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高考数学黄金100题系列第12题函数的周期性与对称性理

第12题函数的周期性与对称性

上述现象吗? 对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．【解析】由周期函数的性质知，T=2π 所以对称中心为

(,0)()k k z π∈，正弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性

质知其对称轴方程纬()2

x k k Z π

π=

+∈．对于余弦函数同样

有类似的性质，因为cos A=sin(A+

) 所以对称中心为(,0)()2k k Z π

π+∈，余弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知 X=K π(K 为整数) ．正切函数同样有类似的性质，对称中心为(k π/2，0)(K 为整数)但不是轴对称图形，而是中心

对称图形．

精彩解读

【试题来源】人教版A 版必修四第46页A 组第11题

【母题评析】本题以正弦函数是奇函数

为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对

称性，此题的结论也是高考常考的知识

点．

【思路方法】以旧探新是一种重要的学

习、解题方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．

【例2】已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；

（2）画出函数y ＝f(x ＋1)的图象；（3）你能写出函数y ＝f(x)的解析式吗？

考点：函数的图象，函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）从图象得知，x 从0变化到1，函数经历

个周期，即12

=，故函数的周期T=2；（2）函数y=f （x+1）的图象可由函数y=f （x ）的图象向左平移1个单位得到，因为函数y=f （x ）的图象过点（0，0）、点（1，1）所以y=f （x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），

【试题来源】人教版A 版必修四第47页B 组第3题

【母题评析】本题以y ＝f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）

问题，此类问题是高考常考的题型之一．

【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”．

再根据函数为周期函数画出图象：（3）当-1≤x ＜0时，f （x ）=-x ，当0≤x ＜1时，f （x ）=x ；

当2n-1≤x ＜2n 时，f （x ）=f （x-2n ）=-（x-2n ）=2n-x ，当2n ≤x ＜2n+1时，f （x ）=f （x-2n ）=x-2n ，

∴2,212()2,221n x n x n f x x n n x n --≤

-≤<+?

（n 为整数）点评：本题主要考查函数的图象的变换，及求函数的解析式，属于基础题．

II ．考场精彩·真题回放

【例1】【2017高考新课标I 卷】已知函数

()ln ln(2)f x x x =+-，则（）

A ．()f x 在（0，2）单调递增

B ．()f x 在（0，2）单调递减

C ．y =()f x 的图像关于直线x=1对称

D ．y =()

f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C

【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以

()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又

112(1)

'()2(2)x f x x x x x -=-=--（02x <<），在(0,1)上单调递

增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．

【例2】【2017高考山东卷】已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2)．若当[3,0]x ∈- 时，()6x

f x -=，则f(919)= ．【答案】6

【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高

考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、

填空题形式出现，函数的周期性、对称

性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时应加强对这部分内容的训练．【难点中心】对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、数形结合的能力．这就要求学生对函数

【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知，()f x 是周期函数，且6T =，所以(919)(66531)(1)f f f =?+= (1)6f =-=．【例3】【2017江苏高考14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,

x x D f x x x D ?∈?=???? 其中集合

1,*n D x x n n -??==∈????

N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是

▲ ．

【答案】8

【解析】解法一：由于()[)[)0,1,lg 0,1,f x x ∈∴∈则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈时，设

*,,,2q

x p q p p

∈≥N ，且,p q 互质．若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2n

x m n m m

∈≥N ，且,m n 互质．因此10n m

q p

，则10()n

m q p = ，此时左边为整数，右

边非整数，矛盾，因此lg x Q ?．因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，

只需考虑lg x 与每个周期x D ?的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ?的部分，且1x =处()11

lg 1ln10ln10

x x '=

=<，

则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．

解法二：D 是有理数集，∴自变量x D ∈，所对应的函数值都

的奇偶性、周期性、单调性三者之间的关系了如指掌，并能灵活运用．分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上．解

决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函

数结合点处函数值．

为有理数，且x D ∈在函数y x =上对应的空心点函数值也为有理数，令lg y x =等于这些函数值与空心点函数值所求得x 在区间[)0,1内皆为无理数，故 lg y x =不能与函数上

123

,,,234

x =

所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案

为8 个．

【例4】【2016年高考山东卷】已知函数f (x )的定义域为R ．，

当x <0时，3

()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；

当1

2x >

时，11()()22

f x f x +=- ．则f (6)= （）（A ）?2 （B ）?1 （C ）0 （D ）2

【答案】D 【解析】当12x >

时，11

()()22

f x f x +=-，所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数

()f x 是奇函数，所以()3

(1)(1)112f f ??=--=---=??

