二次函数常见易错题解析_二次函数易错题常见易错题解析
二次函数是数学中的重要知识点，也是高中数学课程中常见的考点。在解题过程中，往往容易出现一些易错的情况。下面是二次函数常见易错题解析，希望帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
易错点一：求解二次函数的零点时，难以正确计算平方根。
解析：在求解二次函数的零点时，往往需要计算平方根。但是，由于平方根涉及到较为复杂的计算过程，容易出现计算错误的情况。为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，注意根号内部的计算是否正确，特别是针对负数进行开平方根计算时，要注意虚数的概念；其次，在计算过程中可以采用分步骤进行计算，减少出错的可能性；最后，可以借助计算器等工具来进行计算，以提高准确性。
易错点二：对二次函数的图像特征理解不准确。
解析：二次函数的图像特征是学习和掌握二次函数的关键。在解决二次函数相关问题时，往往需要根据图像特征进行分析和判断，但是很多同学对于图像的凹凸性、顶点位置等特征理解不准确，从而导致答案出错。因此，在学习和掌握二次函数图像特征时，要注意以下几个方面：首先，要理解凹凸性的概念，搞清楚何时是凹、何时是凸；其次，要能够正确理解和计算顶点的坐标，特别是对于带有负号的情况，要仔细计算；最后，可以利用绘图工具进行练习，加深对图像特征的理解。
易错点三：对二次函数的平移、缩放等变换理解不准确。
解析：二次函数的平移、缩放等变换是解决二次函数相关题目的常见
方法。但是，很多同学对于变换的理解不准确，从而导致计算错误。为了
避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，要熟悉常见的变换规律，如平移、缩放等；其次，在计算过程中要仔细区分横坐标和纵坐标的
变化情况；最后，可以通过绘图工具进行辅助，帮助理解变换的效果。
易错点四：对应用题中二次函数的建立和求解不准确。
解析：二次函数的应用是数学中的重要内容，也是考试中常见的题型。但是，在应用题中，往往需要建立二次函数模型，并进行求解。在这个过
程中，容易出现建模错误或求解错误的情况。为了避免此类错误，我们可
以注意以下几个方面：首先，要仔细阅读题目，理解问题的含义和要求；
其次，要选择适当的变量和建立正确的函数模型；最后，在进行求解时，
要注意计算过程的准确性，避免疏漏和粗心导致答案错误。
通过对二次函数常见易错题的解析，我们可以发现，掌握二次函数的
基本概念和特征是解决问题的关键。同时，在解题过程中要注意思路的清
晰和计算的准确性，避免常见的易错点。希望上述内容可以帮助同学们更
好地理解和掌握二次函数的知识点，提高解题能力。
二次函数常见易错题解析_二次函数易错题常见易错题解析 二次函数是数学中的重要知识点，也是高中数学课程中常见的考点。在解题过程中，往往容易出现一些易错的情况。下面是二次函数常见易错题解析，希望帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。 易错点一：求解二次函数的零点时，难以正确计算平方根。 解析：在求解二次函数的零点时，往往需要计算平方根。但是，由于平方根涉及到较为复杂的计算过程，容易出现计算错误的情况。为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，注意根号内部的计算是否正确，特别是针对负数进行开平方根计算时，要注意虚数的概念；其次，在计算过程中可以采用分步骤进行计算，减少出错的可能性；最后，可以借助计算器等工具来进行计算，以提高准确性。 易错点二：对二次函数的图像特征理解不准确。 解析：二次函数的图像特征是学习和掌握二次函数的关键。在解决二次函数相关问题时，往往需要根据图像特征进行分析和判断，但是很多同学对于图像的凹凸性、顶点位置等特征理解不准确，从而导致答案出错。因此，在学习和掌握二次函数图像特征时，要注意以下几个方面：首先，要理解凹凸性的概念，搞清楚何时是凹、何时是凸；其次，要能够正确理解和计算顶点的坐标，特别是对于带有负号的情况，要仔细计算；最后，可以利用绘图工具进行练习，加深对图像特征的理解。 易错点三：对二次函数的平移、缩放等变换理解不准确。
解析：二次函数的平移、缩放等变换是解决二次函数相关题目的常见 方法。但是，很多同学对于变换的理解不准确，从而导致计算错误。为了 避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，要熟悉常见的变换规律，如平移、缩放等；其次，在计算过程中要仔细区分横坐标和纵坐标的 变化情况；最后，可以通过绘图工具进行辅助，帮助理解变换的效果。 易错点四：对应用题中二次函数的建立和求解不准确。 解析：二次函数的应用是数学中的重要内容，也是考试中常见的题型。但是，在应用题中，往往需要建立二次函数模型，并进行求解。在这个过 程中，容易出现建模错误或求解错误的情况。为了避免此类错误，我们可 以注意以下几个方面：首先，要仔细阅读题目，理解问题的含义和要求； 其次，要选择适当的变量和建立正确的函数模型；最后，在进行求解时， 要注意计算过程的准确性，避免疏漏和粗心导致答案错误。 通过对二次函数常见易错题的解析，我们可以发现，掌握二次函数的 基本概念和特征是解决问题的关键。同时，在解题过程中要注意思路的清 晰和计算的准确性，避免常见的易错点。希望上述内容可以帮助同学们更 好地理解和掌握二次函数的知识点，提高解题能力。
新初中数学二次函数易错题汇编含答案(1) 一、选择题 1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线 11 22 y x =+上， 若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a＜9 8 C．1≤a＜ 9 8 或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 9 8 【答案】C 【解析】 【分析】 分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】 ∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令11 22 x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0 ∴△＝9﹣8a＞0 ∴a＜9 8 ①当a＜0时， 110 111 a a ++≤? ? -+≤? 解得：a≤﹣2∴a≤﹣2 ②当a＞0时， 110 111 a a ++≥? ? -+≥? 解得：a≥1 ∴1≤a＜9 8 综上所述：1≤a＜9 8 或a≤﹣2 故选：C．
