二次函数错题整理
1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A ．y =2(x +1)2+8
B ．y =18(x +1)2−8
C ．y =2
9(x −1)2+8
D ．y =2(x −1)2−8
2．已知抛物线y =ax 2+bx 经过点A(−3，−3)，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（ ）
A ．y =−1
3x 2−2x B ．y =−1
3x 2+2x C ．y =1
3x 2−2x D ．y =1
3x 2+2x
3．如图，抛物线y=x 2+bx+c (b ， c 为常数)经过点A (1，0)，点B (0，3)，点P 在该抛物线上，其横坐标为m ，若该抛物线在点P 左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2-m ．则m 的值为（ ）
A ．m=3
B ．m= 3−√52
C ．m= 3±√52
D ．m=3或m= 3−√52
4．已知二次函数y=x 2+（m ﹣1）x+1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ） A ．m=﹣1
B ．m=3
C ．m ≤﹣1
D ．m ≥﹣1
5．若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m ﹣4，n ），则n 的值为（ ） A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
6. 已知二次函数y = ax ²+ (b+1)x + c 的图象如图所示，则二次函数 y =ax ² + bx + c 与正比例函数y= -x 的图象大致为( )
7.已知抛物线y =ax²+ bx + c(a，b，c是常数， a ≠c)，且a-b+c=0，a>0.下列四个结论，正确的有( )个.
①抛物线与x轴一定有两个交点;②当x> -1时，y随x的增大而增大;③若a+b=0，则不等式ax²+bx+ c <0的解集是-1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在y轴上，且OA=3，且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式 为 . x2的形状和开口方向相同的抛物线解析式为. 9.顶点为(3,1)，形状与函数y=1 2 10.设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为． 11．已知二次函数y＝x2+4x+c的图象与两坐标轴共有两个交点，则c= ． 12. 已知二次函数y = x²，当-1≤x≤2时，函数值y的取值范围是____. 13. 已知函数y = x²+mx(m为常数)的图形经过点(-5,5). （1）m=____. （2）当-5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值_____. 14. 已知点A(m,-2)在二次函数y=-2x²的图象上,则m=____. 15. 二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y2=mx +n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c≥mx +n的x的取值范围是． 16．如图：已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3）与x轴交于C、D两点，点P 是x轴上的一个动点. （1）求抛物线的解析式； （2）当PA+PB的值是最小时，求点P的坐标. 17．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系. （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。 （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处? 18. 二次函数y1 = 2(x-x1)(x-x2)(x1，x2是常数)的图象与x轴交于A，B两点. （1）若A，B两点的坐标分别为(1,0)，(2,0)，求函数y1的表达式及其图象的对称轴; （2）若函数y1的图象经过点(2,m)，且 x1+ x2= 2时，求m的最大值; （3）若一次函数y2 = kx +b(k,b是常数，k≠0)，它的图象与y1的图象都经过x轴上同一点，且x1- x2=2.当函数y = y1 十 y2的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值. 19．设二次函数y=（ax-1）（x-a），其中a是常数，且a≠0． （1）当a=2时，试判断点（- 1 2 ，-5）是否在该函数图象上． （2）若函数的图象经过点（1，-4），求该函数的表达式． （3）当a 2 -1≤x≤a 2 +1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 20. 已知抛物线的顶点坐标为(-1,9)，且经过x轴上一点(-4,0). （1）求抛物线解析式; （2）求抛物线与y轴的交点坐标; （3）试说明:当x>-1时，函数值y随着x的增大而变化的情况. 21. 如图，抛物线y= -x²+ bx + c交x轴于 A(-1,0)、B两点，交y轴于 C(0,3)，点P在抛物线上，横坐标设为m. （1）求抛物线的解析式; （2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围; （3）若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为-1-m，求m的值. 22.如图，抛物线y =ax²+bx+3与x轴交于点A，B(1,0)，与y轴交于点C，且OA=OC. （1）求抛物线的解析式及顶点坐标; （2）当k≤x < 0，且k< -1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且 m+n= -1，求k的值. 23.