三角函数
【考纲要求】
1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，理解任意角三角函数的定义.
2.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x
cos x
＝tan x .
3．能利用单位圆中的三角函数线推导出π
2
±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
4．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式． 5.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 6．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 【思维导图】
【考点总结】 1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类⎩
⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：
角α的弧度数公式 |α|＝l
r
(l 表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝π
180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式
S ＝12lr ＝12
|α|r 2 3.(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x (x ≠0)．
二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 【思维导图】
【考点总结】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．
(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α(α≠π
2＋k π，k ∈Z )．
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α (k ∈Z ) π＋α －α π－α π
2－α π2＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
三、三角恒等变换
【思维导图】
【考点总结】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β．
T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝
⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π
2＋k π，k ∈Z .
T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π
2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S 2α：sin 2α＝2sin_αcos__α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π
2，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 四、三角函数的图象与性质 【思维导图】
【考点总结】
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π
2，－1)，(2π，0)．
在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π
2
，0)，(2π，1)．
五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y ＝sin x
y ＝cos x
y ＝tan x
图象
定义域
R R {x |x ∈R ，且x ≠k π＋
π
2，k ∈Z } 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在[－π2＋2k π，π
2＋
2k π](k ∈Z )上是递增
函数，在 [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上是递减函数
在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是递增函数，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是递减函数
在(－π2＋k π，π2＋
k π)(k ∈Z )上是递增函数
周期性
周期是2k π(k ∈Z 且
k ≠0)，最小正周期是2π
周期是2k π(k ∈Z 且
k ≠0)，最小正周期是2π
周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是π
对称性
对称轴是x ＝π
2
＋
k π(k ∈Z )，对称中心是(k π，0)(k ∈Z )
对称轴是x ＝k π(k ∈Z )，对称中心是(k π＋π
2
，0)(k ∈Z )
对称中心是(k π
2，
0)(k ∈Z ) 五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 【思维导图】
【考点总结】
1．函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念
y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅周期频率相位初相A T＝
2π
ωf＝
1
T＝
ω
2π
ωx＋φφ
2.
用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ0π
2
π
3π
2
2π
x －φ
ω
π
2ω－
φ
ω
π－φ
ω
3π
2ω－
φ
ω
2π－φ
ω
y＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3.
【题型汇编】
题型一：任意角的三角函数 题型二：同角三角函数的基本关系 题型三：三角函数的诱导公式 题型四：三角函数恒等变换 题型五：三角函数的图象和性质 【题型讲解】
题型一：任意角的三角函数 一、单选题
1．（2022·北京市八一中学一模）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()3,4-，则cos θ=（ ） A ．45
B ．35
C ．
35 D ．45
-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据余弦函数的定义进行求解即可. 【详解】
设点()3,4P -，因为()
2
2345OP =-+=，所以33cos 55
θ-=
=-. 故选：C.
2．（2022·北京房山·二模）已知3
cos ,5αα=是第一象限角，且角,αβ的终边关于y 轴对称，则tan β=( )
A ．34
B ．34
-
C ．43
D ．43
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据cos α求出tan α，根据角,αβ的终边关于y 轴对称可知tan β=tan α-． 【详解】
∵3cos ,5αα=是第一象限角，∵24
sin 1cos 5αα-=，sin 4tan cos 3
ααα=
=， ∵角,αβ的终边关于y 轴对称，∵4
tan tan 3βα=-=-．
故选：D ．
3．（2022·山东潍坊·二模）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，且121x x -=，则tan α=（ ） A ．2 B ．12
C ．2-
D ．12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，得到直线AB 的斜率为12
24
2k x x -==--，进而判断α所在象限，即可求解. 【详解】
由已知得，因为点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，所以直线AB 的斜率为12
24
2k x x -==--，所以，明显可见，α在第二象限，tan 2α.
故选：C
4．（2022·山西临汾·一模（文））已知α角的终边过点()sin30,sin30︒-︒，则sin α的值为（ ） A ．12
-
B ．12
C ．2
D 2【答案】C 【解析】 【分析】
先求出点的坐标，进而根据三角函数的定义求得答案. 【详解】
由题意，点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则221
22
sin 21122α-
==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.
5．（2022·河南·一模（文））已知α是第二象限角，则（ ） A ．cos 0α> B ．sin 0α<
C ．sin 20α<
D ．tan 0α>
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可. 【详解】
由α是第二象限角，可得cos 0α<，sin 0α>，tan 0α<
sin 22sin cos 0ααα∴=<
故选：C
6．（2022·山东济南·二模）如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（ ） A ．1
2
B ．12
-
C ．3
D ．3【答案】C 【解析】
先计算三角函数值得(1,3P ，再根据三角函数的定义22sin ,y
r x y r
α=+. 【详解】
解：由题意得(1,3P -，它与原点的距离()
2
132r +，
所以33
sin y r α-===. 故选：C.
7．（2022·河北石家庄·一模）若角α终边经过点()2,1-，则cos α= A ．5
B ．25
C 5
D 25
【答案】B 【解析】
【详解】
分析：利用三角函数的定义，即可求出. 详解：角α终边经过点()2,1-，则()
2
21 5.r =-+=
由余弦函数的定义可得25cos x r α== 故选B.
点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题. 二、多选题
1．（2022·湖北·孝昌县第一高级中学三模）已知角α的终边经过点()8,3cos P α．则（ ） A ．1
sin 3α=
B ．7
cos 29
α= C ．2tan α= D ．22
cos α=
【答案】ABD 【解析】 【分析】
根据同终边角的正弦和余弦可知22sin 649cos 649cos ααα
α
==
++sin 0,cos 0αα>>，逐项代入即可.
