二次函数易错题
1.下列函数不属于二次函数的是（）
A. y=（x﹣1）（x+2）
B. y= 1
2
（x+1）2 C. y=2（x+3）2﹣2x2 D. y=1﹣√3x2
【答案】C
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：把每一个函数式整理为一般形式，
A、y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，是二次函数，A不符合题意；
B、y= 1
2（x+1）2= 1
2
x2+x+ 1
2
，是二次函数，B不符合题意；
C、y=2（x+3）2﹣2x2=12x+18，是一次函数，C符合题意；
D、y=1﹣√3x2=﹣√3x2+1，是二次函数，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义对四个选项一一进行判断。
2.抛物线y = －1
2
（x+1）2+3的顶点坐标（）
A. （1，3）
B. （1，-3）
C. （-1，3）
D. （-1，-3）
【答案】C
【考点】二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】抛物线的顶点式为y=a(x+ℎ)2+k，它的顶点坐标为（-h,k），
又因为抛物线y = －1
2
（x+1）2+3，所以它的顶点坐标是（-1，3）
【点评】本题考查抛物线，考生解答本题的关键是掌握抛物线的顶点式，能根据抛物线的顶点式写出其顶点坐标来
3.在抛物线y= x2﹣4x﹣4上的一个点是（）.
A. （4，4）
B. （−1
2，−7
4
） C. （3，﹣1）
D. （﹣2，﹣8）
【答案】B
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】把x=4、−1
2
、3、﹣2分别代入y= x2﹣4x﹣4，计算出对
应的函数值后进行判断．∵当x=4时，y= x2﹣4x﹣4=﹣4；当x= −1
2
时，y= x2
﹣4x﹣4= −7
4
；当x=3时，y= x2﹣4x﹣4=﹣7；当x=﹣2时，y= x2﹣4x﹣4=8；
∴点（−1
2，−7
4
）在抛物线y= x2﹣4x﹣4上．
故答案为：B
【分析】根据函数图像上点的坐标特点，如果点在函数图像上，则它的横纵坐标满足函数解析式的左边和右边相等，一一代入判断即可。
4.函数y1=ax2+b，y2= ab
x
（ab＜0）的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（）
A. B. C.
D.
【答案】C
【考点】反比例函数的图象，二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】A、函数y2= ab
（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项不符合题
x
（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项不符合题意；
意；B、函数y2= ab
x
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，函数y1=ax2+b，y2= ab
（ab＜0）
x
的图象可知ab＜0，故本选项符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，则ab＞0，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】若ab同号那么反比例函数经过一三象限，此时观察二次函数，需开口向上并经过y的正半轴或开口向下并经过y的负半轴，发现均不符合；那么只有ab异号反比例函数经过二四象限，此时二次函数需开口向上并经过y的负半轴或开口向下并经过y的正半轴，只有C选项符合。
5.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（）
A.y=(x+3)2−1
B.y=(x+3)2+3
C.y=(x−3)2−1
D.y=(x−3)2+3
【答案】D
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y=（x-3）2+3．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，可得出答案。
6.关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是（）
A. 图像与y轴的交点坐标为(0,1)
B. 图像的对称轴在y轴的右侧
C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D. y的最小值为-3
【答案】D
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=-1，图像与y轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；B、对称轴为直线x=-1，对称轴在y轴的左侧，因此B不符合题意；
C、当x＜-1时y的值随x值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；
D、a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；
故答案为：D
【分析】求出抛物线与y轴的交点坐标，可对A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对B作出判断；根据二次函数的增减性，可对C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对D作出判断；即可得出答案。
7.若函数y=a x a2−2a−6是二次函数且图象开口向上，则a=（）
A. ﹣2
B. 4
C. 4或﹣2
D. 4或3
【答案】B
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=a x a2−2a−6是二次函数且图象开口向上，
∴a2﹣2a﹣6=2，且a＞0，
解得 a=4． 故选：B ．
【分析】根据二次函数的定义得到a 2﹣2a ﹣6=2，由抛物线的开口方向得到a ＞0，由此可以求得a 的值．
8.已知二次函数y =2(x −1)2−3，则下列说法正确的是( ) A. y 有最小值0，有最大值－3 B. y 有最小值－3，无最大值 C. y 有最小值－1，有最大值－3 D. y 有最小值－3，有最大值0 【答案】B
【考点】二次函数的最值，二次函数的三种形式
【解析】【分析】根据二次函数y =2(x −1)2−3的解析式，得出a 的值和顶点的纵坐标，即可得出函数的最值．
【解答】∵二次函数y =2(x −1)2−3中，a ＝2＞0， ∴y 有最小值-3，无最大值； 故选B ．
9.如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°．若抛物线y=x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是（ ）
A. ﹣4＜k ＜ 34
B. ﹣2＜k ＜ 3
4 C. ﹣4＜k ＜ √3 ﹣1 D. ﹣2＜k ＜ √3 +1 【答案】C
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于C，
OA=1，AC=OA×sin60°= √3，
在Rt△AOC中，OC= 1
2
∴点A的坐标为（1，√3），
设直线OA的解析式为y=mx，则m= √3，
则直线OA的解析式为y= √3x，
联立抛物线解析式得x2+k= √3x，即x2﹣√3x+k=0，
△=3﹣4k=0，
解得k= 3
4
当抛物线经过点B时，0=4+k，
解得k=﹣4，
∴抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣4＜k＜3
．
4
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形和特殊角的函数值，求出OC、AC的值，得到点A的坐标，联立直线OA的解析式与抛物线的解析式，求出实数k的取值范围.
