二次函数易错题汇编含答案
一、选择题
1.如图是二次函数y =以2+云+。的图象，有下面四个结论：①川c>0；
@a-b + c>0； ®2a + 3b>0； ®c-4b>0,其中正确的结论是（）
A.①②
B.①②③
C.①③④
D.①②④
【答案】D
【解析】
【分析】
八b八，八
根据抛物线开口方向得到a > 0，根据对称轴x = -—> 0得至1」b < 0，根据抛物线与y 轴
2 a
的交点在x轴下方得到C < 0，所以abc > 0；x = -1时，由图像可知此时y > 0，所以
b 1
a -
b +
c > 0；由对称轴x =--=-，可得2a + 3b = 0 ；当x = 2时，由图像可知此时
2 a 3
y > 0,即4a + 2b + c > 0，将2a = -3b代入可得c - 4b > 0.
【详解】
b
①根据抛物线开口方向得到a > 0,根据对称轴x =-丁〉0得至1」b < 0,根据抛物线与
y 2 a
轴的交点在x轴下方得到c < 0，所以abc > 0,故①正确.
②x = 一1时，由图像可知此时y > 0,即a - b + c > 0,故②正确.
_ b 1
③由对称轴x = -- = -，可得2a + 3b = 0，所以2a + 3b > 0错误，故③错误；
2 a 3
④当x = 2时，由图像可知此时y > 0，即4a + 2b + c > 0，将③中2a + 3b = 0变形为
2 a = -3b，代入可得c - 4b > 0,故④正确.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
2.已知二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）
A . ac >0
B . b >0
【答案】D 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案. 【详解】
A.由图象可知：a <0, c >0,
・•・ac <0,故A 错误； b
B.由对称轴可知：x = -- <0,
2 a
・•・b <0,故B 错误；
b C.由对称轴可知：x = --- =- 1,
2 a
... b = 2 a ,
・「x =1 时，y =0,
... a +b +c =0,
；.c =- 3 a ,
a +c =a - 3a =- 2a >0,故 C 错误；
故选D . 【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型. 3.已知抛物线y = 2x 2
-4x + C 与直线y = 2
有两个不同的交点.下列结论：①c < 4 ；
②当x = 1时，y
有最小值c - 2 ；③方程2x 2 - 4x + c - 2 = 0有两个不等实根；④若连接 、、人一一「，，一，人，口 “ — 八
， 5 4t
这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则c 二万；其中正确的结论的 个数是（） A . 4 B . 3
C . 2
D . 1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据“抛物线y = 2x 2 -4x + c 与直线y = 2
有两个不同的交点〃即可判断①③；根据
C. a+c <0
D. a +b +c =0
抛物 线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点， 代入抛物线解析式计算即可判断④． 【详解】
解：：抛物线y = 2X 2
- 4X + C 与直线y = 2
有两个不同的交点，
・ •, 2X 2 - 4X + c = 2有两个不相等的实数根，即2X 2 - 4X + c - 2 = 0有两个不相等的实
数
根，故③正确，
.・.△ = 16 - 4 x 2 x (c - 2)> 0，解得：c < 4，故①正确；
・ ・•抛物线的对称轴为直线x=1,且抛物线开口向上，
・ ,.当
x=1时，y = c
-
2
为最小值，故②正确；
若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形， 则顶点(1, c-2)到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，
・ ・•顶点(1, c-2)到直线
y=2的距离为2- (c-2) =4-c ,
，两交点的横坐标分别为1- (4-c ) =c-3与1+ (4-c ) =5-c ，两交点坐标为(c-3,2)与(5-c,2),
将(c-3,2)代入 y = 2X 2
- 4X + c 中得：2(c - 3)2 - 4(c - 3) + c = 2
7
解得：c =5或c = 4
・ ・, c < 4 ,
7
・ •・c =-，故④错误,
・ •・正确的有①②③，
故选：B . 【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握 函数与方程之间的联系．
4.已知抛物线y =x 2+ (2a +1) x +a 2 - a ，则抛物线的顶点不可能在( ) A .第一象限 B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得. 【详解】
2a +1 1
抛物线y =x 2+ (2a +1) x +a 2 - a 的顶点的横坐标为：x = --- 2— = 一 a - 2-,
4 a22- a)-(2a +1» 1
纵坐标为：y = _________________ =- 2a - 4 ,
3・••抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y=2x + 4 ,
・•・抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，
故选：D.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键.