【详解】 解：由题意得： 如图所示：
()2
2283cos 649cos OP αα=++22sin 649cos 649cos PQ OQ OP OP αααα
∴=
=++ 2sin 649cos 3cos αα∴+=，即()222
sin 649cos 9cos ααα+= ()222sin 649(1sin )91sin ααα⎡⎤∴+-=-⎣⎦，即42
9sin 82sin 90αα-+=
解得：2sin 9α=（舍去）或2
1sin 9
α=
cos 0α>
sin 0α∴>
1
sin 3
α=
，故A 正确； 22
cos α∴D 正确； 2
222
2217cos 2cos sin 39ααα⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭
，故B 正确； 1sin 2
3
tan cos 22ααα=
=C 错误； 故选：ABD
题型二：同角三角函数的基本关系 一、单选题
1．（2022·宁夏·固原一中一模（文））若3
cos 5
α=
，且α在第四象限，则tan α=（ ） A ．34
B ．34-
C ．43
D ．43
-
【答案】D 【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解． 【详解】 解：∵3
cos 5
α=
，且α在第四象限， ∵24
sin 1cos 5
αα=--，
∵sin tan s 4
3
co ααα=
=-． 故选：D ．
2．（2022·辽宁·沈阳二中二模）若3sin cos 0αα+=，则2
1
cos sin 2αα
=+（ ）
A ．
103 B ．53
C ．23
D ．2-
【答案】A 【解析】
先由3sin cos 0αα+=求出1
tan 3
α=-，再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子
化简，即可得出结果. 【详解】
因为3sin cos 0αα+=，所以1
tan 3
α=-，
因此
2
2
2
2211
1sin cos 110
92cos sin 2cos 2sin cos 12tan an 3
t 3
1ααααααααα+++====+++-. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查由同角三角函数基本关系化简求值，涉及二倍角的正弦公式，属于基础题型. 3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知1sin 24
α=，且ππ
32α<<，则cos sin αα-=（ ）
A ．1
2 B ．12
-
C ．3
D 3【答案】C 【解析】 【分析】
利用二倍角公式结合平方关系得()2
13cos sin 144αα-=-=，利用32
ππ
α<<开方取负值即可 【详解】
221sin 22sin cos ,sin cos 14ααααα==+=，()2
13cos sin 144
αα∴-=-=，
3
,cos sin 3
2
π
π
ααα<<
∴-= 故选：C.
4．（2022·江西萍乡·三模（文））已知1tan 2
θ=，则sin cos θθ=（ ） A ．25
B ．25
-
C ．85
D ．85
-
【答案】A 【解析】 【分析】 由22
sin co si s sin cos cos n θθ
θθθθ
=+，分子分母同除以2cos θ，即可求出结果. 【详解】 因为222sin cos tan sin cos co sin n s 1
ta θθθ
θθθθθ=
=++，
又1
tan 2θ=，所以1
22sin cos 1514θθ==+，
故选：A.
5．（2022·广东广州·三模）已知2
sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（ ） A ．12
B 3
C ．12
-
D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 将2sin cos x x +=
2sin x cos x =-12<0,结合2
sin cos x x +=
求出x 的范围，再利用 22cos 2sin 21x x +=求解即可. 【详解】 解：将2
sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0, 所以π(,π)2
x ∈ ， 又因为2
sin cos x x +=
０， 所以π3π
(,)24
x ∈，2x 3π(π,)2∈,
又因为sin2x =-1
2,
所以cos2x =21sin 2x -3 故选：D.
6．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=( )
A ．43
B ．34
C ．23
D ．32
【答案】A 【解析】 【分析】
结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos α
αα
=即可求得结果．
【详解】
22sin cos 13
cos 5sin 2cos 2
ααααα⎧+=⇒=⎨
+=⎩或cos 1α=， ∵α的终边不在坐标轴上，∵3
cos 5
α=
， ∵34sin 2255α=-⨯=，∵sin 4
tan cos 3
ααα=
=． 故选：A ．
7．（2022·广西南宁·二模（文））若α是钝角且1
sin 3
α=，则tan α=（ ） A ．2B 2C ．2D 2【答案】A 【解析】 【分析】
先求出cos α，再根据商数关系求出tan α即可. 【详解】
因为α是钝角，所以2
2122cos 1sin 13αα⎛⎫
=-=--= ⎪⎝⎭sin 2tan cos ααα== 故选：A.
题型三：三角函数的诱导公式 一、单选题
1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知2cos(πθ)sin(πθ)-=+，则sin 2θ=（ ）
A ．45
B ．45-
C ．85
D ．85
-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用诱导公式化简2cos(πθ)sin(πθ)-=+可以得到tan θ2=，再将sin 2θ化为齐次式，采用“弦化切”，代入
tan θ即可得到答案
【详解】
2cos(πθ)sin(πθ)-=+ ，2cos θ=sin θ∴
tan θ2∴=
222222sin 2θ2sin θcos θ2tan θ224
sin 2θsin θcos θsin θcos θtan θ1215
⨯=
====++++
故选：A
2．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））若4
cos 5
α=，α为第四象限角，则()tan πα-等于（ ） A ．43
-
B ．43
C ．34
D ．34
-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用平方关系及商数关系，结合诱导公式即可求值. 【详解】
由题设3
sin 5α=-，所以3tan 4α=-，则()3tan tan 4
παα-=-=.
