八年级数学下册期中复习知识点
一、选择题
1．下列调查中，最不适合普查的是（）
A．了解一批灯泡的使用寿命情况
B．了解某班学生视力情况
C．了解某校初二学生体重情况
D．了解我国人口男女比例情况
2．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（）
A．不是平行四边形B．不是中心对称图形
C．一定是中心对称图形D．当AC＝BD时，它为矩形
3．将下列分式中x，y(xy≠0)的值都扩大为原来的2倍后，分式的值一定不变的是()
A．31
2
x
y
B．2
3
2
x
y
C．
2
3
2
x
xy
D．
3
2
3
2
x
y
4．下列调查中，适合采用普查的是（）
A．了解一批电视机的使用寿命B．了解全省学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量
C．为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查D．了解扬州市中学生的近视率
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
6．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”，获得的数据如表：
若抛掷硬币的次数为3000，则“正面朝上”的频数最接近（）
A．1000 B．1500 C．2000 D．2500
7．下列分式中，属于最简分式的是()
A ．
62a
B ．
2
x x C ．
11
x
x -- D ．
21
x x + 8．一组数据的样本容量是50，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ） A ．20
B ．25
C ．30
D ．100
9．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是（） A ．对角线相等，对边平行且相等
B ．一组对边平行，一组对角相等
C ．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直
D ．一组邻边相等，对角线互相平分 10．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=8cm ，BD=6cm ，则菱形的高为（ ）
A ．
485
cm B ．
245
cm C ．
125
cm D ．
105
cm 二、填空题
11．在英文单词tomato 中，字母o 出现的频数是_____．
12．已知()22221140ab a b a b +=≠+，则代数式2019
2020
b a a b ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
的值为_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x ﹣5的图象经过正方形OABC 的顶点A 和
C ，则正方形OABC 的面积为_____．
14．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是 ．
15．为估算湖里有多少条鱼，先捕上100条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，那么湖里大约有______条鱼.
16．如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝24 cm ，BD ＝10 cm ，则菱形ABCD 的高为________cm ．
17．若正方形的对角线长为2，则该正方形的边长为_____．
18．方程x2=0的解是_______．
19．若关于x的一元二次方程2410
++=有实数根，则k的取值范围是_______．
kx x
20．已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为__________．
三、解答题
21．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
22．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB 边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
23．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
24．我校对本校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查，结果分成“非常感兴趣”、“比较感兴趣”、“一般般”、“不感兴趣”四种类型，分别记为A、B、C、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
根据所给数据，解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了_________名学生，扇形统计图中m_________，扇形D所对应的圆心角为_________°；
（2）请根据数据信息补全条形统计图；
（3）若该校有2000名学生，估计选择“非常感兴趣”、“比较感兴趣”共约有多少人？25．某商家预测一种衬衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种衬衫，上市后果然供不应求，商家又用了26400元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件进价贵了10元，该商家购进的第一批衬衫是多少件？
26．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，DE是ABC的中位线，AF是ABC的中线．求证DE＝AF．
证法1：∵DE是ABC的中位线，
∴DE＝．
∵AF是ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AF＝，
∴DE＝AF．
请把证法1补充完整，连接EF，DF，试用不同的方法证明DE＝AF 证法2：
27．解方程：
x2
1 x1x
-= -
.
28．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且
PB PE
=，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断．
【详解】
A、了解一批灯泡的使用寿命情况，适合采用抽样调查，所以A选项符合题意；
B、了解某班学生视力情况，适合采用普查，所以B选项不合题意；
C、了解某校初二学生体重情况，适合采用普查，所以C选项不合题意；
D、了解我国人口男女比例情况，适合采用普查，所以D选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全面调查与抽样调查：如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．2．C
解析：C
【分析】
先连接AC，BD，根据EF=HG=1
2
AC，EH=FG=
1
2
BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当
AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．
【详解】
连接AC，BD，如图：
∵点E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴EF =HG =
12AC ，EH =FG =1
2
BD ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，故选项A 错误； ∴四边形EFGH 一定是中心对称图形，故选项B 错误； 当AC ⊥BD 时，∠EFG =90°，此时四边形EFGH 是矩形，
当AC =BD 时，EF =FG =GH =HE ，此时四边形EFGH 是菱形，故选项D 错误； ∴四边形EFGH 可能是轴对称图形，
∴四边形EFGH 是平行四边形，四边形EFGH 一定是中心对称图形． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．
3．C
解析：C 【分析】
根据分式的基本性质解答． 【详解】
解：∵分式中x ，y （xy ≠0）的值都扩大为原来的2倍， ∴A. 23161
224x x y y
⨯++=⨯，分式的值发生改变；
B.