10.定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，-1]的函数的一些结论：
① 当m＝-1时，函数图象的顶点坐标是（1，0）；
② 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于1；
③ 当m<0时，函数在x>1
2
时，y随x的增大而减小；
④ 不论m取何值，函数图象经过一个定点．
其中正确的结论有（）
A. 4个
B. 3个
C. 2
个 D. 1个
【答案】B
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，定义新运算
【解析】【分析】①把m=-1代入[m，1-m，-1]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
①当m＝-1时，y=−x2+2x−1=−(x−1)2，图象的顶点坐标是（1，0)，正确；
②令y=0，有mx2+(1−m)x−1=0
(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(m−1)2
m2
+
4
m
=
(m+1)2
m2
当m>0时，|x1−x2|=m+1
m
>1，正确；
③当m<0时，y=mx2+(1−m)x−1是一个开口向下的抛物线
其对称轴是x=−1−m
2m
，在对称轴的右边y随x的增大而减小．
因为m<0，x=−1−m
2m >1
2
，即对称轴在x=1
2
的右边，
因此函数在x=1
2
的右边先递增到对称轴位置，再递减，故错误；
④在y=mx2+(1−m)x−1中，当x=0时，y=−1
所以不论m取何值，函数图象经过一个定点（0，-1)，正确
故选B.
【点评】此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
二、填空题（共10题；共30分）
11.二次函数y=(x−1)2+b的图象与y轴交于点（0，1），则b的值为________．【答案】0
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵二次函数y=(x−1)2+b的图象过点(0，1)，
∴(0−1)2+b=1，
解得b=0.
故答案为：0.
【分析】在已知函数经过的点坐标的情况下，直接代入计算即可得b值。
12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是________．
【答案】-1＜x＜3
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【解答】函数值y＜0时，自变量x的取值范围是-1＜x＜3．故答案为：-1＜x＜3
【分析】根据二次函数的图象先确定与x轴的两个交点的横坐标，在x轴的上方说明y＞0，下方说明y＜0，可得对应的x的取值范围.
13.已知二次函数y=mx2+2mx+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是
________．
【答案】2
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：∵二次函数y=mx2+2mx+2的图象与x轴只有一个交点，∴{m≠0
(2m)2−4×m×2=0，
解得，m=2，
故答案为：2．
【分析】二次函数y=mx2+2mx+2的图象与x轴只有一个交点，得出m≠0及△=0，这样的混合组，求解得出公共部分即可。
m+2的图象与x轴只有一个交点，那么m的值14.二次函数y=mx2+（m+2）x+1
4
为________ ．
【答案】1
【考点】抛物线与x轴的交点
m+2=0，△=0，【解析】【解答】解：根据题意得：y=0时，mx2+（m+2）x+1
4
∴（m+2）2﹣4×m（1
m+2）=0，
4
整理得：4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【分析】根据题意得出一元二次方程的判别式△=0，得出含m的方程，解方程即可求出m的值．
15.（2017•咸宁）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是
________．
【答案】x＜﹣1或x＞4
【考点】二次函数与不等式（组）
【解析】【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y=mx+n 在抛物线y=ax2+bx+c的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x ＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
16.将抛物线y=2(x−1)2+4，绕着它的顶点旋转180∘，旋转后的抛物线表达式是________．
【答案】y=−2(x−1)2+4
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=2(x−1)2+4的顶点为（1,4），
∵原抛物线是绕顶点（1,4）旋转，
∴旋转后的抛物线的顶点依然是（1,4）.
∵旋转了180°，
∴原来开口向上变成开口向下，但开口形状不变，∴二次项系数为-2，
∴旋转后的抛物线表达式为y=−2(x−1)2+4，
故答案为：y=−2(x−1)2+4
【分析】求抛物线的几何变化中的解析式，需要将解析式化成顶点式；根据顶点变化，及二次项系数的变化，可得到新的解析式.以顶点为中心旋转，∴顶点不变，但抛物线的开口方向变了.
