107A 图2A B C 图1C B 第一章 直角三角形的三边关系1.1锐角三角函数（第一课时）
教学重点：1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．
教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比． 一．正切的定义，表示方法
问题1：(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？
问题1： 如图，小明想通过测
量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，
来说明梯子的倾斜程度；而
小亮则认为，通过测量B 2C 2
及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？
(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？
(2)1
11AC C B 和222AC C B 有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置如果改变B 2在梯子上的位置
呢？ 由此你能得出什么结论？
结论：
在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的 的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tan gent)，记作： ，即ta n A ＝ ．
注意：1．tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．
2．tan A 表示一个比值，没有单位。
3．tan A 不表示“tan ”乘以“A ”．
4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切．
练习：
1.判断正误：如图 (1), tan A ＝BC:AC
如图 (2), tanA ＝BC:AB
如图 (2), tanB ＝10:7
C D B A 如图 (2), tan A ＝AC:BC
2.填空:
1.tan =AC:BC
tan =BC: 2.如图, ∠C=90°CD ⊥AB.
tan ∠ACD= , tanB=
3.在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝20cm ，求tan A 和tan B 的值．
思考：1. 思考：现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？
2．∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？
3．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1－3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？
1．在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ）
A 、扩大2倍
B 、缩小2倍
C 、扩大4倍
D 、没有变化
2．在Rt △ABC 中，∠C=90o，AC=3，AB=5，则tanB=( )
A.54
B.53
C.34
D.4
3
3.在Rt △ABC 中，∠C=90o，tanA ·tanB 的值（ ）
A ．等于1 B.大于1 C.小于1 D.不确定
4.如图所示:在坡度为1:2的
山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离是5m,斜坡上相
邻两树间的坡面距离是( )米.
5.
在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,求tanA.
6.在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,求 tanA.
九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案 一、填空题：（30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，2a=b ，则tanA=______，sinA=_______。 2．sin55°、cos36°、sin56°的大小关系是____<____<____。 3．在△ABC 中，∠C=90°，如果 31tan =A ，则cosB=_______。如果03cos 42=-A ，是∠A=______度。 4．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是_________。 5．如图6-29，某飞机于空中A 处探测得地面目标C ，此时飞行高度AC=h 米，从飞机上看到地面控制点B 的俯角为α，则飞机A 到控制点B 的距离是__________米。 6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。 7、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ 。 8、已知tan α＝ 12 5，α是锐角，则sin α＝ 。 9、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ ； 10、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东 60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）． （1） （2） （3） 1136cm ，则一底角的正切值为 . 12、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 13、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 14、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA=3 3，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______ 。 15、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子 x O A y B
107A 图2A B C 图1C B 第一章 直角三角形的三边关系1.1锐角三角函数（第一课时） 教学重点：1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比． 一．正切的定义，表示方法 问题1：(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 问题1： 如图，小明想通过测 量B 1C 1及AC 1，算出它们的比， 来说明梯子的倾斜程度；而 小亮则认为，通过测量B 2C 2 及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？ (1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ (2)1 11AC C B 和222AC C B 有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置如果改变B 2在梯子上的位置 呢？ 由此你能得出什么结论？ 结论： 在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的 的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tan gent)，记作： ，即ta n A ＝ ． 注意：1．tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”． 2．tan A 表示一个比值，没有单位。 3．tan A 不表示“tan ”乘以“A ”． 4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切． 练习： 1.判断正误：如图 (1), tan A ＝BC:AC 如图 (2), tanA ＝BC:AB 如图 (2), tanB ＝10:7
C D B A 如图 (2), tan A ＝AC:BC 2.填空: 1.tan =AC:BC tan =BC: 2.如图, ∠C=90°CD ⊥AB. tan ∠ACD= , tanB= 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝20cm ，求tan A 和tan B 的值． 思考：1. 思考：现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？ 2．∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？ 3．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1－3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？ 1．在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ） A 、扩大2倍 B 、缩小2倍 C 、扩大4倍 D 、没有变化 2．在Rt △ABC 中，∠C=90o，AC=3，AB=5，则tanB=( ) A.54 B.53 C.34 D.4 3 3.在Rt △ABC 中，∠C=90o，tanA ·tanB 的值（ ） A ．等于1 B.大于1 C.小于1 D.不确定 4.如图所示:在坡度为1:2的 山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离是5m,斜坡上相 邻两树间的坡面距离是( )米. 5. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,求tanA. 6.在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,求 tanA.
