩角—升次）． （4）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-= = 这两个形式今后常用． 二、 数学运用 1. 例题. 例1 化简222sin ()sin ()sin 66 ππααα-++-。 法一：由倍角公式2cos 212sin αα=-,得21cos 2sin 2αα-= , 对原式进行降幂化简,角由单角变为倍角． 这里用到了21cos 2sin 2αα-= ,它和21cos 2cos 2αα+=，21cos2tan 1cos2ααα -=+统称为降幂公式． 法二: 两角和差的正弦展开． 例2 求证: sin50(13tan10)1+= 例3 求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值,并写出该函数在[]0,π上的单调递增区间． 注: 解决三角函数问题,首先用公式进行化简,再按要求进行求解． 例4 已知11tan(),tan ,,(0,),2.27 αββαβπαβ-==-∈-求的值 这是一个由函数值求角的问题,这就需要求出这个角的某个三角函数值,并需要判断这个角所在的范围． 例5 在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大？ 2. 练习． （1）证明： ①B A B A A 2cos 2cos )(sin B (cos 22=--+） ②θθθ2cos )tan 1(cos 22=- （2）求函数y=的最小值x x x x cos sin 2sin cos 22+- （3）11tan ,tan ,273 αβαβαβ==+已知且，都是锐角，求的值. （4）扇形AOB 的半径为1，中心角为 60，PQRS 是扇形内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求这个最大值． 三、小结 1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次． 2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简． 课 题：44 同角三角函数的基本关系式（一） 教学目的： ⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题 过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 教学重点：同角三角函数的基本关系 教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节主要涉及到三个公式，均由三角函数定义推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧．要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用． 教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式．其实根据这三个基本关系还可以变形得到一些基本关系． 如:由 α α αtan cos sin = 得:αααtan cos sin ?=, 同样可以有:αααcot sin cos ?= α α2 2 cos 11tan = +， α α2 2 sin 1 1cot = +，αα2 2 cos sin 1=-等等,可以引导学生和用三个 基本关系进行转换，培养学生的自主学习习惯． 教材中的3个基本关系式，只有：sin 2α+cos 2α=1是绝对恒等式，即对于任意实数α都成立,另外两个公式,仅当α取使关系式的两边都有意义的值时才能成立．因此，在运用这些公式进行恒等变形时，角的允许值范围有时会发生变化是不奇怪的，在教学中可经常提醒学生注意这一点． 这组公式的灵活运用是本节教学的难点．灵活运用的前提是熟练掌握公式．弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法．从“左”到“右”或从“右”到“左”运用公式，最后达到灵活运用，同时要明确它们成立的先决条件．教材中指出：“在第二个式子中) k (2k Z ∈+ ≠ππα时，式子两边都有意义； 第一章第二节任意角的三角函数第三课时 教学过程 导入新课 先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值： (1)sin 290°＋cos 290°；(2)sin 230°＋cos 230°；(3)sin60°cos60°；(4)sin135°cos135° . 推进新课 新知探究 提出问题 ①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角？若不能，角α应受什么影响？ 如图1，以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，而且OP ＝1. 图1 由勾股定理有OM 2＋MP 2＝1. 因此x 2＋y 2＝1，即sin 2α＋cos 2α＝1(等式1)． 显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立． 根据三角函数的定义，当α≠k π＋π2 ，k ∈Z 时，有 sin αcos α ＝tan α(等式2)． 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． ②对于同一个角的正弦、余弦、正切，至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值． 活动：问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系，然后教师点拨学生思考这两个公式的用处．同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件，及使等式分别有意义的角的取值范围． 问题②可让学生展开讨论，点拨学生从方程的角度进行探究，对思考正确的学生给予鼓励，对没有思路的学生教师点拨其思考的方法，最后得出结论“知一求二”． 讨论结果：①在上述两个等式中，不是所有的角都可以是任意角，在第一个等式中，α 可以是任意角，在第二个等式中α≠k π＋π2 ，k ∈Z . ②在上述两个等式中，只要知道其中任意一个，就可以求出其余的两个．知道正弦(余弦)，就可以先求出余弦(正弦)，用等式1；进而用等式2求出正切． 应用示例 思路1 例1已知sin α＝45 ，并且α是第二象限的角，求cos α，tan α的值． 活动：同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握，先让学生接触比较简单的应用问题，明确和正确地应用同角三角函数关系．可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α＋cos 2α＝1，故cos α的值最容易求得，在求cos α时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在的象限确定cos α的符号，在此基础上教师指导学生独立地完成此题． 解：因为sin 2α＋cos 2α＝1， 任意角三角函数的定义 1．利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数．