高中数学三角函数的诱导公式课件
本文将为大家详细介绍高中数学三角函数的诱导公式及其应用。通过本文的学习，大家将更好地掌握三角函数的基本知识，提高数学解题能力。
三角函数是高中数学中的重要内容，它们在解决几何、物理等问题中发挥着重要作用。诱导公式是三角函数的一个重要组成部分，它可以帮助我们简化复杂的三角函数运算，让我们更容易地解决数学问题。首先，让我们来看看什么是三角函数的诱导公式。诱导公式是指通过一定的方法将复杂的三角函数形式转化为简单的三角函数形式，例如将正弦、余弦、正切等函数转化为锐角三角函数。在高中阶段，我们主要学习以下四种诱导公式：
1、奇变偶不变，符号看象限
2、一全正，二正弦，三正切，四余弦
3、奇、偶指的是π/2的倍数的奇偶，变与不变指的是三角函数的名称的变化。当π/2的倍数是奇数时称为奇变，是偶数时称为偶变。当题中出现角的对称关系时，它们还起着桥梁作用。如“α与β的差是π/2的倍数”等价于“α、β分别与π/4的倍数的和差关系”。
4、一全正，二正弦，三正切，四余弦
接下来，我们将通过一些例题来演示如何运用诱导公式解决实际问题。例如，当我们在求解一个含有正弦、余弦、正切等函数的代数式时，我们可以使用诱导公式将其转化为锐角三角函数，从而简化计算。此外，诱导公式还可以帮助我们推导出一些重要的三角函数关系式，如两角和与差的正弦、余弦、正切等。
总之，掌握三角函数的诱导公式对于我们学习高中数学是非常重要的。通过深入理解诱导公式的含义和应用，我们可以更好地解决与三角函数相关的数学问题。诱导公式也是进一步学习更高级数学知识的基础。因此，我们应认真学习并熟练掌握这些基本公式，提高自己的数学解题能力。
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A
一、任意角的三角函数的定义： 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点） ，它与原点的距离是0r =，那么sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α= ≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”. 有向线段OM 为余弦线 有向线段AT 为正切线
高一数学课件：三角函数2 复习 一.任惫角的三角為敷 1、角的概念的推广y负角q的终边 1、角的概念的推广 y 负角 q的终边 正角 零角 a g (—oo,+oc) 2 2、角度与弧度的互化 X = 360° tt = 180° X = 360° tt = 180° 1 弧度=(—)。a 57.30。= 57。1 7V 1° = 7V 180 特殊角的角度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90c 120°
135° 150° 180° 270° 360° 弧度 兀 兀 7 71 71 2 271 3 371 4 5” ~6 71 3兀 2 二正弦，三两切，四余弦平方关系：sin2 二正弦，三两切，四余弦 平方关系： sin2? + cos2? = l l + tan2? = sec2 a l + cot2^ = csc2cif
4、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： 商关系： tan a ? cot a = 1 sin a fan zy — I dll Cv — sina-csca = 1 cosa cos a ?seca = 1 cosa cota = sin a 3、任意角的三角函数定义 定义： TOC \o 1-5 \h \z ? V X V sin oc = 一，cos a = —，tan oc —一 r r x — r r x cscoc= —，sec a = —, cot cl —— y 兀 y 三角函数值的符号：“一全正, 5、诱导公式： 诱导公式是针对竺的各三角函数值的化简 2 口诀为:”奇变偶不变符号看象限 (即把看作是锐角) 呪例：sin(——a)= -COSOf 2 cos 一 sina
第三讲 三角函数的诱导公式 一、教学目标 1.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值 2.能够进行简单的三角函数式的化简与恒等式的证明 二、知识点的梳理 知识点一、三角函数的诱导公式知识点总结 公式一 sin （2k π＋α）= sin α cos （2k π＋α）= cos α tan （2k π＋α）= tan α 公式二 sin （π＋α）= -sin α cos （π＋α）= -cos α tan （π＋α）= tan α 公式三 sin （-α）= -sin α cos （-α）= cos α tan （-α）= -tan α 公式四 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sin α cos （π-α）= -cos α tan （π-α）= -tan α 公式五 2 π +α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cos α cos （2π +α）= -sin α 公式六 2 π -α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cos α cos （2π -α）= sin α 拓展——公式七 2 3π +α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π+α）= -cos α cos （2 3π+α）= sin α 拓展——公式八 2 3π -α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π-α）= -cos α cos （2 3π-α）= -sin α (以上k ∈Z)
方法点拨： 把α看作锐角 一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限） 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ +⋅ 2 k 或是απ -⋅ 2 k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数， 是奇数就改变函数名，偶数就不变 知识点二、求任意角的三角函数的步骤： 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 用公式 三或一 用公式一 0~2π的三角函数 用公式 二或四 锐角的三角函数
高中数学的三角函数诱导公式 所谓三角函数诱导公式，就是将角n・(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα k∈z cos（2kπ+α）=cosα k∈z tan（2kπ+α）=tanα k∈z cot（2kπ+α）=cotα k∈z 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（&pi 高中化学;－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα
公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα 公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα cot（π/2+α）=－tanα sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα cot（π/2－α）=tanα 推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（3π/2+α）=－cosα cos（3π/2+α）=sinα tan（3π/2+α）=－cotα cot（3π/2+α）=－tanα sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2－α）=－sinα tan（3π/2－α）=cotα
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限) 例如： sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α(k∈Z)，-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”. 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”，弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”. 上述记忆口诀，一全正，二正弦，三内切，四余弦