17.如图，抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线
x2于点B，C，则S△BOC=________．
y=﹣1
2
【答案】4
【考点】二次函数的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，
∴点A（0，﹣2），
x2=﹣2，
令y=﹣2，得：﹣1
2
解得：x1=2，x2=﹣2，
x2=0，
当y=0时，﹣1
2
解得：x1=x2=0，
∴点O（0，0），
∴点B（﹣2，﹣2），点C（2，﹣2），
∴S△BOC= 1
×4×2=4．
2
故答案为：4．
【分析】根据抛物线与y轴相交，求出点A的坐标，令y=﹣2时，求出点B，C 的坐标，根据三角形的面积公式即可解答．
18.（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是________．
【答案】P＞Q
【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵﹣b
＞0，
2a
∴b＞0，
∴2a﹣b＜0，
∵﹣b
=1，
2a
∴b+2a=0，
x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．
∴﹣1
b﹣b+c＜0，
2
∴3b﹣2c＞0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴3b+2c＞0，
∴p=3b﹣2c，
Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，
∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0
∴P＞Q，
故答案为：P＞Q．
【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．19.如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= 1
2
x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是________．
【答案】﹣2＜k＜1
2
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，
联立{y=x
y=1
2
x2+k消掉y得，
x2﹣2x+2k=0，
△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，
即k= 1
2
时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，
∵点B的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴点A的坐标为（√2，√2），
∴交点在线段AO上；
×4+k=0，
当抛物线经过点B（2，0）时，1
2
解得k=﹣2，
∴要使抛物线y= 1
x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围2
是﹣2＜k＜1
．
2
．
故答案为：﹣2＜k＜1
2
【分析】根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．
20.（2017•鄂州）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D （2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD 的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是________．
【答案】2≤m≤8
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设平移后的解析式为y=y=（x+1）2﹣m，
将B点坐标代入，得
4﹣m=2，解得m=2，
将D点坐标代入，得
9﹣m=1，解得m=8，
y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，
故答案为：2≤m≤8．
【分析】须数形结合，画出图形，抛物线首先与B相交，最后与D相交，这两个交点对应的m值之间就是范围.
三、解答题（共8题；共60分）
21.抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴{c=−3
−4+2b+c=1，解得{b=4
c=−3，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题【解析】【分析】运用待定系数法将两点坐标分别代入y=-x2+bx+c，得到关于b、c的方程组，解方程组可求出b、c的值。将y=0代入求得的解析式中，得一个一元二次方程，解方程所求的未知数的值即是交点横坐标
22.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0），B（4，0），C（0，3）三点，求抛物线的解析式．
【答案】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，3）代入得a•（﹣1）（﹣4）=3，解得a= ，
所以抛物线解析式为y= （x﹣1）（x﹣4），即y= x2﹣x+3．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】由于已知抛物线与x轴的两交点坐标，则可设交点式y=a（x ﹣1）（x﹣4），然后把C（0，3）代入求出a的值即可．
23.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
【答案】解：由题意得，
y=（x-8）[100-10（x-10）]=-10（x-14）2+360（10≤a＜20），
∵a=-10＜0
∴当x=14时，y有最大值360
答：他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元．
【考点】二次函数的最值，二次函数的应用
【解析】【解答】日利润=销售量×每件利润．每件利润为x-8元，销售量为100-10（x-10），据此得关系式．
【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意找出等量关系列出函数表达式，通过配方法求最值.
24.已知：二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．
（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；
（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；
（3）若y关于x的函数关系式为y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2
①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；
②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．
【答案】解：（1）∵二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上，∴4m2﹣4（n﹣1）=0，
∴n﹣1=m2，
∴n=m2+1，
∵n﹣1≠0，且m2≥0
∴n﹣1＞0，
∴图象开口向上；
（2）∵y=（n﹣1）x2+2mx+1，
∴对称轴x=−b
2a =−m
n−1
=1
m
，
要使−1
n
为整数，
∵m，n为整数，
∴只要m=±1，此时n=2，
∴存在m=±1，n=2，符合要求；
（3）①y=nx2﹣（n﹣1）x﹣2n﹣2=n（x2﹣x﹣2）+x﹣2，
令x2﹣x﹣2=0，得x=﹣1或2，所以必过的定点为（2，0），（﹣1，﹣3），②若n=0，则y=x﹣2，直线与坐标轴有两个交点，
若n≠0：b2﹣4ac=（n﹣1）2+4n（2n+2）=（3n+1）2≥0，
当抛物线过原点时，n=﹣1，此时图象与坐标轴有两个交点，
当抛物线不过原点时，n=−1
3
时，b2﹣4ac=0，图象与x轴，y轴各有1个交点，
综上，当n=0或﹣1或−1
3
时，函数图象与坐标轴有两个交点．
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】（1）根据二次函数y=（n ﹣1）x 2+2mx+1图象的顶点在x 轴上，根据△=0，求出m 和n 的关系，进一步得出二次函数的开口方向；
（2）首先求出二次函数图象的对称轴，根据函数图象的对称轴与x 轴的交点横坐标为整数讨论存在n 的值即可；
（3）①y=nx 2﹣（n ﹣1）x ﹣2n ﹣2可得y=n （x 2﹣x ﹣2）+x ﹣2，令x 2﹣x ﹣2=0，求出x 的值，即可求出顶点坐标；
②分别讨论n=0和n≠0的情况，结合抛物线与x 轴交点数量关系即可求出n 的值．
25.如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．
求（1）抛物线的解析式；
（2）两盏景观灯P 1、P 2之间的水平距离.