本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝?2， ∴y ＝－x 2?2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 3．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ．
二次函数易错题 1.下列函数不属于二次函数的是（） A. y=（x﹣1）（x+2） B. y= 1 2 （x+1）2 C. y=2（x+3）2﹣2x2 D. y=1﹣√3x2 【答案】C 【考点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：把每一个函数式整理为一般形式， A、y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，是二次函数，A不符合题意； B、y= 1 2（x+1）2= 1 2 x2+x+ 1 2 ，是二次函数，B不符合题意； C、y=2（x+3）2﹣2x2=12x+18，是一次函数，C符合题意； D、y=1﹣√3x2=﹣√3x2+1，是二次函数，D不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据二次函数的定义对四个选项一一进行判断。 2.抛物线y = －1 2 （x+1）2+3的顶点坐标（） A. （1，3） B. （1，-3） C. （-1，3） D. （-1，-3） 【答案】C 【考点】二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】抛物线的顶点式为y=a(x+ℎ)2+k，它的顶点坐标为（-h,k）， 又因为抛物线y = －1 2 （x+1）2+3，所以它的顶点坐标是（-1，3） 【点评】本题考查抛物线，考生解答本题的关键是掌握抛物线的顶点式，能根据抛物线的顶点式写出其顶点坐标来
3.在抛物线y= x2﹣4x﹣4上的一个点是（）. A. （4，4） B. （−1 2，−7 4 ） C. （3，﹣1） D. （﹣2，﹣8） 【答案】B 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】把x=4、−1 2 、3、﹣2分别代入y= x2﹣4x﹣4，计算出对 应的函数值后进行判断．∵当x=4时，y= x2﹣4x﹣4=﹣4；当x= −1 2 时，y= x2 ﹣4x﹣4= −7 4 ；当x=3时，y= x2﹣4x﹣4=﹣7；当x=﹣2时，y= x2﹣4x﹣4=8； ∴点（−1 2，−7 4 ）在抛物线y= x2﹣4x﹣4上． 故答案为：B 【分析】根据函数图像上点的坐标特点，如果点在函数图像上，则它的横纵坐标满足函数解析式的左边和右边相等，一一代入判断即可。 4.函数y1=ax2+b，y2= ab x （ab＜0）的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】反比例函数的图象，二次函数图象与系数的关系
九年级数学上册 二次函数易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．已知函数2266() 22() x ax a x a y x ax a x a ?-+>=?-++≤?（a 为常数，此函数的图象为G ） （1）当a ＝1时， ①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标 （2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围 【答案】（1）①2266(1) 22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤? ，②(1,1),(31),(31)--+--；（2） 0a <或 2635a <<；（3）1a -<，1 153a <<，113a <<-【解析】 【分析】 （1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论； ②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可； （2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可； （3）先求出2 66y x ax a =-+的对称轴为直线6321 a x a -=- =?，顶点坐标为( ) 23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线() 221a x a =- =?-，顶点坐标为()2 ,2a a a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解 即可． 【详解】 （1）①1a =时，2266(1) 22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤? ②当1x >时， 2661x x -+=- 2670x x -+= 1233x x ==当1x ≤时， 2221x x -++=- 2230x x --= 121,3x x =-=（舍）
中考数学复习二次函数专项易错题及答案 一、二次函数 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN•AG+ 1 2 PN•BM= 1 2 PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
初中数学二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）