在二次函数y =x²- 2tx +3(t> 0)中. （1）若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少? （2）当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值; （3）如果A(m - 2,a)，B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a （1）求a的值和图象的顶点坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 25．已知函数y1=−x2+(m+2)x−2m+1和函数y2=(n+2)x−2n−3，其中，m，n为常数，且n≠−2，记函数y1的顶点为P． （1）当m=0时，点P恰好在函数y2的图像上，求n的值； （2）随着m的变化，点P是否都在某一条抛物线上？如果是，求出该抛物线的解析式，如果不是，请说明理由； （3）当−1 26. 二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题： （1）直接写出不等式ax2+bx+c＜0的解集； （2）求二次函数解析式，并直接写出当-1≤x≤2时，y的最小值； （3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k取值范围. 27．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t ﹣5t2（0≤t≤4）． （1）当t=3时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度为10米时，求t； （3）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t=t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围． 28.如图，抛物线y= -x2+bx + c与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3). （1）求抛物线的表达式; （2）点P为直线BC上方抛物上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标. 29．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为； （2）不等式ax2＋bx＋c>0的解集为； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （4）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为. 30．已知函数y=x2+bx+3b（b为常数）. （1）若图象经过点（-2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为(m，n)，当b的值变化时，求m与n的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，当−6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值. 31．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并 求出此时P点的坐标． 32．借鉴已有研究函数的经验，探索函数y=|x2−2x−3|−2的图象与性质，研究过程如下，请补充完整. （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 其中：m=，n=. （2）根据列表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； （3）观察函数图象： ①写出函数的一条性质 ②当方程|x2−2x−3|=b+2有且仅有两个不相等的实数根，根据函数图象直接写出b的取值范围. . 33.已知二次函数的图象如图所示 （1）求这个二次函数的表达式; （2）观察图象，当-2 （3）将该二次函数图象向上平移多少个单位长度后恰好过点(-2,0). 34.如图，关于x的二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C,作直线BC. （1）求直线BC的函数表达式. （2）求二次函数的函数表达式. （3）在直线BC的下方，抛物线上是否存在一点P,使△PBC面积最大?若存在,请求出点P的坐标. 二次函数重点知识易错题精选 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、若一元二次方程02 =++c bx ax 有两个实数根，则抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴（ ） A. 有两个交点 B.只有一个交点 C. 至少有一个交点 D.至多有一个交点 2、下列表格给出的是二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的几组对应值，那么方程 02=++c bx ax 的一个近似解可以是（ ） A ．3.25 B ．3.35 C ．3.45 D ．3.55 3、如图所示，在Rt △ABO 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得的阴影部分面积为S ，则S 与t 的函数关系图象为下列选项中的（ ） A. B. C. D. 4、关于x 的一元二次方程02 =++q px x 的两根互为倒数，则p ，q 应满足的条件为（ ） 5、已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） 6、若二次函数1)(2--=m x y ，当1≤x ，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） 1.=m A 1.>m B 1.≥m C D.1≤m 一、填空题（每小题6分，共24分） 7、二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的部分图像如图所示，由图像 可知不等式02 >++c bx ax 的解是 . 