锐角三角函数知识点总结与复习 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 3、任意锐 角的正弦值等 于它的余 角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切的增减性：当 0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大 一、知识性专题 专题1：锐角三角函数的定义 例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin A B ．tan A ＝1 2 C ．cos B D ．tan B 例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3 5 ,则tan A 等于 ； ． 例3在Rt △ABC 中，∠C=900 ，AC=4，AB=5，则sinB 的值是 ； 直角三角形中 的边角关系 解直角三角形
例4（2012内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ； 例5R t △ABC,∠C=900 ,AB=6,cosB=23 ,则BC 的长为 ； 例6如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α= BC AC = 的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30?= ； 例7把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）A ．不变B ．缩小为原来的 1 3 C ．扩大为原来的3倍 D ．不能确定 例11. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中， E 、 F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2， BC=5，CD=3，则tanC 等于 ． 例12（2011山东日照）在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA= a b ．则下列关系式中不成立的是（ ） A ．tanA?cotA=1 B ．sinA=tanA?cosA C ．cosA=cotA?sinA D ．tan 2A+cot 2A=1 点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=B A cos sin 或sinA=tanA?cosA ．（3）正切之间的关系：tanA?tanB=1． 例13（2011?贵港）如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=2 ， 则tan ∠CAD 的值是 ． 例14如果△ABC 中，sin A =cos B = 2 ，则下列最确切的结论是（ ）A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形 A 、 3 30sin 602 sin x ??<< B 、3 cos302 x ??<< cos45 C B A 图4 D C B A 图4 22题图
1.1 （1）锐角三角函数 一、教学目标 1.经历探索直角三角形中边的比值和角人小关系的过程;理解正切三角两数的意义和与 现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能 够用正切进行简单的计算. 二、教学重点和难点 重点：1 .从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解止切、倾斜程度、坡度的数学意义，井能进行简单的计算. 难点：理解正切的盘义，并用它來表示两边的比. 三. 教学过程 （一〉情境引入： 1、用多媒体演示如下内容： 梯子是我们口常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？ （1）甲组中EF和AB哪组梯子比较陡，乙图中AB和EF哪组梯子较陡. （2）友情提示 （3）如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
（二〉探究新知 1. （1）如图：图中的三角形均为直角三角形，这些有直角三角形什么关系？ （3）若ZA 的人小改变，上面各比值关系如何? （第3题图） （第4题图） （三〉巩固训练 1.已知ZkABC 中，ZC=yo\ AC 二3, BC=4t 求 tanA 与 tanBo (2)墮、临 AC. AC 2 BG AC. 和宏什么关系 ? （4）若ZA 的人小改变, BG AC, 怎样变化？卷 鱼￡1和邑邑呢? AC. AC 4 （5）由上面的问题，你能得到什么结论? 2?在RtAABC 中，ZC 二90°,如果锐角A 确定，那么ZA 的 ___________ —的比便随之确定.这个比叫做ZA 的正切 ZA 的（ ）边 即 tanA 二 ---------------- ZA 的（ ）边 （ ） （ ） = ------ = -------- （字母表示） 3.如图：用正切符号表示卜?列角 ZA ： Z6Z : Z1： ZABD ： 4?填空:如图所示 AB tan _____ = ----- BC (tangent ),记作 tanA AE tan _____ 二 ---- BE
九年级数学《锐角三角函数》单元测试题 及答案 令狐文艳 一、填空题：（30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，2a=b ，则tanA=______， sinA=_______。 2．sin55°、cos36°、sin56°的大小关系是 ____<____<____。 3．在△ABC 中，∠C=90°，如果 31tan =A ，则cosB=_______。如果03cos 42=-A ，是∠A=______度。 4．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切 值是_________。 5．如图6-29，某飞机于空中A 处探测得地面目标C ，此时飞 行高度AC=h 米，从飞机上看到地面控制点B 的俯角为α，则 飞机A 到控制点B 的距离是__________米。 6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝， sinB ＝，tanB ＝。