【答案】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y 轴交点坐标是（0，1） 设抛物线的解析式是y=a(x －5)2＋5 把（0，1）代入y=a(x －5)2＋5得a=－4
25 ∴y=－425(x －5)2＋5=−425x 2+8
5x +1（0≤x≤10）
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4 ∴4=－4
25(x －5)2＋5
∴4
25(x －5)2=1，解得x 1=15
2，x 2=5
2
∴两景观灯间的距离为5米．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用
【解析】【分析】（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y 轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；
（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x ，然后两者相减，就是他们的距离．
26.根据下列要求，解答相关问题．
请补全以下求不等式﹣2x 2﹣4x ＞0的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x 2﹣4x ；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x 2﹣4x 的图象（只画出图象即可）． ②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x 2﹣4x=0的解为多少？；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x 2﹣4x 图象中y ＞0的部分．
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x 2﹣4x ＞0的解集为﹣2＜x ＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x 2﹣2x+1≥4的
解集．
【答案】解：①图所示：
；
②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2；
则方程的解是x1=0，x2=﹣2，
图象如图1；
③函数y=x2﹣2x+1的图象是：
二次函数常见易错题解析_二次函数易错题常见易错题解析 二次函数是数学中的重要知识点，也是高中数学课程中常见的考点。在解题过程中，往往容易出现一些易错的情况。下面是二次函数常见易错题解析，希望帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。 易错点一：求解二次函数的零点时，难以正确计算平方根。 解析：在求解二次函数的零点时，往往需要计算平方根。但是，由于平方根涉及到较为复杂的计算过程，容易出现计算错误的情况。为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，注意根号内部的计算是否正确，特别是针对负数进行开平方根计算时，要注意虚数的概念；其次，在计算过程中可以采用分步骤进行计算，减少出错的可能性；最后，可以借助计算器等工具来进行计算，以提高准确性。 易错点二：对二次函数的图像特征理解不准确。 解析：二次函数的图像特征是学习和掌握二次函数的关键。在解决二次函数相关问题时，往往需要根据图像特征进行分析和判断，但是很多同学对于图像的凹凸性、顶点位置等特征理解不准确，从而导致答案出错。因此，在学习和掌握二次函数图像特征时，要注意以下几个方面：首先，要理解凹凸性的概念，搞清楚何时是凹、何时是凸；其次，要能够正确理解和计算顶点的坐标，特别是对于带有负号的情况，要仔细计算；最后，可以利用绘图工具进行练习，加深对图像特征的理解。 易错点三：对二次函数的平移、缩放等变换理解不准确。
解析：二次函数的平移、缩放等变换是解决二次函数相关题目的常见 方法。但是，很多同学对于变换的理解不准确，从而导致计算错误。为了 避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，要熟悉常见的变换规律，如平移、缩放等；其次，在计算过程中要仔细区分横坐标和纵坐标的 变化情况；最后，可以通过绘图工具进行辅助，帮助理解变换的效果。 易错点四：对应用题中二次函数的建立和求解不准确。 解析：二次函数的应用是数学中的重要内容，也是考试中常见的题型。但是，在应用题中，往往需要建立二次函数模型，并进行求解。在这个过 程中，容易出现建模错误或求解错误的情况。为了避免此类错误，我们可 以注意以下几个方面：首先，要仔细阅读题目，理解问题的含义和要求； 其次，要选择适当的变量和建立正确的函数模型；最后，在进行求解时， 要注意计算过程的准确性，避免疏漏和粗心导致答案错误。 通过对二次函数常见易错题的解析，我们可以发现，掌握二次函数的 基本概念和特征是解决问题的关键。同时，在解题过程中要注意思路的清 晰和计算的准确性，避免常见的易错点。希望上述内容可以帮助同学们更 好地理解和掌握二次函数的知识点，提高解题能力。
新初中数学二次函数易错题汇编含答案(1) 一、选择题 1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线 11 22 y x =+上， 若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a＜9 8 C．1≤a＜ 9 8 或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 9 8 【答案】C 【解析】 【分析】 分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】 ∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令11 22 x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0 ∴△＝9﹣8a＞0 ∴a＜9 8 ①当a＜0时， 110 111 a a ++≤? ? -+≤? 解得：a≤﹣2∴a≤﹣2 ②当a＞0时， 110 111 a a ++≥? ? -+≥? 解得：a≥1 ∴1≤a＜9 8 综上所述：1≤a＜9 8 或a≤﹣2 故选：C．
本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝?2， ∴y ＝－x 2?2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 3．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ．