5.已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b (aM)的图象为下列图象之一，则a的值为()
【答案】A
【解析】
【分析】
分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0,其顶点坐标为(0, 32),与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0,根据顶点坐标有a2=3,由抛物线与x 的交点坐标得到X2=a,所以a=-4,它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点卜1, 0)代入解析式得到a-b+a2+b=0,解得a=-l；若二次函数的图形为第四个，把(-2 0) 和(0, 0)分别代入解析式可计算出a的值.
【详解】
解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0, y=ax2+a2,其顶点坐标为(0,
32),而a2>0,所以二次函数的图形不能为第一个；
若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0, y=ax2+a2, a2=3,而当y=0时，x2=-a,所以-a=4, a=-4,所以二次函数的图形不能为第二个；
若二次函数的图形为第三个，令x=-l, y=0,则a-b+a2+b=0,所以a=-l；
若二次函数的图形为第四个，令x=0, y=0,则a2+b=0①；令x=-2, y=0,则
4a-2b+a2+b=0②，由①②得a=-2,这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a，0)的图象与系数的关系：a>0,开口向上；a<0,开口
. ... .............................................. b 一，，一， b 4ac - b2.... .............
向下；抛物线的对称轴为直线><=:；顶点坐标为(；一， ----- )；也考查了点在抛物线
2a 2a 4a
上则点的坐标满足抛物线的解析式.
,C (1, y3)为二次函数片X2+4x—m的图象上的三6若羯 f y i)，B(—3，y2)
点，则y 1，y2，y3的大小关系是()
A.y < y < y
B.y < y < y
C.y < y < y
D.y < y < y
1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 2
【答案】C
【解析】
【分析】
分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可.
【详解】
解：y i=(-4) 2+4X (-4) —m =16-16 —m = - m ,
y2= (-3) 2+4X (-3) —m =9-12 —m = -3-m ,
y『12+4x -m 1=1+4 -m =5 -m ,
V-3 -m < -m <5 -m ,
•••丫2<丫1<丫3.
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m的影响.
7.二次函数y=ax2 + bx + c ( a,b,c是常数，a丰0 )的自变量％与函数值》的部分对应值如下表：
且当x = -1时，与其对应的函数值y > 0.有下列结论：①abc > 0 ；②-2和3是关于
20
x
的万程ax2 + bx + c = t的两个根；③0 < m + n < — .其中，正确结论的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解.
【详解】
•・•由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2
b 1
二抛物线的对称轴是：x=--=-；
2 a 2
•a、b 异号，且b=-a；
•二当x=0 时y=c=-2
• c < 0
.,.abc>0,故①正确；
•・•根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t .,.-2和3是关于％的方程狈2 +bx + c = t 的两个根；故②正确; b=-a, c=-2
，二次函数解析式：j =
-ax-2
,・,当％=-：时，与其对应的函数值y > 0
.
2
.3
8
..—a — 2
> 0 ,..a > —； 4 3
•・•当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n , .m=n=2a-2,
20
m+n=4a-4 > —；故③错误 故选：C . 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对 称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量工 与函数值 》 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键.
8.如图是抛物线y = ax 2+bx +c （。/0）的部分图象，其顶点坐标为（1, m ）,且与x 铀的 一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论：①abc >0；②a - b+c >0；③b 2 = 4a （c - m ）；④一元二次方程ax 2+bx+c =m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a , b , c 的正负；根据抛物线的 对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解. 【详解】
• ・•函数的图象开口向上，与
y 轴交于负半轴 .•・a>0,c<0
C. 3
D. 4
2
•・•抛物线的对称轴为直线x=-^-=l
2a
：.b<0
.*.abc>0；①正确；
•・•抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线
x=1,
••・抛物线与X轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间.
.•.当x=-1 时，y<0，
即a-b+c<0,所以②不正确；
•・•抛物线的顶点坐标为（1, m）,
二m,
二b2=4ac-4am=4a (c-m),所以③正确;
•・•抛物线与直线y=m有一个公共点，
••・抛物线与直线y=m+1有2个公共点，
••・一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确.
故选:C.
【点睛】
考核知识点：抛物线与一元二次方程.理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键.