，故

选D ．

【例5】【2016高考新课标1卷】已知()sin()f x x+ω?=

(0),2

x π

ω?>≤

，为()f x 的零点，4

x π

为

()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5(

)1836

ππ

，单调，则ω

的最大值为( )

（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】因为4

x π

为()f x 的零点，4

x π

为()f x 图像的

对称轴，所以

()444T kT π

π--=+，即4124

k T π+==

4124k π

ω+?，所以41(*)k k N ω=+∈，又因为()f x 在5,1836ππ??

???

单调，所以5236181222T ππππω-=≤=，即12ω≤，由此ω的最大值为9．故选B ．

【例6】【2016高考浙江卷】设函数2()sin f x x =+

sin b x c +，则()f x 的最小正周期（）

A ．与b 有关，且与c 有关

B ．与b 有关，但与c 无关

C ．与b 无关，且与c 无关

D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B

【解析】2

1cos 2()sin sin 2-=++=

f x x b x c

cos 21

sin sin 22

+=-+++x b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21

()22

++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．

【例7】【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，

,10,

()2

,01,

5x a x f x x x +-≤

=?-≤

(a ∈R)，若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是．

【答案】2

【解析】51911()()()()22222

f f f f a -=-==?-+=

123255a -?=，因此2(5)(3)(1)(1)5

f a f f f ===-=- III ．理论基础·解题原理考点一函数的周期性

1．周期性：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期．

①若()()f x a f x +=，周期T a =；

②若()()f x a f x +=-（相反），周期2T a =；

③若)

)(x f a x f =

+(0≠a )（互倒），周期2T a =； ④若1

()()

f x a f x +=-

(0≠a )（反倒），周期2T a =； ⑤若()()f x a f x a +=-，周期2T a =； ⑥若()()()f x f x a f x a =++-，周期6T a =．考点二函数的称性

1．一个函数的对称关系：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-，则()y f x =关于直线x a =对称，若函数()f x 满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =关于直线2

a b

x +=

对称． 2．两个函数的对称关系：

函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a

b x -=对称；（巧记：相等求x ）函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2

b -对称；（巧记：相等求x ）考点三周期与对称的关系：

1．若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||2a b -为一个周期．（告知周期T 和其中一条对称轴，可以写出其他相邻的对称轴．）

2．若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||2a b -为一个周期．（告知周期T 和其中一个对称中心，可以写出其他相邻的对称中心．）

3．若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数，

||4a b -为一个周期．

考点四、如何计算一般形式的周期和对称：

若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则|()|||T a b a b =--=+；（巧记：消去x ）

若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2b

a x +=

对称；（巧记：消去x ，相加除2）若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2

a +对称；（巧记：消去x ，相加除2）

若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2

,2(c

b a +对称．（巧记：消去x ，相加除2，除2）

IV ．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时应加强对这部分内容的训练．

【技能方法】

解决此类问题一般会在周期上设置障碍，要通过周期的定义或有关结论算出已知函数的周期，再进行求值等相关运算，若是抽象函数，要求能够熟练运用赋值法．函数对称性、周期性的考察，往往以三角函数为载体，考察其周期、对称轴、对称中心的求解，此类问题一般会在解析式上设置障碍，要求先对解析式进行化简变形，变形的过程就考察了三角函数的有关公式，化简常常借助辅助角公式把原函数解析式化为单一函数．

【易错指导】

（1）如果对于函数()f x 定义域中的任意x ，满足()()f x a f x b +=+，则得函数()f x 的周期是

||b a T -=；

（2）如果对于函数()f x 定义域中的任意x ，满足()()f x a f x b +=-+，则得函数()f x 的对称轴是2

a x +=

． V ．举一反三·触类旁通考向1 函数周期性

【例1】【2018届江苏常州横林高级中学月考】定义在R 上的函数()f x 满足: ()()21f x f x +?=，当

[)2,0x ∈-时， ()()2log 3f x x =-+，则()2017f =________．

【答案】

【例2】设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ?+=，若()12f =，则()99________f =．

