初中数学二次函数易错题汇编附答案解析
一、选择题
1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )
A ．①②
B ．①②③
C ． ①③④
D ． ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a
=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123
b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b
c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.
【详解】
①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a
=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.
②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.
③由对称轴123
b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b
c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
2．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．-4
【答案】A
【解析】
【分析】
分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a2=3，由抛物线与x的交点坐标得到x2=-a，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a的值．
【详解】
解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，其顶点坐标为(0，
a2)，而a2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；
若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，a2=3，而当y=0时，
x2=−a，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；
若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a2+b=0，所以a=−1；
若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a2+b=0①；令x=−2，y=0，则
4a−2b+a2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式.
3．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②3a+b＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】
【分析】 根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x 轴的交点情况，对照选项逐一分析即可．
【详解】
①∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
∴当x ＝﹣2时，y ＜0，
即4a ﹣2b +c ＜0，所以①不符合题意；
②∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a
＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a <0，所以②不符合题意；
③∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴2
44ac b a
＝n ， ∴b 2＝4ac ﹣4an ＝4a （c ﹣n ），所以③符合题意；
④∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，
∴抛物线与直线y ＝n ﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
4．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）
A ．3-
B ．3
C ．32
D ．52
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，
，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．
【详解】
∵抛物线2
:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ， ∴A(2，c-4)，B(0，c)，
∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，
∴'(24),'(0)A c B c ---，
，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，
∴''AA BB =，
∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =
． 故选D ．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）
A ．
B ．
C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣
t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线
开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．
解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF
=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t
=﹣t2+4t
=﹣（t﹣4）2+8；
当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．
故选D．
考点：动点问题的函数图象．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣0.5，y1）、N（2.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（）
A．①③④B．①②3④C．①②③D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b a -
＞0， ∴b ＞0，
∴abc ＜0，故①正确；
②由对称轴可知：2b a -
＝1， ∴b ＝﹣2a ，
∵抛物线过点（3，0），
∴0＝9a+3b+c ，
∴9a ﹣6a+c ＝0，
∴3a+c ＝0，故②正确；
③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ，
当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ，
即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；
④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）：
∴y 1＝y 2，故④错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
7．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b
+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，
且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．②④
C ．②⑤
D ．②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断
【详解】
解：抛物线的开口向下，则a ＜0；
抛物线的对称轴为x=1，则-2b a
=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；
由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值
∴+a b ＞2am bm +（故③正确）
：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）
由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）
⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-
x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0
∵1x ≠2x
∴a(x 1+x 2)+b=0
∴x 1+x 2=2b a a a
-
=-=2 （故⑤正确） 故选D ．
考点：二次函数图像与系数的关系.
8．对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭
，下列说法正确的个数是（ ） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点；
②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<；
③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；
④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则112
a ≤-． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．
【详解】 对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭
当2x =时，1
42(2)12y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1
当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0
则说法①正确 此二次函数的对称轴为1212124a x a a
-=-=-+ 0a 1114a ∴-+> 01x ∴>，则说法②错误 由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当114x a <-+时，y 随x 的增大而增大；当114x a ≥- +时，y 随x 的增大而减小 因11104a -+>> 则当1014x a <- ≤+时，y 随x 的增大而增大；当114x a ≥-+时，y 随x 的增大而减小 即说法③错误 0m >Q 44m ∴+> 由12y y >总成立得，其对称轴1144x a =-+≤ 解得112 a ≤- ，则说法④正确 综上，说法正确的个数是2个 故选：B ． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 9．若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，对于以下说法：①b 2﹣4ac ＞0②x ＝x 0是方程ax 2+bx +c ＝y 0的解③x 1＜x 0＜x 2④a （x 0﹣x 1）（x 0﹣x 2）＜0其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②④ C ．①②③ D ．②③ 【答案】B 【解析】 【分析】 ①根据二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b 2-4ac ＞0，①正确；②由点M （x 0，y 0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可 得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③分a＞0和a＜0考虑，当a＞0时得出x1＜x0＜x2；当a＜0时得出x0＜x1或x0＞x2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M（x0，y0）在x轴下方即可得出y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确．【详解】 ①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2， ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2-4ac＞0，①正确； ②∵图象上有一点M（x0，y0）， ∴a+bx0+c=y0， ∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确； ③当a＞0时，∵M（x0，y0）在x轴下方， ∴x1＜x0＜x2； 当a＜0时，∵M（x0，y0）在x轴下方， ∴x0＜x1或x0＞x2，③错误； ④∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），∴y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）， ∵图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方， ∴y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确； 故选B． 