9.如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm .若点P从点A出发，以1cm/ s 的速度沿A f D f C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/ s的速度沿A f B f C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动.若设运动时间为t（s）, A APQ 的面积为S（c m2）则S（c m2）与t（s）之间的函数图象大致是（）
【答案】A
【解析】 【分析】
先根据条件求出AB 、AD 的长，当04“时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图工，计算S 与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4
解：由题意得2AB + 2BC = 28, AB^BC + 2, 可解得 A5 = 8, BC = 6,即 AD = 6,
①当04" 时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图工，
Q
图1
=1 AP.AQ = 11・ 2t = t2
△APQ 2
2
图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确； ②当4 口1 ---------------- IC 图像是一条线段，故选项D 不正确； 故选：A . 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同， 解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式. 10.如图是抛物线y =ax 2+bx +c （a =0）的部分图象，其顶点坐标为（1, n ），且与x 轴的 一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论：①4a - 2b +c 〉0；②3a +b 〉0； ③b 2=4a （c - n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c =n - 1有两个互异实根.其中正确结论的 个数是（ ） △APQ =1AP. AB = 11 x 8 2 2 二 4t A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0,对称轴x=l,利用顶点坐标，图象与x轴的交点情况，对照选项逐一分析即可. 【详解】 ①•・•抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线x =1, ・•・抛物线与x轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间， ・，・当乂= - 2时，y<0, 即4a-2b+c<0,所以①不符合题意； b ②•・•抛物线的对称轴为直线x= -丁 =1,即b =-2 a, a A3 a+b = 3 a-2 a = a <0,所以②不符合题意； ③•・•抛物线的顶点坐标为（1, n）, .4ac - b2 ..----- =n, 4 a A b2=4ac - 4an=4a（c - n），所以③符合题意； ④•・•抛物线与直线y=n有一个公共点， A抛物线与直线y=n-1有2个公共点， A一元二次方程ax2+bx+c=n - 1有两个不相等的实数根，所以④符合题意. 故选：B. 七（㈤ ।।___________ w ।|\ ।।. -2 -1 0 1 2 3M 5 z A-1 【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 11.抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x= -1.若关于x的一元二次方程一x2+bx+3 - t =0 （t为实数）在-2 A. -12 B. -12 C. -12 D. -12 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y=—X2-2X+3,将一元二次方程一X2+bx+3-t=0的实数根看做是y=-X2-2X+3与函数y=t的交点，再由-2 【详解】 解：•・^y=-x2+bx+3的对称轴为直线x= — l, b = -2, .*.y= —X2-2X+3, ，一元二次方程一x2 + bx+3-t=0的实数根可以看做是y=-X2-2X+3与函数y=t的交 点， ,当x=-l 时，y=4；当x=3 时，y= —12, 函数y= —X2-2X+3在-2 .,.-12 故选：C. 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键. 12.抛物线y『ax2+bx+c与直线y2=mx+"的图象如图所示，下列判断中：①abc<0； ②a+b+c>0；③5a-c=0；④当x<：或x>6时，%>力，其中正确的个数有（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a>0, b<0, c>0,则 abc<0,则①正确； 根据图形可得：当x=l时函数值为零，则a+b+c=0,则②错误； 根据函数对称轴可得：-k =3,则b=-6a,根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0, -5a+c=0,则5a- 2a c=0,则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系,属于中等题目,如果函数开口向 上，则a大于零，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b 的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与x轴交于正半轴，则c大于零，如果函数与x轴交于负半轴，则c小于零；对于出现a+b+c、a- b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较,我们一般以函数的交点为分界线,然后进行分情况讨论. 13.定义［a, b, c］为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为［2m, 1-m, -1-m］的函数的一些结论,其中不正确的是( ) A.当m=-3时，函数图象的顶点坐标是(3 , 8 ) 3 B.当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 C.当m/0时，函数图象经过同一个点 1 D.当m<0时，函数在x>4时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 分析：A、把m=-3 代入［2m, 1-m, -1-m］,求得［a, b, c］,求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可； B、令函数值为0,求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题； C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可； D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答. 详解： 因为函数y=ax2+bx+c的特征数为［2m, 1-m, -1-m］； A、当m= - 3 时，y= - 6x2+4x+2= - 6 (x - 3 ) 2+ 8，顶点坐标是(3 , 83 )；此结论正 确； B、当m>0 时，令y=0,有2mx2+ (1-m) x+ ( - 1 - m) =0,解得：x1=1, x2=--- 1 2m ' |x2-x1| = 3 + 1- > 3 ，所以当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 3 ,此结 2 12 2m 2 2 论正确； C 、当 x=1 时，y=2mx 2+ (1 - m ) x+ (- 1 - m ) =2m+ (1 - m ) + (- 1 - m ) =0 即对任意 m ,函数图象都经过点(1, 0)那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点(1, 0),当m/0时，函数图象经过同一个点(1, 0),故当m/0时，函数图象经过x 轴上一 个定点此结论正确． D 、当m <0时，y=2mx 2+ (1-m ) x+ (-1-m )是一个开口向下的抛物线，其对称轴 是：直线x= 喂，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小.