【答案】1006

【例3】设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，

1,10

()=2

,011

ax x f x bx x x +-≤

+?≤≤?+?其中a ，b ∈R ．若13f()=f()22，则a ＋3b 的值为________．【正解】因为f(x)的周期为2，所以331f(

)=f(-2)=f(-)222，即11

f()=f(-)22

．又因为 21114

2f(-)=-a+1,f()=12223

b ++=

+，所以14a+1=,23b +-．整理，得2a=-(b+1)3．① 又因为f(－1)＝f （1），所以2

-a+1=

b +，即b ＝－2a ． ②

将②代入①，得a ＝2，b ＝－4．所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10．【跟踪练习】

1．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数【答案】D

【解析】由图象可知选D ．

2．设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1，3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝__________．【答案】－1

【解析】因为T ＝2，则f (x )＝f (x ＋2)，又f (－1)＝f (－1＋2)＝f （1），因为x ∈[1，3)时，f (x )＝x －2，所以f (－1)＝f （1）＝1－2＝－1．

3．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ?-+-≤<=?≤

，则

()2

f = ．【答案】1

【解析】311

()()421224

f f =-=-?

+=．考向2 周期性与奇偶性相结合

【例4】已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则

(2013)f 等于（）

A ．2

B ．﹣2

C ．﹣1

D ．2013 【答案】A

【例5】【2016年高考四川卷】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x

f x =，

则()512f f ??

-+ ???

= ．【答案】2-

【解析】因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，

(1)(1)f f ∴-=，即(1)0f =，

25111

()(2)()()422222

f f f f -=--=-=-=-=-5()(1)22f f ∴-+=-．

【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5

()2

f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．【跟踪练习】

已知定义在R 上的奇函数， ()f x 满足()()2f x f x +=，则()8f 的值为__________．【答案】0

【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =

又()f x 满足()()2f x f x +=，∴()f x 的周期为2，∴()()800f f ==．考向2 对称性与单调性相结合

【例6】【2018河北衡水模拟】定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有

()()1212

0f x f x x x -<-，

且函数()1y f x =-的图象关于（1，0）成中心对称，若,s t 满足不等式()(

22f s s f t t

-≤--，

则当14s ≤≤时，

2t s

s t

-+的取值范围是（） A ．13,2??--

???? B ．13,2??--???? C ．15,2??--???? D ．15,2?

?--????

【答案】D

【例7】下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间(0,)+∞上单调递增的是（）（A ） 1

y x

（B ）21y x =-+ （C ）2x y = （D ）lg |1|y x =+

【答案】D ．

【跟踪练习】

1．【2018海南模拟】已知函数?????

>≠><-=,

0),10(log ,

0,1)2

sin()(x a a x x x x f a 且π的图像上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（） A ．)55,

0( B ．)1,55( C ．)1,3

( D ．)33,0( 【答案】A

【解析】根据题意知，函数图像上关于y 轴对称的点至少有3对等价于函数)0(1)2

sin(

>--=x x y π

与

函数)0)(10(log >≠>=x a a x y a 且至少有3个交点．如下图：显然当1>a 时，只有一个交点；当

10<a ，解得5

2．已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的

[]()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称．则下列结论正确

的是( )

A ．()()()7 6.5 4.5f f f <<

B ．()()()7 4.5 6.5f f f <<

C ．()()()4.5 6.57f f f <<

D ．()()()4.57 6.5f f f << 【答案】D

3．已知()f x 是定义R 在上的偶函数，且()()1f x f x +=-，若()f x 在[]

【例8】【2016高考上海卷】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，

则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下

【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>?=??，0

3,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+?≥=

???

，0(0)2,,x h x x x x -=≤>???

②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++ 前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+，结合第三式，可得()()g x g x T =+，()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+，∴②正确，故选D ．

【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难

度．解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【跟踪练习】

1．【2018河北邯郸模拟】已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当

[)0,1x ∈时，2()log (1)f x x =+，给出下列命题：①(2014)(2015)0f f +-=；②函数()f x 在定义域

上是周期为2的函数；③直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点；④函数()f x 的值域为(1,1)-．其中正确的是（）

【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键． 2．已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：

①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有 ()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是