22
2332(2)4x x
y y ⨯=⨯，分式的值发生改变；
C. 22
3(2)32222x x x y xy ⨯=⨯⨯，分式的值一定不变；
D. 33
2
23(2)32(2)x x y y
⨯=⨯，分式的值发生改变； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的数（或式子），分式的值不变．
4．C
解析：C
根据调查的实际情况逐项判断即可．
【详解】
解：A. 了解一批电视机的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，不合题意；
B. 了解全省学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量，调查费时费力，适合抽样调查，不合题意；
C. 为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查，考虑安全性，适合全面调查，符合题意；
D. 了解扬州市中学生的近视率，调查费时费力，适合抽样调查，不合题意．
故选：C
【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，事关重大的调查往往选用普查．
5．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解即可．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答本题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【详解】
解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为3000，则“正面朝上”的频数最接近3000×0.5＝1500次，
故选：B．
【点睛】
本题考查利用频率估算概率，解题的关键是掌握利用频率估算概率的方法．
7．D
【解析】 【分析】
根据最简分式的概念判断即可． 【详解】 解：A. 6
2a
分子分母有公因式2，不是最简分式； B. 2
x
x 的分子分母有公因式x ，不是最简分式； C. 11
x
x --的分子分母有公因式1-x ，不是最简分式; D.
21x
x +的分子分母没有公因式，是最简分式． 故选：D 【点睛】
本题考查的是最简分式，需要注意的公因式包括因数．
8．B
解析：B 【分析】
根据频率、频数的关系：频数＝频率×数据总和，可得这一小组的频数． 【详解】
解：∵容量是50的，某一组的频率是0.5， ∴样本数据在该组的频数0.55025⨯＝＝ ． 故答案为B ． 【点睛】
本题考查频率、频数、总数的关系，属于基础题，比较简单，注意熟练掌握：频数＝频率×数据总和．
9．C
解析：C 【分析】
根据所给条件逐一进行判断即可得． 【详解】
A 选项中，根据“对边平行且相等和对角线相等”只能判定该四边形是矩形；
B 选项中，根据“一组对边平行，一组对角相等”只能判定该四边形是平行四边形；
C 选项中，根据“对角线互相平分且相等，对角线互相垂直”可判定该四边形是正方形；
D 选项中，根据“一组邻边相等，对角线互相平分”只能判定该四边形是菱形； 故选C ．
10．B
解析：B
试题解析：∵菱形ABCD 的对角线86AC cm BD cm ==，，
11
4322
AC BD OA AC cm OB BD cm ∴⊥=
===，，，
根据勾股定理，5AB cm ===， 设菱形的高为h ， 则菱形的面积1
2
AB h AC BD =⋅=⋅， 即1
5862h =
⨯⨯， 解得24.5
h =
即菱形的高为24
5
cm ． 故选B ．
二、填空题 11．2 【分析】
根据频数定义可得答案． 【详解】
解：字母o 出现的频数是2， 故答案为：2． 【点睛】
本题考查的是频数的含义，掌握频数的含义是解题的关键．
解析：2 【分析】
根据频数定义可得答案． 【详解】
解：字母o 出现的频数是2， 故答案为：2． 【点睛】
本题考查的是频数的含义，掌握频数的含义是解题的关键．
12．0或-2 【分析】
根据（ab≠0），可以得到a 和b 的关系，从而可以求得所求式子的值． 【详解】
解：∵（ab≠0），
∴（a2+b2）2＝4a2b2，
∴（a2﹣b2）2＝0，
∴a2＝b2
解析：0或-2
【分析】 根据
2222114a b a b
+=+（ab ≠0），可以得到a 和b 的关系，从而可以求得所求式子的值．
【详解】 解：∵2222
114a b a b +=+（ab ≠0）， ∴2222224b a a b a b
+=+， ∴（a 2+b 2）2＝4a 2b 2，
∴（a 2﹣b 2）2＝0，
∴a 2＝b 2，
∴a ＝±b ，
经检验：a b =±符合题意，
当a ＝b 时，2019202020192020110,b a a b ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当a ＝﹣b 时，()()2019202020192020112,b a a b ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 故答案为：0或﹣2．
【点睛】 本题考查的是代数式的值，同时考查了因式分解的应用，类解分式方程的方法，掌握以上知识是解题是关键．
13．10
【分析】
过点C 作CM⊥x 轴于点M ，过点A 作AN⊥y 轴于点N ，易得△OCM≌△OAN；由CM ＝ON ，OM ＝ON ；设点C 坐标（a ，b ），可求得A （2a ﹣5，﹣a ），则a ＝3，可求OC ＝，所以正方
解析：10
【分析】
过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，过点A 作AN ⊥y 轴于点N ，易得△OCM ≌△OAN ；由CM ＝ON ，OM ＝ON ；设点C 坐标（a ，b ），可求得A （2a ﹣5，﹣a ），则a ＝3，可求OC ＝
，所以正方形面积是10．
解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，
∵∠COM+∠MOA＝∠MOA+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠COM，
又因为OA＝OC，
∴Rt△OCM≌Rt△OAN（ASA），
∴OM＝ON，CM＝AN，
设点C（a，b），
∵点A在函数y＝2x﹣5的图象上，
∴b＝2a﹣5，
∴CM＝AN＝2a﹣5，OM＝ON＝a，
∴A（2a﹣5，﹣a），
∴﹣a＝2（2a﹣5）﹣5，
∴a＝3，
∴A（1，﹣3），
在直角三角形OCM中，由勾股定理可求得OA＝10，
∴正方形OABC的面积是10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了一次函数与正方形的综合，涉及全等三角形的证明，勾股定理的应用，函数的相关计算等，熟知以上知识是解题的关键．
14．【解析】
试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.