因为当m <0时， 4m m — 1 1 1 1 , , ,, , 1 , 一一， 1 … m-1 = 1 —白〉1,即对称轴在x=-右边，因此函数在x=-右边先递增到对称轴位置， 4m 4 4m 4 4 4 再递减,此结论错误； 根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的. 故选D . 点睛：考查二次函数的性质,顶点坐标,两点间的距离公式,以及二次函数图象上点的坐 标特征． 14.已知抛物线w : y = x 2 — 4x + c ，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线卬绕原点 旋转180。得到抛物线W '，点A B 的对应点分别为A ； B '，若四边形ABA ' B '为矩形，则 c 的值为() A ,・巧 A . 2 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出A(2, c-4) 程,即可求解. 【详解】 • ・•抛物线W : y = x 2 — 4x + c ，其顶点为A ，与 y 轴交于点B , .•・A(2, c-4), B(0, c), • ・•将抛物线W 绕原点旋转180。得到抛物线W '，点A , B 的对应点分别为A '，B ', • •・ A '(—2,4 — c ),, B '(0, — c ), • ・•四边形ABA ' B '为矩形， • •. AA ' = BB ', • •. L — (—2)]2 + [(c — 4) — (4 — c )]2 = (2c )2，解得：c = 5 . 故选D . 【点睛】 本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质,掌握二次函数图象上点的坐标特 征,关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等,是解题的关键. 5 D - 2 B(0, c), 4(—2,4 — c )…B '(0 ,—。) ，结合矩形的性质，列出关于c 的方 15 .下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=依2+ (a+c) x+c 与一次函数y= ax+c 的大致图象.正确的( ) 故选项C 不符题意， 故选：D . 【点睛】 考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思 想解答. 16 .平移抛物线L : y = x 2得到抛物线L ，使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛 物线L '上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L '的是() 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点， 论. 【详解】 可以判断哪个选项符合要求，从而得到结 c 解得,x i =0，x 2=-a ，二次函数y=ax 2+ (a+c ) x+c 与一次函数y=ax+c 的交点为(0, c ),(——,0) a 选项A 中二次函数y=ax 2+ (a+c ) x+c 中a >0, c <0,而一次函数y=ax+c 中a <0 故选项A 不符题意， 选项B 中二次函数y=ax 2+ (a+c ) x+c 中a >0, c <0,而一次函数y=ax+c 中a >0 两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B 不符题意， 选项C 中二次函数y=ax 2+ (a+c ) x+c 中a <0, c >0,而一次函数y=ax+c 中a <0 交点符合求得的交点的情况，故选项D 符合题意， 选项D 中二次函数y=ax 2+ (a+c ) x+c 中a <0, c >0,而一次函数y=ax+c 中a >0 c >0, c <0, c >0, c <0, A. A.向右平移1个单位，再向下平移2个单位 B.向左平移1个单位，再向下平移2个单位 3 9 C.向左平移/个单位，再向下平移］个单位 D.向左平移3个单位，再向下平移9个单位 【答案】D 【解析】 【分析】 通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可. 【详解】 解：由A 选项可得L '为：y = （%-1）2 - 2， 则顶点为（1， 2，顶点（1， 2关于原点的对称点为（,12）, 当x = 时，y =2,则对称点在该函数图像上，故A 选项不符合题意； 由B 选项可得L '为：y = （% +1）2 - 2 , 则顶点为（，1 2，顶点（,1 2关于原点的对称点为（1, 2）, 当x = 1时，y =2,则对称点在该函数图像上，故B 选项不符合题意； , / 3、 9 由C 选项可得L 为：y = （ % + y ）2 --, 则顶点为（3 , 9 ），顶点（3 , 9 ）关于原点的对称点为（3, 9 ）, 当x = 3 时，y = 9 ，则对称点在该函数图像上，故C 选项不符合题意； 由D 选项可得L'为：y = （% + 3）2 - 9, 则顶点为（3 9，顶点（3 9关于原点的对称点为（3, 9）, 当x = 3时，y =27M ,则对称点不在该函数图像上，故D 选项符合题意； 故选：D . 【点睛】 本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题 的关键. 17.已知二次函数y =ax 2+bx+c （a/0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc <0；②b 2 -4ac >0；③3a+c >0；④（a+c ） 2V b 2,其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 试题解析：①由开口向下，可得 又由抛物线与y轴交于正半轴，可得。>。， 再根据对称轴在y轴左侧，得到力与。同号，则可得可0,。历)0， 故①错误； ②由抛物线与x轴有两个交点，可得上-4碇> 0,故②正确； ③当了=一2时，y<0,即4“一2Z? + c<0 (1) 当％ = 1 时，y<0,即〃+ Z? + c<0 (2) (1) + (2) x2 得，6a + 3c< 0, 即2。+ c < 0, 又因为〃<0, 所以〃 +(2a + C)=3Q + C<0, 故③错误； ④因为％ = 1 时，> =〃 +8<0,工=-1 时，y = a-b + c> 0 所以(a + Z? + c)Q — 0 + c)< 0 即[(〃 + c)+>][(〃 + c)-b = (« + C)2 -Z?2 < 0, 所以(a + c)2 < Z?2. 故④正确， 综上可知，正确的结论有2个. 故选B. 18.已知二次函数y=a (x -力)2+k的图象如图所示，直线y=ax+恢的图象经第几象限 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质可得Q<0, h<0, k>0,以此判断一次函数的图象所经过的象限即可. 【详解】 解：由函数图象可知， y=a（x-力）2+k 中的a<0, h .J直线y=ax+hk中的a<0, hk<0, ・•・直线y=ax+放经过第二、三、四象限， 故选：D. 【点睛】 本题考查了一次函数的图象的问题，掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的关键. 19.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结i论：①abc>0； @b2 - 4ac> 【解析】 【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2 - 4ac的取值范围，根据x=-1函数值可以判断. 