【解析】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性，函数()f x 是奇函数的充要条件是函数

()f x 的图象关于原点对称，而()f x 的图象关于原点对称与函数()f x a -的图象关于点(,0)A a 对称是等

价的，故①正确，同理②也是正确的，那么本题只能选A 了，对于③，我们知道函数()f x 满足“对任意

的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”时，()f x 是周期为2a 的周期函数，但反过来一一定成立，如()

f x 满足“对任意的R x ∈，都有1

()()

f x f x a =

-”时，()f x 也是周期为2a 的周期函数，③错误，而函数

()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象是关于直线x a =对称，而还是y 轴，故④错误．

考向4 奇偶性、周期性与单调性

【例9】【2018海南模拟】已知函数()f x 关于直线2x =-对称，且周期为2，当[3,2]x ∈--时，

+=，故选B ．【例10】【2018黑龙江大庆模拟】若偶函数)(x f y =对任意实数x 都有)()2(x f x f -=+，且在]0,2[-上为单调递减函数，则（）

A ．)411()311()211(f f f >>

B ．)311

()211()411(f f f >> C ．)311()411()211(f f f >> D ．)2

11()411()311(f f f >>

【答案】C

【跟踪练习】

1．【2018浙江联考】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()0f x f x +-=，且在[1,0]-上单调递增，设

c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>

【答案】C

【解析】由(2)()0f x f x +-=，得函数的周期为2；由()f x 为偶函数且在[1,0]-上单调递增可得，函数()f x 在[0,1]

上单调递减．而33311log 3log 2log 2=>>=

，所以31

(log 2)()2

f f <；因为127

(log 2)f =2727(log 2)(log 2)f f -=，而272710log 2log 33<<=

，所以271

(log 2)()3

f f >，因为195()(2)1212f f =-55()()1212f f =-=，而1513122<

)(log 2)12f f f <<，即b c a >>．故选C ． 2．【2017安徽亳州二中质检】已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]

12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()1212

0f x f x x x ->-；

②()()4f x f x +=-； ③()4y f x =+是偶函数；

若()6a f =， ()11b f =， ()2017c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c b a << 【答案】

考向5 周期性、对称性与单调性

【例11】【2018呼伦贝尔模拟】已知函数()f x 满足)2()2(-=+x f x f ，(2)y f x =-关于y 轴对称，当)2,0(∈x 时，22()log f x x =，则下列结论中正确的是（） A ．(4.5)(7)(6.5)f f f << B ．(7)(4.5)(6.5)f f f << C ．(7)(6.5)(4.5)f f f << D ．(4.5)(6.5)(7)f f f << 【答案】A

【解析】∵()()()222f x f x y f x +=-=-，关于y 轴对称，∴()f x 是以4为周期的周期函数，其

图象的对称轴为2x =，∵当()02x ∈，时，22()log f x x =，∴()f x 在区间()02，是增函数；∴

()4.5f =()()()()()()0.57321211f f f f f f ==+=-=，，()()()6.5 2.520.5f f f ==+=

()()20.5 1.5f f -=，∵00.51 1.52<<<<，且函数()y f x =在区间[0]2，

上是增函数，∴()()()0.51 1.5f f f <<，即()()()4.57 6.5f f f ＜＜，故选：A ．

【跟踪练习】

1．【2018浙江宁波模拟】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，设

D ．)(x h 关于1-=x 对称【答案】C

2．已知f (x )是定义在R 上的函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋2f （2），若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且f （1）＝2，则f (2011)等于( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 【答案】A 【解析】

是偶函数，所以f （2）＝f (－2)，在f (x ＋4)＝f (x )＋2f （2）中，令x ＝－2得f （2）＝f (－2)＋2f （2），所以f （2）＝0，于是f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期等于4，于是f (2011)＝f (－1)＝f （1）＝2，故选A ．

3．已知函数()f x 与()g x 的定义域为R ，有下列5个命题： ①若()()22f x f x -=-，则()f x 的图象自身关于直线y 轴对称； ②()2y f x =-与()2y f x =-的图象关于直线2x =对称； ③函数()2y f x =+与()2y f x =-的图象关于y 轴对称；

④()f x 为奇函数，且()f x 图象关于直线1

x =

对称，则()f x 周期为2； ⑤()f x 为偶函数， ()g x 为奇函数，且()()1g x f x =-，则()f x 周期为2．其中正确命题的序号是____________．【答案】①②③④