考点：概率公式．
解析：
【解析】
试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为42
=
.
147
考点：概率公式．
15．1000
【解析】
【分析】
根据通过样本去估计总体的统计思想．捕上200条鱼，发现其中带有标记的鱼为20条，说明有标记的占到，而有标记的共有100条，从而可求得总数．【详解】
可估计湖里大约有鱼
解析：1000
【解析】
【分析】
根据通过样本去估计总体的统计思想．捕上200条鱼，发现其中带有标记的鱼为20条，说
明有标记的占到
1
10
，而有标记的共有100条，从而可求得总数．
【详解】
可估计湖里大约有鱼100÷20
200
=1000条．
故答案为1000．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．
16．【分析】
先根据菱形的面积=两条对角线积的一半得出面积，再求出菱形的边长，由面积即可得出菱形的高．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=24，BD=1
解析：120 13
【分析】
先根据菱形的面积=两条对角线积的一半得出面积，再求出菱形的边长，由面积即可得出菱形的高．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=24，BD=10，
∴AC⊥BD，OA=1
2
AC=12，OB=
1
2
BD=5，
菱形ABCD的面积=1
2
AC·BD=
1
2
×24×10=120，
22
12+5，
又∵菱形ABCD的面积=AB·DE=120，
∴DE=120 13
，
故答案为：120 13
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；根据菱形的性质由勾股定理求出边长是解题的关键．
17．【分析】
利用正方形的性质，可得AD＝CD，∠D＝90°，再利用勾股定理求正方形的边长．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝90°
设AD＝CD＝x，在Rt
解析：【分析】
利用正方形的性质，可得AD＝CD，∠D＝90°，再利用勾股定理求正方形的边长．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝90°
设AD＝CD＝x，在Rt△ADC中，
∵AD2+CD2＝AC2
即x2+x22）2
解得：x＝1，（x＝﹣1舍去）
所以该正方形的边长为1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查正方形的性质，一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据题意列出方程求解是解题的关键．
18．【分析】
直接开平方，求出方程的解即可．
【详解】
∵x2=0，
开方得，，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，比较简单．
解析：120x x ==
【分析】
直接开平方，求出方程的解即可．
【详解】
∵x 2=0，
开方得，120x x ==，
故答案为：120x x ==．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，比较简单．
19．且
【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】
解：关于的一元二次方程有实数根，
且△，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查
解析：4k ≤且0k ≠
【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可
得出结论．
【详解】 解：关于x 的一元二次方程2410kx x ++=有实数根， 0k ∴≠且△2440k =-≥，
解得：4k ≤且0k ≠，
故答案为：4k ≤且0k ≠．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△0时，方程有实数根”是解
题的关键． 20．1
【解析】
分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
详解：设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x3，x4， ∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=
解析：1
【解析】
分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
详解：设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4，
∴at 2+bt+1=0，
由题意可知：t 1=1，t 2=2，
∴t 1+t 2=3，
∴x 3+x 4+2=3
故答案为：1
点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AB //CD ，AB=CD ，然后根据CE=DC ，得到AB=EC ，AB //EC ，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC 是平行四边形，通过角的关系得出
FA=FE=FB=FC ，AE=BC ，得证．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB =CD ．
∵CE =DC ，
∴AB =EC ，AB ∥EC ，
∴四边形ABEC 是平行四边形；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC 是平行四边形，
∴FA =FE ，FB =FC ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC =∠D ．
又∵∠AFC =2∠ADC ，
∴∠AFC =2∠ABC ．
∵∠AFC =∠ABC +∠BAF ，
∴∠ABC =∠BAF ，
∴FA =FB ，
∴FA =FE =FB =FC ，
∴AE =BC ，
∴四边形ABEC 是矩形．
【点睛】
此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
22．（1）483y x =-
+；见解析；（2）()6,5D ；见解析；（3）12或694，见解析． 【分析】
（1）利用矩形的性质，求出点A 、C 的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）Rt △AED 中，由勾股定理得：222AE DE AD +＝，即可求解；
（3）①当EC ＝EO 时，ON ＝12OC ＝4＝EM ，则△OEA 的面积＝12
×OA ×EM ；②当OE ＝OC 时，利用勾股定理得：22222NE EC CN EO ON ＝﹣＝﹣，求出ON ＝
234
，进而求解． 【详解】
解：（1）∵点B 的坐标为()68，
且四边形OABC 是矩形， ∴点A 、C 的坐标分别为()()6008，、，
， 设AC 的表达式为y kx b +＝，
把A 、C 两点的坐标分别代入上式得608k b b +=⎧⎨=⎩，解得438k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 所表示的函数的表达式483
y x =-+； （2）∵点A 的坐标为()60，
，点C 的坐标为()08，， ∴OA ＝6，OC ＝8．
∴Rt △AOC 中，AC ＝226+8=10，
∵四边形OABC 是矩形，
∴∠B ＝90°，BC ＝6，AB ＝8，
∵沿CD 折叠，
∴∠CED ＝90°，BD ＝DE ，CE ＝6，AE ＝4，
∴∠AED ＝90°，
设BD ＝DE ＝a ，则AD ＝8﹣a ，
∵Rt △AED 中，由勾股定理得：222AE DE AD +＝，
∴()2
2248a a +-＝，解得a ＝3， ∴点D 的坐标为()65，
； （3）
过点E 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，
∵EN ⊥OC ，EM ⊥OA ，OC ⊥OA ，
∴∠ENO ＝∠NOM ＝∠OME ＝90°，
∴四边形OMEN 是矩形，
∴EM ＝ON ．
①当EC ＝EO 时，
∵EC ＝EO ，NE ⊥OC ，
