第7题 分段函数
I ．题源探究·黄金母题
【例1】已知函数()()()4,0,
4,0
x x x f x x x x +≥??=?-
()3f -，()1f a +的值．
【解析】
()()()4,0,4,0
x x x f x x x x +≥??=?
-
()()11145f ∴=?+=，(3)3(34)21f -=-?--=， ()(1)(5),1,
1(1)(3), 1.a a a f a a a a ++≥-?+=?
+-<-?
精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修一第45页B 组第4题
【母题评析】本题以分段函数为载体，考查函数的求值问题．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到既考查运算能力与及分类讨论思想的应用的目的．
【思路方法】考察自变量的值与分段函数每一段函数的定义域关系，正确选用解析式．如果自变量以参数形式出现，注意考虑分类讨论思想的应用．
II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2017江苏14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2
,,(),,x x D f x x x D ?∈?
=????
其中集合
1,*n D x x n n -??
==∈????
N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．
【答案】8
【解析】解法一：由于()[)[)0,1,lg 0,1,f x x ∈∴∈则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈时，设
*,,,2q
x p q p p
=∈≥N ，且,p q 互质．若lg x Q ∈ ，则
由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2n x m n m m
=∈≥N ，且,m n 互质．因此10
n m
q p =
，则10()n
m q p
= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ?．因此lg x 不可能与每个
【命题意图】本类题考查分段函数的求值
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往与分段函数的求值、分段函
数的性质、分段函数图象及应用、分段函数与其它知识（不等式、方程、程序框图等）知识的交汇或综合．
【难点中心】分段函数也是函数，因此主要也是要关心它的图象与性质，以及图象与性质的应用．其难点主要体现在：（1）函数的求值问题必须考虑自变量的所属
范围，无法判断时须利用分类讨论思想解决；（2）分段函数的图象画法，因为它的每一段多数由基本初等函数构成，处理分界点的图象是一个难点，当函数是非基本函数图象时，常常要联系其它知识来作
周期内x D ∈对应的部分相等，
只需考虑lg x 与每个周期x D ?的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ?的部分，且1x =处
()1
1
lg 1ln10ln10
x x '=
=<，则在1x =附近仅有一个交点，
一次方程解的个数为8．
解法二：D 是有理数集，∴自变量x D ∈，所对应的函数值都为有理数，且x D ∈在函数y x =上对应的空心点函数值也为有理数，令lg y x =等于这些函数值与空心点函数值所求得x 在区间[)0,1内皆为无理数，故 lg y x =不能与函数上
123
,,,234
x =
所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案
为8 个．
【例3】【2017天津文8】已知函数2,1,()2
, 1.
x x f x x x x ?+
=?+≥??
设a ∈R ，若关于x 的不等式()2
x
f x a ≥
+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （ ）
A ．[]2,2-
B ．232??-??
C ．2,23?-?
D ．2323?-?
【答案】A ． 【解析】
试题分析：首先画出函数()f x 的图象，当0a >时，
（如利用导数）；（3）求解分段函数的性质中的参数问题，常常要用到数形结合法、分裂参数法、构造法等数学方法来解决．
()2
x
g x a =
+的零点是20x a =-<，零点左边直线的斜率1
12
-
>-，不会和函数()f x 有交点，满足不等式恒成立，零点右边()2x g x a =+，函数的斜率1
2k =，根据图象分析，当
0x =时，2a ≤，即02a <≤成立，同理，若0a <，函数
()2
x
g x a =
+的零点是20x a =->，零点右边()()2x g x a f x =
+<恒成立，零点左边()2
x
g x a =--，根据图象分析当0x =时，2,2a a -≤∴≥-，即20a -≤<，当0a =时，()()f x g x ≥恒成立，所以22a -≤≤，故选A ．
III ．理论基础·解题原理 考点一 分段函数的概念
（1）定义：在函数的定义域内，对于自变量x 不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数．函数的解析式中的绝对值含有未知数x ，此函数实质上也是分段函数．
（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集． （3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． 考点二 分段函数图象
（1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的．
（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心． 考点三 分段函数的性质
1．分段函数的单调性：
判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断
函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性．
2．分段函数的奇偶性：
判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行：
①判断定义域是否是对称区间；②对定义域中任意一个实数x，判断()
f x
-与()
f x的关系．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系．
【技能方法】
已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式，注意取值范围的大前提，利用函数的单调性寻找关于参数的不等式（组）．若能利用数形结合可加快求解的速度．
【易错指导】
（1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解；
（2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在0
x=有定义时，忽视对(0)
f
的验证；
（3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨；
（4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误；V．举一反三·触类旁通
考向1 求解分段函数的函数值
【例1】【2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考】已知函数()
1
2
2,0,
{
1log,0,
x x
f x
x x
+≤
=
->
则()
()3
f f=（）
A．
4
3
B．
2
3
C．
4
3
- D．3-
【答案】A
【例2】【2017高考山东卷文数】设()()
,01
{ 21,1x x f x x x <<=-≥，若()()1f a f a =+，则1f a ??