高中诱导公式三角函数 三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。 常用的三角函数诱导公式有以下几组: 公式1 : 设a为任意角,终边相同的角的同--三角函数的值相等: sin ( 2kπ+a) = sina cos ( 2kπ+a) =Cosa tan ( 2kπ+a) = tana cot ( 2kπ+a) = cota 公式二: 设a为任意角, π+a的三角函数值与x的三角函数值之间的关系: sin(π+a) = - sina cos( π+a) = - COSa tan( π+a) = tana cot(π+a) = cota 万能公式： sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²} cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²} tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2} 利用诱导公式化简求值时的原则：1、“负化正”，运用－α的诱导公式将 任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数。2、“大化小”，利用k·360°＋α(k∈Z)的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数。 3、“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数。 4、“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得。 假如有一个直角三角形ABC,其中a、b 是直角边，c 是斜边。
人教版必修四 1。3。1三角函数的诱导公式（一）（结） 命题方向1 求值问题 利用诱导公式求任意角三角函数的步骤 （1)“负化正"--用公式一或三来转化； (2）“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；（3）“小化锐”-—用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；（4）“锐求值"--得到锐角的三角函数后求值． [特别提醒］牢记0°，30°，45°，60°，90°角的正弦、余弦和正切值对给角求值问题很重要！ 求下列三角函数值： (1）sin960°;（2）cos(－错误!)． ［分析］先将不是［0°，360°）范围内角的三角函数，转化为[0°,360°)范围内的角的三角函数（利用诱导公式一)，或先将负角转化为正角，然后再用诱导公式化到［0°，90°]范围内的三角函数的值． ［解析］(1）sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－错误!. (2）cos（－错误!）＝cos错误!＝cos（错误!＋6π)＝cos错误!＝cos(错误!＋π）
＝－cos错误!＝－错误!。 ［点评] 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般步骤：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为［0°,360°）内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为:“负化正，大化小,化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值)．解决条件求值问题策略 解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系,要么将已知式进行变形向所求式转化,要么将所求式进行变形向已知式转化．总之,设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键． ［解析］∵sin（π＋α）＝－sinα，∴sinα＝错误!， ∴cosα＝±1－cos2α＝±错误!＝±错误! 又∵cos（5π＋α)＝cos(π＋α）＝－cosα＝±错误!. 命题方向2 三角函数式的化简问题 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数; (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；（3)注意“1"的变形应用．
知识点一诱导公式一 设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)． 思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？ 答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式一 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α. 知识点二诱导公式二 思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？ 教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向 1.α π+与α的正弦、余 弦、正切值的关系 数学抽象水平1 水平1 1.熟练掌握相应角的终 边上点的坐标的特点。 2.使用诱导公式的目的 在于将任意角的三角函 数转化为锐角的三角函 数。 【考查内容】诱导公式的 应用，三角函数的基本关 系式。 【考查题型】选择题、填 空题 【分值情况】5分 2.α -与α的正弦、余弦、 正切值的关系 数学抽象水平1 水平 1 3.α π-与α的正弦、余 弦、正切值的关系 数学抽象水平1 水平1 4.α π ± 2 与α的正弦、余 弦、正切值的关系 数学抽象水平1 水平1 第三讲三角函数的诱导公式 知识通关
答案 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，P 2与P 也关于x 轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式二 知识点三 诱导公式三 思考 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P 3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P (cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？ 答案 角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，P 3与P 也关于y 轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式三 梳理 公式一～三都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这三组公式的共同特点是： 2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”． 知识点四 诱导公式四 完成下表，并由此总结角α，角π 2－α的三角函数值间的关系． (1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3； (2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4 ；
常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα
sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα) 万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 万能公式推导 附推导： sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1) 再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)] 三倍角公式推导 附推导： tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosα sin^2(α)-2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α)，得： tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα =2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α) =3sinα-4sin^3(α) cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