故选：C
3．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））20cos 3
π
=（ ） A ．1
2
-
B ．1
2
C ．3
D 3【答案】A 【解析】 【分析】
由诱导公式化简求值即可. 【详解】
20π18π+2π2π2π1
cos
cos()cos(6π)cos 33332
==+==-， 故选：A
4．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））已知31
sin 23
πα⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A ．1
3
B ．13
-
C 22
D ．22
【答案】A 【解析】 【分析】
利用诱导公式化简即得所求 【详解】 ()331sin sin cos cos 223ππαααα⎛
⎫⎛⎫
-
=--=--== ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
故选：A
5．（2022·福建漳州·二模）已知π1sin 63
x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭（ ）
A ．22
B ．13-
C ．13
D 22
【答案】C 【解析】 【分析】
整体法用诱导公式求解. 【详解】
ππππ1
cos sin sin 33263
x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
故选：C
6．（2022·广西柳州·二模（理））已知π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．7
9
B ．13
C ．13-
D ．79
-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用诱导公式化简求值.
由诱导公式得π1cos cos sin 63233πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
故选：B.
7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若π4sin ,25α⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，()cos π2α-的值为（ ）
A ．
7
25
B ．725
-
C ．
925
D ．925
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由诱导公式进行化简，然后根据二倍角公式即可求解. 【详解】
π44sin ,cos 255αα⎛⎫-=-∴=- ⎪⎝⎭ ，()2
2
47cos π2cos 22cos 121525ααα⎛⎫∴-=-=-+=-⨯-+=- ⎪⎝⎭
故选：B
8．（2022·贵州贵阳·二模（理））若3cos 45πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，sin 2α=（ ）
A ．24
25
-
B ．725
-
C ．
2425
D ．
725
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式可得cos 22
πα⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，利用诱导公式可得结果.
【详解】
2187cos 22cos 11242525ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7sin 2cos 2225παα⎛
⎫∴=-=- ⎪⎝
⎭.
故选：B.
9．（2022·江西九江·三模（理））已知1sin cos 3αα-=，则cos 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．1
3-
B ．2
C ．13
D 2【答案】B 【解析】
首先根据辅助角公式得到2sin 4πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【详解】
1sin cos 243πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即2
sin 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
2cos cos sin 4424ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
故选：B
10．（2022·安徽马鞍山·三模（文））若4
cos 5α=，sin cos 1αα+<，则()tan πα-等于（ ） A ．4
3
-
B ．43
C ．34
-
D ．34
【答案】D 【解析】 【分析】
由平方关系结合已知可得sin α，然后由诱导公式和商数关系可得所求. 【详解】 因为4cos 5α=
，所以3sin 5
α=± 因为sin cos 1αα+<，所以3
sin 5
α=-
所以()3
sin 3
5tan tan 4cos 45
απααα-
-=-=-
=-=. 故选：D
题型四：三角函数恒等变换 一、单选题
1．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知3cos28cos 5αα-=，则cos α=（ ） A ．23
-
B ．23
C ．5
D 5【答案】A 【解析】 【分析】
高考数学中的三角函数图像及解析式在高中数学的学习中，三角函数是一个非常重要的概念之一，而三角函数的图像及解析式往往是高考数学中的常考的知识点之一。在本文中，我们将详细地探讨三角函数的图像及解析式，帮助读者更好地掌握这一知识点，提高高考数学的成绩。 一、正弦函数的图像及解析式 正弦函数是三角函数中最为基础的一个函数，其通式为： y = sin x 正弦函数的图像为一条波形曲线，波峰和波谷交替出现，形状类似于一条弯曲的绳子或者水波。正弦函数的图像以 y 轴为对称轴，且有一个最高点和最低点，最高点为(π/2，1)，最低点为(3π/2，-1)。而整张图像的周期为2π，也就是说函数在 x 轴上每隔2π 个单位长度就会重复一次。 二、余弦函数的图像及解析式
余弦函数也是一个基础的三角函数，通式为： y = cos x 余弦函数的图像也是一条波形曲线，波峰和波谷也是交替出现，但是与正弦函数的图像不同，余弦函数图像是以 x 轴为对称轴， 它也有一个最高点和最低点，最高点为(0，1)，最低点为(π，-1)。余弦函数的周期也是2π。 三、正切函数的图像及解析式 正切函数是三角函数中比较特别的一个函数，通式为： y = tan x 正切函数的图像类似于一条斜率一直不断变大或变小的直线， 它的图像在π/2 和3π/2 处有一个垂直渐近线。除此之外，还有一 个水平渐近线 y=0。正切函数的周期为π。 四、余切函数的图像及解析式
余切函数是正切函数的倒数，通式为： y = cot x 余切函数的图像是一条波形曲线，它也有一个垂直和水平的渐近线。余切函数的周期也是π。 总之，三角函数的图像及解析式是高考数学中的重要知识点，掌握这些知识不仅能够帮助我们在数学考试中取得好成绩，还能增进我们对数学知识的理解和掌握。
三角函数 【考纲要求】 1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，理解任意角三角函数的定义. 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝tan x . 3．能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 4．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式． 5.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 6．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 【思维导图】
【考点总结】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类⎩ ⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：