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 10．若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（） A．1 2 ≤m＜1 B． 1 2 ＜m≤1C．1＜m≤2D．1＜m＜2 【答案】B 【解析】 【分析】 画出图象，利用图象可得m的取值范围 【详解】 ∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x＝2． 由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意． ①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2． 由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42 x x ==- ≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意． 则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意． ∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】 答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时） ②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意． 将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝ 12． 此时抛物线解析式为y ＝12 x 2﹣2x ． 当x ＝1时，得13121122 y =⨯-⨯=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意． 当x ＝3时，得13923122y =⨯-⨯=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意． 综上可知：当m ＝12 时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意， ∴m ＝ 12不符合题． ∴m ＞12 ． 综合①②可得：当 12＜m ≤1时，该函数的图象与x 轴所围成的区域（含边界）内有七个整点， 故选：B ． 【点睛】 考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键. 11．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B 【解析】 【分析】 利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】 解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+⎧⎨=++⎩ 解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴二次函数的解析式为：221212533636 ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x ∴当x=16- 时，y 的最小值为2536 -，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意； C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得 1201b b c ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩ ∴223y x x =-- 当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】 此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 12．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 13．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线 11 22 y x =+上， 若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a＜9 8 C．1≤a＜ 9 8 或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 9 8 【答案】C 【解析】 【分析】 分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】 ∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令11 22 x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0 ∴△＝9﹣8a＞0 ∴a＜9 8 ①当a＜0时， 110 111 a a ++≤⎧ ⎨ -+≤⎩ 解得：a≤﹣2∴a≤﹣2 ②当a＞0时， 110 111 a a ++≥⎧ ⎨ -+≥⎩ 解得：a≥1 ∴1≤a＜9 8 综上所述：1≤a＜9 8 或a≤﹣2 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 14．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－ 1 2 x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝ 1 2 x刻画，下列结论错误的是( ) A．斜坡的坡度为1: 2 B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．小球落地点距O点水平距离为7米 D．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m 【答案】D 【解析】 【分析】 求出抛物线与直线的交点，判断A、C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当7.5 y=时，x的值，判定D． 【详解】 解： 2 1 4 2 1 2 y x x y x ⎧ =-+ ⎪⎪ ⎨ ⎪= ⎪⎩ ， 解得，1 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ， 2 2 7 7 2 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ ， 7 2 ∶7=1∶2，∴A正确； 小球落地点距O点水平距离为7米，C正确； 2 1 4 2 y x x =- 2 1 (4)8 2 x =--+， 则抛物线的对称轴为4 x=， ∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确， 当7.5y =时，217.542 x x =-， 整理得28150x x -+=， 解得，13x =，25x =， ∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意； 故选：D 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键． 15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案． 【详解】 解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，,2AP t BQ t == 2122 APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变 1422 APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数； 故选：D ． 【点睛】 本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键． 16．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），0a >，顶点坐标为1(,)2m .给出下列结论：①若点1(,)n y 与点23 (2)2n y -，在该抛物线上，当12 n <时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，那么（ ） A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确 D ．①错误，②错误 【答案】A 【解析】 【分析】 ①根据二次函数的增减性进行判断便可； ②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误． 【详解】 解：①∵顶点坐标为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,12n < ∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x= 12的对称点为（1-n ，y 1）， ∴点（1-n ，y 1）与2322n y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ⎛⎫---=-< ⎪⎝⎭ Q 3122 n n ∴-<- ∵a ＞0， ∴当x ＞ 12 时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确； ②把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 代入y=ax 2+bx+c 中，得1142m a b c =++, ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中， △=b 2-4ac+4am-4a 2211444()4042b ac a a b c a a b a ⎛⎫=-+++-=+-< ⎪⎝⎭ ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确； 故选A ． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负． 17．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2−2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝−2， ∴y ＝－x 2−2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点 问题是解题关键． 18．已知抛物线y=x 2+2x 上三点A （﹣5，y 1），B （2.5，y 2），C （12，y 3），则y 1，y 2，y 3满足的关系式为（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 1＜y 2 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出抛物线y=x 2+2x 的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A 、B 、C 的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B 离对称轴最近，A 次之，C 最远，则对应y 的值大小可确定. 【详解】 ∵抛物线y=x 2+2x ， ∴x=-1， 而A （-5，y 1），B （2.5，y 2），C （12，y 3）， ∴B 离对称轴最近，A 次之，C 最远， ∴y 2＜y 1＜y 3． 故选:C ． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 19．在同一平面直角坐标系中，函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断． 解：A.由一次函数图像可知a ＞0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴302a - <应在y 轴左侧，故此选项错误； B. 由一次函数图像可知a ＜0，而由二次函数图像开口方向可知a ＞0，故此选项错误； C. 由一次函数图像可知a ＜0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴302a - >在y 轴右侧，故此选项正确； D. 由一次函数图像可知a ＞0，而由二次函数图像开口方向可知a ＜0，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型． 