一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2（0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若3 2 )2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32-m =2，且2-m 0≠，故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32 -m =2，但会忽略2-m 0≠， 说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线2 3x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32 -+=x y B. 2)3(32 ++=x y C. 2)3(32 --=x y D. 2)3(32 +-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合，往往会出错.
4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322--=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 【答案】D 【解析】由ac b 42-即可判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，本题D 中 ac b 42 -=-240<，表示与x 轴没有交点，故选D. 【易错点】考查二次函数的图象与x 轴的交点情况，属容易题，但学生计算能力不高，导致错误较多. 5、已知点（-1，1y ），（2,2 13 y -），（ 2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、 2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 【答案】C 【解析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线1-=x ，又抛物线开口向上，所以横坐标越接近-1，对应的函数值越小，故选C. 【易错点】考查二次函数的图象的对称性，属一般题，学生由于基础薄弱，习惯将所有x 的值一一代入，求得y 的值，一费时，二计算容易出错，导致得分率不高. 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000><
二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0 B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2 C ．当函数在x ＜ 1 10 时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】 解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)， ∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2， ∴a +c ＝0，b ＝﹣2， ∴A 正确； ∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ， ∴△＝4+4a 2＞0， ∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点， ∵x 1+x 2＝ 2 a ，x 1x 2＝﹣1， ∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜1 10 时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误； ∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0， ∴m +n ＜0，2 a ＞0， ∴m +n ＜ 2a ；
故选：C ． 【点睛】 本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】 此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 3．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解．
二次函数易错题汇编含答案 一、选择题 1.如图是二次函数y =以2+云+。的图象，有下面四个结论：①川c>0； @a-b + c>0； ®2a + 3b>0； ®c-4b>0,其中正确的结论是（） A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 八b八，八 根据抛物线开口方向得到a > 0，根据对称轴x = -—> 0得至1」b < 0，根据抛物线与y 轴 2 a 的交点在x轴下方得到C < 0，所以abc > 0；x = -1时，由图像可知此时y > 0，所以 b 1 a - b + c > 0；由对称轴x =--=-，可得2a + 3b = 0 ；当x = 2时，由图像可知此时 2 a 3 y > 0,即4a + 2b + c > 0，将2a = -3b代入可得c - 4b > 0. 【详解】 b ①根据抛物线开口方向得到a > 0,根据对称轴x =-丁〉0得至1」b < 0,根据抛物线与 y 2 a 轴的交点在x轴下方得到c < 0，所以abc > 0,故①正确. ②x = 一1时，由图像可知此时y > 0,即a - b + c > 0,故②正确. _ b 1 ③由对称轴x = -- = -，可得2a + 3b = 0，所以2a + 3b > 0错误，故③错误； 2 a 3 ④当x = 2时，由图像可知此时y > 0，即4a + 2b + c > 0，将③中2a + 3b = 0变形为 2 a = -3b，代入可得c - 4b > 0,故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2.已知二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）