直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P 2 3sin(α＋k ·2π)＝sin α cos(α＋k ·2π)＝cos α tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )． 一、选择题 1．已知点P (4－3)是角α终边上一点则下列三角函数值中正确的是( ) A ．tan α＝－43 B ．tan α＝－3 4 C ．sin α＝－45 D ．cos α＝3 5 答案：B 解析：由三角函数的定义知x ＝4y ＝－3r ＝5所以sin α＝y r ＝－35cos α＝x r ＝45tan α＝y x ＝－3 4 2．如果角α的终边过点P (2sin30°－2cos30°)则sin α的值等于( ) A 12 B ．－12 C ．－32 D ．－3 3 答案：C 解析：由题意得P (1－3)它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2∴sin α＝－3 2 3．设a <0角α的终边经过点P (－3a 4a )则sin α＋2cos α的值等于( ) A 25 B ．－25 C 15 D ．－15 答案：A 解析：∵a <0角α的终边经过点P (－3a 4a )∴点P 与原点的距离r ＝－5a sin α＝－4 5 cos α ＝35∴sin α＋2cos α＝2 5 选A 4．若sin θ A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 解析：由条件可知cos θ>0sin θ<0则θ为第四象限角故选D 5．cos480°的值是( ) A ．－12 B 12 C 32 D ．－32 答案：A 解析：480°＝360°＋120°所以cos480°＝cos120°＝－1 2 6．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π 3的值为( ) A ．－1＋32 B 1－32 C 3－12 D 3＋12 答案：C 解析：cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 23π＋sin 23π＝－12＋32＝3－12 二、填空题 7．5·sin90°＋2·cos0°－3·sin270°＋10·cos180°＝________ 答案：0 解析：原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0 8．若点P (2m －3m )(m ＜0)在角α的终边上 则sin α＝______cos α＝______tan α＝______ 答案：31313 －21313 －32 解析：因为点P (2m －3m )(m ＜0)在第二象限且r ＝－13m 所以sin α＝－3m r ＝－3m －13m ＝31313cos α＝2m r ＝2m －13m ＝－21313tan α＝－3m 2m ＝－3 2 9．如果cos x ＝|cos x |那么角x 的取值范围是________． 答案：⎣ ⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π 2k ∈Z 解析：由cos x ＝|cos x |知cos x ≥0 ∴角x 的终边落在y 轴或其右侧从而角x 的取值范围是⎣ ⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π 2k ∈Z 三、解答题 10．已知角α的终边经过点P (－4a 3a )(a ≠0)求sin α、cos α、tan α的值． 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a | 若a >0则r ＝5|a |＝5a 此时角α是第二象限角 ∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－4 5 tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34 ； 若a <0则r ＝5|a |＝－5a 此时角α是第四象限角∴sin α＝y r ＝3a －5a ＝－35cos α＝x r ＝－4a －5a ＝ 4 5 tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34 综上可得当a >0时sin α＝35cos α＝－45tan α＝－34；当a <0时sin α＝－35cos α＝45tan α＝－3 4 1.2.1任意角的三角函数（1） 教学目的： 知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与 比值（函数值）的一种联系方式； （2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他 们的集合形式表示出来. 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依 次为,,a b a sinA cosA tanA c c b = == ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； （5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r x α=； （6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=． 《三角函数的概念》课标解读 教材分析 三角函数的概念是整个三角函数部分的重要基础知识，在教材内容上起到一个承上启下的作用，对三角函数的整体学习至关重要，同时也是为平面向量、解析几何等内容的学习做必要的准备. 三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想.三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用. 本节内容所涉及的主要核心素养有数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算等. 学情分析 学生在前面学习了函数的概念，以及任意角与弧度制，具备了学习三角函数的概念的基础知识，同时高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立解决问题，具有一定的能力基础. 学生熟悉的函数是实数到实数的对应，这里给出的函数首先是实数（弧度数）到点的坐标的对应，然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应，学生在理解上可能会有一定的困难. 教学建议 利用多媒体工具，可以很容易地建立起角的终边和单位圆的交点坐标的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，提升学生直观想象素养，增强趣味性.另外，教师要引导学生通过自己的思维活动得出教材中“探究”栏目里问题的结论，提升学生的逻辑推理与数学运算素养. 第1课时三角函数的概念 学科核心素养 目标与素养 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求具体弧度的三个三角函数值，在知识的探究过程中促进学生数学抽象、直观想象、逻辑推理素养的发展，达到水平二的要求. 