= ???
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 【答案】C
【名师点睛】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
【例3】【2018河北邢台高一上学期第一次联考】设()=f x 2,0,
{0,0, 2,0,
x x x >=-< ()=g x 1,,
{ 1,,
U x Q x C Q ∈-∈则
()πf g ????的值为 ( )
A ．2
B ．0
C ．1-
D ．2- 【答案】D
【解析】因为π 为无理数，所以()π1g =-，又因为10-< ，所以()()π12f g f ??=-=-??， 故选D ．
【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、复合函数求函数值，属于中档题．对于分段函数解析式的考查是高考命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰．本题解答分两个层次：首先求出()πg 的值，进而得到()πf g ????的值． 【例4】【2018山西45校第一次联考】函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()2f x f x +=，若在区间[]
1,1-上()2,10,
(={
2,01,
x ax x f x a x e x +-≤≤-≤≤）则()()20172018f f +=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2018 【答案】C
【解析】由()()2f x f x +=知，()f x 是周期为2的函数，故()()11f f -=，代入解析式，得
()22a a e
-+=-，解得
2
a =，从而
()
()22,10,
22,01
x
x x f x x e x +-≤≤??=?-≤≤??，故
()()()()20172018102f f f f +=+=．故选C ． 【跟踪练习】
1．【2018名校大联考第二次联考】设函数()()3,1,
{ log 24,1,
x a a x f x x x ≤=+>且()16f =，则()2f =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6 【答案】C
【解析】函数()()3,1,
{
log 24,1,
x a a x f x x x ≤=+>所以()136f a ==，解得2a =．所以()()222log 224log 83f =?+==．故选C ．
2．设函数()31,1
,2,1
x x x f x x -
（A ）2,13?????? （B ）[]0,1 （C ）2,3??+∞????
（D ）[)1,+∞ 【答案】C
3．【2018安徽滁州9月联合质量检测】设()f x 是定义域为R ，最小正周期为3π的函数，且在区间
(],2ππ-上的表达式为()()
()02{ 0sinx x f x cosx
x ππ≤≤=-<<，则30860136
f f π
π
????
-
+= ? ?????
（ ） A 3 B ．3-．1 D ．-1 【答案】D 【解析】3086012727cos 1363
636f f f f sin ππ
ππππ??
????
????
-+=-+=-+=- ? ? ? ? ?
??????
????
． 故选D ．
考向2 求分段函数的最值（或值域）
【例5】【2018湖南永州一模】定义{}max ,,a b c 为,,a b c 中的最大值，设{}
max 2,23,6x M x x =--，则M 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】C
【例6】【2017江苏南京模拟】设常数1k >，函数()()21,01{
1,1
x x x y f x kf x kx x --≤<==--≥，则()f x 在区间
()0,2上的取值范围为__________．
【答案】(]
2,1k - 【解析】当
01x ≤<时，令cos ,0,2x πθθ??=∈ ???，则,444πππθ?
???-∈- ????
???，
()[)21sin cos 2sin 1,14f x x x πθθθ?
?=--=-=-∈- ??
?；当1x ≥且02x <<时，则011x ≤-<，
令1cos ,0,
2x πθθ?
?
-=∈ ??
?，则1cos ,0,2x πθθ?
?
=+∈ ???， ,444πππθ?
???
-∈- ????
???，函数()()[)2sin 2,04f x kh x k k k πθ?