数学三角函数诱导公式大全 （实用版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如小学资料、初中资料、高中资料、大学资料、文言文、中考资料、高考资料、近义词、反义词、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this store provides you with various types of practical materials, such as primary school materials, junior high school materials, senior high school materials, university materials, classical Chinese, senior high school examination materials, college entrance examination materials, synonyms, antonyms, other materials, etc. If you want to know different data formats and writing methods, please pay attention!
高二数学知识点之三角函数诱导公式 查字典数学网高中频道为各位同学整理了高二数学知识点之三角函数诱导公式，供大家参考学习。更多内容请关注查字典数学网高中频道。 三角函数的诱导公式 公式一： 设为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等： sin(2k)=sin cos(2k)=cos tan(2k)=tan cot(2k)=cot 公式二： 设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin()=-sin cos()=-cos tan()=tan cot()=cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin(-)=-sin cos(-)=cos tan(-)=-tan
公式四： 利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系：sin()=sin cos()=-cos tan()=-tan cot()=-cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2与的三角函数值之间的关系： sin(2)=-sin cos(2)=cos tan(2)=-tan cot(2)=-cot 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin(/2+)=cos cos(/2+)=-sin tan(/2+)=-cot cot(/2+)=-tan sin(/2-)=cos cos(/2-)=sin
cot(/2-)=tan sin(3/2+)=-cos cos(3/2+)=sin tan(3/2+)=-cot cot(3/2+)=-tan sin(3/2-)=-cos cos(3/2-)=-sin tan(3/2-)=cot cot(3/2-)=tan (以上kZ) 对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 以上就是小编为大家整理的高二数学知识点之三角函数诱导公式。
《诱导公式（第二课时）》教学设计 1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（ 2 π ±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养． 2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养． 教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、 化简与恒等式的证明． 教学难点：诱导公式的有效识记和应用． PPT 课件． 资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识 【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图 （一）新知探究 引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行． 问题1：通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试． 预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流． 预设答案： （1）提出问题：如图1，点P 1关于直线y ＝x 的对称点 ◆ 教学过程 ◆ 课前准备 ◆ 教学重难点 ◆ ◆ 教学目标
图2 P 5，以OP 5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？ 解：如图1，以OP 5为终边的角β都是与角2π－α终边相同的角，即β=2k π＋(2 π －α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角 2 π －α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 5（x 5，y 5），由于P 5是点P 1关于直线y ＝x 的对称点，可以证明：x 5＝y 1，y 5＝x 1． 根据三角函数的定义，得sin （2π－α）＝y 5，cos （2 π －α）＝x 5． 从而得 公式五 （2）提出问题：如图2，点P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，再作P 5关于y 轴的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？ 解：接上一题．如图2，以OP 6为终边的角β都是与角2 π ＋α终边相同的角，即β=2k π＋(2 π ＋α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角 2 π ＋α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 6（x 6，y 6），由于P 6是点P 5关于y 轴的对称点，因此有：x 6＝－x 5，y 6＝y 5． 根据三角函数的定义，得sin （2π＋α）＝y 6，cos （2 π ＋α）＝x 6． 从而得 公式六 （3）提出问题：如图3，点P 1关于x 轴的对称点是P 7，再作P 7关于直线y ＝x 的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函 sin （2 π ＋α）＝cos α， cos （ 2 π ＋α）＝－sin α． sin （2 π －α）＝cos α， cos （ 2 π －α）＝sin α．
时常使用的诱导公式有以下几组：之阳早格格创做公式一： 设α为任性角，末边相共的角的共一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任性角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的闭系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任性角α与-α的三角函数值之间的闭系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四：
利用公式二战公式三不妨得到π-α与α的三角函数值之间的闭系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一战公式三不妨得到2π-α与α的三角函数值之间的闭系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的闭系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：正在干题时，将a瞅成钝角去干会比较佳干. 诱导公式影象心诀 顺序归纳 上头那些诱导公式不妨综合为： 对付于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是奇数时，得到α的共名函数值，即函数名没有改变; ②当k是奇数时，得到α相映的余函数值，即 sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan. (奇变奇没有变) 而后正在前里加上把α瞅成钝角时本函数值的标记.(标记瞅象限) 比圆： sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为奇数，所以与sinα.