角α的弧度数公式 |α|＝l r (l 表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式 S ＝12lr ＝12 |α|r 2 3.(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． 二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 【思维导图】
高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)
高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言 三角函数是中学数学的基本重要内容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个内容。其考查内容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。两倍角的正弦、余弦、正切。、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等内容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。每年有2 —3 道选择题或填空题，或1 —2 道选择、填空题和1 道解答题。总的分值为15 分左右，占全卷总分的约10 左右。（1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与y=sinx 的图象关系。根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。如2000 年第（5 ）题、（17 ）题的第二问。（2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。如2002 年（15 ）题。（3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。一般要先对已知的函数式变形，化为一角一
目录 三角函数的图像与性质 (2) 模块一:三角函数图像与性质 (2) 考点1:正弦函数图像与性质 (3) 考点2:余弦函数图像与性质 (5) 考点3:正切函数图像与性质 (6) 课后作业: (7)
专题14 三角函数的图像与性质模块一:三角函数图像与性质 1．正弦函数sin =． y x 2
对称中心 ()ππ0 2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ Z ， 奇偶性 偶函数 单调性 单调增区间 []()π2π2πk k k -+∈Z ， 单调减区间 []()2ππ2πk k k +∈Z ， 3．正切函数tan y x =． 正切函数 tan y x = 图象 性质 定义域 ()ππππ22k k k ⎛⎫ -++∈ ⎪⎝⎭ Z ， 值域 R 最小正周期 π 对称性 对称轴 无 对称中心 ()π0 2k k ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ Z ， 奇偶性 奇函数 单调性 单调增区间 ()ππππ22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭ Z ， 单调减区间 无 考点1:正弦函数的图像及性质 例1.（1）函数()sin (0)f x A x A =>的图象如图所示,P ,Q 分别为图象的最高点和最低点,O 为坐标原点,若OP OQ ⊥,则(A = )
A ．3 B C D ．1 【参考解答】解:函数()sin (0)f x A x A =>,周期2T π=, 可得:( 2 P π ,)A ,3( ,)2 Q A π -． 连接PQ ,过P ,Q 作x 轴的垂线, 可得:2224[()]2QP A π=+,222()]2OP A π=+,2223()]2 OQ A π =+, 由题意,OPQ ∆是直角三角形, 222QP OP OQ ∴=+,即2225 22 A ππ+=, 解得:A = 故选:B ． （2）已知函数2sin y x =的定义域为[a ,]b ,值域为[2-,1],则b a -的值不可能是( ) A ． 56 π B ．π C ．76 π D ． 32 π 【参考解答】解:函数2sin y x =的定义域为[a ,]b ,值域为[2-,1],[x a ∴∈,]b 时,11sin 2 x -, 故sin x 能取到最小值1-,最大值只能取到12 , 例如当2 a π =-,6 b π = 时,区间长度b a -最小为 23 π; 当76a π=- ,6b π=时,区间长度b a -取得最大为43π,即 243 3 b a ππ-, 故b a -一定取不到32 π , 故选:D . （3）在[0,2]π内满足2 sin 2 x 的x 的取值范围是 ．
高中数学三角函数练习题及答案解析（附答案） 一、选择题 1．探索如图所呈现的规律，判断2 013至2 014箭头的方向是() 图1－2－3 【解析】观察题图可知0到3为一个周期， 则从2 013到2 014对应着1到2到3. 【答案】 B 2．－330是() A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】－330＝30＋(－1)360，则－330是第一象限角．【答案】 A 3．把－1 485转化为＋k360，kZ)的形式是() A．45－4360 B．－45－4360 C．－45－5360 D．315－5360 【解析】－1 485＝－5360＋315，故选D. 【答案】 D 4．(2019济南高一检测)若是第四象限的角，则180－是() A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【解析】∵是第四象限的角，k360－90k360，kZ，
－k360＋180180－－k360＋270，kZ， 180－是第三象限的角． 【答案】 C 5．在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为() A．＝＋90 B．＝90 C．＝＋90－k360 D．＝90＋k360 【解析】∵与的终边互相垂直，故－＝90＋k360，kZ，＝90＋k360，kZ. 【答案】 D 二、填空题 6．，两角的终边互为反向延长线，且＝－120，则＝________. 【解析】依题意知，的终边与60角终边相同， ＝k360＋60，kZ. 【答案】k360＋60，kZ 7．是第三象限角，则2是第________象限角． 【解析】∵k360＋180k360＋270，kZ k180＋90k180＋135，kZ 当k＝2n(nZ)时，n360＋90n360＋135，kZ，2是第二象限角，当k＝2n＋1(nZ)时，n360＋270n360＋315，nZ
高三数学三角函数试题答案及解析 1.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有 ，则使等式成立的的集合 为． 【答案】 【解析】令得：，令得： ，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为. 【考点】抽象函数赋值法 2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（） A．﹣B．C．D．﹣ 【答案】A 【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53° =cos83°cos37°﹣sin83°sin37° =cos（83°+37°） =cos120° =﹣， 故选A． 3.若点在函数的图象上，则的值为 . 【答案】. 【解析】由题意知，解得，所以. 【考点】1.幂函数；2.三角函数求值 4.已知函数则 = 【答案】 【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以 当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为 .所以 . 所以 . 【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.