?==--∈- ??
?所以当
()0,2x ∈时，()f x 的取值范围是
[)[)[)2,01,12,1k k -?-=-，应填答案(]2,1k -．
点睛：解答本题的关键是运用三角换元法探求分段函数()
()21,01{
1,1
x x x x kf x kx x --≤<=--≥，则()f x 在区间
()0,2上的值域．求解时充分运用分类整合思想，对定义域()0,2x ∈分01x ≤<和12x ≤<两种情形进
行分类整合，特别在最后的函数值域的整合过程中，充分利用了1k >这一题设条件，从而使得问题获解． 【例7】【2017湖南师范大学附属中学模拟二】已知函数f(x)＝x|x 2
－12|的定义域为[0，m]，值域为[0，am 2
]，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】a ≥1
函数f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am 2
]，分为以下情况考虑： ①当0 )]，有m(12－m 2 )＝am 2 ，所以a ＝12 m －m ，因为0 ②当2≤m ≤4时，函数的值域为[0，16]，有am 2 ＝16，所以a ＝ 216 m ，因为2≤m≤4，所以1≤a≤4； ③当m>4时，函数的值域为[0，m(m 2－12)]，有m(m 2－12)＝am 2 ，所以a ＝m －12m ，因为m>4，所以a>1． 综上所述，实数a 的取值范围是a≥1． 【跟踪练习】 1．已知函数223,1 ()lg(1),1x x f x x x x ? +-≥?=??+ ，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是___________． 【答案】0，3-22 【解析】0)1())3((==-f f f ；当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1 【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段上，分段函数常与数形结合、分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注． 2．【2015高考福建理14】若函数()6,2, 3log ,2,a x x f x x x -+≤?=?+>? （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ， 则实数a 的取值范围是___________．] 【答案】(1,2] 【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用． 考向3 分段函数的奇偶性 【例8】【2016届北京市海淀区高三第二学期期中练习理】已知函数sin(),0, ()cos(),0 x a x f x x b x +≤?=?+>?是偶函数， 则下列结论可能成立的是（ ） A ．,4 4 a b π π = =- B ．2,36a b ππ= = C ．,36a b ππ== D ．52,63 a b ππ == 【答案】C 【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性、两角和与差的正弦与余弦公式．若0x >，则0x -<，因为 sin()sin cos cos sin x a x a x a +=+，cos()cos cos sin sin x b x b x b -+=+，且()f x 为偶函数，所以 由题意知sin cos cos sin x a x a +＝cos cos sin sin x b x b +恒成立，所以必有sin cos cos sin a b a b =??=?，观察各选 项知，只有C 适合，故选C ． 【点评】分段函数的奇偶性主要有两种题型：（1）判断已知函数的单调性，通常根据判断定义域是否对称、确定()f x 与()f x -的关系来判断；（2）根据函数的奇偶性求解参数问题，此类的解答通常要利用 ()()f x f x =-或()()f x f x =--建立方程来解决． 【跟踪练习】 设奇函数cos 30 ()cos sin 0 a x x c x f x x b x c x ?+≥?=?+- 【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性．因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =，即cos 03sin 0a c -+ ＝cos0sin 0b c +-，所以21a c +=；由()()022 f f π π+-=，得30c b c -+--=，所以3b =-；由()()0f f π+-π=，得10a c c -+--=，所以1a =-，所以1c =，所以0a c +=． 【方法点拨】已知函数为奇函数求相关的参数时，须注意如果函数()f x 在0x =时有定义，则必有 (0)0f =，但如果在0x =时没有定义，则通常考虑利用奇函数的定义或取特殊值求解． 考向4 分段函数的单调性 【例9】【2018安徽滁州9月联合质量检测】若函数()()2 2f x x x a x a =+--|在区间[] 3,0-上不是单 调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()3,00,9-? B ．()()9,00,3-? C ．()9,3- D ．()3,9- 【答案】B 点睛：含绝对值的函数问题，一般的思路是去绝对值，即将函数转成分段函数，含参数时，只需讨论参数范围即可． 【例10】【2017北京朝阳区二模】设函数则 ___；若 在其定义域内为单调递 增函数，则实数的取值范围是____． 【答案】 2 【解析】 ，由于 在其定义域内为单调递增函数，所以 ．填 (1)．2 (2)． ． 【例11】【2017山东济宁3月模拟】若函数()()12,2,{ log ,2 a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的 取值范围是__________． 【答案】2? ?? ?? 【解析】由题意得，因为函数()()12,2,{ log ,2 a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则1001 {01a a a -<< ()2 log 2122 2a a a a ≤-?-?≥ ，综合可得实数a 的取值范围是2,12??????? ． 【跟踪练习】 1．【2017浙江宁波效实中学高三上期中考试理科】函数21(2) ()1(2)ax x x f x ax x ?+->=?-≤? 是R 上的单调递减函 数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．104a - ≤< B ．1 4 a ≤- C ．114a -≤≤- D ．1a ≤- 【答案】D 【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是21421a a -≥+-，将分段函数在R 上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升． 2．