8、若函数122++=x mx y 的图像与x 轴只有一个交点，则m 的值是 ； 9、若抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴只有一个交点，且过点A （m ，n ），B （m+4，n ） 则n= )1()(4 9 23)5(; 0)1(31)4(;063)3(;01)2(;04110222≠+<+<+-+<<=++<++>-=++=m b m m b c x b x x c b c b c b x y c bx x y 时，当）（号是 列结论，其中正确的序的图像如图所示，有下与、函数 x 3.3 3.4 3.5 3.6 y -0.06 -0.02 0.03 0.09 . 二次函数易错题 1.下列函数不属于二次函数的是（） A. y=（x﹣1）（x+2） B. y= 1 2 （x+1）2 C. y=2（x+3）2﹣2x2 D. y=1﹣√3x2 【答案】C 【考点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：把每一个函数式整理为一般形式， A、y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，是二次函数，A不符合题意； B、y= 1 2（x+1）2= 1 2 x2+x+ 1 2 ，是二次函数，B不符合题意； C、y=2（x+3）2﹣2x2=12x+18，是一次函数，C符合题意； D、y=1﹣√3x2=﹣√3x2+1，是二次函数，D不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据二次函数的定义对四个选项一一进行判断。 2.抛物线y = －1 2 （x+1）2+3的顶点坐标（） A. （1，3） B. （1，-3） C. （-1，3） D. （-1，-3） 【答案】C 【考点】二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】抛物线的顶点式为y=a(x+ℎ)2+k，它的顶点坐标为（-h,k）， 又因为抛物线y = －1 2 （x+1）2+3，所以它的顶点坐标是（-1，3） 【点评】本题考查抛物线，考生解答本题的关键是掌握抛物线的顶点式，能根据抛物线的顶点式写出其顶点坐标来 3.在抛物线y= x2﹣4x﹣4上的一个点是（）. A. （4，4） B. （−1 2，−7 4 ） C. （3，﹣1） D. （﹣2，﹣8） 【答案】B 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】把x=4、−1 2 、3、﹣2分别代入y= x2﹣4x﹣4，计算出对 应的函数值后进行判断．∵当x=4时，y= x2﹣4x﹣4=﹣4；当x= −1 2 时，y= x2 ﹣4x﹣4= −7 4 ；当x=3时，y= x2﹣4x﹣4=﹣7；当x=﹣2时，y= x2﹣4x﹣4=8； ∴点（−1 2，−7 4 ）在抛物线y= x2﹣4x﹣4上． 故答案为：B 【分析】根据函数图像上点的坐标特点，如果点在函数图像上，则它的横纵坐标满足函数解析式的左边和右边相等，一一代入判断即可。 4.函数y1=ax2+b，y2= ab x （ab＜0）的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】反比例函数的图象，二次函数图象与系数的关系 二次函数 1. 如果抛物线y ＝－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m ＝ . 2. 二次函数y ＝－2x 2+x-21，当x ＝______时，y 有最_____值，为_____. 它的图象与x 轴_____交点（填“有”或“没有”）. 3. 某一元二次方程的两个根分别为x 1＝－2，x 2 ＝5，请写出一个经过（－2，0），（5，0）两点的二次函数的表达式：______. （写出一个符合要求的即可） 4. 不论自变量x 取什么实数，二次函数y ＝2x 2－6x+m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x+m ＝0的解的情况是______（填“有 解”或“无解”）. 5. 某抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______（只写一个），此类函数都有______值（填“最大”或“最小”）. 6. 半径为r 的圆，如果半径增加m ，那么新圆的面积S 与m 之间的函数关系式是______. 7.关于二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ） ①c=0图像经过原点；②b=0, 图像关于y 轴对称；③图像最高点的值为a 442b ac ；④c>0图像开口向下时，方程ax 2+bx+c=0 必有两个不相等的实根；（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为（ ） A. 130元 B. 120元 C. 110元 D. 100元 9. 抛物线y ＝kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A. k>-47 B. k ≥- 47且k ≠0 C. k ≥-47 D. k>-47且k ≠0 10. 二次函数y ＝x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 11. 无论m 为任何实数，二次函数y ＝x 2+（2－m ）x+m 的图象总经过的点是（ ） A. (-1,0) B.(1,0) C. (-1,3) D. (1,3) 12. 抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （－2，3）和B （2，－3）， （1）请你说明方程ax 2+bx+c=0必有两个不相等的实数根； （2）抛物线y ＝ax 2+bx+c 能否以y 轴为对称轴？说说你的理由 13.已知m 为实数，如果函数y=（m-4）x2-2mx-m-6的图像与x 轴只有一个交点，那么m 的取值为 . 14.和抛物线y=8x2+10x+1只有一个公共点（-1，-1）的直线解析式为______. 九年级数学上册 二次函数易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．已知函数2266() 22() x ax a x a y x ax a x a ?-+>=?-++≤?