5.已知向量，设函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长． 【答案】（1）函数在上的单调递增区间为，；（2）边的长为.【解析】（1）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为.通过研究 的单调减区间得到函数在上的单调递增区间为，. （2）根据两角和的正弦公式，求得， 利用三角形的面积，解得， 结合,由余弦定理得 从而得解. 试题解析：（1）由题意得 3分 令, 解得：， ，，或 所以函数在上的单调递增区间为， 6分 （2）由得： 化简得： 又因为，解得： 9分 由题意知：，解得， 又,所以 故所求边的长为. 12分 【考点】平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，三角函数的图像和性质，正弦定理、余弦定理的应用. 6.函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（） A．B． C．D．
高中数学中的三角函数解析式三角函数在高中数学中占据着重要的地位，解析式是理解和应用三 角函数的关键。本文将深入探讨高中数学中的三角函数解析式，包括 正弦函数、余弦函数和正切函数的解析式，以及它们在数学问题中的 应用。通过对解析式的详细介绍，希望读者能够更好地掌握三角函数 的性质和运用。 一、正弦函数的解析式 正弦函数是最基础且常见的三角函数之一。它的解析式表示为：y = A sin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D为常数。A决定了正弦函数的 振幅，B决定了周期的变化率，C决定了横向平移，而D则是纵向平 移的常数项。 正弦函数的图像是一条起伏的曲线，它在坐标系中以正弦波的形式 展现。振幅A是指正弦波峰值与坐标轴之间的距离，周期T可以通过 公式T = 2π/B求得。 二、余弦函数的解析式 余弦函数也是常见的三角函数之一，它的解析式为：y = A cos(Bx + C) + D。与正弦函数类似，余弦函数的解析式中的A、B、C、D也是 常数。A表示余弦函数的振幅，B表示周期的变化率，C表示横向平移，D表示纵向平移。
余弦函数的图像是一条波动的曲线，与正弦函数的主要区别在于其相位差。正弦函数的相位差为0，而余弦函数的相位差为π/2。此外，余弦函数的周期与正弦函数相同，也可以通过公式T = 2π/B来计算。 三、正切函数的解析式 正切函数是另一种常见的三角函数，它的解析式为：y = A tan(Bx + C) + D。同样，A、B、C和D都是常数，A表示正切函数的振幅，B 表示周期的变化率，C表示横向平移，D表示纵向平移。 正切函数的图像是一条在特定区域内无穷多个周期重复的曲线。由于正切函数在某些点上没有定义，因此其图像会出现断裂。这一特性使得正切函数在实际应用中需要谨慎使用。 四、三角函数解析式的应用 三角函数解析式在实际问题中具有广泛的应用，尤其是在波动、周期和振动等方面。例如，在物理学中，正弦函数可以用来描述自然界中的周期性现象，如声波和震动。在工程学中，正弦和余弦函数可以用于分析交流电流的变化和周期性。 此外，三角函数解析式还可以应用于几何问题的解决。例如，在三角学中，我们可以使用正切函数来求解三角形的角度和边长，从而解决诸如航海、测量和地理问题。 总结起来，高中数学中的三角函数解析式是理解和应用三角函数的重要工具。通过掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的解析式，我们可以更好地理解其性质和特点，并能够在实际问题中运用它们。三角
第6题 高考永恒热点：三角函数的图象与性质 一、原题呈现 【原题】记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫ =+ +> ⎪⎝ ⎭的最小正周期为T ．若2π π3 T <<,且()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,则π2f ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ A. 1 B. 32 C. 52 D. 3 【答案】A 【解析】由()f x 的最小正周期T 满足 2ππ3 T <<,得2π2π π3ω<<,解得23ω<<,由()f x 的图象关于点3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 对称,所以3πππ,24k k Z ω+=∈,且2b =,所以12,63k k Z ω=-+∈,所以52ω=,5 π()sin 224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,所以 π5 πsin π2124 4f ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A 【就题论题】无论是新高考还是老高考，基本上每年都有一道考查三角函数图象与性质的客观题，其中周期性、单调性及对称性是高考热点，与本题有关的对称对称性结论有：⑴若函数()f x 的图象关于点(),a b 对称，则()()22f x f a x b +-=；⑵()()()sin 0f x A x B A ωϕω=++≠的图象关于点()0,x B 对称，其中()0sin 0x ωϕ+=。 二、考题揭秘 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等. 【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有1-2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质. 【得分秘籍】 1.y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π |ω| . 2.求三角函数单调区间的两种方法：①求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．若ω＜0,应先用诱导公式化x 的系数为正数,以防止把单调性弄错． 3. f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω≠0)关于0x x =对称的充要条件是()0f x A =±；关于点()0,0x 对称的充要条件是 ()00f x =；
数学三角函数详细解析高考必背 三角函数介绍 正弦函数 主词条：正弦函数。 格式：sin(θ)。 作用：在直角三角形中，将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc(θ)的倒数。 函数图像：波形曲线。 值域：-1~1。 余弦函数 主词条：余弦函数。 格式：cos(θ)。 作用：在直角三角形中，将大小为(单位为弧度)的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec(θ)的倒数。 函数图像：波形曲线。 值域：-1~1。 正切函数 主词条：正切函数。
格式：tan(θ)。 作用：在直角三角形中，将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot(θ)的倒数。 函数图像：右图平面直角坐标系反映。 值域：-∞~∞。 余切函数 主词条：余切函数。 格式：cot(θ)。 作用：在直角三角形中，将大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan(θ)的倒数。 函数图像：右图平面直角坐标系反映。 值域：-∞~∞。 正割函数 主词条：正割函数。 格式：sec(θ)。 作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos(θ)的倒数。 函数图像：右图平面直角坐标系反映。 值域：≥1或≤-1。 余割函数
主词条：余割函数。 格式：csc(θ)。 作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin(θ)的倒数。 函数图像：右图平面直角坐标系反映。 值域：≥1或≤-1。 万能三角函数公式 (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2 证明下面两式，只需将一式，左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 (4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 设tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) (A≠2kπ+π，k∈Z) tanA=2t/(1-t^2) (A≠2kπ+π，k∈Z) cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A≠2kπ+π k∈Z) 就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了. 三角万能公式有哪些 三角函数诱导公式有哪些
专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题） (典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍 ()()sin f x A x k ωϕ=+=实根问题，换元法令t x ωϕ=+将函数()f x 化简为sin y A t =，在利用正弦函数 sin t 的图象来解决交点（根，零点）的问题. 二、典型例题 例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数()()sin 0, 0,2f x A x A πωϕωϕ⎛ ⎫=+>>< ⎪ ⎝ ⎭在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数()f x 的解析式； (2)设02 x π <<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围. 第（2）问思路点拨：本小题要求 时，方程 有两个根，求的取值范围,可采用换元法 解答过程： 由（1）知，令，由 ，则 ，作出函数 的图 象，根据图象讨论 的的个数. 图象可知： 与 的图象在内 有两个不同的交点时，，故实数 的取值范 围为 .