【2018江苏南京上学期期初学情调研】已知函数()22,0{ ,313,0 x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整数x ， 使得 ()0f x a x ->成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[0，2]∪[3，8] 【解析】 ()()0 f x a f x a x x --= -表示()y f x =上的点()() ,x f x 与()0,a 在线的斜率，做出()y f x =的图象，由图可知， []0,2a ∈时，有一个点整数点()() 1,1f 满足()00 f x a x ->-，符合题意， ()2,3a ∈时， 有两个整数点()()()() 1,1,1,1f f --满足 ()00 f x a x ->-，不合题意， []3,8a ∈时，只有一个点 ()()1,1f --满足 ()00 f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足 ()00 f x a x ->-不合题意，故答案为[][]0,23,8? 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 考向5 分段函数的对称性 【例12】【2018齐鲁名校教科研协作体第一次调研】已知()2,0{ 2,0 lnx x f x x x x ->=+≤，若()=f x a 有4个 根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是________________． 【答案】10,2e e ? ?+ - ??? 【跟踪练习】 若函数 ,0 () ln,0 ax a x f x x x x +≤ ? =? > ? 的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数a的取值范围是（） A． 1 (0, ) e B． 1 (0,)(1,)e e C．(1,) +∞D．(0,1)(1,) +∞ 【答案】D 【名师点睛】求解分段函数的图象关于原点存在对称点问题的策略：首先将y轴一侧的函数图象作关于原点的对称图象，然后考虑此图象与原函数在此侧的函数图象之间的交点问题，通常根据它们的位置关系可建立关于参数的不等式求解． 考向6 分段函数的图象交点 【例13】【2016届西安中学高三第四次仿真理】已知定义在R上的函数() f x满足：（1）()(2)0 f x f x +-=，（2）(2)() f x f x -=-；（3）在[1,1] -上表达式为 2 1,[1,0] () cos(),(0,1] 2 x x f x x x π -∈- =? ∈ ? ? ，则函数() f x与函数 2,0 () 1,0 x x g x x x ?≤ =? -> ? 的图象在区间[3,3] -上的交点个数为（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】本题考查函数的对称性、周期性、函数图象的交点．由()(2)0f x f x +-=，知函数()f x 的图象关于点(1,0)对称．由(2)()f x f x -=-，知函数()f x 的图象关于直线1x =-对称，由此作出函数()f x 的图象， 同时在同一坐标系中作出函数()y g x =的图象，如图所示，由图可知两个函数在区间[3,3]-上的交点个数为6，故选B ． 【知识拓展】若函数()f x 满足(2)()2f a x f x b -+=或()()2f a x f a x b -++=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称；若函数()f x 满足(2)()f a x f x -=或()()f a x f a x -=+，则函数()f x 的图象关于直线x a =对称． 【跟踪练习】 【2018海南八校联考】设函数()32231,0 { 21,0 x x x x f x axe x -->=-≤，其中0a >． (1)若直线y m =与函数()f x 的图象在(] 0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； (2)若()f x a ≥-对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 13m -≤≤或2m =-；(2) ,2e a e ?? ∈+∞?? -?? ． (2)当0x ≤时， ()()'21x f x a x e =+， 0a >，令()'0f x =得1x =-； 令()'0f x >得10x -<≤， ()f x 递增；令()'0f x <得1x <-， ()f x 递减，∴()f x 在1x =-处取得极小值，且极小值为()211a f e -=--，∵0a >，∴210a e --<，∵当212a e --≥-即02 e a <≤时， ()()min 12f x f ==-，∴2a -≤-，即2a ≥，∴无解，当212a e --<-即2 e a >时， ()()max 211a f x f e = -=--，∴21a a e -≤--，即2e a e ≥-，又22e e e >-，∴2 e a e ≥ -，综上， ,2e a e ??∈+∞??-?? ． 点睛：函数交点问题，研究函数的单调性找函数最值，求参；恒成立求参，对于分段函数来讲，分段讨论最值即可． 考向7 分段函数的零点 【例14】【2018辽宁庄河高级中学、沈阳二十中第一次联考】函数()() ()820{ 1 022sin x x f x f x x π-≤=? ?-> ??? ，则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】D 当 2 x π π<≤时， 02 2 x π π <- ≤ ，据此可得：()114sin22sin22222f x f x x x ππ??? ?= -=?-=- ? ???? ?； 当32x ππ<≤ 时， 22x ππ π<-≤，据此可得：()112sin2sin22 222f x f x x x ππ????? ?=-=?--= ? ?????? ???； 当54x π = 时， 55sin 214 4f π π???? =? = ? ???? ? ，而4 45log log 414π<=，则函数4log y x =与函数()f x 在区间3, 2 ππ? ? ? ? ? 上有2个交点，很明显，当32x π>时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得：函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个． 点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【例15】【2018吉林省百校联盟九月联考】已知函数() 1 2,1, 2 { 1 2,1, 2 x x x x x f x x -> = -≤ 函数()() g x f x m =-，则下列说法错误的是（） A．若 3 2 m≤-，则函数() g x无零点 B．若 3 2 m>-，则函数() g x有零点 C．若 33 22 m -<≤，则函数() g x有一个零点 D．若 3 2 m>，则函数() g x有两个零点 【答案】A 【解析】作出函数() f x的图象如图所示： 观察可知：当3 2 m =-时，函数( ) g x 有一个零点，故A 错误．故选A 【跟踪练习】 1．【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数()()222 ,12{ log 1,1 x x f x x x +≤=->，则函数()()()3 22 F x f f x f x =-- 的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】A 点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t 对应几个x ． 2．【2017天津二模】已知函数()21,0,{ log ,0, x x f x x x +≤=>则函数()()1y f f x =+的所有零点构成的集合为 _________． 【答案】113,,224? -- ?? 