20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在y 左侧，a ，b 同号，对称轴在y 轴右侧a ，b 异号，以及当a 大于0时开口向上，当a 小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y 轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案． 解：由方程组 2 y ax bx y bx a ⎧=+ ⎨ =- ⎩ 得ax2＝−a， ∵a≠0 ∴x2＝−1，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除B． A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错； C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选C． 【点睛】 本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上． 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线22343 23y x x =- -+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ． （1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标； （3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323 y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵2343 2333y x x =- -+a=233 - ，则抛物线的“衍生直线”的解析式为 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】 【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式； （2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标； （3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1， ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3； （2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1， 即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧）， 由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）， 当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=1 2 ×（2+5）×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的 新初中数学二次函数易错题汇编含答案(1) 一、选择题 1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线 11 22 y x =+上， 若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a＜9 8 C．1≤a＜ 9 8 或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 9 8 【答案】C 【解析】 【分析】 分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】 ∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令11 22 x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0 ∴△＝9﹣8a＞0 ∴a＜9 8 ①当a＜0时， 110 111 a a ++≤? ? -+≤? 解得：a≤﹣2∴a≤﹣2 ②当a＞0时， 110 111 a a ++≥? ? -+≥? 解得：a≥1 ∴1≤a＜9 8 综上所述：1≤a＜9 8 或a≤﹣2 故选：C． 本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝?2， ∴y ＝－x 2?2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 3．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 九年级数学 二次函数易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线()2 1y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴的负半轴交于点C ． ()1求点B 的坐标． ()2若ABC 的面积为6． ①求这条抛物线相应的函数解析式． ②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，0）；（2）①2 23y x x =+-；②存在，点P 的坐标为 1133313++??或53715337-+-?? ． 【解析】 【分析】 （1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标； （2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到1 2 (1?a)?(?a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式； ②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可． 【详解】 解：()1当0y =时，()2 10,x a x a -++= 解得121,.x x a == 点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C 0,a ∴< ∴点B 坐标为()1,0． ()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a < 1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6, ()()1 16,2a a ∴ --?= 123,4a a ∴=-=． 0,a < 3a ∴=- 22 3.y x x =+- ②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-， ∴设直线BC 的解析式为3,y kx =- 则03,k =- 3k ∴=． ,POB CBO ∠=∠ ∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC ∴直线OP 的函数解析式3,y x =为 则2 3, 23,y x y x x =?? =+-? 1112x y ?=??∴??=??(舍去) ，2212x y ?+=????=??∴点的P 坐标为1322??+ ? ??? ； 当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称， 则直线'OP 的函数解析式为3,y x =- 则2 3,23,y x y x x =-??=+-? 1152x y ?-=??∴??=??舍去) ，2252x y ?-=????=?? 九年级数学上册 二次函数易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．已知函数2266() 22() x ax a x a y x ax a x a ?-+>=?-++≤?（a 为常数，此函数的图象为G ） （1）当a ＝1时， ①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标 （2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围 【答案】（1）①2266(1) 22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤? ，②(1,1),(31),(31)--+--；（2） 0a <或 2635a <<；（3）1a -<，1 153a <<，113a <<-【解析】 【分析】 （1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论； ②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可； （2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可； （3）先求出2 66y x ax a =-+的对称轴为直线6321 a x a -=- =?，顶点坐标为( ) 23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线() 221a x a =- =?-，顶点坐标为()2 ,2a a a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解 即可． 【详解】 （1）①1a =时，2266(1) 22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤? ②当1x >时， 2661x x -+=- 2670x x -+= 1233x x ==当1x ≤时， 2221x x -++=- 2230x x --= 121,3x x =-=（舍） 数学数学二次函数 知识点+易错题精选 一、二次函数基本概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y=ax2+bx+c的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、基本形式 1. 二次函数基本形式：y=ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. y=ax2+c的性质：（上加下减） 3. y=a(x-h)2的性质：（左加右减） 4. y=a(x-h)2+k的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h,k)； ⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看，y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中． 五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y=ax2+bx+c的性质 中考数学复习二次函数专项易错题及答案 一、二次函数 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN•AG+ 1 2 PN•BM= 1 2 PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 初中数学二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2（0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若3 2 )2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32-m =2，且2-m 0≠，故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32 -m =2，但会忽略2-m 0≠， 说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线2 3x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32 -+=x y B. 2)3(32 ++=x y C. 2)3(32 --=x y D. 2)3(32 +-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合，往往会出错. 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322--=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 【答案】D 【解析】由ac b 42-即可判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，本题D 中 ac b 42 -=-240<，表示与x 轴没有交点，故选D. 【易错点】考查二次函数的图象与x 轴的交点情况，属容易题，但学生计算能力不高，导致错误较多. 5、已知点（-1，1y ），（2,2 13 y -），（ 2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、 2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 【答案】C 【解析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线1-=x ，又抛物线开口向上，所以横坐标越接近-1，对应的函数值越小，故选C. 