对于③，设F (x )=f (x +2)，则f (2?x )=F (?x )，由于F (x )与F (?x )图象关于y 轴对称，所以函数y =f (x +2)与y =f (2?x )的图象关于y 轴对称，得③正确；对于④，因为f (x )图象关于直线1

x =

对称，所以f (?x )=f (1+x )，结合函数为奇函数，得f (?x )=?f (x )，故f (x +1)=?f (x )

由此可得f (x +2)=?f (x +1)=f (x )，得f (x )是周期为2的周期函数，故④正确；对于⑤，f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，且g (x )=f (x ?1)，则由于g (x )+g (?x )=0，得f (x ?1)+f (?x ?1)=0，又因为f (?x ?1)=f (x +1)，所以f (x ?1)+f (x +1)=0，

由此可证出f (x +4)=f (x )，得f (x )是周期为4的周期函数，故⑤不正确故答案为：①②③④

考向6 三角函数与对称性、周期性相结合

【例12】【20183，其图像相

【答案】3

【解析】∵函数f （x ）的最大值为3，∴A +1=3，即A =2

T=π，∴ω=2，∴函数f （x ）的解析式为：y =2sin （2x +1；

【例13】【2017江苏无锡模拟】将函数()sin y x x x =+∈R 的图像向左平移个()0m m >单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是【答案】

【跟踪练习】

【2015高考天津卷文】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，x ∈R ，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为．

【解析】解法一：因为()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的递增区间长度为半个周期，所以由()f x 在区

，又()f x 的图像关于直线x ω=对称，，且

()()

2222πππsin cos sin 12π442f k k ωωωωω??=+=+=?+=+∈ ??

?Z ，由0ω<≤

2ππ422

ωω+

=?= 解法二：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增可得，当(),x ωω∈-时，()cos sin f x x x ωωωω'=-=

cos 04x ω?

?+≥ ??

?恒成立，由22πππ,444x ωωω??+∈-++ ???，可得，2ππ42ω+≤且2ππ42ω+≥-，

解得0ω<≤()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，所以()f

ω是()f x 的最大值，

()()

2222πππsin cos sin 12π442f k k ωωωωω??=+=+=?+=+∈ ??

?Z ，由0ω<≤

2ππ422

ωω+

=?= 考向7 周期性、对称性与函数的零点、方程的根及函数图象的交点【例14】【2018河南豫南九校之间】定义在上的函数

关于(2，2)中心对称，故方程f (x )=g (x )在区间[?1，5]上的根就是函数y =f (x )和y =g (x )

的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为，，，其中和关于(2，2)中心对称，∴

+=4，=1，故

+=5，故选C ．

【例15】【2017湖南浏阳一中6月考】已知定义在上的偶函数满足：

围是（） A ．(5，6) B ．(6，8) C ．(7，8) D ．(10，12) 【答案】B

都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两

【例16】已知周期函数()f x 的定义域为R ，周期为2，且当11x -≤≤时，2

()1f x x =-．若直线

y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为( )

A ．3{|24a a k =+或52,}4k k Z +∈

B ．1{|24a a k =-或3

2,}4

k k Z +∈ C ．{|21a a k =+或5

2,}4

k k Z +∈ D ．{|21a a k =+,}k Z ∈

【答案】C

【综合点评】函数周期性的应用主要有两个方面，其一是求函数值，理论依据是周期性的定义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是利用周期函数图象重复出现的特征，先画出一个周期内的函数图象，然后依次向左向右平移周期的整数倍即得整个定义域内的函数图象．

【例17】【2016高考新课标II 卷】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1

x y x

与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则1

()m

i i i x y =+=∑（）

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

2018年高考数学黄金100题系列第31题三角函数的图像文

第31题三角函数的图象 I ．题源探究·黄金母题例1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),23y x x R π=-∈；（2）2sin(+),4 y x x R π =-∈；（3）1sin(2),5y x x R π=--∈；（4）3sin(),63 x y x R π=-∈；【解析】（1）（2）（3 ）（4 ）精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第16题）【母题评析】本考查了如何利用五点法去画函数 sin()y A x b ω?=++的图象，同时培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ω?=++的性质有了进一步的了解，为以后解决由图定式问题奠定了基础．【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．例2．（1）用描点法画出函数sin ,[0, ]2 y x x π =∈的图象．（2）如何根据（1）题并运用正弦函数的性质，得出函数 sin ,[0,2]y x x π=∈的图象；（3）如何根据（2）题并通过平行移动坐标轴，得出函数【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第17题【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了如何用五点法作图、如