【解析】因为函数()21,0,{ log ,0, x x f x x x +≤=>所以()()10f f x +=等价于()()0{ 110 f x f x ≤++=或 ()()20{ log 10 f x f x >+=，求解可得()()1 22 f x f x =-= 或，即12{ 0 x x +=-≤或20{ log 2 x x >=-或11{ 20 x x +=≤或 20 { 1log 2 x x >= ，求解可得113242x x x x =-==-=或或或，故答案为113,,,224?? --???? ． 考向8 分段函数与方程的关系 【例16】【2018甘肃兰州西北师范大学附属中学高三一调】若函数()3,0 { ,0 x x e x f x e x x +≤=>，则方程 ()()330f f x e -=的根的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解． 【例17】【2018湖南永州一模】定义函数()()(),{ ,f x x a h x g x x a ≤=>， ()f x x =， ()224g x x x =--， 若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()(),54,-∞-?+∞ 【跟踪练习】 1．已知函数|ln |)(x x f =，? ??>--≤<=1,2|4|1 0,0)(2 x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为___________． 【答案】4 【解析】由题意将问题转化为求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为221,011()7,21,12x y g x x x x x <≤?? =-=-≥??-< 221,011()5,23,12x y g x x x x x -<≤?? =--=-≥??-< ，所以函数()y f x =与1()y g x =--有两个交点，因此共有4个交点． 【名师点晴】方程的根也就是与方程对应的函数的零点，因此方程根的个数问题，可以考虑通过构造相应的函数，将其转化为函数零点个数多少问题求解，也可以考虑直接通过分离，转化为函数的值域问题求解． 2．【2018河南郑州模拟】已知函数()222,0 { 2,0 x x x f x x x x -+≥=-<，若关于x 的不等式 ()()2 2 0f x af x b ??+- 【答案】38a <≤ 【解析】画出()f x 的图象如图所示 考向9 分段函数与不等式 【例18】【2018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】设函数()() () 1221{ 1log 1x x f x x x -≤=-> ，则满足()1 f x ≤的x 的解集是 ________． 【答案】[ )1,+∞ 【解析】由分段函数可知，若1x ≤，由()1f x ≤，得121x -≤，即10,1x x -≤∴≥，此时=1x ，若1x >， 由()2f x ≤，得21log 2x -≤，即2log 1x ≥-，即1 2 x ≥ ，此时1x >，综上， 1x ≥，故答案为[)1,+∞． 【例19】【2018河南林州第一中学10月调研】已知函数()()1,0 { 1 1,02 ln x x f x x x +>=+≤，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ） A ．[)32ln2,2- B ．[]32ln2,2- C ．[]1,2e - D ．[ )1,2e - ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 【命题规律】 1. 根据待定系数法、几何公式、解三角形确定函数解析式 2. 利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围. 【真题展示】 1【2009江苏，19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为 m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为 n n a +.如果一个人对两种交易(卖 出或买进)的满意度分别为 1h 和2h .现假设甲生产A 、B 两种产品的 单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为 A m 元和 B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为 h 乙(1)求h 甲和h 乙 关于 A m 、 B m 的表达式；当 35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35 A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时， 甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当 选取 A m 、 B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立， 但等号不同时成立？试说明理由.【答案】(1)详见解析； (2) 20,12B A m m == 时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5 (3) 不能 故当1120 B m =即20,12B A m m ==时， （3）由（2）知：0h 由05 h h ≥=甲得： 12552A B A B m m m m ++?≤， 所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立. 2【2015江苏高考，17】（本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边 界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ， ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y x b =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值； （2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 第31题 三角函数的图象 I ．题源探究·黄金母题 例1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）1sin(3),23y x x R π=-∈； （2）2sin(+),4 y x x R π =-∈； （3）1sin(2),5y x x R π=--∈；（4）3sin(),63 x y x R π=-∈； 【解析】 （1） （2） （3 ） （4 ） 精彩解读 【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第16题） 【母题评析】本考查了如何利用五点 法 去 画 函 数 sin()y A x b ω?=++的图象，同 时培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ω?=++的性质有 了进一步的了解，为以后解决由图定式问题奠定了基础． 【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别 是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式． 例2．