情境与问题 先复习前面学过的函数和弧度制的概念，之后让学生思考如何刻画圆周运动中点的位置变化，引出用三角函数表示这种运动关系的需求，导入新课学习. 内容与节点 本课时内容是三角函数的定义，是三角函数的概念的第1课时，在整个知识安排中起到基础性的作用，是后续继续深入学习相关概念的基础. 过程与方法 经历三角函数定义的生成过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养. 教学重点难点 重点 三角函数的定义. 难点 用角的终边上的点刻画三角函数. 第2课时三角函数的性质 学科核心素养 目标与素养 从三角函数的定义认识其定义域、函数值在各个象限的符号，根据定义理解公式一，初步解决与三角函数值有关的一些简单问题，提升学生逻辑推理、直观想象、数学运算素养，达到水平一的要求. 情境与问题 两个案例均通过复习上一课时所学的三角函数的概念，很自然地引入对三角函数性质的研究. 5.2.2 同角三角函数的基本关系 教学目标： 1.通过三角函数的定义推导出同角三角函数的的基本关系,会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明. 2.通过“猜想-- 验证--应用”的学习过程，掌握化归与转换及分类讨论的数学思想方法，培养学生的探究精神以及分析解决问题的能力. 3.通过学习培养学生勇于探索的思维品质，提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式及应用 教学过程： 一、情境引入 南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，它本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题. （设计意图：激发学生兴趣，使学生明白看似不相关的事物实则有密切联系，那么““同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系，从而引入课题.） 二、探究新课 探究活动1 完成下列填空： （1）22sin 30cos 30+=__________； （2）22sin 45cos 45+=__________； （3） sin 60cos 60 =_____；tan 60=_____； （4） sin 120cos 120 =_____；tan 120=_____. 由此猜想：22sin cos αα+=________； sin cos α α = __________. 思考1：如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？ 证：设角α的终边一点P （x,y ）,则 r =，sin ,cos ,tan y x y r r x ααα=== 第一章第二节任意角的三角函数第 二课时 作者：苏飞文，南安侨光中学教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖 整体设计 教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用． 学生学习情况分析 我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣．我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍有太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味．所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索．如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？ 《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义．第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象)，解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函数内容处理上的一个突出特点． 根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型； 其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号． 第三十六教时 教材：已知三角函数值求角（反正弦，反余弦函数） 目的：要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正 弦值、余弦值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 y = 1︒在R 2︒在⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y 是一一对应的，且区间⎥ ⎦ ⎤⎢ ⎣⎡-2,2ππ比较简单 ∴在⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数， 记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，（奇函数）。 在[]π,0上，x y cos =的反函数称作反余弦函数， 记作()11arccos ≤≤-=x x y 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-∈= 2,222sin ππx x 且，求x 解： 在⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-2,2ππ上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴4 π = x （即4 22arcsin π==x ） 2、已知[]π2,0,2 2 sin ∈= x x 且 解：02 2 sin >= x ，x ∴是第一或第二象限角。 4344,224s i n 4s i n πππππππ=-==∴= =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ -x x 或 即（4322arcsin 422arcsin π ππ=-===x x 或）。 3、已知R x x ∈- =且,2 2 sin 解：∴<- =,02 2 sin x x 是第三或第四象限角。 ()()z k k k x ∈++=++=∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +41242,224sin 4sin ππππππππ ()()z k k k x ∈-+=-+=∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ -422422,224sin 4sin ππππππππ （即()z k k x k x ∈+ =- =4 24 2π ππ π或 或 ()⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--+=22arcsin 1k k x π） 这里用到()x y x x arcsin ,arcsin arcsin =-=- 是奇函数。 