【详解】 解：',‘抛物线开口向下， 「. a < 0, 二. b > 0 , 抛物线与>轴的交点在1轴的上方， 」. c > 0 , 「. abc < 0，故①错误； 抛物线与1轴有两个交点， /. b2 - 4ac > 0，故②正确； b 1 ■■对称轴1 = -丁 =1， 2 a :.2a = -b , 2a + b = 0，故③正确； 根据图象可知，当1 = -1时，J = a—b + c < 0 ，故④正确; C.3个 D.4个其中正确的结论有（） 故选：C. 【点睛】 此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2〃与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键. 20.平移抛物线y=-(x-1)(X+3),下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点( ) A.向左平移1个单位 B.向上平移3个单位 C.向右平移3个单位 D.向下平移3个单位 【答案】B 【解析】 【分析】 先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答. 【详解】 解：y =-(x -1)(x+3) =- (x+1) 2+4 A、向左平移1个单位后的解析式为：y=- (x+2) 2+4,当x=0时，y=0,即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意； B、向上平移3个单位后的解析式为：y=- (x+1) 2+7,当x=0时，y=3,即该抛物线不经过原点,故本选项符合题意； C、向右平移3个单位后的解析式为：y=- (x-2) 2+4,当x=0时，y=0,即该抛物线经过原点,故本选项不符合题意.； D、向下平移3个单位后的解析式为：y=- (x+1) 2+1,当x=0时，y=0,即该抛物线经过原点,故本选项不符合题意. 【点睛】 本题考查了二次函数图像的平移,函数图像平移规律：上移加,下移减,左移加,右移减. 新初中数学二次函数易错题汇编含答案(1) 一、选择题 1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线 11 22 y x =+上， 若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a＜9 8 C．1≤a＜ 9 8 或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 9 8 【答案】C 【解析】 【分析】 分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】 ∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令11 22 x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0 ∴△＝9﹣8a＞0 ∴a＜9 8 ①当a＜0时， 110 111 a a ++≤? ? -+≤? 解得：a≤﹣2∴a≤﹣2 ②当a＞0时， 110 111 a a ++≥? ? -+≥? 解得：a≥1 ∴1≤a＜9 8 综上所述：1≤a＜9 8 或a≤﹣2 故选：C． 本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝?2， ∴y ＝－x 2?2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 3．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 二次函数易错题 1.下列函数不属于二次函数的是（） A. y=（x﹣1）（x+2） B. y= 1 2 （x+1）2 C. y=2（x+3）2﹣2x2 D. y=1﹣√3x2 【答案】C 【考点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：把每一个函数式整理为一般形式， A、y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，是二次函数，A不符合题意； B、y= 1 2（x+1）2= 1 2 x2+x+ 1 2 ，是二次函数，B不符合题意； C、y=2（x+3）2﹣2x2=12x+18，是一次函数，C符合题意； D、y=1﹣√3x2=﹣√3x2+1，是二次函数，D不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据二次函数的定义对四个选项一一进行判断。 2.抛物线y = －1 2 （x+1）2+3的顶点坐标（） A. （1，3） B. （1，-3） C. （-1，3） D. （-1，-3） 【答案】C 【考点】二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】抛物线的顶点式为y=a(x+ℎ)2+k，它的顶点坐标为（-h,k）， 又因为抛物线y = －1 2 （x+1）2+3，所以它的顶点坐标是（-1，3） 【点评】本题考查抛物线，考生解答本题的关键是掌握抛物线的顶点式，能根据抛物线的顶点式写出其顶点坐标来 3.在抛物线y= x2﹣4x﹣4上的一个点是（）. A. （4，4） B. （−1 2，−7 4 ） C. （3，﹣1） D. （﹣2，﹣8） 【答案】B 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】把x=4、−1 2 、3、﹣2分别代入y= x2﹣4x﹣4，计算出对 应的函数值后进行判断．∵当x=4时，y= x2﹣4x﹣4=﹣4；当x= −1 2 时，y= x2 ﹣4x﹣4= −7 4 ；当x=3时，y= x2﹣4x﹣4=﹣7；当x=﹣2时，y= x2﹣4x﹣4=8； ∴点（−1 2，−7 4 ）在抛物线y= x2﹣4x﹣4上． 故答案为：B 【分析】根据函数图像上点的坐标特点，如果点在函数图像上，则它的横纵坐标满足函数解析式的左边和右边相等，一一代入判断即可。 4.函数y1=ax2+b，y2= ab x （ab＜0）的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】反比例函数的图象，二次函数图象与系数的关系 九年级数学上册 二次函数易错题（Word版含答案） 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1 236 25 S S =时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α （0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2 3 E'B的最小值． 【答案】（1）抛物线y＝﹣3 4 x2+ 9 4 x+3，直线AB解析式为y＝﹣ 3 4 x+3；（2）P（2， 3 2）；（3 410 【解析】 【分析】 （1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式； （2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出 6 5 PN AN =，以此列出方程求解即可解决问题； （3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝4 3 ，构造相似三角形，可以证明AM′就是 E′A+2 3 E′B的最小值． 【详解】 解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3）， 则有 3 30 n m m n ? ? ?