何利用对称性进行图象变换以及图象的平移变换．培养了学生的作图、识图能力，对 sin()y A x b ω?=++的性质有了进一步的了解．【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第18题【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了函数图象的平移变换．加深了学生对周期变换、振幅变换、相位变换的进一步了解．【思路方法】使学生进一步认识到数形结合思想在解决函数的问题中的地位，以便引起学生对数形结合思想的重视．

函数对称性周期性全解析

函数对称性与周期性研究学习报告新高2011级35班数学一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数 )(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =- 也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。若写成： )()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得证。若写成： c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称（3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、周期性：（1）函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、)()(x f T x f -=+ B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+= +或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形

高考理科数学压轴题及答案汇编

高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)，由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2

(新)高中数学黄金100题系列第65题空间角的计算理

第65题空间角的计算 I ．题源探究·黄金母题【例1】如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD=DC,点E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F. 图3.2-7 E A D B C P F (1)求证:PA//平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D 的大小. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）600 . 【解析】如图所示建立空间直角坐标系,点D 为坐标原点,设DC=1. y x z 图3.2-8 G E A D B C P F （3）解:已知PB ⊥EF,由(2)可知PB ⊥DF,故 ∠EFD 是二面角C-PB-D 的平面角. 设点F 的坐标为(x,y,z),则)1,,(-=z y x . 因为k =,所以0=?, 所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0, 所以31= k ，点F 的坐标为)3 2 ,31,31(。又点E 的坐标为)21 ,21,0(，所以)6 1 ,61,31(--=，因为 cos FE FD EFD FE FD ?∠= =， 1111121(,,)(,,)136633361266 3--?---==? 即∠EFD=600 ，即二面角C-PB-D 的大小为600 . 【点睛】直线与平面平行与垂直的证明,二面角大小的求解是高热点中的热点,几乎每年必考,而此例题很好的展现了,用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小. II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标II 理10】已知直三棱柱

函数周期性与对称性的函数方程专题

函数周期性与对称性的函数方程【问题提出】问题1：满足下列条件的函数是否为周期函数？为什么？如果是，请写出它的一个正周期. （1）)()(a x f x f += ；（2）)()(a x f x f +-=；（3）)()(a x f b x f +=+ （4）) (1 )(a x f x f +± =.（其中0,0>>b a ）问题2：满足下列条件的函数是否具有对称性？为什么？如果有，请写出它的对称性质. （1）)()(x a f x a f -= +；（2）)()(x b f x a f -=+ （3）)()(x a f x a f --=+；（4）)()(x b f x a f --=+ 【探究拓展】探究1：设()b a ,为函数) (x f y =的对称中心，则必有等式 ________________________ 变式：（复旦自主招生）写出函数)3sin()(-+=x x x f 的一个对称中心为____________ 探究2：已知奇函数 )(x f 的图像关于直线2-=x 对称，当[]2,0∈x 时， ,2)(x x f = 则______)9(=-f 变式1：奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且1)1(=f ，则 =+)9()8(f f _____ 1

变式2：已知偶函数)(x f 满足)(1 )2(x f x f - =+，当 32<---≤-=0 ),2()1(, 0),2(log )(2x x f x f x x x f ，则) 2013(f 的值为_______. -1 变式：定义在 R 上的函数 ) (x f 满足 ?? ?>---≤=-. 0),2()1(,0,3)(1x x f x f x x f x ，则 =)2014(f ______. 9 2- 探究4：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点

函数对称性与周期性关系

函数对称性与周期性关系【知识梳理】一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，

2017高考数学压轴题+黄冈压轴100题

专题21压轴选择题12019年高考数学文走出题海之黄金100题系列

专题1 压轴选择题1 1．设函数，若，则实数a的取值范围是( ) A．B． C．D．【答案】C 【解析】当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C． 2．已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（） A．B．C．D．【答案】D 【解析】当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为. 故选：D 3．已知函数，且，则不等式的解集为 A．B．C．D．【答案】C 【解析】函数，可知时，，所以，可得解得．不等式即不等式，