（1）用描点法画出函数sin ,[0, ]2 y x x π =∈的图象． （2）如何根据（1）题并运用正弦函数的性质，得出函数 sin ,[0,2]y x x π=∈的图象； （3）如何根据（2）题并通过平行移动坐标轴，得出函数 【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第17题 【母题评析】本题是一道综合性问 题，考查了如何用五点法作图、如 何利用对称性进行图象变换以及图象的平移变换．培养了学生的作图、识图能力，对 sin()y A x b ω?=++的性质有了 进一步的了解． 【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式． 【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第18题 【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了函数图象的平移变换．加深了学生对周期变换、振幅变换、相位变换的进一步了解． 【思路方法】使学生进一步认识到数形结合思想在解决函数的问题中的地位，以便引起学生对数形结合思想的重视． 考点4 分段函数以及应用 一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总: （1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. （2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. （3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 （4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止. （5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当 x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数. （6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题. （7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决. （8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止. （9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值. （10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可. （11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集. （12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围. 2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题. B 1 .函数 y = a | x | (a > 1)的图象是 ( y y o x o A B B （ ） y o 1 x -1 o 函数图象 ) y 1 1 x o x C y y x x o 1 y 1 o x D y -1 o x A B C B 3．当 a>1 时，函数 y=log a x 和 y=(1 － a)x 的图象只可能是（ ） y A4．已知 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象如图所示 yf ( x ) x O 则函数 F(x)=f(x) ·g(x) 的图象可以是 (A) y y y O x O x O x A xa x B C B 5．函数 y (a 1) 的图像大致形状是 （ ） | x | y y y O f ( x) 2x x O 1 O x （ D 6．已知函数 x x x 1 ，则 f x （ 1－ x ）的图象是 log 1 2 y y y A B C 2 。 。 1 。 － 1 D y y g( x) O x y O x D y O ） x y D 2 O x A B C D D 7．函数 y x cosx 的部分图象是 ( ) A 8．若函数 f(x) =x 2 +bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f /(x)的图象是 （ ） y y y y o x o x o x o x A B C D A 9．一给定函数 y f ( x) 的图象在下列图中，并且对任意 a 1 (0,1) ，由关系式 a n 1 f (a n ) 得到的数列 { a n } 满足 a n 1 a n (n N * ) ，则该函数的图象是 （ ） A B C D C10．函数 y=kx+k 与 y= k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） x y y y y O x O x O x O x A 11．设函数 f （ x ） =1－ 1 x 2 （－ 1≤ x ≤0）的图像是（ ） A B C D 去伪存真 巧解函数模型应用题 新课标加大了对应用问题的考查，而函数的应用问题也是训练同学们建立模型的好素材，因此也成为了高考命题的热点，本文通过比较建立不同的数学模型，来探讨如何建立效果最好的函数模型。 例：某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双， 1.3万双，1.37万双。由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好。为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程。厂里也暂时不准备增加设备和工人。假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量。 分析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型。 解：由题意知：可以得到四个点()()()()1,1,2,1.2,3,1.3,4,1.37A B C D 。 解法一：用一次函数模拟 设模拟函数为y ax b =+，以,B C 两点的坐标代入函数式，有2 1.23 1.3 a b a b +=??+=? 解得 0.11a b =??=? ，所以得0.11y x =+。 评价：此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不可能的。 解法二：用二次函数模拟 设2 y ax bx c =++，将,,A B C 三点的坐标代入，有 1,42 1.2,93 1.3,a b c a b c a b c ++=??++=??++=? 解得0.05,0.35,0.7,a b c =-??=??=? 所以2 0.050.350.7y x x =-++。 评价：有此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双。而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴方程是 3.5x =），这显然不符合实际情况。 解法三：用幂函数模拟 设y b =，将,A B 两点的坐标代入，有1 1.2 a b b +=??+=解得0.48,0.52.a b =??=? 所以0.52y =。 评价：以3,4x x ==代入，分别得到 1.35, 1.48y y ==，与实际产量差距较大。