【易错点】考查二次函数的图象的对称性，属一般题，学生由于基础薄弱，习惯将所有x 的值一一代入，求得y 的值，一费时，二计算容易出错，导致得分率不高. 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000>< 二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0 B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2 C ．当函数在x ＜ 1 10 时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】 解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)， ∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2， ∴a +c ＝0，b ＝﹣2， ∴A 正确； ∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ， ∴△＝4+4a 2＞0， ∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点， ∵x 1+x 2＝ 2 a ，x 1x 2＝﹣1， ∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜1 10 时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误； ∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0， ∴m +n ＜0，2 a ＞0， ∴m +n ＜ 2a ； 故选：C ． 【点睛】 本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】 此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 3．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解． 九年级数学二次函数易错题总结（含答案） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.已知二次函数y=ax2+2ax+3a−2(a是常数，且a≠0)的图象过点M(x1,−1)， N(x2,−1)，若MN的长不小于2，则a的取值范围是() A. a≥1 3B. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查的是二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征的有关知识，首先确定抛物线的对称轴x=1，当x1+x2<2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，利用图象法即可判断． 【解答】 解：如图， 当x=m或x=−m+2时，y=2， ∴抛物线的对称轴x=m−m+2 2 =1， ∴当x1+x2<2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大， 观察图象可知，此时y1>y2， 故选B． 3.已知二次函数y=−x2+3mx−3n图象与x轴没有交点，则() A. 2m+n>4 3B. 2m+n<4 3 C. 2m−n<4 3 D. 2m−n>4 3 【答案】C 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是抛物线与x轴没有交点时，判别式小于0的结论的熟练应用．根据二次函数y=−x2+ 3mx−3n图象与x轴没有交点可得判别式小于0，列出不等式求解即可． 【解答】 （易错题精选）初中数学二次函数全集汇编及答案解析 一、选择题 1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）． A ．①②④ B ．②③④ C ．③④⑤ D ．①③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 ①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0， ∴b<0； 由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0， 故abc>0，故②错误； ③结合图象得出x=?1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a?b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2?4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12 则2a=?2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件． 2．如图，二次函数()2 00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点， 与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论： ①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2 00ax bx c a ++=≠有 一个根为1 a - ，其中正确的结论个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1 a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案. 【详解】 由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣ 2b a ＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣ 1a ，把﹣1 a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C. 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键. 3．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1 y x =的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010 （易错题精选）初中数学二次函数知识点总复习附答案解析(1) 一、选择题 1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x = 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 ∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有 一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ． 考点：抛物线与x 轴的交点． 2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( ) A ．﹣4＜P ＜0 B ．﹣4＜P ＜﹣2 C ．﹣2＜P ＜0 D ．﹣1＜P ＜0 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0． ∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a -＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2． 把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4， ∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2． ∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0． 故选A ． 九年级上册数学 二次函数易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线()21y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴的负半轴交于点C ． ()1求点B 的坐标． ()2若ABC 的面积为6． ①求这条抛物线相应的函数解析式． ②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，0）；（2）①223y x x =+-；②存在，点P 的坐标为 1133313++⎝⎭或53715337-+-⎝⎭ ． 【解析】 【分析】 （1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标； （2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到 12 (1−a)•(−a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式； ②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可． 【详解】 解：()1当0y =时，()210,x a x a -++= 解得121,.x x a == 点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C 0,a ∴< ∴点B 坐标为()1,0． ()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a < 1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6, ()()116,2 a a ∴--⋅= 123,4a a ∴=-=． 0,a < 3a ∴=- 22 3.y x x =+- ②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-， ∴设直线BC 的解析式为3,y kx =- 则03,k =- 3k ∴=． ,POB CBO ∠=∠ ∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC ∴直线OP 的函数解析式3,y x =为 则23,23,y x y x x =⎧⎨=+-⎩ 1112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩(舍去) ，2212x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴点的P 坐标为1322⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ； 当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称， 则直线'OP 的函数解析式为3,y x =- 则23,23,y x y x x =-⎧⎨=+-⎩ 1152x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩舍去) ，2252x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （专题精选）初中数学二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可求m ＜﹣2，即可求解． 【详解】 ∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点， ∴△＝4﹣4（﹣m ﹣1）＜0 ∴m ＜﹣2 ∴函数y ＝的图象在第二、第四象限， 故选B ． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m 的取值范围是本题的关键． 2．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】 此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜x ＜1 B ．﹣3＜x ＜﹣1 C ．x ＜1 D ．﹣3＜x ＜1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案. 【详解】 解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0）， ∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1． 所以答案为：D ． 【点睛】 此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标. 4．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1 y x =的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010中考数学复习二次函数专项易错题附详细答案
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