数学人教A版（新课标）高中必修第一册课后习题——三角函数的图象与性质（含答 案） 《三角函数的图象与性质》课后习题 复习巩固 1．画出下列函数的简图： （1）y＝1－sin x，x∈［0，2π］；（2）y＝3cos x＋1，x∈［0，2π］． 2．求下列函数的周期： （1）y＝，x∈R；（2）y＝，x∈R． 3．下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？ （1）y＝sin x；（2）y＝1－cos 2x； （3）y＝－3sin 2x；（4）y＝1＋2 tan x． 4．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值： （1），x∈R；（2），x∈R； （3），x∈R；（4），x∈R． 5．利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin 103°15′与sin 164°30′；（2）与； （3）sin 508°与sin 144°；（4）与． 6．求下列函数的单调区间： （1）y＝1＋sin x，x∈［0，2π］；（2）y＝－cos x，x∈［0，2π］．7．求函数的定义域． 8．求函数，x≠（k∈Z）的周期． 9．利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）与；（2）tan 1 519°与tan 1 493°； （3）与；（4）与． 综合运用 10．求下列函数的值域： （1）y＝sin x，x∈；（2）y＝． 11．根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值集合： （1）sin x≥（x∈R）；（2）＋2cos x≥0（x∈R）． 12．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）． （A）y＝｜sin x｜（B）y＝cos x（C）y＝tan x（D）y＝13．若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合：（1）1＋tan x≤0；（2）tan x－≥0． 14．求函数的单调区间． 15．已知函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（0.5）＝1，求f（1），f（3.5）的值． 5.2.1 三角函数的概念（同步训练） 一、选择题 1.已知角α的终边经过点(－5，m)(m ≠0)，且sin α＝ 55 ，则cos α的值为( ) A.－55 B.－510 C.－255 D.±255 2.已知角θ的终边经过点(2，－3)，将角θ的终边顺时针旋转π4 后，角θ的终边与单位圆交点的横坐标为( ) A.2626 B.－2626 C.52626 D.－52626 3.已知α∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2，3π2且sin α＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A.cos α·tan α＜0 B.sin α·tan α＞0 C.cos α－tan α＜0 D.sin α－tan α＞0 4.已知角θ＝2 020 π3 ，且角θ的终边经过点P(－x ，－23)，则x 的值为( ) A.±2 B.2 C.－2 D.－4 5.如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( ) A.12 B.－12 C.32 D.－32 6.已知角α的终边经过点P(m ，－6)，且cos α＝－45 ，则m ＝( ) A.8 B.－8 C.4 D.－4 7.若点P(sin α，tan α)在第二象限，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8.(多选)若角α的终边上有一点P(0,3)，则下列式子有意义的是( ) A.tan α B.sin α C.cos α D.tan θ＋sin θ 二、填空题 9.角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点P(－3，－4)，则sin α＝________ 10.已知角α的终边经过点P(x ，－6)，且tan α＝－34 ，则x 的值为________ §1.2 同角三角函数的基本关系（第2课时） 【教学目标】 ⒈能熟练选取同角三角函数的两种关系的不同变形进行三角函数的化简求值与证明； ⒉在解决三角函数化简求值及证明的过程中，提升学生对数学式子的恒等变形能力，树立转化与化归的思想； ⒊培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感，培养学生学习数学的兴趣和信心。 【教材分析】本节课是《同角三角函数的基本关系》第2课时，重点在于两个基本关系式的变形运用，体现在化简、求值和证明三种题型上，教材上的例5、例6旨在化简求值，例7旨在恒等式证明，针对性强，但对ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二的问题，只在课后习题和作业中体现，为了加强对学生的指导，特设置了例1。 【教学重点】熟练应用同角三角函数的两种关系进行化简求值与证明 【教学难点】关系式在解题中的灵活选取，及应用同角三角函数的两种关系对数学式子进行变形、转化 【教学方法与手段】教师启发引导，学生合作探究，突出学生在解题教学中的主体作用 【教学过程】 一、 知识检查 利用 和 填空： ⒈α2sin = ，α2sin = ，1= . ⒉⋅=ααtan sin ( ) ⒊()=+2cos sin αα ； ()=-2 cos sin αα . 设计目的：检查公式，灵活变形 二、 例题探究 例1 已知α是第二象限角，5 1cos sin =+αα，求下列各式的值： 1cos sin 22=+αααααcos sin tan = ⑴ααcos sin ⋅ ⑵ααcos sin - 设计目的：ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二，整体代换 解：⑴由51cos sin =+αα得()25 1cos sin 2=+αα 25 1cos cos sin 2sin 22=++αααα 125 1cos sin 2-=αα 25 12cos sin -=αα ⑵()()ααααααcos sin 4cos sin cos sin 22-+=- = )25 12(4251-⨯- =2549 ∵α是第二象限角 ∴0sin >α，0cos <α ∴0cos sin >-αα ∴5 7cos sin =-αα 例2 化简02620cos 1- 设计目的：综合运用诱导公式及 进行化简 解：原式=0620sin =()0000080sin 80sin 100sin 100720sin ===- 例3 化简θθθθ cos cos 1sin 1sin 22-+- 设计目的：化简时渗透分类讨论的意识 解：原式=θ θθθcos sin cos sin + 1cos sin 22=+αα人教版高中数学高一A版必修4 第一章第四节三角函数的图象与性质(第四课时)
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