这是因为 分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)； 作图， 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13 【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1 与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等. 一、人口问题 例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）； ⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）. 二、增长率问题 例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.） 例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式. 三、环保问题 例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今 年为止，森林剩余面积为原来的2 . ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？ 四、物理问题 例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则 经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝ 2 1（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h t )21(（T 0－T a ）． 现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο 105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？ 例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）. 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题八 分段函数（学生版） 一．选择题（共19小题） 1．（2010?天津）设函数2()2g x x =-，()4,() ()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围 是( ) A ．(0,1) B ．1(0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)7 5．（2006?山东）设12 3 2,2 ()log (1),2x e x f x x x -?的解集为( ) A ．(1，2)(3?，) +∞ B ．，)+∞ C ．(1，2)?)+∞ D ．(1,2) 6．（2005?山东）函数21sin(),10 (),0x x x f x e x π-?-<<=?? 若f （1）f +（a ）2=，则a 的所有可能 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。 1 高考数学-应用题 应用题类型： 1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型 2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型 １. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案： 方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船 方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则 ++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ． 由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+< 2 ２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式； （Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然 ()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得???=+=+60200200b a b a ，解得??? ????=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()?? ???≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()?????≤≤-<≤.20020,2003 1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=?； 当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312 =??????-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值 3 10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 专题1 压轴选择题1 1．设函数，若，则实数a的取值范围是( ) A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C． 2．已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为. 故选：D 3．已知函数，且，则不等式的解集为 A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 函数，可知时，， 所以，可得解得． 不等式即不等式， 可得：或， 解得：或，即 故选：C． 4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则( ) A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 由可得，，所以，故函数的周期为，所以，又当时，，所以，故．故选D． 5．在中，，，，过的中点作平面的垂线，点在该垂线上，当 时，三棱锥外接球的半径为（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 因为，，，所以，因此为底面外接圆圆心，又因为平面，所以外接球球心在上，记球心为，连结，设球的半径为，则， 所以，又，所以在中，，即，解得.故选D 6．已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 由，及得，，，， 如图，不妨设点在轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径， 令，整理得，则为这个一元二次方程的两不等实根， 所以 于是圆柱的体积， 当且仅当，即时，等号成立.故选B 7．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 根据题意，令其导数， 若函数满足，则有，即在上为增函数， 又由，则， ，又由在上为增函数，则有； 即不等式的解集为（0，2）； 故选：D． 高中数学-分段函数及题型 【经典例题赏析】 例1．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x < ≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 例2．