∴ON ＝12
OC ＝4＝EM ，
△OEA 的面积＝12×OA ×EM ＝12
×6×4＝12； ②当OE ＝OC 时，
∵EN ⊥OC ，
∴∠ENC ＝∠ENO ＝90°，
设ON ＝b ，则CN ＝8﹣b ，
在Rt △NEC 中，222NE EC CN -＝，
在Rt △ENO 中，222NE EO ON -＝，
即()2222688b b ---＝，
解得：b ＝234
， 则EM ＝ON ＝234
， △OEA 的面积＝12×OA ×EM ＝12×6×234＝694； 故△OEA 的面积为12或
694． 【点睛】
本题主要考查矩形的性质与判定、勾股定理及一次函数，关键是灵活运用知识点及函数的性质，求线段的长常用勾股定理这个方法．
23．（1）AP=EF ，AP ⊥EF ，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）正方形中容易证明∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，利用AAS 证明
△AMO ≌△FOE.(2) （3）按照（1）中的证明方法证明△AMP ≌△FPE （SAS ），结论依然成立.
【详解】
解：（1）AP=EF ，AP ⊥EF ，理由如下：
连接AC ，则AC 必过点O ，延长FO 交AB 于M ；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
∴四边形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，∴四边形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF,
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
人教版初二下数学期中复习知识点 有书好好读，有书赶快读，读书的时间不多。只要我们刻苦拼搏、一心向上，就一定能取得令人满意的成绩。下面为您推荐人教版初二下数学期中复习知识点。 第四章、四边形性质的探索1.多边形的分类： 2.平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （2）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S菱形=L1*L2/2）。 （3）矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对角线相等；四个角都是直角。对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形。直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；在直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半。 （4）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
（5）等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形；对角互补的梯形是等腰梯形。 （6）三角形中位线：连接三角形相连两边重点的线段。性质：平行且等于第三边的一半 3.多边形的内角和公式：（n-2）*180；多边形的外角和都等于。 4.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 第五章、位置的确定1.直角坐标系及坐标的相关知识。 2.点的坐标间的关系：如果点A、B横坐标相同，则∥轴；如果点A、B纵坐标相同，则∥轴。 3.将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，所得到的图形与原图形关于轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，所得到的图形与原图形关于轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。 第六章、一次函数1.一次函数定义：若两个变量间的关系可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数。当时称是的正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。 2.作一次函数的图象：列表取点、描点、连线，标出对应的函数关系式。 3.正比例函数图象性质：经过；0时，经过一、三象限；0时，经过二、四象限。 4.一次函数图象性质：
八年级下册数学期中考试知识点复习（北师大版） 第一章一元一次不等式和一元一次不等式组 一.不等关系 ※1.一般地，用符号“”（或“≥”）连接的式子叫做不等式. ※2.准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数：大于等于0（≥0）、0和正数、不小于0 非正数：小于等于0（≤0）、0和负数、不大于0 二.不等式的基本性质 ※1.掌握不等式的基本性质，并会灵活运用： （1）不等式的两边加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，即：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c. （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b，并且c>0，那么ac>bc，. （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a>b，并且c※2.比较大小：（a、b分别表示两个实数或整式）一般地： 如果a>b，那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么a>b； 如果a=b，那么a-b等于0；反过来，如果a-b等于0，那么a=b； 如果a即： a>b，则a-b>0 a=b，则a-b=0
a（由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了. 三.不等式的解集： ※1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式. ※2.不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数. ※3.不等式的解集在数轴上的表示： 用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： ①定点：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； ②方向：大向右，小向左 四.一元一次不等式： ※1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式. ※2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别要注意，当不等式两边都乘以一个负数时，不等号要改变方向. ※3.解一元一次不等式的步骤： ①去分母； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化为1（注意不等号方向改变的问题）
八年级下册数学期中考试知识点复习 第一章证明（二） 一.等腰三角形 1.性质：等边对等角 2.判定：等角对等边 3.推论：“三线合一” 4.等边三角形的性质及判定定理 例1、已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（） A．30°B．45°C．36°D．72° 图1 例2、如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（） A.30° B.36° C.45° D.70° 已知等腰三角形一角，求其他两角的情况。 注意：等边三角形与轴对称、中心对称的关系。 二.直角三角形（含30°的直角三角形的边的性质） ※1.勾股定理及其逆定理 ※2.命题与逆命题 ※3.直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 三.线段的垂直平分线 ※1.线段垂直平分线的性质及判定 ※2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 例1、如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，AB=8，BC=4，∠A=36°，则∠DBC=，△BDC =． 的周长C