中考数学复习二次函数专项易错题及答案解析 一、二次函数 1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=1 4 x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=1 4 x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（ 28 13 ，﹣1）．（3） 定点F的坐标为（2，1）． 【解析】 分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标 特征，即可得出（1-1 2 - 1 2 y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关 于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a=1 4 ， ∴抛物线的解析式为y=1 4（x-2）2= 1 4 x2-x+1．
二次函数易错题例题解析 1. 如果抛物线y ＝－2x 2 +mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m ＝ . 分析：顶点在x 轴上，而且在x 轴正半轴上。 2. 二次函数y ＝－2x 2+x-21 ，当x ＝______时，y 有最______值，为______. 它的图象与x 轴______交 点（填“有”或“没有”）. 分析:把形式改造成顶点式，画出图像，解决问题。 3. 某一元二次方程的两个根分别为x 1＝－2，x 2＝5，请写出一个经过（－2，0），（5，0）两点的二次函数的表达式：______. （写出一个符合要求的即可） 分析：方程和函数的对应，灵活运用交点式。 4. 不论自变量x 取什么实数，二次函数y ＝2x 2 －6x+m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x+m ＝0的解的情况是______（填“有 解”或“无解”）. 分析：配方法，顶点式，数形结合。 5. 某抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______（只写一个），此类函数都有______值（填“最大”或“最小”）. 分析：抓开口方向，抓顶点，最好运用顶点式。 6. 半径为r 的圆，如果半径增加m ，那么新圆的面积S 与m 之间的函数关系式是______. 分析：圆的面积公式，关键在于半径。 7.关于二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ） ①c=0图像经过原点； ②b=0, 图像关于y 轴对称； ③图像最高点的值为a 442 b a c ； ④c>0图像开口向下时，方程ax 2 +bx+c=0必有两个不相等的实根； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 分析：图像法，注意基本知识的综合运用。 8. 某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为（ ） A. 130元 B. 120元 C. 110元 D. 100元 分析：正确写出解析式，配方法。 9. 抛物线y ＝kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A. k>-47 B. k ≥-47且k ≠0 C. k ≥-47 D. k>-47 且k ≠0 分析：有交点，几个交点？ 10. 二次函数y ＝x 2 －4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
二次函数易错题剖析 作者：彭萍 来源：《初中生世界·九年级》2013年第12期 很多同学在学习二次函数的图象和性质时感到有些吃力，那是由于没有搞清楚其本质. 现通过查误纠错来帮助同学们更好地学习和掌握二次函数的图象和性质. 一、因概念不清，忽略系数 例1 当m=______时，函数y=（m2+m）·xm2-2m-1+3x+2是关于x的二次函数？ 【错解】m=-1或3. 【剖析】这是因为没有理清二次函数概念造成的错误. 函数y=ax2+bx+c为二次函数的条件是二次项系数a≠0，而当m=-1时，m2+m=0，此时函数y=3x+2不是二次函数. 二、不理解自变量取值范围，画图出错 例2 作出函数y=x2的图象 【错解】描点连线如图1所示. 【剖析】产生错误的原因有两个：一是用折线连接相邻的点，二是没有将二次函数图象向上延伸. 我们要注意自变量的取值范围是任意实数，在画实际问题中的二次函数的图象时更要关注自变量的取值范围. 三、忽略隐含条件 例3 如右图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B、C 两点，且BC=2，S△ABC=3，则b的值为（）. A. -5 B. 4或-4 C. 4 D. -4 【错解】选B. 依题意BC=2，S△ABC=3，得点A（0，3），即c=3. 又BC=2，得方程 x2+bx+c=0的两根之差为2，故■-■=2，解得b=±4. 故选B. 【剖析】此解法忽略了“抛物线的对称轴x=-■在y轴的右侧”这一隐含条件，正确的解法应是同时考虑-■>0，得b 四、忽略数形结合的应用
例4 求二次函数y=x2+4x+5（-3≤x≤0）的最大值和最小值. 【错解】当x=-3时，y=2；当x=0时，y=5.所以-3≤x≤0时，y最小=2，y最大=5. 【剖析】此解法忽略了数形结合思想方法的应用，误以为端点的值就是这段函数的最值.解决此类问题需画出函数图象，借助图象的直观性求解即可. ∵y=x2+4x+5=（x+2）2+1，∴对称轴是直线x=-2，顶点坐标是（-2，1），可作出大致的图象，右图是抛物线位于 -3≤x≤0的一段，显然图象上最高点是C，最低点是顶点B而不是端点A，所以当-3≤x≤0时，y最大值为5，y最小值为1.