（a 为常数，此函数的图象为G ） （1）当a ＝1时， ①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标 （2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围 【答案】（1）①2266(1) 22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤? ，②(1,1),(31),(31)--+--；（2） 0a <或 2635a <<；（3）1a -<，1 153a <<，113a <<-【解析】 【分析】 （1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论； ②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可； （2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可； （3）先求出2 66y x ax a =-+的对称轴为直线6321 a x a -=- =?，顶点坐标为( ) 23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线() 221a x a =- =?-，顶点坐标为()2 ,2a a a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解 即可． 【详解】 （1）①1a =时，2266(1) 22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤? ②当1x >时， 2661x x -+=- 2670x x -+= 1233x x ==当1x ≤时， 2221x x -++=- 2230x x --= 121,3x x =-=（舍） 二次函数易错题选摘 1、若32)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 【答案】C 2、已知点（-1，1y ），（2,21 3y -），（2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 【答案】C 3、已知抛物线c bx ax y ++=2经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000>< （第7题图） （第8题图） 7、如图是抛物线c bx ax y ++=2的一部分，对称轴是直线x =1，若其与x 轴的一个交点 为（3,0），则由图象可知，不等式02 >++c bx ax 的解集是_____________. 【答案】31>- (时间: 、选择题(每小题4分，共40分) 1 .下列各式中，y 是x 的二次函数的是 2 A . y = ax + bx + c B . 2?下列关于二次函数 其中正确的有( ) A . 1个 2 抛物线y = (x + 2) A .先向左平移 B .先向左平移 C .先向右平移 D .先向右平移 3 . 4. 周测二次函数 45分钟满分：120分)姓名: ( ) 2 2 2 x — y + 2= 0 C . y = x -(x-1) 班级: y 2— 4x = 3 二、填空题(每小题4分，共24分) 11. 若抛物线y = a(x — 1)2+ k 上(3,5),则点A 关于对称轴对称的点 B 的坐标 ___________ . 12. ___________________________________________________________________________ 关于x 的二次函数2x-1与x 轴有公共点，则实数k 的取值范围： _____________________________________________ . 14. _____________ 当m = 时，二次函数y = mx 2+ 6x+5m 有最小值为4. 1 1 15. 如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y= ?x 2经过平移得到抛物线 y= 2 x 2-2x 与两段抛物线所围成的阴影 y =— 2y 2图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是 y 轴；④顶点(0, 0). 在平面直角坐标系中，抛物线 A . B . 2个 C . 3个 D . 4个 —3可以由抛物线y = x 2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) 2个单位，再向上平移 2个单位，再向下平移 2个单位，再向下平移 2个单位，再向上平移 y = x — 1 3个单位 3个单位 3个单位 3个单位 与坐标轴的交点的个数是 C . 1 3 B . 2 y = ~x 2 + 1与y = |x 2 + 2的图象的不同之处是( ) 次函数y = (x 其图象构成一 0, a = 1, a = 2 上，这条直线 (共56分) —2a)2 + (a — 1)(a 为常 个“抛物线系”.如图分时二次函数的图象.它们 析 式 是 函数 5. ) 7. 8. 则下列判断中正确的是( A .抛物线开口向上 C .当 x = 4 时，y >0 已知二次函数 y = -3(x+1)2+ k 的图象上有 A(0 , y 1), B(1 ,汕,C(2, y 3)三个点，则y 1, y 2, y 3的大小关系是( A . y 1>y 2>y 3 B . y 2>y 1>y 3 C . y 3>y 1>y 2 D . y 3>y 2>y 1 同一坐标系中， B .抛物线与y 轴交于负半轴 D .方程ax 2 + bx + c = 0的正根在3与4之间 17. (12分)二次函数y = ax 2 + bx + c(a ^ 0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1) 方程ax 2 + bx + c = 0的两个根为 _____________ ； (2) __________________________________ 不等式ax 2 + bx + c>0的解集为 ； (3) y 随x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为 ； ⑷若方程ax 2 + bx + c = k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 _________ 18. (10分)如图，一次函数 y 1= kx + b 与二次函数y ?