四.角平分线 ※1.角平分线的性质及判定定理 ※2.三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 例1、如图，ABC ?中，DE A AC AB ，， 40=∠=是腰AB 的垂直平分线，求DBC ∠的度数。 平移与旋转轴对称图形的关系 例１、如图6－2－13，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将过的路径为BD ，则Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经图中阴影部分的面积是__________． 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 一.不等关系 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数<===>大于等于0(≥0)<===>0和正数<===>不小于0 非正数<===>小于等于0(≤0)<===>0和负数<===>不大于0 二.不等式的基本性质 注意：有且仅当不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左 认识“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; 一元一次不等式 解集 图示 叙述语言表达 x>b 两大取较大 x>a 两小取小 a 期中考试数学知识点总结 班级：姓名： 十六章二次根式 【知识总结】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2）= =a a2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。 （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）； b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律 以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 十七章勾股定理 一、基础知识点： １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙， 面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4 EFGH S S S ? += 正方形正方形ABCD ，，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的 面积与小正方形面积的和为22 1 42 2 S ab c ab c =?+=+大正方形面积为 222 ()2 S a b a ab b =+=++所以222 a b c += 方法三：1()() 2 S a b a b =+?+ 梯形 ，2 11 2S2 22 ADE ABE S S ab c ?? =+=?+ 梯形 ，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐 角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对 象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90 C ∠=?，则 c，b=，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为 形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方 2 c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角 形。 ②定理中a，b，c及222 a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a， b，c满足222 a c b +=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时， 这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a，b，c为正 整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： = a（a＞0） a -（a＜ 000000） 0 （a=0）； b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D B A 八年级下册数学期中考试知识点复习 【】多做练习题和试卷,可以使学生了解各种类型的题目，使学生在练习中做到举一反三。在此查字典数学网为您提供八年级下册数学期中考试知识点复习，希望给您学习带来帮助，使您学习更上一层楼! 八年级下册数学期中考试知识点复习 一. 不等关系 ※1. 一般地，用符号(或)， (或)连接的式子叫做不等式. ※2. 准确翻译不等式，正确理解非负数、不小于等数学术语. 非负数：大于等于0(0) 、0和正数、不小于0 非正数：小于等于0(0) 、0和负数、不大于0 二. 不等式的基本性质 ※1. 掌握不等式的基本性质，并会灵活运用： (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变， 即：如果ab，那么a+cb+c， a-cb-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变， 即如果ab，并且c0，那么acbc， . (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变， 即：如果ab，并且c0，那么ac ※2. 比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式) 一般地： 如果ab，那么a-b是正数;反过来，如果a-b是正数，那么a 如果a=b，那么a-b等于0;反过来，如果a-b等于0，那么a=b; 如果a 即： ab，则a-b0 a=b，则a-b=0 a (由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集： ※1. 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解;一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程，叫做解不等式. ※2. 不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数. ※3. 不等式的解集在数轴上的表示： 用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： 八年级下册数学期中复习知识要点 八年级下册数学期中复习知识要点 复习是一个汉语词汇，指再一次复习所有科目，尤其是自己喜欢的科目，把以前遗忘的知识记起来，重复自己在脑海中学过的东西，使对其印象更加深刻，从而使在脑海中存留的时间更长一些。下面为大家带来了八年级下册数学期中复习知识要点，欢迎大家参考！ 