7、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝。 8、已知tan α＝125，α是锐角，则sin α＝。 9、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－ α)tan(60°＋α)＝； 10、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单 位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向 上，则原来A 的坐标为.（结果保留根号）． （1） （2） （3） 11、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ， 则一底角的正切值为. 12、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面米高。 13、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 14、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA= 33，AB ＝8cm ，则 x O A y B
北师大版九年级数学下第一章1 锐角三角函数 1.2正弦和余弦练习题（含答案） 一、选择题 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式成立的是( ) A ．sinA ＝AC AB B ．sinA ＝ BC AB C ．sinA ＝AC BC D ．sinA ＝BC AC 2．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于链接听P2例1归纳总结( ) 图1 A.35 B.45 C.34 D.43 3．如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝2 3 ，则BC 的长为( ) 图2 A ．4 B ．2 5 C.181313 D.121313 4．如图3，A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是( ) 图3 A.CD AC B.BC AB C.BD BC D.AD AC 5．如图4，梯子与地面的夹角为∠α，则下列关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的叙述正确的是( )
图4 A ．sinα的值越小，梯子越陡 B ．cosα的值越小，梯子越陡 C ．tanα的值越小，梯子越陡 D ．梯子的倾斜程度与∠α的三角函数值无关 6．如图5，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( ) 图5 A.43 B.34 C.35 D.45 7．如果等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦值是( ) A.513 B.1213 C.1013 D.512 二、填空题 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则cosB ＝________． 9．如图6，点A(t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，sinα＝2 3 ，则t 的值为________． 图6 10．在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝1 2 ，则sinB ＝________. 11．已知正方形ABCD 的边长为2，P 是直线CD 上的一点．若DP ＝1，则sin ∠BPC 的值是____________． 12．如图7，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC ＝2 3 ，那么线段
10 图2C 图1第一章 直角三角形的三边关系1.1锐角三角函数（第一课时） 教学重点：1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比． 问题1：(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 问题1： 如图，小明想通过测 量B 1C 1及AC 1，算出它们的比， 来说明梯子的倾斜程度；而 小亮则认为，通过测量B 2C 2 及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？ (1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ (2)111AC C B 和2 22AC C B 有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置如果改变B 2在梯子上的位置 呢？ 由此你能得出什么结论？ 结论： 在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的 的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tan gent)，记作： ，即ta n A ＝ ． 注意：1．tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”． 2．tan A 表示一个比值，没有单位。 3．tan A 不表示“tan ”乘以“A ”． 4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切． 练习： 1.判断正误：如图 (1), tan A ＝BC:AC
如图 (2), tanA ＝BC:AB 如图 (2), tanB ＝10:7 如图 (2), tan A ＝AC:BC 2.填空: 1.tan =AC:BC tan =BC: 2.如图, ∠C=90°CD ⊥AB. tan ∠ACD= , tanB= 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝20cm ，求tan A 和tan B 的值． 思考：1. 思考：现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？ 2．∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？ 3．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1－3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？ 1．在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ） A 、扩大2倍 B 、缩小2倍 C 、扩大4倍 D 、没有变化 2．在Rt △ABC 中，∠C=90o，AC=3，AB=5，则tanB=( ) A.54 B.53 C.34 D.4 3 3.在Rt △ABC 中，∠C=90o，tanA ·tanB 的值（ ） A ．等于1 B.大于1 C.小于1 D.不确定 4.如图所示:在坡度为1:2的 山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离是5m,斜坡上相 邻两树间的坡面距离是( )米. 5. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,求tanA. 6.在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,求 tanA.