第10题 函数的最值与值域
I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知函数()[]2
,0,21
f x x x =-
∈+，求函数的最大值和最小值．
【答案】2
,23
--
【解析】设12,x x 是[]0,2上的任意两个实数，且12x x <，则
()()()()()()
()()
121221211212221121121111f x f x x x x x x x x x x x ??
=--- ?
++??+---=-
=-
++++－
由1202x x ≤<≤，得()()21120,110x x x x ->++>， 所以()()120f x f x <－，即()()12f x f x <， 故()f x 在区间[]0,2上是增函数．因此，函数()2
1
f x x =-
+在区间[]0,2的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是
()02f =-，最大值是()2
23
f =-．
精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修一第31页例4改编
【母题评析】本题利用对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求
出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式．
【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等．
II ．考场精彩·真题回放
【例1】【2017浙江卷5】若函数f (x )=x 2
+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，但与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，但与b 有关
【答案】B
【解析】因为最值在2
(0),(1)1,()24
a a f
b f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．
【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数最值（值域）的求解，类型多，解法灵活．
【考试方向】这类试题在考
查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难
度可以是容易题、中档题，
也可以是压轴题，往往与函
数的奇偶性、周期有联系以
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上，且对称
轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
【例2】【2017浙江卷17】已知α∈R ，函数a a x x x f +-+=|4
|)(在区间
[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9
(,]2
-∞
【解析】[][]4
1,4,4,5x x x
∈+∈，分类讨论：
①当5a ≥时，()44
2f x a x a a x x x =--+=--，
函数的最大值9
245,2a a -=∴=，舍去；
②当4a ≤时，()44
5f x x a a x x x
=+-+=+≤，此时命题成立；
③当45a <<时，(){}
max max 4,5f x a a a a =-+-+????，则：
4545a a a a a a ?-+≥-+??-+=??或：4555a a a a a a ?-+<-+??
-+=??
，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2
??-∞ ??
?
．
【考点】基本不等式、函数最值
【名师点睛】本题利用基本不等式，由[][]4
1,4,4,5x x x
∈+
∈，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论：①当5a ≥；②4a ≤；③
45a <<，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题．解题
时，应仔细对各个情况进行逐一讨论．
【例3】【2017北京卷】已知0x ≥，0y ≥，且x+y=1，则2
2
x y +的取值范围是__________．
【答案】1,12??
????
及导数、恒成立等交汇． 【难点中心】求函数最值
（值域）通性通法： （1）观察法；
（2）利用常见函数的最值
（值域）； （3）分离常数法； （4）单调性法； （5）换元法； （6）配方法； （7）基本不等式法； （8）判别式法； （9）有界性法； （10）图象法； （11）导数法．
【解析】22222
(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈ ，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12；因此取值范围为1
[,1]2
【考点】二次函数
【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了象本题的方法，转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，当0,0x y ≥≥，
1x y +=表示线段，那么22x y +的几何意义就是线段上的点到原点距离的
平方，这样会更加简单． III ．理论基础·解题原理 一、函数的最值的基本概念
设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
(1)对于任意I x ∈，都有M x f ≤)(；(2)存在I x ∈0，使得M x f =)(0， 则M 为函数)(x f y =的最大值．
(1)对于任意I x ∈，都有M x f ≥)(；(2)存在I x ∈0，使得M x f =)(0， 则M 为函数)(x f y =的最小值． 二、函数最值的有关结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)． IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇．
【技能方法】
解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性．研究函数的单调性时，可灵活采用定义法、复合法、图象法、导数法，了解函数再定义域内的区间上的单调性，在此基础上再借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等，模拟画出函数的图象，最后利用数形结合思想，达到求最值、比较大小、解不等式的目的．
【易错指导】
（1）灵活选择最优方法求函数值域（最值）；
（2）求函数的值域不但要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域对值域的制约作用；