高一数学必修4三角函数诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα
正弦、余弦的诱导公式推导及要点解读 1．诱导公式一及其用途： sin(360)sin ,cos(360)cos ,tan(360)tan ,k k k k Z αααααα⋅+=⋅+=⋅+=∈． 由诱导公式一可把任意角α转化为)0,360⎡⎣内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？ 我们对)0,90⎡⎣范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)90,360⎡⎣内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想。 对于任何一个)0,360⎡⎣内的角β，以下四种情况有且只有一种成立（其中α为锐角）： 所以，我们只需研究180,180,360αααα-+-与的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。 2．诱导公式二： 提问：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何？ （2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标。 （3）任意角α与180α+呢？ 通过图演示，可以得到：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的。 则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知： sin y α=， cos x α=； sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-． 从而，我们得到诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α． 说明：①公式二中的α指任意角； ②若α是弧度制，即有sin()πα+=sin α-，cos()πα+=-cos α； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα +-+===-+-． （此公式要使等式两边同时有意义） 3．诱导公式三： 提问：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-； （2）任何角α与α-的终边位置关系如何？ 对照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导， 即得：诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-=． 说明：①公式二中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）； ④可以导出正切：tan()tan αα-=-． 4．诱导公式四、五的推导： )))) ,0,90180,90,180180,180,270360,270,360αβαββαβαβ⎧⎡∈⎣⎪⎪⎡-∈⎣⎪=⎨⎡+∈⎪⎣⎪⎡-∈⎪⎣⎩当当当当
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A
一、任意角的三角函数的定义： 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点） ，它与原点的距离是0r =，那么sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α= ≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”. 有向线段OM 为余弦线 有向线段AT 为正切线
第2课时 诱导公式五、六 考点 学习目标 核心素养 诱导公式五、六 掌握诱导公式五、六的推导过程 逻辑推理 诱导公式的应用 能利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题 数学运算、逻辑推理 问题导学 预习教材P191－P193，并思考以下问题： 1. π 2 －α的终边与α的终边有怎样的对称关系？ 2．诱导公式五、六的内容是什么？ 1．公式五、六 2．公式五、六的语言概括 π 2 ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 公式一～六都叫做诱导公式． ■名师点拨 诱导公式五、六反映的是角 π 2 ±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( ) (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α.( ) (3)若α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2＋α＝cos α.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 已知sin α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α等于( ) A.2 3 B ．－23 C.53 D ．－ 53 答案：A
已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π 2，0)，则sin α等于( ) A ．－22 5 B.22 5 C ．－223 D. 22 3 解析：选C.sin(α＋π2)＝sin(π 2＋α) ＝cos α＝1 3， 又α∈(－π 2 ，0)， 所以sin α＝－1－cos 2 α＝－223. sin 95°＋cos 175°的值为________． 解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：0 , [学生用书P 114]) 利用诱导公式求值 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2＋α的值． (2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π6＋α的值． 【解】 (1)因为cos(π＋α)＝－cos α＝－1 2， 所以cos α＝1 2，又α为第一象限角． 则cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α ＝－ 1－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫122 ＝－32. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. (变问法)若本例(2)条件不变，如何求cos ⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫5π6－α的值．