二次函数重点知识易错题精选 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、若一元二次方程02 =++c bx ax 有两个实数根，则抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴（ ） A. 有两个交点 B.只有一个交点 C. 至少有一个交点 D.至多有一个交点 2、下列表格给出的是二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的几组对应值，那么方程 02=++c bx ax 的一个近似解可以是（ ） A ．3.25 B ．3.35 C ．3.45 D ．3.55 3、如图所示，在Rt △ABO 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得的阴影部分面积为S ，则S 与t 的函数关系图象为下列选项中的（ ） A. B. C. D. 4、关于x 的一元二次方程02 =++q px x 的两根互为倒数，则p ，q 应满足的条件为（ ） 5、已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） 6、若二次函数1)(2--=m x y ，当1≤x ，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） 1.=m A 1.>m B 1.≥m C D.1≤m 一、填空题（每小题6分，共24分） 7、二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的部分图像如图所示，由图像 可知不等式02 >++c bx ax 的解是 . 8、若函数122++=x mx y 的图像与x 轴只有一个交点，则m 的值是 ； 9、若抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴只有一个交点，且过点A （m ，n ），B （m+4，n ） 则n= )1()(4 9 23)5(; 0)1(31)4(;063)3(;01)2(;04110222≠+<+<+-+<<=++<++>-=++=m b m m b c x b x x c b c b c b x y c bx x y 时，当）（号是 列结论，其中正确的序的图像如图所示，有下与、函数 x 3.3 3.4 3.5 3.6 y -0.06 -0.02 0.03 0.09 .
二次函数易错题 1.下列函数不属于二次函数的是（） A. y=（x﹣1）（x+2） B. y= 1 2 （x+1）2 C. y=2（x+3）2﹣2x2 D. y=1﹣√3x2 【答案】C 【考点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：把每一个函数式整理为一般形式， A、y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，是二次函数，A不符合题意； B、y= 1 2（x+1）2= 1 2 x2+x+ 1 2 ，是二次函数，B不符合题意； C、y=2（x+3）2﹣2x2=12x+18，是一次函数，C符合题意； D、y=1﹣√3x2=﹣√3x2+1，是二次函数，D不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据二次函数的定义对四个选项一一进行判断。 2.抛物线y = －1 2 （x+1）2+3的顶点坐标（） A. （1，3） B. （1，-3） C. （-1，3） D. （-1，-3） 【答案】C 【考点】二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】抛物线的顶点式为y=a(x+ℎ)2+k，它的顶点坐标为（-h,k）， 又因为抛物线y = －1 2 （x+1）2+3，所以它的顶点坐标是（-1，3） 【点评】本题考查抛物线，考生解答本题的关键是掌握抛物线的顶点式，能根据抛物线的顶点式写出其顶点坐标来
3.在抛物线y= x2﹣4x﹣4上的一个点是（）. A. （4，4） B. （−1 2，−7 4 ） C. （3，﹣1） D. （﹣2，﹣8） 【答案】B 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】把x=4、−1 2 、3、﹣2分别代入y= x2﹣4x﹣4，计算出对 应的函数值后进行判断．∵当x=4时，y= x2﹣4x﹣4=﹣4；当x= −1 2 时，y= x2 ﹣4x﹣4= −7 4 ；当x=3时，y= x2﹣4x﹣4=﹣7；当x=﹣2时，y= x2﹣4x﹣4=8； ∴点（−1 2，−7 4 ）在抛物线y= x2﹣4x﹣4上． 故答案为：B 【分析】根据函数图像上点的坐标特点，如果点在函数图像上，则它的横纵坐标满足函数解析式的左边和右边相等，一一代入判断即可。 4.函数y1=ax2+b，y2= ab x （ab＜0）的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】反比例函数的图象，二次函数图象与系数的关系
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； （3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9 4 ；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣ 3）． 【解析】 试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可； （4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可． 试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）， ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ，解得 4 3 b c =- ? ? = ? ，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣ （x﹣3 2 ）2+ 9 4 ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 3 2 时，线段PD的长度有最大值 9 4 ；
人教版初中数学二次函数易错题汇编附答案解析一、选择题 1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线 11 22 y x =+上， 若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a＜9 8 C．1≤a＜ 9 8 或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 9 8 【答案】C 【解析】 【分析】 分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】 ∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令11 22 x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0 ∴△＝9﹣8a＞0 ∴a＜9 8 ①当a＜0时， 110 111 a a ++≤? ? -+≤? 解得：a≤﹣2∴a≤﹣2 ②当a＞0时， 110 111 a a ++≥? ? -+≥? 解得：a≥1 ∴1≤a＜9 8 综上所述：1≤a＜9 8 或a≤﹣2 故选：C．