= ax 2的图象交于 A 、B 两点. (1)利用图中条件，求两个函数的解析式； ⑵根据图象写出使y 1>y 2的x 的取值范围. 9. y i . 佃.(10分)已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2 , 0)、( X 1 , 0), X 1 V 2，与y 轴的正半轴的交点在(0, 2)的下方.试判断：①4a-2b+c :②a-b ； 2a+c ;④2a-b+1的符号. 20. (12 分)如图，L:y=- 1 2 (x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x 轴从左到右的交点为 B , 线段OA 的中点M 作 MP 丄x 轴，交双曲线 y=k/x(k>0 , x>0)于点 P ，且 OA- MP=12。 (2, 4),且过另一点(0, — 4),则这个二次函数的解析式为 ( ) B . y =— 2(x — 2)2+ 4 D . y = 2(x — 2)2 — 4 一个二次函数的图象的顶点坐标是 2 A . y =— 2(x + 2) + 4 2 C . y = 2(x + 2) — 4 10 .如图是抛物线 y i = ax 2 + bx + c(a ^ 0)图象的一部分.抛物线的顶点坐标是 A(1 , 3)，与x 轴的一个交点是 B(4 , 0).直线y 2= mx + n(m 丰0)与抛物线交于 A 、B 两点.下列结论：① 2a + b ③方程ax 2 + bx + c = 3有两个相等的实数根； ④抛物线与x 轴的另一个交点是(— 1 中考数学复习二次函数专项易错题及答案 一、二次函数 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN•AG+ 1 2 PN•BM= 1 2 PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为 D . （1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点， ①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标； ②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2 ||23y a x a x =-+的图像只有一个 公共点，求t 的取值范围. 【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最 ，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332 t ≤<或72t =. 【解析】 【分析】 （1）先利用对称轴公式x=2a 12a -- =，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式； （2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标； （3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0, y x 23,0. x x x x ?-++≥=?--+ 初中数学二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ） 二次函数错题整理 1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A ．y =2(x +1)2+8 B ．y =18(x +1)2−8 C ．y =2 9(x −1)2+8 D ．y =2(x −1)2−8 2．已知抛物线y =ax 2+bx 经过点A(−3，−3)，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（ ） A ．y =−1 3x 2−2x B ．y =−1 3x 2+2x C ．y =1 3x 2−2x D ．y =1 3x 2+2x 3．如图，抛物线y=x 2+bx+c (b ， c 为常数)经过点A (1，0)，点B (0，3)，点P 在该抛物线上，其横坐标为m ，若该抛物线在点P 左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2-m ．则m 的值为（ ） A ．m=3 B ．m= 3−√52 C ．m= 3±√52 D ．m=3或m= 3−√52 4．已知二次函数y=x 2+（m ﹣1）x+1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ） A ．m=﹣1 B ．m=3 C ．m ≤﹣1 D ．m ≥﹣1 5．若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m ﹣4，n ），则n 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．8 6. 已知二次函数y = ax ²+ (b+1)x + c 的图象如图所示，则二次函数 y =ax ² + bx + c 与正比例函数y= -x 的图象大致为( ) 7.已知抛物线y =ax²+ bx + c(a，b，c是常数， a ≠c)，且a-b+c=0，a>0.下列四个结论，正确的有( )个. ①抛物线与x轴一定有两个交点;②当x> -1时，y随x的增大而增大;③若a+b=0，则不等式ax²+bx+ c <0的解集是-1 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2（0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若3 2 )2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32-m =2，且2-m 0≠，故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32 -m =2，但会忽略2-m 0≠， 说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线2 3x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32 -+=x y B. 2)3(32 ++=x y C. 2)3(32 --=x y D. 2)3(32 +-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合，往往会出错. 