【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭(2)()1,2 (1)显然2A =，又1121212T ππππω ⎛⎫= --== ⎪⎝⎭，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫ -+= ⎪⎝⎭ ， 所以()Z 6 k k π ϕπ- +=∈，又2 π ϕ< ，所以6 π = ϕ， 所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭. (2)02 x π << ，且方程()f x m =有两个不同的实数根， 即()y f x =与y m =的图像在02 x π <<内有两个不同的交点， 令26t x π =+ ，则7,66 t ππ ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，作出函数2sin y t =的图像如下： 由图像可知：2sin y t =与y m =的图像在7,66t ππ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 内有两个不同的交点时， 12m <<，故实数m 的取值范围为()1,2.
高中数学三角函数测试卷(答案解析版) 高中数学三角函数测试卷(答案解析版) 一、选择题 1. 假设α是锐角，sinα=0.6，那么sin(90°-α)的值是多少？ 解析：根据三角函数的互余关系，sin(90°-α) = cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - 0.6²) = 0.8。 答案：0.8 2. 已知tanα = 3/4，sinα的值为多少？ 解析：由tanα = sinα/cosα可得sinα = tanα × cosα = 3/4 × 4/5 = 3/5。 答案：3/5 3. 已知sinα = 1/2，cosβ = 3/5，α和β都是锐角，则sin(α+β)的值是多少？ 解析：根据两角和的公式，sin(α+β) = sinα × cosβ + cosα × sinβ = (1/2) × (3/5) + √(1 - (1/2)²) × √(1 - (3/5)²) = 3/10 + √(3/10 × 7/10) = 3/10 + √(21/100) = 3/10 + 3√21/10√10 = (3 + 3√21)/10。 答案：(3 + 3√21)/10 二、填空题 4. 在锐角三角形ABC中，已知∠A=30°，BC=6，AC=10，则AB 等于多少？
解析：根据正弦定理，AB/AC = sin∠B/sin∠A，代入已知条件得到AB/10 = sin∠B/sin30°，即AB = 10×sin∠B/sin30°。由∠B + ∠C = 90° 可得∠B = 90° - ∠A - ∠C = 90° - 30° - 60° = 0°。因此，AB = 10×sin0°/sin30° = 0/0 = 0。 答案：0 5. 若sinα = 1/2，且α为锐角，则余切α的值是多少？ 解析：由sinα = 1/2可得α = 30°，根据余切的定义，tanα = sinα/cosα，余切α = 1/tanα = 1/(sinα/cosα) = cosα/sinα。代入已知条件可 得余切α = cos30°/sin30° = √3/1 = √3。 答案：√3 三、解答题 6. 证明：tanA × cotB = 1。 证明：根据正切和余切的定义，tanA = sinA/cosA，cotB = cosB/sinB。代入可得tanA × cotB = (sinA/cosA) × (cosB/sinB) = (sinA × cosB)/(cosA × sinB) = sinA/sinB × cosB/cosA = 1 × 1 = 1。 证毕。 7. 解方程sinx + cosx = 1。 解析：将该方程转化为一个三角函数的平方和的形式。由于(sin²x + cos²x)/2 + (cos²x - sin²x)/2 = 1，可得cos²x - sin²x = 0，再应用三角恒等
高一数学三角函数试题答案及解析 1.化简 = ; 【答案】 【解析】 【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。 点评：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形。 2.若x∈(0，2π)，函数的定义域是 A．( ,π］B．( ,π)C．(0,π)D．( ,2π) 【答案】A 【解析】为使函数有意义须，即，又x∈(0，2π)，所以 x∈( ,π］，故选A。 【考点】本题主要考查三角函数的图象和性质。 点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。 3.若，试求y＝f(x)的解析式. 【答案】y＝ 【解析】由x＝sinθ＋cosθx2＝1＋2sinθcosθsinθcosθ＝ ∴y＝f(x)＝sinθcosθ＝ 【考点】本题主要考查任意角的三角函数、同角公式的应用。 点评：的互求，常常通过平方（开方）实现，这类题属于常考题型。 4.将角α的终边顺时针旋转，则它与单位圆的交点坐标是 A．（cosα，sinα）B．（cosα，－sinα） C．（sinα，－cosα）D．（sinα，cosα) 【答案】C 【解析】α的终边与单位圆的交点坐标为，将角α的终边顺时针旋转，对应角为-，所以它与单位圆的交点坐标是， 即（sinα，－cosα），故选C。 【考点】本题主要考查任意角的三角函数、单位圆、诱导公式的应用。 点评：属于常考题型，应用诱导公式转化。
5.使tanx－有意义的x的集合为 . 【答案】{x|x∈R且x≠，k∈Z} 【解析】为使tanx－有意义，须，即角x终边不能落在坐标轴上，所以x≠， 故使tanx－有意义的x的集合为{x|x∈R且x≠，k∈Z}。 【考点】本题主要考查任意角的三角函数定义。 点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。 6.已知0°≤θ<360°，θ角的7倍的终边和θ角重合，试求θ角 【答案】θ=0°，θ=60°，θ=120°θ=180°，θ=240°，θ=300° 【解析】根据终边相同角的关系式7θ=θ+k·360，k∈Z，则θ=k·60°。K=0时，θ=0°，K=1时， θ=60°，K=2时，θ=120°，K=3时，θ=180°，K=4时，θ=240°，K=5时，θ=300° 【考点】本题主要考查终边相同角的概念及表示。 点评：根据终边相同角的关系式，可写出所有终边相同角的集合，根据指定范围确定所求角，一 种方法是通过解不等式，二一种方法是特取k的值。基本题。 7.若x∈(0，2π)，函数的定义域是 A．( ,π］B．( ,π)C．(0,π)D．( ,2π) 【答案】A 【解析】为使函数有意义须，即，又x∈(0，2π)，所以 x∈( ,π］，故选A。 【考点】本题主要考查三角函数的图象和性质。 点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。 8.函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程为 A．x＝B．x＝－C．x＝D．x＝ 【答案】B 【解析】由2x＋=，，解得对称轴方程为，k=1时，得x＝－，所 以选B。 【考点】本题主要考查三角函数的图象和性质。 点评：简单题，可将选项代入函数式，能使函数取到最大或最小值即可。 9.函数y＝5＋sin22x的最小正周期为 A．2πB．πC．D． 【答案】C 【解析】函数y＝5＋sin22x=，所以其周期为，故选C。