【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②3a +b ＞0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x 轴的交点情况，对照选项逐一分析即可． 【详解】 ①∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， ∴当x ＝﹣2时，y ＜0， 即4a ﹣2b +c ＜0，所以①不符合题意； ②∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a ＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a <0，所以②不符合题意； ③∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a ＝n ， ∴b 2＝4ac ﹣4an ＝4a （c ﹣n ），所以③符合题意； ④∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点， ∴抛物线与直线y ＝n ﹣1有2个公共点， ∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意． 故选：B ．
(时间: 、选择题(每小题4分，共40分) 1 .下列各式中，y 是x 的二次函数的是 2 A . y = ax + bx + c B . 2?下列关于二次函数 其中正确的有( ) A . 1个 2 抛物线y = (x + 2) A .先向左平移 B .先向左平移 C .先向右平移 D .先向右平移 3 . 4. 周测二次函数 45分钟满分：120分)姓名: ( ) 2 2 2 x — y + 2= 0 C . y = x -(x-1) 班级: y 2— 4x = 3 二、填空题(每小题4分，共24分) 11. 若抛物线y = a(x — 1)2+ k 上(3,5),则点A 关于对称轴对称的点 B 的坐标 ___________ . 12. ___________________________________________________________________________ 关于x 的二次函数2x-1与x 轴有公共点，则实数k 的取值范围： _____________________________________________ . 14. _____________ 当m = 时，二次函数y = mx 2+ 6x+5m 有最小值为4. 1 1 15. 如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y= ?x 2经过平移得到抛物线 y= 2 x 2-2x 与两段抛物线所围成的阴影 y =— 2y 2图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是 y 轴；④顶点(0, 0). 在平面直角坐标系中，抛物线 A . B . 2个 C . 3个 D . 4个 —3可以由抛物线y = x 2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) 2个单位，再向上平移 2个单位，再向下平移 2个单位，再向下平移 2个单位，再向上平移 y = x — 1 3个单位 3个单位 3个单位 3个单位 与坐标轴的交点的个数是 C . 1 3 B . 2 y = ~x 2 + 1与y = |x 2 + 2的图象的不同之处是( ) 次函数y = (x 其图象构成一 0, a = 1, a = 2 上，这条直线 (共56分) —2a)2 + (a — 1)(a 为常 个“抛物线系”.如图分时二次函数的图象.它们 析 式 是 函数 5. ) 7. 8. 则下列判断中正确的是( A .抛物线开口向上 C .当 x = 4 时，y >0 已知二次函数 y = -3(x+1)2+ k 的图象上有 A(0 , y 1), B(1 ,汕,C(2, y 3)三个点，则y 1, y 2, y 3的大小关系是( A . y 1>y 2>y 3 B . y 2>y 1>y 3 C . y 3>y 1>y 2 D . y 3>y 2>y 1 同一坐标系中， B .抛物线与y 轴交于负半轴 D .方程ax 2 + bx + c = 0的正根在3与4之间 17. (12分)二次函数y = ax 2 + bx + c(a ^ 0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1) 方程ax 2 + bx + c = 0的两个根为 _____________ ； (2) __________________________________ 不等式ax 2 + bx + c>0的解集为 ； (3) y 随x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为 ； ⑷若方程ax 2 + bx + c = k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 _________ 18. (10分)如图，一次函数 y 1= kx + b 与二次函数y ?= ax 2的图象交于 A 、B 两点. (1)利用图中条件，求两个函数的解析式； ⑵根据图象写出使y 1>y 2的x 的取值范围. 9. y i . 佃.(10分)已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2 , 0)、( X 1 , 0), X 1 V 2，与y 轴的正半轴的交点在(0, 2)的下方.试判断：①4a-2b+c :②a-b ； 2a+c ;④2a-b+1的符号. 20. (12 分)如图，L:y=- 1 2 (x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x 轴从左到右的交点为 B , 线段OA 的中点M 作 MP 丄x 轴，交双曲线 y=k/x(k>0 , x>0)于点 P ，且 OA- MP=12。 (2, 4),且过另一点(0, — 4),则这个二次函数的解析式为 ( ) B . y =— 2(x — 2)2+ 4 D . y = 2(x — 2)2 — 4 一个二次函数的图象的顶点坐标是 2 A . y =— 2(x + 2) + 4 2 C . y = 2(x + 2) — 4 10 .如图是抛物线 y i = ax 2 + bx + c(a ^ 0)图象的一部分.抛物线的顶点坐标是 A(1 , 3)，与x 轴的一个交点是 B(4 , 0).直线y 2= mx + n(m 丰0)与抛物线交于 A 、B 两点.下列结论：① 2a + b ③方程ax 2 + bx + c = 3有两个相等的实数根； ④抛物线与x 轴的另一个交点是(— 1 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0， ），点M 是抛物线C 2： 2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （ ，0）、B （3，0）． （2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2 m 2 =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】 （1）在2 y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标． （2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值． （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】 解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=， ∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （ ，0）、B （3，0）． （2）存在．