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二次函数中考真题汇编[解析版]

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：

（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2

y x2x3

=-++；3

y x

=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）

【解析】

【分析】

（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；

（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；

（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．

【详解】

解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得

930

b c

-++=

--+=

，

∴

，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

当x＝0时，y＝3，

∴点C的坐标是（0，3），

把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1

k b

，

∴

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；

（2）如图，连接BC，

∵点D是抛物线与x轴的交点，

∴AD＝BD，

∴S△ABC＝2S△ACD，

∵S△ACP＝2S△ACD，

∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，

即：P（﹣1，0），

过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，

联立①②解得，

或

，

∴P（4，﹣5），

∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；

（3）如图，

①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，

当x＝1时，y＝2，

∴Q'坐标为（1，2），

∵Q'D＝AD＝BD＝2，

∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，

∴∠AQ'B＝90°，

∴点Q'为所求，

②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），

过点A1'作A1'E⊥DQ于E，

∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，

∴∠DAQ+∠AQD＝90°，

由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，

∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，

∴∠DAQ＝∠A1'QE，

∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），

∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ， ∴点A 1'的坐标为（﹣m +1，m ﹣2），代入y ＝﹣x 2+2x +3中，解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍）， ∴Q 的坐标为（1，﹣3），

∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．

2．在平面直角坐标系中，抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的

面积是AMC 面积的

时，请直接写出线段AM 的长．【答案】（1）2

2y x x =-++；（2）存在，（

23，209）或（10

3，529

-）；（3）

【解析】【分析】

（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；

（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出

∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；

（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．【详解】

解：（1）∵抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），

则44220422a b a b -=-+??=++?，解得：11a b =-??=?

，

∴抛物线的解析式为2

2y x x =-++；（2）存在，理由是：

在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，在2

2y x x =-++中，令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0），可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），

∴=，在△BDE 中，有

12×BE ×OD=1

×BD ×EF ，

即2×EF ，解得：EF=5

，

∴5

，

∴tan ∠BDE=

EF DF =453555

÷=4

3，若∠PBC=2∠BDO ，则∠PBC=∠BDE ， ∵BD=DE=5，BE=2，则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角，当点P 在第三象限时， ∠PBC 为钝角，不符合；当点P 在x 轴上方时，

∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++），过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ，则BG=c+1，PG=22c c -++，

∴tan ∠PBC=

PG BG =221

c c c -+++=4

3，解得：c=

， ∴22c c -++=

209

， ∴点P 的坐标为（

23，209

）；

当点P 在第四象限时，

同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，

tan ∠PBC=PG BG =221

c c c --+=4

3，

解得：c=

， ∴22c c -++=529

，

∴点P 的坐标为（

103，529

-），综上：点P 的坐标为（

23，209）或（10

3，529

-）；

（3）设EF 与AD 交于点N ，

∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ，

则422m n n -=-+??=?，解得：3

2m n =??=?

，

∴直线AD 表达式为y=3x+2，设点M 的坐标为（s ，3s+2），

∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，则11114202m n m n -=-+??

=+?，解得：11

2m n =??=-?，

∴直线AC 表达式为y=x-2，令x=0，则y=-2， ∴点E 坐标为（0，-2），可得：点E 是线段AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等，由于折叠，

∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ，由题意可得：

当点F 在直线AC 上方时， ∴S △MNE =

S △AMC =12S △AME =1

2S △FME ，

即S △MNE = S △ANE = S △MNF ， ∴MN=AN ，FN=NE ，

∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=

12AC=22

1442

+22

∵M （s ，3s+2）， ∴

()

()2

23222s s -++=，

解得：s=4

-或0（舍）， ∴M （45-

，2

-）， ∴AM=2

422455????-++-+ ? ?????

6105，

当点F 在直线AC 下方时，如图，同理可得：四边形AFEM 为平行四边形， ∴AM=EF ，

由于折叠可得：CE=EF ， ∴AM=EF=CE=22，

综上：AM 610

22 【点睛】

本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求

较高．

3．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2

0x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点．（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121

a +是线段AB 的垂

直平分线，求实数b 的取值范围．

【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣

b ＜0．【解析】【分析】

（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；

（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2

121

a +是线段AB 的垂

直平分线，从而可以求得b 的取值范围．【详解】

解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，令x ＝2x 2﹣x ﹣4，化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，

即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，

∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，

设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，

故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，解得，0＜a ＜2，

即a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）由题意可得，点A 和点B 在直线y ＝x 上，设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），

∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣

b a

， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122

x x

+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a

-）， ∵直线y ＝﹣x+2121

a +是线段AB 的垂直平分线，

∴点（2b a -，2b

a -）在直线y ＝﹣x+2121

a +上， ∴2b

a -

＝21221

b a a ++

∴﹣b ＝

a a ≤

+4，（当a ＝2

时取等号）

∴0＜﹣b

∴﹣

≤b ＜0，

即b 的取值范围是﹣4

≤b ＜0．【点睛】

本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

4．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)．（1）当y 0＝﹣1时，求m 的值．（2）求y 0的最大值．

（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是．

（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点

A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G 在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）51