（3）使用基本不等式2a b ab +≥容易忽视“一正、二定、三相等”；
（4）配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围； （5）用换元法解题时，应注意换元前后的等价性；
（6）使用单调性法要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题； （7）导数法求函数()f x 在[]a b ,上的最大值和最小值3步骤
①求函数在()a b ,内的极值； ②求函数在区间端点的函数值()(),f a f b ；
③将函数()f x 的极值与()(),f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． V ．举一反三·触类旁通 考向1 观察法
解题模板：第一步，观察函数中的特殊函数；
第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域． 【例1】求函数164x y =-的值域．
【解析】由函数164x y =-，则： 2
1640,44,2x
x
x -≥≤≤ 定义域为：2≤x 得：
0416,016416<≤≤- 【跟踪练习】 1．求函数x x f 28)(-=的值域． 【解析】∵2x ＞0，∴0≤8﹣2x ＜8．∴0≤x 28-＜2 ．故函数x x f 28)(-=的值域是)22,0[． 2．【2017西安八校联考】设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[2．6]＝2，[－2．6]＝－3．设g (x )＝ a x a x ＋1(a >0且a ≠1)，那么函数f (x )＝? ?? ???g x －12＋? ??? ??g －x －1 2 的值域为( ) A ．{－1，0，1} B ．{0，1} C ．{1，－1} D ．{－1，0} 【答案】D 3．【2017河北唐山一中模拟】若函数1 2()1sin 21 x x f x x +=+++在区间[,](0)k k k ->上的值域为[,]m n ，则m n +的值是________． 【答案】4 则()()2f x g x =+，即()()2g x f x =-，()f x 在区间[](),0k k k ->上的值域为[],m n ， ∴当()f x 取得最大值n 时， () g x 也取得最大值 ()max 2 g x n =-， () f x 取得最小值m 时， () g x 也取得最小值 ()min 2 g x m =-，函数 () g x 的图象关于原点对称，∴函数 () g x 在区间 [](),0k k k ->上的最大值和 最小值互为相反数，即()()max min 220 g x g x n m +=-+-=，即4m n +=，故答案为4． 考向2 分离常数法 解题模板：第一步，观察函数()f x 类型，型如()ax b f x cx d += +； 第二步，对函数()f x 变形成()a e f x c cx d =++形式； 第三步，求出函数e y cx d =+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域． 【例2】求函数2 5 3)(-+=x x x f 的值域． 【跟踪训练】 求函数51 43 x y x -= -的值域． 考向3 单调性法 解题模板：第一步，求出函数的单调性； 第二步，利用函数的单调性求出函数的值域． 【例3】求函数2()52+412f x x x x =---的值域． 【例4】求函数2212x x y -+??= ??? 的值域． 【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域．（2）本题中利用了这 样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数．（3）本题 1x log y ,2y 325 x 1-==-都是增函数，利用到了复合函数的单调性． 【例5】函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－e D ．0 【答案B 【例6】【2017山东烟台市高三摸底考试】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ? ?? ?? x 1x 2＝f (x 1)－ f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值． 【答案】－2． 【例7】【2017贵州省贵阳市一中高三月考】已知函数f (x )＝1a －1 x (a >0，x >0)， (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在 ??????12，2上的值域是???? ??12，2，求a 的值． 【答案】（1）略；（2）a ＝2 5 ． 【解析】(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2 x 1x 2 ， ∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知f (x )在??????12，2上为增函数，∴f ? ????12＝1 a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25． 【跟踪练习】 1．【2017株洲高三摸底考试】定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12 【答案】C 2．【2017滨州质检】对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝??? ? ? a ，a ≤ b ，b ，a >b . 设函数f (x )＝－x ＋3，g (x ) ＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________． 【答案】1 【解析】依题意，h (x )＝? ?? ?? log 2x ，0 －x ＋3，x >2.当0 －x 是减函数，则h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1． 3．求函数 1413()3 y x x x =--≤的值域． 4．【2017北京市高三入学定位考试】已知函数()()1.f x x x a x R =--+∈ （1）当1a =时，求使()f x x =成立的x 的值； （2）当()0,3a ∈，求函数()y f x =在[ ]1,2x ∈上的最大值； 【答案】（1）1x =；（2）()(01)1 (12)52(23)a a f x a a a <≤?? =< ? 考向4 配方法 解题模板：第一步，将二次函数配方成2 ()y a x b c =-+； 第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域． 【例8】求函数()[]2 46,0,5f x x x x =-+-∈的值域． 