1、定义： 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 2、平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的邻角互补，对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； 3、平行四边形的判定 平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分： 第一类：与四边形的对边有关 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 第二类：与四边形的对角有关 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 第三类：与四边形的对角线有关 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形 一次函数 (1)正比例函数：一般地，形如y=kx(k是常数，k?0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数; (2)正比例函数图像特征：一些过原点的直线; (3)图像性质： ①当k>0时，函数y=kx的图像经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大; ②当k<0时，函数y=kx的图像经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小; (4)求正比例函数的解析式：已知一个非原点即可; (5)画正比例函数图像：经过原点和点(1,k);(或另外一个非原点) (6)一次函数：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k?0)的函数，叫做一次函数; (7)正比例函数是一种特殊的一次函数;(因为当b=0时，y=kx+b 即为y=kx) (8)一次函数图像特征：一些直线; (9)性质： ①y=kx与y=kx+b的倾斜程度一样，y=kx+b可看成由y=kx平移|b|个单位长度而得;(当b>0，向上平移;当b<0，向下平移) ②当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升，即y随着x的增大而增大; ③当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降，即y随着x的增大而减小; ④当b>0时，直线y=kx+b与y轴正半轴有交点为(0，b); ⑤当b<0时，直线y=kx+b与y轴负半轴有交点为(0，b); (10)求一次函数的解析式：即要求k与b的值; (11)画一次函数的图像：已知两点; 用函数观点看方程(组)与不等式 (1)解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值;从图像上看，这相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标的值; (2)解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围; (3)每个二元一次方程都对应一个一元一次函数，于是也对应一条直线; 二次根式知识点复习 【知识点1】二次根式旳概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 旳式子叫做二次根 式。二次根式旳实质是一种非负数数a 旳算数平方根。 【注】二次根式旳概念有两个要点：一是从形式上看,应具有二次根号；二是被开方数旳取值范围有限制:被开方数a 必须是非负数。 【知识点２】二次根式旳性质： (1)二次根式旳非负性,)0(0≥≥a a 旳最小值是０；也就是说a ( ）是一种非负数， 即)0(0≥≥a a 。注：由于二次根式)0(0≥≥a a 表达ａ旳算术平方根,这个性质在解答题目时应用较多，如若0a b +=,则a ＝0，b=0;若0a b +=，则a ＝0,ｂ=0；若 20a b +=，则a=0,b ＝0。 （2)2 ()a a =（ ） 文字语言论述为:一种非负数旳算术平方根旳平方等于这个非负 数。注:二次根式旳性质公式2 ()a a =（ )是逆用平方根旳定义得出旳结论。上面旳 公式也可以反过来应用：若 ，则2)a a =，如: 2 22)= 专题二 二次根式旳乘除 【知识点1】二次根式旳乘法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 。将上面旳公式逆向运用 可得:)0,0(≥≥•= b a b a ab 积旳算术平方根，等于积中各因式旳算术平方根旳积。 【知识点2】二次根式旳除法： (1)一般地,对于二次根式旳除法规定 b a b a = ).0,0(>≥b a 【注】分母有理化二次根式旳除法运算，一般是采用化去分母中旳根号旳措施来进行旳。分 母有理化:(1）定义:把分母中旳根号化去,叫做分母有理化。 (2)关键： 把分子、分母都乘 以一种合适旳式子,化去分母中旳根号。 【知识点3】最简二次根式： （１)被开放数不含分母；（2)被开放数中不含开得尽方旳因数 或因式。 专题三 二次根式旳加减 【知识点１】同类二次根式:几种二次根式化成最简二次根式后,假如被开方数相似,这样旳二次根式叫做同类二次根式。. 【知识点2】二次根式旳加减:二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简旳二次根式，再将被开放数相似旳根式进行合并。 【知识点3】二次根式旳混合运算 二次根式旳混合运算次序与整式旳混合运算次序同样：先乘方，再乘除,最终加减，有括号旳先算括号里面旳。 勾股定理知识点复习 1.勾股定理 直角三角形两直角边旳平方之和等于斜边旳平方,两直角边长分别为a,b,斜边长为c ，则 222a b c += ２.勾股定理旳证明 措施一：赵爽弦图 措施二:青朱出入图 措施三：总统定理 b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A a b c c b a E D C B A 第一章一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 ※1. 一般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式. ※2. 准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数：大于等于0（≥0）、0和正数、不小于0 非正数：小于等于0（≤0）、0和负数、不大于0 二. 不等式的基本性质 ※1. 掌握不等式的基本性质，并会灵活运用： （1）不等式的两边加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变， 即：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c. （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 即如果a>b，并且c>0，那么ac>bc，. （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定. ※3. 解一元一次不等式组的步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些解集的公共部分， （3）写出这个不等式组的解集. 两个一元一次不等式组的解集的四种情况（a、b为实数，且a 八年级下册数学期中知识点总结 【导语】高效的学习，要学会给自己定定目标（大、小、长、短），这样学习会有一个方向；然后要学会梳理自身学习情形，以课本 为基础，结合自己做的笔记、试卷、掌控的薄弱环节、存在的问题等， 公道的分配时间，有针对性、具体的去一点一点的攻克、落实。本篇文 章是作者为您整理的《八年级下册数学期中知识点总结》，供大家鉴戒。 1.八年级下册数学期中知识点总结 一、定义 1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。我们也说 这个图形关于这条直线[成轴]对称。 2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴，折 叠后重合的点是对应点，叫做对应点。 3、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂 直平分线。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对 应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点 所连线段的垂直平分线。 4、有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 5、三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 二、重点 1、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 2、把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这 条轴对称。 3、垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的距离相等。 4、垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上。 