++ ＝ ＝ ，解得4 3 3 m n ? ? ? ? - ? ＝ ＝ ， ∴抛物线2 39 3 44 y x x =-++， 令y＝0，得到2 39 3 44 x x -++＝0， 解得：x＝4或﹣1， ∴A（4，0），B（0，3）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，则 3 40 b k b + ? ? ? ＝ ＝ ， 解得 3 3 4 k b ? - ? ? ?? ＝ ＝ ， ∴直线AB解析式为y＝3 4 -x+3． （2）如图1中，设P（m，2 39 3 44 m m -++），则E（m，0）， ∵PM⊥AB，PE⊥OA， ∴∠PMN＝∠AEN， ∵∠PNM＝∠ANE， ∴△PNM∽△ANE， ∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，1 2 36 25 S S ＝， ∴6 5 PN AN =， ∵NE∥OB， ∴AN AE AB OA =， ∴AN＝5 4 5 4 5 4 5 4 （4﹣m）， 九年级数学上册 二次函数易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．已知函数2266() 22() x ax a x a y x ax a x a ?-+>=?-++≤?（a 为常数，此函数的图象为G ） （1）当a ＝1时， ①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标 （2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围 【答案】（1）①2266(1) 22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤? ，②(1,1),(31),(31)--+--；（2） 0a <或 2635a <<；（3）1a -<，1 153a <<，113a <<-【解析】 【分析】 （1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论； ②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可； （2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可； （3）先求出2 66y x ax a =-+的对称轴为直线6321 a x a -=- =?，顶点坐标为( ) 23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线() 221a x a =- =?-，顶点坐标为()2 ,2a a a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解 即可． 【详解】 （1）①1a =时，2266(1) 22(1)x x x y x x x ?-+>=?-++≤? ②当1x >时， 2661x x -+=- 2670x x -+= 1233x x ==当1x ≤时， 2221x x -++=- 2230x x --= 121,3x x =-=（舍） 二次函数易错题选摘 1、若32)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 【答案】C 2、已知点（-1，1y ），（2,21 3y -），（2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 【答案】C 3、已知抛物线c bx ax y ++=2经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000>< （第7题图） （第8题图） 7、如图是抛物线c bx ax y ++=2的一部分，对称轴是直线x =1，若其与x 轴的一个交点 为（3,0），则由图象可知，不等式02 >++c bx ax 的解集是_____________. 【答案】31>- 中考数学复习二次函数专项易错题及答案 一、二次函数 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN•AG+ 1 2 PN•BM= 1 2 PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 初中数学二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2（0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若3 2 )2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32-m =2，且2-m 0≠，故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32 -m =2，但会忽略2-m 0≠， 说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线2 3x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32 -+=x y B. 2)3(32 ++=x y C. 2)3(32 --=x y D. 2)3(32 +-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合，往往会出错. 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322--=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 【答案】D 【解析】由ac b 42-即可判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，本题D 中 ac b 42 -=-240<，表示与x 轴没有交点，故选D. 【易错点】考查二次函数的图象与x 轴的交点情况，属容易题，但学生计算能力不高，导致错误较多. 5、已知点（-1，1y ），（2,2 13 y -），（ 2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、 2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 【答案】C 【解析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线1-=x ，又抛物线开口向上，所以横坐标越接近-1，对应的函数值越小，故选C. 【易错点】考查二次函数的图象的对称性，属一般题，学生由于基础薄弱，习惯将所有x 的值一一代入，求得y 的值，一费时，二计算容易出错，导致得分率不高. 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000>< 二次函数易错题汇编附答案解析 一、选择题 1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0 B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2 C ．当函数在x ＜ 1 10 时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】 解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)， ∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2， ∴a +c ＝0，b ＝﹣2， ∴A 正确； ∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ， ∴△＝4+4a 2＞0， ∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点， ∵x 1+x 2＝ 2 a ，x 1x 2＝﹣1， ∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜1 10 时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误； ∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0， ∴m +n ＜0，2 a ＞0， ∴m +n ＜ 2a ； 故选：C ． 