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图 象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿 y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线 （如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 答案A. 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 例3．判断函数2 2(1)(0) ()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时, (0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于 任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数. 例4．判断函数3 2 (0) ()(0)x x x f x x x ?+≥?=?- 个 个 高考数学压轴题精编精解 精选100题，精心解答{完整版} 1．设函数()1,12 1,23x f x x x ≤≤?=?-<≤? ，()()[],1,3g x f x ax x =-∈， 其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。 （I ）求函数()h a 的解析式； （II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。 2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<, ()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111 ,(1)22 n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证: （Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2 n n a a +< （Ⅲ）若12 ,2a =则当n ≥2时,!n n b a n >?. 3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足： （1）2 1212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）； （2）(0)()14f f π==；（3）当0, 4x π ∈［］ 时，()f x ≤2 求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围． 4．设)0(1),(),,(22 222211>>=+b a b x x y y x B y x A 是椭圆上的两点， 满足0),(),( 2211=?a y b x a y b x ，椭圆的离心率,23 =e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 5．已知数列{}n a 中各项为： 12、1122、111222、 (111) ??????14243222n ??????14243 …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n . 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．． 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填 在题中横线上) 1．复数i 1＋2i (i 是虚数单位)的实部是________． 解析：因为i 1＋2i ＝i(1－2i)5＝25＋i 5，所以复数i 1＋2i (i 是虚数单位)的实部是2 5. 答案：2 5 2．执行如图所示的程序框图，若p ＝4，则输出的s ＝________. 解析：由程序框图知s ＝12＋14＋18＋116＝15 16 . 答案：1516 3．观察下表的第一列，填空： 答案：(b1bn)n 2 4．复数z ＝(1＋i)2 1－i 对应的点在第________象限． 解析：z ＝(1＋i)21－i ＝2i 1－i ＝－1＋i ，其对应的点的坐标为(－1,1)，所以点在第二 象限． 答案：二 5．设0＜θ＜π 2，已知a1＝2cosθ，an ＋1＝ 2＋an (n∈N＋)，猜想an ＝ ________. 解析：因为0＜θ＜π2，所以a2＝2＋2cosθ＝2cos θ 2 ， a3＝ 2＋2cos θ2＝2cos θ 4 ，a4＝ 2＋2cos θ4＝2cos θ 8 ， 于是猜想an ＝2cos θ 2n －1(n∈N＋)． 答案：2cos θ 2n －1 6．根据下面一组等式： S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111. 可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n －1＝________. 解析：从已知数表得S1＝1，S1＋S3＝16＝24，S1＋S3＋S5＝81＝34，从而猜想S1＋S3＋…＋S2n －1＝n4. 答案：n4 7．复数5 3＋4i 的共轭复数是________． 解析：因为5 3＋4i ＝5(3－4i) (3＋4i)(3－4i)＝3－4i 5，所以其共轭复数为35＋ 4 5 i. 函数专题练习 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是（ ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1)? (B ）1 (0,)3 ?(Ｃ)11[,)73 ? (D )1[,1)7 ３．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意 1212,()x x x x ≠,1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (Ｄ）2 ()f x x = 4．已知()f x 是周期为２的奇函数,当01x <<时，()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (Ａ）a b c << (B )b a c << (C )c b a << （D )c a b << ５. 函数2 ()lg(31)f x x = +的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C ． 11(,)33 - D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A ．3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D . x 1 () ,2 y x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P （如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = Ａ.4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (Ａ)()()f x f x -是奇函数 (Ｂ)()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (Ｄ) ()()f x f x +-是偶函数 )[高考数学]高考数学函数典型例题
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