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322--=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 【答案】D 【解析】由ac b 42-即可判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，本题D 中 ac b 42 -=-240<，表示与x 轴没有交点，故选D. 【易错点】考查二次函数的图象与x 轴的交点情况，属容易题，但学生计算能力不高，导致错误较多. 5、已知点（-1，1y ），（2,2 13 y -），（ 2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、 2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 【答案】C 【解析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线1-=x ，又抛物线开口向上，所以横坐标越接近-1，对应的函数值越小，故选C. 【易错点】考查二次函数的图象的对称性，属一般题，学生由于基础薄弱，习惯将所有x 的值一一代入，求得y 的值，一费时，二计算容易出错，导致得分率不高. 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000>< 二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0 B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2 C ．当函数在x ＜ 1 10 时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】 解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)， ∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2， ∴a +c ＝0，b ＝﹣2， ∴A 正确； ∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ， ∴△＝4+4a 2＞0， ∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点， ∵x 1+x 2＝ 2 a ，x 1x 2＝﹣1， ∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜1 10 时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误； ∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0， ∴m +n ＜0，2 a ＞0， ∴m +n ＜ 2a ； 故选：C ． 【点睛】 本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】 此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 3．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解． 二次函数易错题汇编含答案 一、选择题 1.如图是二次函数y =以2+云+。的图象，有下面四个结论：①川c>0； @a-b + c>0； ®2a + 3b>0； ®c-4b>0,其中正确的结论是（） A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 八b八，八 根据抛物线开口方向得到a > 0，根据对称轴x = -—> 0得至1」b < 0，根据抛物线与y 轴 2 a 的交点在x轴下方得到C < 0，所以abc > 0；x = -1时，由图像可知此时y > 0，所以 b 1 a - b + c > 0；由对称轴x =--=-，可得2a + 3b = 0 ；当x = 2时，由图像可知此时 2 a 3 y > 0,即4a + 2b + c > 0，将2a = -3b代入可得c - 4b > 0. 【详解】 b ①根据抛物线开口方向得到a > 0,根据对称轴x =-丁〉0得至1」b < 0,根据抛物线与 y 2 a 轴的交点在x轴下方得到c < 0，所以abc > 0,故①正确. ②x = 一1时，由图像可知此时y > 0,即a - b + c > 0,故②正确. _ b 1 ③由对称轴x = -- = -，可得2a + 3b = 0，所以2a + 3b > 0错误，故③错误； 2 a 3 ④当x = 2时，由图像可知此时y > 0，即4a + 2b + c > 0，将③中2a + 3b = 0变形为 2 a = -3b，代入可得c - 4b > 0,故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2.已知二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（） 中考数学复习二次函数专项易错题及答案解析 一、二次函数 1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=1 4 x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=1 4 x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（ 28 13 ，﹣1）．（3） 定点F的坐标为（2，1）． 【解析】 分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标 特征，即可得出（1-1 2 - 1 2 y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关 于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a=1 4 ， ∴抛物线的解析式为y=1 4（x-2）2= 1 4 x2-x+1． 