【点睛】 本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】 此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 3．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解． 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、 ()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE . （1）求二次函数的表达式； （2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ?面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ?为等腰三角形，若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不存在请说明理由. 【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当2 3 x =-时，ADE ?的面积取得最大值50 3 ；（3）P 点的坐标为()1,1-，( 1,11-，(1,219--. 【解析】 分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可． 详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=?? ++=??=? ， 解得：34326a b c ? =-?? ? =-?? =??? ， 所以二次函数的解析式为：y =233 642 x x - -+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =1 22 x - -， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图， 设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，1 22 m --）， ∴DF =233642m m - -+﹣（122m --）=23 84 m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +1 2 DF ×EH = 12×DF ×AG +1 2×DF ×EH =1 2 ×4×DF =2×（2 384 m m --+） =2 325023 3 m -++（）， ∴当m =23- 时，△ADE 的面积取得最大值为503 ． （3）y =233 642 x x - -+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA 29n +PE 212n ++（）AE 16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 29n +212n ++（） n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 29n +16425+=n =11，此时点P 坐标为（﹣1， 11）； 当PE =AE 212n ++（） 16425+=n =﹣219P 坐标为： 九年级数学二次函数易错题总结（含答案） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.已知二次函数y=ax2+2ax+3a−2(a是常数，且a≠0)的图象过点M(x1,−1)， N(x2,−1)，若MN的长不小于2，则a的取值范围是() A. a≥1 3B. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查的是二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征的有关知识，首先确定抛物线的对称轴x=1，当x1+x2<2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，利用图象法即可判断． 【解答】 解：如图， 当x=m或x=−m+2时，y=2， ∴抛物线的对称轴x=m−m+2 2 =1， ∴当x1+x2<2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大， 观察图象可知，此时y1>y2， 故选B． 3.已知二次函数y=−x2+3mx−3n图象与x轴没有交点，则() A. 2m+n>4 3B. 2m+n<4 3 C. 2m−n<4 3 D. 2m−n>4 3 【答案】C 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是抛物线与x轴没有交点时，判别式小于0的结论的熟练应用．根据二次函数y=−x2+ 3mx−3n图象与x轴没有交点可得判别式小于0，列出不等式求解即可． 【解答】 二次函数易错题汇编含答案 一、选择题 1.如图是二次函数y =以2+云+。的图象，有下面四个结论：①川c>0； @a-b + c>0； ®2a + 3b>0； ®c-4b>0,其中正确的结论是（） A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 八b八，八 根据抛物线开口方向得到a > 0，根据对称轴x = -—> 0得至1」b < 0，根据抛物线与y 轴 2 a 的交点在x轴下方得到C < 0，所以abc > 0；x = -1时，由图像可知此时y > 0，所以 b 1 a - b + c > 0；由对称轴x =--=-，可得2a + 3b = 0 ；当x = 2时，由图像可知此时 2 a 3 y > 0,即4a + 2b + c > 0，将2a = -3b代入可得c - 4b > 0. 【详解】 b ①根据抛物线开口方向得到a > 0,根据对称轴x =-丁〉0得至1」b < 0,根据抛物线与 y 2 a 轴的交点在x轴下方得到c < 0，所以abc > 0,故①正确. ②x = 一1时，由图像可知此时y > 0,即a - b + c > 0,故②正确. _ b 1 ③由对称轴x = -- = -，可得2a + 3b = 0，所以2a + 3b > 0错误，故③错误； 2 a 3 ④当x = 2时，由图像可知此时y > 0，即4a + 2b + c > 0，将③中2a + 3b = 0变形为 2 a = -3b，代入可得c - 4b > 0,故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2.已知二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（） 中考数学复习二次函数专项易错题及答案解析 一、二次函数 1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=1 4 x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=1 4 x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（ 28 13 ，﹣1）．（3） 定点F的坐标为（2，1）． 【解析】 分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标 特征，即可得出（1-1 2 - 1 2 y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关 于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a=1 4 ， ∴抛物线的解析式为y=1 4（x-2）2= 1 4 x2-x+1． （易错题精选）初中数学二次函数全集汇编及答案解析 一、选择题 1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）． A ．①②④ B ．②③④ C ．③④⑤ D ．