【例9】【2017山东省枣庄八中高三月考】函数f (x )＝log 2x ·2log (2)x 的最小值为______． 【答案】－14 【跟踪练习】 1．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x ．，当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域； 【答案】[0，2]． 【解析】(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2 ＋2，因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h (x )的值域为[0，2]． 2．【2017辽宁鞍山一中高二下期中考试】函数1 x y x -=的值域为 ． 【答案】1[0,]2 【解析】由题意得，函数的定义域为101x x -≥?≥，所以2211111 (1)4 x y x x x x -==-=--+，所以1 [0,]2 y ∈． 考向5 换元法 解题模板：第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域． 【例10】求函数12y x x =+-的值域． 【解析】令2 1120,2 t t x x -=-≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴 是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞． 【例11】求函数212 ()log (35) (02)f x x x x =-+≤≤的值域． 22121 1122 2 min 111 2 2 2 35(02),2]()log (35), 2]11 ()log (0)log 5 (2)log 3 4 11 ()log 5log 5,log ].4u x x x u f x x x f f f f x =-+≤≤∴=-+∴====∴=∴12 max 33 在[0,]是减函数，在[上是增函数。 22 又t=log 在定义域上是减函数 33 在在[0,]是增函数，在[上是减函数 223f(x)2函数的值域为[ 【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域． 【例12】【2017江苏省苏州市高三摸底考试】已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图像关于点(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图像关于直线 2 π=x 对称 C ．f (x )的最大值为2 3 D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 【答案】C 【解析】由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2 x )·sin x ．令t ＝sin x ，t ∈[－1，1]，则g (t )＝2(1－t 2 )t ＝2t －2t 3 ．令g ′(t )＝2－6t 2 ＝0，得33± =t ．当t ＝±1时，函数值为0；当3 3-=t 时，函数值为934- ；当3 3=t 时，函数值为934．∴g (t )max ＝934，即f (x )的最大值为93 4． 【跟踪练习】 1．求函数1x x y -+=的值域． 2．【2017浙江省宁波市高三入学考试】求函数y ＝x －1－2x 的值域． 【答案】{y |y ≤1 2 }． 【解析】令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 2 2－t ＝－12(t ＋1)2 ＋1，由于t ≥0，所以y ≤12， 故函数的值域是{y |y ≤1 2 }． 3．求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，?? ????ππ-∈2,12x 的值域． 4．若02,x ≤≤求函数12 ()4 325x x y f x -==-+的值域． 考向6 反函数法 解题模板：第一步，求已知函数的反函数； 第二步，求反函数的定义域； 第三步，利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域 【例13】设()1f x -为()2 22 x x f x -=+ ，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4 【跟踪练习】 求函数34 ()56 x f x x += +的值域． 考向7 基本不等式法 解题模板：第一步，观察函数解析式的形式，型如2ex f y ax bx c +=++或2ax bx c y ex f ++=+的函数； 第二步，对函数进行配凑成b y ax x =+形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域． 【例14】已知函数9 ()(03)1f x x x x =+ ≤≤+，求()f x 的值域． 【解析】99 ()11,03,114,11 f x x x x x x x =+=++-≤≤∴≤+≤∴++5)(,31min ==+x f x ， 9)(,11max ==+x f x ，所以()f x 的值域为[5,9]． 【例】已知5 2 x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值． 【例15】【2017浙江省金华、丽水、衢州市十二校联考】设{},min ,,y x y x y x x y ≥?=? 数()f x ，()g x 满足22()()8 x f x g x x += +，则()(){}min ,f x g x 的最大值为__________． 【答案】 28 ． 【名师点睛】一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘． 【例16】【2017河北省武安一中高三月考】求函数13log log 3-+=x x y 的值域． 【答案】(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 【解析】函数定义域为{x |x ∈R ，x ＞0，且x ≠1}． 当x ＞1时，log 3x ＞0，于是y ＝log 3x ＋1 log 3x －1≥11log 1log 233=-? x x ； 当0＜x ＜1时，log 3x ＜0，于是y ＝log 3x ＋1 log 3x －1＝1)]log 1( log [33--+--x x ≤－2－1＝－3． 故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 【跟踪练习】 1．【2017河北省冀州中学高三摸底考试】下列函数中，最小值为4的是（ ） A ． B ． C ． D ． 解析：A 中函数无最小值，B 中函数最小值为5-，C 中()343244x x f x -=+?≥=，最小值为4，D 中函数无最小值，选C ． 2．【2017贵州省贵阳市一中高三摸底考试】设函数f (x )＝x α