5、如何做对称轴：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线。因此，我们只要找到一对再对应点， 作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这个图形的对称轴。同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点所连线段的垂直平分线，就 得到此图形的对称轴。 6、轴对称图形的性质：对称轴方向和位置产生变化时，得到的图 形的方向和位置也会产生变化。由个平面图形可以得到它关于一条直线 成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状，大小完全相等。新图形上 的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点。连接任意一对对 应点的线段被对称轴垂直平分。 7、等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等[等边对等角] 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合[三线 合一][等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(底边上的高，顶角平 分线)所在直线就是它的对称轴。 等腰三角形两腰上的高或中线相等。 等腰三角形两底角平分线相等。 等腰三角形底边上高的点到两腰的距离之和等于底角到一腰的距离。 等腰三角形顶角平分线，底边上的高，底边上的中线到两腰的距 离相等。] 8、等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等[等角对等边]。 八年级数学期中下册知识点 1.八年级数学期中下册知识点篇一 轴对称 1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。 2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对应点。 3、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.八年级数学期中下册知识点篇二 函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 (3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 (3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 八年级下册数学期中知识点总结苏教版 1.八年级下册数学期中知识点总结苏教版篇一 二次根式 一般地，式子√a,(a≥0)叫做二次根式。 注意：（1）若a＜0这个条件不成立，则a不是二次根式；（2）a是一个重要的非负数，即a≥0。 1、二次根式的乘法法则：√aX√b=√ab 2、二次根式比较大小的方法 （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小。 3、二次根式的除法法则： （1）商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术。 （2）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化;具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。 4、最简二次根式 （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 ①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开的尽的因数或因式。 （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母。 （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式。 （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。 2.八年级下册数学期中知识点总结苏教版篇二 提公因式法 1、在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式。当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式。 2、运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意： 1）必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数。 2）将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤： ①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况; 八年级数学下册期中复习知识点 一、选择题 1．下面的图形中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．以下问题，不适合用全面调查的是（ ） A ．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B ．旅客上飞机前的安检 C ．学校招聘教师，对应聘人员面试 D ．了解全市中小学生每天的零花钱 4．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 面积的最大值是（ ） A ．15 B ．16 C ．19 D ．20 5．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边的中点，将△ABE 沿AE 所在的直线折叠得到△AFE ，延长AF 交CD 于点G ，已知CG ＝2，DG ＝1，则BC 的长是（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．36．下列式子为最简二次根式的是（ ） A 22a b B 2a C 12a D 12 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（4，3），点D 是边OC 上的一点，点E 在直线OB 上，连接DE 、CE ，则DE+CE 的最小值为（ ） A．5B．7+1C．25D．24 5 8．下列条件中，不能 ．．判定平行四边形ABCD为矩形的是（） A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC 9．下列调查中，适宜采用普查方式的是（） A．一批电池的使用寿命B．全班同学的身高情况 C．一批食品中防腐剂的含量D．全市中小学生最喜爱的数学家 10．下列事件为必然事件的是（） A．射击一次，中靶B．12人中至少有2人的生日在同一个月C．画一个三角形，其内角和是180°D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上11．下面调查方式中，合适的是（） A．试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，选择抽样调查方式 B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查方式 C．为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用普查方式 D．调查某新型防火材料的防火性能，采用普查的方式 12．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF CE ⊥交AB于点F，若2 DE=，矩形ABCD的周长为16，且CE EF =，求AE的长( ) A．2B．3C．4D．6 二、填空题 13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠OBC＝30°，则∠OCD＝_____°． 14．如图，在□ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=______． 【八年级】八年级下册数学期中考试知识点复习（北师大版） 一.不等关系 ※1.一般地，用符号“”（或“≥”）连接的式子叫做不等式. ※2.