可得：或，解得：或，即故选：C． 4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则( ) A．B．C．D．【答案】D 【解析】由可得，，所以，故函数的周期为，所以，又当时，，所以，故．故选D． 5．在中，，，，过的中点作平面的垂线，点在该垂线上，当时，三棱锥外接球的半径为（） A．B．C．D．【答案】D 【解析】因为，，，所以，因此为底面外接圆圆心，又因为平面，所以外接球球心在上，记球心为，连结，设球的半径为，则，所以，又，所以在中，，即，解得.故选D

6．已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（） A．B．C．D．【答案】B 【解析】由，及得，，，，如图，不妨设点在轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径，令，整理得，则为这个一元二次方程的两不等实根，所以于是圆柱的体积，当且仅当，即时，等号成立.故选B 7．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】根据题意，令其导数，若函数满足，则有，即在上为增函数，又由，则，，又由在上为增函数，则有；即不等式的解集为（0，2）；故选：D．

函数的周期性与对称性

第5炼函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

函数的对称性与周期性

(新)高中数学黄金100题系列第64题空间垂直关系的证明理

第64题空间垂直关系的证明 I ．题源探究·黄金母题【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：（1）1B D ⊥平面11A C B ；（2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ?的重心（三角形三条中线的交点）．【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥，又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1 111DD B D D = ∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥．同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ．（2）连接11A H BH C H ，，，由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ?的外心.又11A BC ?是正三角形， ∴点H 为11A BC ?的中心，也为11A BC ?的重心． H C 1 D 1 B 1 A 1 C D A B II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角 A -P B - C 的余弦值. 【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出 AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB ∥CD ，就可证明出AB ⊥平面PAD .进而证明平面PAB ⊥平面PAD .试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ， CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD .又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）略【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D –A E –C 的余弦值. 【答案】(1)证明略；(2) 7 7 . 【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；解析：（1）由题设可得，ABD CBD ???，从而 AD DC = 又ACD ?是直角三角形，所以 0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

( 函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ > )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： · 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+-

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称（2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得证。若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称（3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、周期性：（1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）

数学专题高考数学压轴题15

新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数 2复合函数 3创新性函数 4抽象函数 5导函数（极值，单调区间）--不等式 6函数在实际中的应用 7函数与数列综合 8数列的概念和性质 9 Sn与an的关系 10创新型数列 11数列与不等式 12数列与解析几何 13椭圆 14双曲线 15抛物线 16解析几何中的参数范围问题 17解析几何中的最值问题 18解析几何中的定值问题 19解析几何与向量 20探究性问题

15.抛物线例1．已知抛物线C ：2 2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=?NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）如图，设 211(2) A x x ，， 222(2) B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得 122k x x += ，121x x =-， ∴ 1224N M x x k x x +=== ，∴N 点的坐标为248k k ?? ???，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为 284k k y m x ? ?-=- ? ??，将2 2y x =代入上式得2 2 2048mk k x mx -+-=，直线l 与抛物线C 相切， 22 22282()0 48mk k m m mk k m k ??∴?=--=-+=-= ???，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB = ，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点， 1 ||||2MN AB ∴= ．由（Ⅰ）知121212111 ()(22)[()4] 222M y y y kx kx k x x =+=+++=++ 2 2142224k k ??=+=+ ???． MN ⊥ x 轴，22216 ||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-= ．又 222121212 ||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++- x A y 1 1 2 M N B O

2019年高中数学黄金100题系列第61题三视图与直观图问题理

2019年高中数学黄金100题系列第61题三视图与直观图问题理 I ．题源探究·黄金母题【例1】如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积与体积（尺寸如图，单位： cm ，π取3.14，结果精确到2 1cm ，可用计算器）【解析】由奖杯的三视图知奖杯的上部是直径为4cm 的球，中部是一个四棱柱，其中上、下底面是边长分别为8cm 、4cm 的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20cm 、8cm 的矩形，另两个侧面是边长分别为20cm 、4cm 的矩形，下部是一个四棱台，其中上底面是边长分别10cm 、8cm 的矩形，下底面是边长分别20cm 、16cm 的矩形，直棱台的高为2cm ，所以它的表面各和体积分别为11933 cm 、10673 cm ．【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图,具体方法为； II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标1理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】B 【解析】分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体平面内只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和为1 2(24)2122 ?+?? =，故选 B. 【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 【例3】【2017课标II 理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

(完整版)常见函数对称性和周期性

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称