二次函数易错题例题解析 1. 如果抛物线y ＝－2x 2 +mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m ＝ . 分析：顶点在x 轴上，而且在x 轴正半轴上。 2. 二次函数y ＝－2x 2+x-21 ，当x ＝______时，y 有最______值，为______. 它的图象与x 轴______交 点（填“有”或“没有”）. 分析:把形式改造成顶点式，画出图像，解决问题。 3. 某一元二次方程的两个根分别为x 1＝－2，x 2＝5，请写出一个经过（－2，0），（5，0）两点的二次函数的表达式：______. （写出一个符合要求的即可） 分析：方程和函数的对应，灵活运用交点式。 4. 不论自变量x 取什么实数，二次函数y ＝2x 2 －6x+m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x+m ＝0的解的情况是______（填“有 解”或“无解”）. 分析：配方法，顶点式，数形结合。 5. 某抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______（只写一个），此类函数都有______值（填“最大”或“最小”）. 分析：抓开口方向，抓顶点，最好运用顶点式。 6. 半径为r 的圆，如果半径增加m ，那么新圆的面积S 与m 之间的函数关系式是______. 分析：圆的面积公式，关键在于半径。 7.关于二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ） ①c=0图像经过原点； ②b=0, 图像关于y 轴对称； ③图像最高点的值为a 442 b a c ； ④c>0图像开口向下时，方程ax 2 +bx+c=0必有两个不相等的实根； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 分析：图像法，注意基本知识的综合运用。 8. 某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为（ ） A. 130元 B. 120元 C. 110元 D. 100元 分析：正确写出解析式，配方法。 9. 抛物线y ＝kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A. k>-47 B. k ≥-47且k ≠0 C. k ≥-47 D. k>-47 且k ≠0 分析：有交点，几个交点？ 10. 二次函数y ＝x 2 －4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 二次函数易错题汇编 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①； 0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以 0a b c -+>；由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为 23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．如图，二次函数()2 00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点， 与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论： ①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2 00ax bx c a ++=≠有 二次函数易错题 XX 省滨州市滨城区滨北办北城中学 周红军 1．当m _______时,函数22(+2)23m y m x x +－＝－是二次函数． 错解：2m ±＝．理由：由题意可知2 22m －＝,解得2m ±＝,∴2m ±＝时函数为二次函数． 错因：根据二次函数定义,要使22(+2)23m y m x x +－＝－是二次函数,m 不但应满足：222m －＝,还应满足+20m ≠,而上述解法忽略了+20m ≠这一隐含条件,导致错误． 正解：m ＝2．理由：由题意可知：222+20.m m ⎧⎨⎩ －＝，≠∴22.m m ±⎧⎨⎩＝，≠－ ∴当m ＝2时函数2 2(+2)23m y m x x +－＝－为二次函数． 思路：看到这样的题目,首先要明确考查的知识点是二次函数的定义,二次函数的定义中把握两点：①解析式中最高次项的指数是2；②最高次项的系数a ≠0．不要遗漏条件． 考点：二次函数的定义． 2．已知抛物线2(1)m m y m x m －＝－－开口向下,则m _______． 错解：m ＜1．理由：∵抛物线开口向下,∴m －1＜0,∴m ＜1． 错因：错解只考虑了m －1＜0是不全面的,因为抛物线是二次函数图象,所以x 的次数应该是2,即22m m －＝．上述解法忽略了22m m －＝这一条件,导致错误． 正解：m ＝－1．理由：由题意可知：2210.m m m ⎧⎨⎩－＝，－＜∴ 1221.m m m ⎧⎪⎨⎪⎩ ＝，＝－，＜1∴当抛物线2 (1)m m y m x m －＝－－开口向下时,m ＝－1． 思路：题目中求m 的值,其中含有m 的式子有三个,m －1,2m m －,m ；由题意,m －1和2m m －都限制了m 的值,所以考虑一方面是不全面的． 考点：二次函数的图象和性质． 3．二次函数①y =2x 2,②y =x 2,③y =3x 2的图象大致如图1所示,则图中从里向外的三条抛物线 对应的函数依次是__ __ __． 错解：y =x 2,y =2x 2,y =3x 2． 错因：|a |越大,抛物线的开口越小,抛物线越接近y 轴；|a|越小,抛物线开口就越大,抛物线越远离y 轴,本题错误原因是对上述规律不理解,错误地认为|a |越大,开口就越大． 正解：y =3x 2,y =2x 2,y =x 2． 思路：解决此类题目,可以取相同的x 值,发现从里到外得到的y 的值是从大到小的,所二次函数重点知识易错题精选
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