二次函数易错题 XX 省滨州市滨城区滨北办北城中学 周红军 1．当m _______时,函数22(+2)23m y m x x +－＝－是二次函数． 错解：2m ±＝．理由：由题意可知2 22m －＝,解得2m ±＝,∴2m ±＝时函数为二次函数． 错因：根据二次函数定义,要使22(+2)23m y m x x +－＝－是二次函数,m 不但应满足：222m －＝,还应满足+20m ≠,而上述解法忽略了+20m ≠这一隐含条件,导致错误． 正解：m ＝2．理由：由题意可知：222+20.m m ⎧⎨⎩ －＝，≠∴22.m m ±⎧⎨⎩＝，≠－ ∴当m ＝2时函数2 2(+2)23m y m x x +－＝－为二次函数． 思路：看到这样的题目,首先要明确考查的知识点是二次函数的定义,二次函数的定义中把握两点：①解析式中最高次项的指数是2；②最高次项的系数a ≠0．不要遗漏条件． 考点：二次函数的定义． 2．已知抛物线2(1)m m y m x m －＝－－开口向下,则m _______． 错解：m ＜1．理由：∵抛物线开口向下,∴m －1＜0,∴m ＜1． 错因：错解只考虑了m －1＜0是不全面的,因为抛物线是二次函数图象,所以x 的次数应该是2,即22m m －＝．上述解法忽略了22m m －＝这一条件,导致错误． 正解：m ＝－1．理由：由题意可知：2210.m m m ⎧⎨⎩－＝，－＜∴ 1221.m m m ⎧⎪⎨⎪⎩ ＝，＝－，＜1∴当抛物线2 (1)m m y m x m －＝－－开口向下时,m ＝－1． 思路：题目中求m 的值,其中含有m 的式子有三个,m －1,2m m －,m ；由题意,m －1和2m m －都限制了m 的值,所以考虑一方面是不全面的． 考点：二次函数的图象和性质． 3．二次函数①y =2x 2,②y =x 2,③y =3x 2的图象大致如图1所示,则图中从里向外的三条抛物线 对应的函数依次是__ __ __． 错解：y =x 2,y =2x 2,y =3x 2． 错因：|a |越大,抛物线的开口越小,抛物线越接近y 轴；|a|越小,抛物线开口就越大,抛物线越远离y 轴,本题错误原因是对上述规律不理解,错误地认为|a |越大,开口就越大． 正解：y =3x 2,y =2x 2,y =x 2． 思路：解决此类题目,可以取相同的x 值,发现从里到外得到的y 的值是从大到小的,所
（易错题精选）初中数学二次函数知识点总复习附答案解析(1) 一、选择题 1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x = 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 ∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有 一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ． 考点：抛物线与x 轴的交点． 2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( ) A ．﹣4＜P ＜0 B ．﹣4＜P ＜﹣2 C ．﹣2＜P ＜0 D ．﹣1＜P ＜0 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0． ∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a -＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2． 把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4， ∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2． ∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0． 故选A ．
二次函数易错题汇编 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①； 0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以 0a b c -+>；由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为 23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．如图，二次函数()2 00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点， 与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论： ①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2 00ax bx c a ++=≠有
一. 单选题 1・已知二次函数y=（m - 2）x 2+2mx+m - 3的图象与x 轴有两个交点，（xi , 0）,（X2 , 0）,则下列说 法 正确是（） ①该函数图象一泄过泄点（-1，-5）：②若该函数图象开口向下，则m 的取值范用为：|< m<2；③当 m>2,且1 *2时，y 的最大值为：4m-5：④当m>2,且该函数图象与x 轴两交点的横坐标x 】，x 2 满足-3
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式； ②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存 在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92 ，此时点P的坐 标为（3 2 ， 15 4 ）． 【解析】 【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M； （3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式； ②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论． 【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
浙教版九年级上册数学第一章：二次函数易错题——最值问题 一、单选题 1.已知二次函数y=(m﹣2)x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，(x1，0)，(x2，0)，则下列说法正确是( ) ①该函数图象一定过定点(﹣1，﹣5)；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：6 5
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