理由如下： ∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠）， 初中数学二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ） 二次函数错题整理 1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A ．y =2(x +1)2+8 B ．y =18(x +1)2−8 C ．y =2 9(x −1)2+8 D ．y =2(x −1)2−8 2．已知抛物线y =ax 2+bx 经过点A(−3，−3)，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（ ） A ．y =−1 3x 2−2x B ．y =−1 3x 2+2x C ．y =1 3x 2−2x D ．y =1 3x 2+2x 3．如图，抛物线y=x 2+bx+c (b ， c 为常数)经过点A (1，0)，点B (0，3)，点P 在该抛物线上，其横坐标为m ，若该抛物线在点P 左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2-m ．则m 的值为（ ） A ．m=3 B ．m= 3−√52 C ．m= 3±√52 D ．m=3或m= 3−√52 4．已知二次函数y=x 2+（m ﹣1）x+1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ） A ．m=﹣1 B ．m=3 C ．m ≤﹣1 D ．m ≥﹣1 5．若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m ﹣4，n ），则n 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．8 6. 已知二次函数y = ax ²+ (b+1)x + c 的图象如图所示，则二次函数 y =ax ² + bx + c 与正比例函数y= -x 的图象大致为( ) 7.已知抛物线y =ax²+ bx + c(a，b，c是常数， a ≠c)，且a-b+c=0，a>0.下列四个结论，正确的有( )个. ①抛物线与x轴一定有两个交点;②当x> -1时，y随x的增大而增大;③若a+b=0，则不等式ax²+bx+ c <0的解集是-1 二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0 B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2 C ．当函数在x ＜ 1 10 时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】 解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)， ∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2， ∴a +c ＝0，b ＝﹣2， ∴A 正确； ∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ， ∴△＝4+4a 2＞0， ∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点， ∵x 1+x 2＝ 2 a ，x 1x 2＝﹣1， ∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜1 10 时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误； ∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0， ∴m +n ＜0，2 a ＞0， ∴m +n ＜ 2a ； 故选：C ． 【点睛】 本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】 此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 3．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解． 九年级数学二次函数易错题总结（含答案） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.已知二次函数y=ax2+2ax+3a−2(a是常数，且a≠0)的图象过点M(x1,−1)， N(x2,−1)，若MN的长不小于2，则a的取值范围是() A. a≥1 3B. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查的是二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征的有关知识，首先确定抛物线的对称轴x=1，当x1+x2<2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，利用图象法即可判断． 【解答】 解：如图， 当x=m或x=−m+2时，y=2， ∴抛物线的对称轴x=m−m+2 2 =1， ∴当x1+x2<2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大， 观察图象可知，此时y1>y2， 故选B． 3.已知二次函数y=−x2+3mx−3n图象与x轴没有交点，则() A. 2m+n>4 3B. 2m+n<4 3 C. 2m−n<4 3 D. 2m−n>4 3 【答案】C 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是抛物线与x轴没有交点时，判别式小于0的结论的熟练应用．根据二次函数y=−x2+ 3mx−3n图象与x轴没有交点可得判别式小于0，列出不等式求解即可． 【解答】 二次函数易错题汇编含答案 一、选择题 1.如图是二次函数y =以2+云+。的图象，有下面四个结论：①川c>0； @a-b + c>0； ®2a + 3b>0； ®c-4b>0,其中正确的结论是（） A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 八b八，八 根据抛物线开口方向得到a > 0，根据对称轴x = -—> 0得至1」b < 0，根据抛物线与y 轴 2 a 的交点在x轴下方得到C < 0，所以abc > 0；x = -1时，由图像可知此时y > 0，所以 b 1 a - b + c > 0；由对称轴x =--=-，可得2a + 3b = 0 ；当x = 2时，由图像可知此时 2 a 3 y > 0,即4a + 2b + c > 0，将2a = -3b代入可得c - 4b > 0. 