高一数学三角函数综合试题答案及解析 1.如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，）． （Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）求的值． 【答案】（Ⅰ） m=﹣；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由于该圆是单位圆，=1，又角α的终边在第二象限，所以m＜0，联立，可得到结果m=﹣； （Ⅱ）由m=﹣得sinα=，cosα=﹣， 对式子化简， = 得将数值代入，化简可得到答案. 试题解析：（Ⅰ）根据题意得：=1，且m＜0，解得：m=﹣；（5分）（Ⅱ）∵sinα=，cosα=﹣， ∴原式= = = = ．（10分） 【考点】三角函数化简. 2.（本小题满分12分）已知． (1)若,求的取值构成的集合． (2)若,求的值． 【答案】(1) ;(2) 【解析】(1) 先化简函数f(x),再解即可．(2) 由，即 ，然后代入即可． (1)由已知可得 (3分) 因为,即,有 (5分)．
所以取值的集合为 (6分) (2)因为, (9分) 所以 (12分) 【考点】解三角方程；诱导公式，三角函数式的化简． 3.已知， （1）若，且∥（），求x的值； （2）若,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【解析】(1)先将向量化为代数式，即, ； （2）由已知先写出，的坐标，再由则有： 当时等式不成立；将写成关于的函数，即，再求函数的值域即是的取值范围为 （或解）用表示，即，又因为，可解得的取值范围为 . 试题解析：（1）， ，, （2）， 若则有： 当时等式不成立；解得：的取值范围为 【考点】本题考查向量的坐标运算；向量共线的；利用三角函数的有界性求参数. 4.函数y=++的值域是（） A．{1}B．{1，3}C．{-1}D．{-1，3} 【答案】D 【解析】由题意知角X的终边不在坐标轴上。 当X为第一象限角时， 当X为第二象限角时， 当X为第三象限角时， 当X为第四象限角时。所以或 【考点】三角函数正负符号问题 5.已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1，且A为锐角． (1)求角A的大小； (2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．
高中数学总复习考点知识讲解练习 第7讲 三角函数的图象与性质 【考点提炼】 考点知识一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1．同角关系：sin 2α＋cos 2 α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．诱导公式：在k π 2 ＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 【考点突破】 【典例】1(1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为() A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π 3 【答案】C 【解析】 角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即为点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，在第四象限，且满 足cos α＝12，sin α＝－32，故α的最小正值为5π 3 ，故选C. (2)(2021·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于() A ．－ 53 B.53 C ．－52 D.52
【答案】C 【解析】 ∵sin θ＝5cos(2π－θ)， ∴sin θ＝5cos θ，得tan θ＝5， ∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝25 1－5 2 ＝－5 2 . 二级结论 (1)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α<α 专题62 三角函数的应用 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意； (2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论． 题型一 三角函数模型在物理学中的应用 1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎫2πt ＋π 6，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( ) A ．2π s B ．π s C ．0.5 s D ．1 s [解析]依题意是求函数s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6的周期，T ＝2π 2π ＝1，故选D. 2．如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝1 2sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π2，t ∈[0，＋∞)，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是________． [解析]当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1 π . 3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π 3 s 时，s 1与s 2的大小关系是( ) A ．s 1＞s 2 B ．s 1＜s 2 C ．s 1＝s 2 D ．不能确定 [解析]当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5，当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π 3＝10×⎝⎛⎭⎫－12＝－5，故s 1＝s 2. 4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s) 高一数学三角函数试题答案及解析 1.如图，在中，已知,是上一点，,则 【答案】 【解析】由余弦定理得：，在三角形中，再由正弦定理得： 【考点】正余弦定理综合 2.若f(cos x)="cos" 3x，则f(sin 30°)的值为 . 【答案】-1 【解析】根据题意，由于f(cos x)="cos" 3x，则f(sin 30°)=" f(cos" 60°)=cos180°=-1.故可知答案为-1. 【考点】三角函数的求值 点评：主要是考查了三角函数解析式的求解，属于基础题。 3.已知，计算： （1）；（2）；（3）；（4）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； 【解析】（1）. （2）.，， （3）. （4）. 【考点】诱导公式；同角三角函数的基本关系 点评：在（1）中，用到的诱导公式有和；在（2）中，用到的公式有和；在（3）中，用到的诱导公式有和 ；在（4）中，用到的公式有。 4.在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）现给出三个条件：①；②；③．试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选项，并以此为依据求出的面积（只需写出一个选定方案即可）． 【答案】（1）；（2）选①③，。 【解析】（1）由代入正弦定理得： ， 即：，又， ．又． 6分 （2）方案1：选①②． 由正弦定理得：． 又， ． 12分 方案2：选①③． 由余弦定理得： ∴，从而 ． 12分 （选②③，这样的三角形不存在） 【考点】正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式；三角形内的隐含条件。 