精确“译者”不等式，正确理解“非负数”、“不大于”等数学术语. 非负数：大于等于0（≥0）、0和正数、不小于0 非正数：大于等同于0（≤0）、0和负数、不大于0 二.不等式的基本性质 ※1.掌控不等式的基本性质，并可以灵活运用： （1）不等式的两边加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变， 即为：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c. （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 即为如果a>b，并且c>0，那么ac>bc，. （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 即为：如果a>b，并且c<0，那么ac ※2.比较大小：（a、b分别表示两个实数或整式） 通常地： 如果a>b，那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么a>b； 如果a=b，那么a-b等同于0；反过来，如果a-b等同于0，那么a=b； 如果a 即为： a>b，则a-b>0 a=b，则a-b=0 a （由此可见，必须比较两个实数的大小，只要实地考察它们的高就可以了. 三.不等式的解集： ※1.能够并使不等式设立的未知数的值，叫作不等式的求解；一个不等式的所有求解，共同组成这个不等式的边值问题；谋不等式的边值问题的过程，叫作求解不等式. ※2.不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数. ※3.不等式的边值问题在数轴上的则表示： 用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： ①定点：存有等号的就是实心圆点，并无等号的就是空心圆圈； ②方向：大向右，小向左 四.一元一次不等式： ※1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式. ※2.求解一元一次不等式的过程与求解一元一次方程相似，特别必须特别注意，当不 等式两边都除以一个负数时，不等号必须改变方向. ※3.解一元一次不等式的步骤： ①回去分母； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化成1（特别注意不等号方向发生改变的问题） ※4.不等式应用的探索（利用不等式解决实际问题） 列于不等式求解基本步骤与列方程解相相似，即为： ①审：认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义； ②设立：短果适度的未知数； ③列：根据题中的不等关系，列出不等式； ④求解：求出所列的不等式的边值问题； 北师版八年级下册数学知识点期中复习及其练习 知识要点总结 三角形的证明 1、全等三角形 （1）性质：全等三角形的对应边、对应角相等。 （2）判定：“SAS”、 SSS 、AAS 、 ASA 、 HL(直角三角形) 。 2、等腰三角形 （1）性质：①等腰三角形的两底角相等。（“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。（2）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） （3）反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件相矛盾的结果命题：由条件和结论组成 逆命题：由结论和条件组成 3、等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。 （2）性质：①三个内角都等于60度，三条边都相等 ②具有等腰三角形的一切性质。 （3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。 4、直角三角形 (1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (2)定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半 (3)直角三角形的两锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形 (4)勾股定理；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直 角三角形 （5）“斜边、直角边”或“HL” 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理的作用：判定两个直角三角形全等 5、线段的垂直平分线 （1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 （2）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 6、角平分线 （1）角平分线上的点到这个叫的两边的距离相等 （2）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 不等式 一. 不等关系 ※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 苏科版八年级数学下册期中复习知识点大全 一、选择题 1．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（） A．20 B．24 C．28 D．30 2．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 3．“明天会下雨”这是一个（） A．必然事件B．不可能事件 C．随机事件D．以上说法都不对 4．如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A’，若∠C＝120°，∠A＝26°，则∠A′DB的度数是（） A．120°B．112°C．110°D．100° 5．下列图标中，是中心对称图形的是（） A．B．C．D． 6．以下问题，不适合用全面调查的是（） A．了解全班同学每周体育锻炼的时间B．旅客上飞机前的安检 C．学校招聘教师，对应聘人员面试D．了解全市中小学生每天的零花钱 7．如果把分式 a a b - 中的a、b都扩大2倍，那么分式的值一定（） A．是原来的2倍B．是原来的4倍 C．是原来的1 2 D．不变 8．已知关于x的分式方程2 2 x m x + - ＝3的解是5，则m的值为（） A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．8 9．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长AF交CD于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（） A．32B．26C．25D．23 10．下列方程中，关于x的一元二次方程是（） A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0 11．把下列英文字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D． 12．要反应一周气温的变化情况，宜采用（） A．统计表B．条形统计图C．扇形统计图D．折线统计图 二、填空题 13．如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°． 14．如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=6，BD=8，AB=x，那么x 的取值范围是__________． 15．在一次数学测试中，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2，则第六组的频数是_______． 16．为估算湖里有多少条鱼，先捕上100条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，那么湖里大约有______条鱼. 17．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜八年级下期中考试数学知识点总结
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