【详解】 b ①根据抛物线开口方向得到a > 0,根据对称轴x =-丁〉0得至1」b < 0,根据抛物线与 y 2 a 轴的交点在x轴下方得到c < 0，所以abc > 0,故①正确. ②x = 一1时，由图像可知此时y > 0,即a - b + c > 0,故②正确. _ b 1 ③由对称轴x = -- = -，可得2a + 3b = 0，所以2a + 3b > 0错误，故③错误； 2 a 3 ④当x = 2时，由图像可知此时y > 0，即4a + 2b + c > 0，将③中2a + 3b = 0变形为 2 a = -3b，代入可得c - 4b > 0,故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2.已知二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（） 浙教版数学九年级上《二次函数》单元测试卷 （时间：60分钟 分值：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2 x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2（0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若32)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32-m =2，且2-m 0≠，故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32 -m =2，但会忽略2-m 0≠，说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线23x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合，往往会出错. 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322 --=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 【答案】D 【解析】由ac b 42-即可判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，本题D 中 ac b 42-=-240<，表示与x 轴没有交点，故选D. 【易错点】考查二次函数的图象与x 轴的交点情况，属容易题，但学生计算能力不高，导致错误较多. 5、已知点（-1，1y ），（2,21 3y -），（2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 【答案】C 【解析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线1-=x ，又抛物线开口向上，所以横坐标越接近-1，对应的函数值越小，故选C. 【易错点】考查二次函数的图象的对称性，属一般题，学生由于基础薄弱，习惯将所有x 的值一一代入，求得y 的值，一费时，二计算容易出错，导致得分率不高. 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000>< 一. 单选题 1・已知二次函数y=（m - 2）x 2+2mx+m - 3的图象与x 轴有两个交点，（xi , 0）,（X2 , 0）,则下列说 法 正确是（） ①该函数图象一泄过泄点（-1，-5）：②若该函数图象开口向下，则m 的取值范用为：|< m<2；③当 m>2,且1 *2时，y 的最大值为：4m-5：④当m>2,且该函数图象与x 轴两交点的横坐标x 】，x 2 满足-3 二次函数易错题专向练习 一．选择题〔共8小题〕 1．函数y＝与y＝﹣kx2+k〔k≠0〕在同一直角坐标系中的图象可能是〔〕A．B． C．D． 2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下列图，有以下5个结论： ①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m〔am+b〕〔m ≠1的实数〕．其中正确结论的有〔〕 A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤ 3．如图，抛物线m：y＝ax2+b〔a＜0，b＞0〕与x轴于点A、B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．假设四边形AC1A1C 为矩形，那么a，b应满足的关系式为〔〕 A．ab＝﹣2B．ab＝﹣3C．ab＝﹣4D．ab＝﹣5 4．二次函数y＝ax2﹣2ax+1〔a＜0〕图象上三点A〔﹣1，y1〕，B〔2，y2〕C 〔4，y3〕，那么y1、y2、y3的大小关系为〔〕 A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2 5．如图，二次函数y＝〔x+1〕2﹣4，当﹣2≤x≤2时，那么函数y的最小值和最大值〔〕 A．﹣3和5B．﹣4和5C．﹣4和﹣3D．﹣1和5 6．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点〔A在B的左侧〕，与y 轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，那么△APC的周长的最 -- 小值是〔〕 A．2B．3C．5D．+ 7．如图，一条抛物线与x轴相交于A〔x1，0〕、B〔x2，0〕两点〔点B在点A的右侧〕，其顶点P在线段MN上移动．M、N的坐标分别为〔﹣1，2〕、〔1，2〕．x1的最小值为﹣3，那么x2的最大值为〔〕 A．﹣1B．1C．3D．5 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c〔a≠0〕与直线y＝﹣x相交于A，B两点，那么以下说确的是〔〕 A．ac＜0，〔b+1〕2﹣4ac＜0B．ac＜0，〔b+1〕2﹣4ac＞0 C．ac＞0，〔b+1〕2﹣4ac＜0D．ac＞0，〔b+1〕2﹣4ac＞0 二．填空题〔共5小题〕 9．将抛物线y＝x2﹣2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为．10．如图，函数y＝与y＝ax2+bx〔a＞0，b＞0〕的图象交于点P．点P的纵坐标为1．那么关于x的方程ax2+bx+＝0的解为． 11．函数y1＝x2与函数y2＝﹣x+3的图象大致如图．假设y1＜y2，那么自变量x的取值围是． 12．当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2+2kx+1的最小值是﹣1，那么k的值可能是． 13．如图〔1〕所示，E为矩形ABCD的边AD上一点动点P、Q同时从点B中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数及答案解析
初中数学二次函数易错题汇编附答案解析
二次函数易错题整理
二次函数易错题汇编附答案解析
九年级数学二次函数易错题总结(含答案)
二次函数易错题汇编含答案
《二次函数》易错题试卷及标准答案
浙教版九年级上册数学第一章：二次函数易错题——最值问题(含解析)
二次函数易错题专项练习(含答案)
相关主题
文本预览