①③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 ①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0， ∴b<0； 由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0， 故abc>0，故②错误； ③结合图象得出x=?1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a?b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2?4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12 则2a=?2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件． 2．如图，二次函数()2 00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点， 与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论： ①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2 00ax bx c a ++=≠有 一个根为1 a - ，其中正确的结论个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1 a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案. 【详解】 由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣ 2b a ＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣ 1a ，把﹣1 a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C. 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键. 3．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1 y x =的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010 新初中数学二次函数易错题汇编附答案(1) 一、选择题 1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x = 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 ∵二次函数2 2y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有 一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数2 2y ax ax c =-+的图象 与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ． 考点：抛物线与x 轴的交点． 2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解． 【详解】 ∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴 ∴a>0,c<0 ∵抛物线的对称轴为直线x=－ 2b a =1 二次函数易错题汇编 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①； 0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以 0a b c -+>；由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为 23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．如图，二次函数()2 00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点， 与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论： ①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2 00ax bx c a ++=≠有 九年级上册数学 二次函数易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，将函数2 263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值； （3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）0a =或3a =-；（2） 118；（3）21136x -<<-；（4）1 8 m <-或1 16 m >- 【解析】 【分析】 （1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】 解：（1）当1m =-时，()2 2613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得 22611a a ++= 解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-< 当0m ≤时，2 22 3926=2()22 y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ 此时，229911=()22918 m m m - --++ ∴0y 的最大值1 18 = 浙教版数学九年级上《二次函数》单元测试卷 （时间：60分钟 分值：100分 出卷人：历山中学 景祝君 班级：_________ 姓名：_________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2 x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2（0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若32)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32-m =2，且2-m 0≠，故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32-m =2，但会忽略2-m 0≠，说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线23x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合， 往往会出错. 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322 --=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 【答案】D 【解析】由ac b 42-即可判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，本题D 中 ac b 42-=-240<，表示与x 轴没有交点，故选D. 【易错点】考查二次函数的图象与x 轴的交点情况，属容易题，但学生计算能力不高，导致错误较多. 5、已知点（-1，1y ），（2,21 3y -），（2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 【答案】C 【解析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线1-=x ，又抛物线开口向上，所以横坐标越接近-1，对应的函数值越小，故选C. 【易错点】考查二次函数的图象的对称性，属一般题，学生由于基础薄弱，习惯将所有x 的值一一代入，求得y 的值，一费时，二计算容易出错，导致得分率不高. 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000><新初中数学二次函数易错题汇编含答案(1)
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