点评：熟练掌握三角形内的隐含条件：； 。 ，使得对任意的实数x，都有 5.已知函数，如果存在实数x 1 成立，则的最小值为（） A．B．C．D． 【答案】B ，使得对任意的实【解析】根据题意，由于，存在实数x 1 数x，都有成立，可知函数的最小值为-，则周期的最大值为2012，那么可知w值为，故可知的最小值为，选B 【考点】三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。 6.函数，的值域是_________． 【答案】[0,] 【解析】根据题意，由于，当，可知，那么 结合正弦函数的图像可知，函数的值域为那么的值域为[0,]。【考点】三角函数的值域 点评：主要是考查了三角函数的单一函数的变形以及性质的运用，属于基础题。 7.若，则（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】根据题意，由于 专题46 三角函数的概念 1．单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义 (1)条件 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R 它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (2)结论 ①正弦：点P 的纵坐标y 叫做α的正弦，记作sin α，即y ＝sin α； ②余弦：点P 的横坐标x 叫做α的余弦，记作cos α，即x ＝cos α； ③正切：把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0) (3)三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数y ＝sin x (x ∈R)；余弦函数y ＝cos x (x ∈R)；正切函数y ＝tan x ⎝⎛⎭ ⎫x ≠π 2＋k π，k ∈Z 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 sin α R cos α R tan α ⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π＋π 2，k ∈Z 4.正弦、余弦、 正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 5．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)： sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z. 即终边相同的角的同一三角函数值相等． 题型一 任意角的三角函数的定义及其应用 1．若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. [解析]∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝ 52＋(－12)2＝13， 则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－12 5 . 2．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值为 [解析]由三角函数定义知tan α＝－1 1 ＝－1. 3．已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为 [解析] ∵α的终边经过点P (1，－1)，∴sin α＝ －1 12＋(－1)2 ＝－ 22 . 4．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝ [解析] ∵x ＝－4，y ＝3，∴r ＝ (－4)2＋32＝5，∴cos α＝x r ＝－45＝－4 5 5．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝⎛⎭ ⎫－35，4 5，则tan α的值为 [解析] 由正切函数的定义可得，tan α＝ 45 －35＝－4 3. 6．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭ ⎫ 32，12，则cos α＋sin α的值为________． [解析]cos α＝x ＝ 32，sin α＝y ＝1 2，故cos α＋sin α＝3＋12 . 7．若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于 [解析] ∵x ＝2sin30°＝1，y ＝－2cos30°＝－3，∴r ＝ 12＋(－3)2＝2，∴sin α＝y r ＝－3 2 8．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫ 513，1213和⎝⎛⎭ ⎫－35，4 5，那么sin α·tan β＝________. [解析]由任意角的正弦、正切函数的定义知sin α＝1213，tan β＝4 5－35 ＝－4 3 ， 高一数学三角函数试题答案及解析 1.不等式sin()>0成立的x的取值范围为( ) A．B． C．D． 【答案】D 【解析】,即,可得,故选D. 【考点】解三角不等式 2.函数y＝sinx＋cosx，x∈[―，]的值域是_________． 【答案】[0,] 【解析】因为又，所以研究三角函数 性质首先化为基本三角函数形式. 【考点】三角函数性质 3.已知函数 （Ⅰ）若求函数的值； （Ⅱ）求函数的值域。 【答案】（1） （2）[ 1 , 2 ] 【解析】解：（Ⅰ） 2分 6分 （Ⅱ） 8分 函数的值域为[ 1 , 2 ] 12分 【考点】三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数的化简和性质的运用，属于基础题。 4.函数的单调递增区间是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据题意，由于函数的单调递增区间即为函数的单调减区间，即可知,解得x的取值范围是，故可知函数递增区间 为，选D. 【考点】三角函数的单调性 点评：主要是考查了三角函数的单调性的运用，属于基础题。 5.已知，且为第三象限角，求，的值 （2）求值： 【答案】（1）， （2） 【解析】解：（1），且为第三象限角，所以， ， （2）原式 【考点】同角关系式以及二倍角公式的运用 点评：主要是考查了同角关系以及二倍角公式的计算，属于基础题。 6.已知tan（α＋）＝－3，α∈（0，）． （1）求tanα的值； （2）求sin（2α－）的值． 【答案】(1)2 (2) 【解析】（1）由tan（α＋）＝－3可得 解得tanα＝2． （2）由tanα＝2，α∈（0，），可得sinα＝，cosα＝． 因此sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1－2sin2α＝－， sin（2α－）＝sin2αcos－cos2αsin＝ 【考点】两角和差的三角公式 点评：主要是考查了二倍角公式以及两角和差的公式的运用，属于基础题。 7.给出下列六种图像变换方法 ①图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变； ②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； ③图象向右平移个单位；④图象向左平移个单位； ⑤图象向右平移个单位；⑥图象向左平移个单位 请用上述变换中的两种变换，将函数的图象变换到函数 的图象，那么这两种变换的序号依次是专题62 高中数学三角函数的应用(解析版)
高一数学三角函数试题答案及解析
专题46 高中数学三角函数的概念(解析版)
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