或﹣1；（2）

；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞

或

≤m＜1

【解析】

【分析】

（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；

（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；

（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；

（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】

解：（1）如图1中，当m＞0时，

∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，

图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），

此时最底点P（m，﹣m2+m），

由题意﹣m2+m＝﹣1，

解得m 51

+51

当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，

图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，

∴m＝﹣1，

综上所述，满足条件的m 51

或﹣1；

（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣1

）2+

，

∵﹣1＜0，

∴m＝1

时，y0的最大值为

，

当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，

综上所述，y0的最大值为1

；

（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，

当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，

∴m＝1或0（舍弃），

∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，

故答案为0＜x1＜1；

（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，

当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，

当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，

观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．

则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，

解得m＞4

，

或﹣m≤2m﹣2＜0，

解得2

≤m＜1（不合题意舍弃），

当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．

即或﹣m≤2m﹣2＜0，

解得2

≤m＜1，

综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或2

≤m ＜1．【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

5．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．

（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标；（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；

（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．

【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2

y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-

5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2．【解析】【分析】

（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线

x==12a

，并求得抛物线与y 轴交点；（2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；

（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；

（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值

范围．【详解】

解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2

y=ax -2ax+a+k ，

∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；

抛物线L 的对称轴为直线-2a

x=-=12a

，即x ＝1；将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；

（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ， ∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，

∴L 的表达式为2

y=2x -4x-3；

将其表示为顶点式：2

y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；

（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，

∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；

（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上，即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；

②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，综上所述：-1≤t ≤2．【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．

6．二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．

（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63

m m

y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；

（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；

②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．

【答案】（1）P （2，

）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】【分析】

（1）把m =1代入二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；

（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63

m m

y x x m m =

-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；

（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；

②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】

解：（1）当m =1时，二次函数为212

163

y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，

）；（2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263

m m

b a a m =

-+，

即：2

263

m m b m a a -=

- ∵0b m ->，

∴

2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，

∴2263

a a -＞0，解得：a ＜0或a ＞4，

∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；

（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，

∵二次函数的解析式为2263

m m

y x x m =-+， ∴顶点P （2，

），当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；

设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，

）代入，得： 23

m b m

k b =??

?=+??，解得：3m k b m

=-???=?，

∴直线AP 的解析式为y=3

-x+m ，当y=0时，x=3，

∴点B （3，0）； ∴OB=3；

∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中，

DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），

∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），

∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，

∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3

2363

m m

m m -+≤+，化简得：32418m m -≤．

∵0m >，∴2

184m m m -≤

，∴2

18(2)4m m

--≤，显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，

当5m ≥时，2

(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m

-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；

当x = m +3时，y ≥3，可得2

(3)2(3)

363

m m m m m ++-+≥，

∵0m >，∴2

1823m m m ++≥

，即2

18(1)2m m

++≥，显然：m =1不是上述不等式的解，

当2m ≥时，2

(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m

++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；

综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】

本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．

7．定义：函数l 与l '的图象关于y 轴对称，点(),0P t 是x 轴上一点，将函数l '的图象位于

直线x t

=左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w的图象记作1F，函数l的图象位于直线x t=上以及右侧的部分记作2F，图象1F和2F合起来记作图象F．

例如：如图，函数l的解析式为1

y x

=+，当1

t=时，它的对称折函数w的解析式为()

y x x

=-<．

（1）函数l的解析式为21

y x

=-，当2

t=-时，它的对称折函数w的解析式为_______；（2）函数l的解析式为

y x x

=--，当42

-≤≤且0

t=时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；

（3）函数l的解析式为()

2230

y ax ax a a

=--≠．若1

a=，直线1

y t=-与图象F有两个公共点，求t的取值范围．

【答案】（1）()

212

y x x

=+<-；（2）F的解析式为

1(0)

y x x x

=--≥

?=--+<

；图象F上的点的纵坐标的最大值为

y=，最小值为3

y=-；（3）当3

t=-，

317

<≤，

317

<<时，直线1

y t=-与图象F有两个公共点．

【解析】

【分析】

（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；

（2）先根据题意确定F的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；

（3）先求出当a=1时图像F的解析式，然后分14

t-=-、点()

t t-落在223()

y x x x t

=--≥上和点()

t t-落在()

223

y x x x t

=--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答．

【详解】

解：（1）()212y x x =+<-

（2）F 的解析式为2211(0)2

11(0)2y x x x y x x x ?=--≥????=--+

当4x =-时，3y =-，当1x =-时，3

y =，当1x =时，3

y =-

，当2x =时，1y =， ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为3

y =

，最小值为3y =-. （3）当1a =时，图象F 的解析式为22

23()

23()y x x x t y x x x t ?=--≥?=--+

∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4； a ：当14t -=-时，3t =-，

∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点； b ：当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时，

2123t t t -=--

，解得1t =

2t =

c ：当点(),1t t -落在()2

23y x x x t =--+<上时，

2123t t t -=--+，解得34t =-（舍），41t =

14t -=，

∴55t =

1t <≤

5t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点；综上所述：当3t =-

，312t <≤

，352

t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点. 【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．

8．如图①抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣3

，

）．（3）

539

(,)

M--

1139 (,) 24

M-

521 (,) 24

【解析】

【分析】

（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；

（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，

（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】

解：如图：

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．

∴

16440

a b

-+=

++=

解得

2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.

【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1）【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A

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北京国子监中学数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 2 4 ；（3）M点坐标为可以为（2， 3），（55 2 + ，3），（ 55 2 - ，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c）， ∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3， ∴解得：a＝1． ∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．

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一元二次函数中考试题选编

一元二次函数综合练习题 1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是A ．0c > B ．20a b += C ．2 40b ac -> D ．0a b c -+> 2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；② 1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ 第2题第3题第题 3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（） A ．0