第 34题 三角恒等变换
I ．题源探究·黄金母题
例1．
求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值． 【
解
析
】
1sin 2sin 22y x x x x ??=+=+ ???
2sin cos cos sin 2sin 333x x x πππ???
?=+=+ ? ?????，
故所求函数的周期为2π最大值为2，最小值为2-． 精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修4第140页例3．
【母题评析】本题考查简单的三角恒等变换、三角函数的性质（周期性、最值）．
【思路方法】运用辅助角公式化为一
个角的三角函数．
II ．考场精彩·真题回放
例2．【2017北京理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．
若1
sin 3α=，cos()αβ-=___________． 【答案】7
9
-
【解析】
试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以
2k αβππ+=+，那么1
sin sin 3βα==
，cos cos 3
αβ=-=
，
这
样
()2
2
2
cos cos cos sin sin 7cos sin 2sin 19
αβαβαβααα-=+=-+=-=-
例3．【2017江苏】若π1
tan(),46
α-= 则tan α= ▲ ．
【命题意图】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、倍角公式、诱导公式等．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．
【难点中心】三角函数求值：①给角
求值：将非特殊角向特殊角转化，通
过相消或相约消去非特殊角，进而求
出三角函数值；②“给值求值”关键
是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个
时，待求角一般表示为已知角的和或
差．
【
75
=例A D (2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．
例2x b 【∴
【命题意图】本题考查降幂公式、辅
助角公式，考查学生分析问题与解决
问题的能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，
通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，往往是高中数学主要知识的交汇题．
【难点中心】解答本题时先用降幂公式化简2
cos x ，再用辅助角公式化简
cos2sin 21x x ++，进而对照
()sin x b ω?A ++可得A 和b ．
III ．理论基础·解题原理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式： （
1
）
()cos cos cos sin sin αβαβαβ
-=+；（2）
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
（
3
）
()sin sin cos cos sin αβαβαβ
-=-；（4）
()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
（5）()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
（6）()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．
2．二倍角的正弦、余弦和正切公式：
（1）sin22sin cos ααα= 变形： 12sin cos sin 2ααα=．
（2）2
222cos2cos
sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-．
变形如下 升幂公式：2
2
1cos 22cos 1cos 22sin αα
αα
?+=??-=?? 降幂公式：
221cos (1cos 2)
2
1sin (1cos 2)2
αααα=+=-???
?? （3）22tan tan 21tan α
αα
=
-．
3．简单的三角恒等变换：（1）注意正切化弦、平方降次；（2）辅助角公式：
)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y （其中辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决
定，tan b
a
?=
)． IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，可以是以选择题或填空题的形式出现，难度中等，也可以是解答题，此时难度较大，主要考查学生的分析问题解决问题、转化与化归等综合能力．
【技能方法】
解决此类问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中，变换的基本方向有两个，一是“变名”，二是“变角”．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数基本关系式、倍角公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．
【易错指导】
三角函数的解答题往往从三角函数的图象到性质，再到三角恒等变换等综合设计，其中
对三角函数式进行变换是解题的先决条件，在解题时一定要注意变换的等价性和变换的准确性．
V．举一反三·触类旁通
考向1 两角和与差的三角函数公式
例6．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知,αβ均为锐角，
（）
A
【答案】A
【解析】
A
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等
例7．【吉林省百校联盟2018届高三TOP20九月联考】已知
）
A
【答案】B
例8．【2017届广州省惠州市高三第一次调研科数学】若11
tan ,tan()32
ααβ=+=，则tan =β（
）
（A ）
17 （B ）16 （C ）57 （D ）5
6
【答案】A
【解析】11
tan()tan 1
23tan tan[()]111tan()tan 7
123αβαβαβααβα-
+-=+-===+++?，故选A ．
例9．【2017届河北省定州中学高三上周练一数学】式子cos cos sin sin 126126
ππππ
-的
值为（ ）
A ．
1
2
B ．22
C ．32
D ．1
【答案】B
考向2 二倍角公式
例10．【2017广州一模】已知tan 2θ=，且π0,2θ?
?
∈ ??
?
，则cos2θ=（ ）
． A ．
45 B ．35 C ．35- D ．45
- 【答案】C
【解析】222
2
22cos sin cos2cos sin cos sin θθθθθθθ-=-=+221tan 1tan θθ-=+3
5
=-
．选C ．
例11．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知tan 2θ=，则23sin cos2θθ-=（ ） A ．
45 B ．3 C ．0 D ．9
5
【答案】B
【解析】22222
22222
3sin cos24sin cos 4tan 1
3sin cos23sin cos sin cos tan 1
θθθθθθθθθθθθ----====+++，故选B ．
考向3 辅助角公式
例12．【2017上海普陀二模】若关于x 的方程sin cos 0x x m +-=在区间π0,2
?????
?
上有解，
则实数m 的取值范围是 ．
【答案】12m ≤≤
【解析】将sin cos 0x x m +-=化成sin cos m x x =+，即2sin 4m x π?
?=
+ ??
?，因为
π0,2x ??∈????，所以π0,42x π??+∈????， 2sin 1,24x π?
???+∈ ?????，即1,2m ??∈??；故答案为
12m ≤≤．
例13．【2017福建泉州二模】在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点
()(),11P x x ≥，则cos sin θθ+的取值范围是__________．
【答案】(
1,2??
考向4 公式的活用（降幂扩角公式、升幂缩角公式、正切公式的活用） 例14．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知角θ的终边经过点34,55??- ?
??
，则2sin 2θ的值为（ ）
A ．
1
10
B．
1
5
C．
4
5
D．
9
10
【答案】C
【解析】因为点
34
,
55
??
-
?
??
在单位圆上，又在角θ的终边上，所以
3
cos
5
θ=-；
则2
3
1
1cos4
5
sin
2225
θθ
??
--
?
-??
===；故选C．
例15．【2017辽宁六校协作体】函数f(x)=sinx(sinx+cosx)?在区间 (，)上的零点是______．
【答案】
【解析】函数的解析式为
2
111cos21112 ()sin sin cos sin2(sin2cos2)sin(2)
22222224
x
f x x x x x x x x
π
-
=+-=?+?-=-=-据此可知，函数在区间 (，)上的零点是．
考向5 三角函数知角求值
例16．【2018河北武邑二研】下列式子结果为3的是（）
①tan25tan353tan25tan35
?+?+??；②()
2sin35cos25cos35cos65
??+??；
③
1tan15
1tan15
+?
-?
；④
2
tan
6
1tan
6
π
π
-
．
A．①② B．③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
对于③，
1tan15tan45tan15
tan603
1tan151tan45tan15
+??+?
==?=
-?-??
；对于④，
故选C ． 点睛：本题考查三角函数的恒等变换，根据式子的结构特点合理选择三角公式即可．
例17．【2017
__________．
【解析】由()sin47sin 3017sin30cos17sin17cos30?=?+?=??+??知，原式
考向6 三角函数知值求值
例18．【2018湖南益阳、湘潭9
，则()cos 2πα+=（ ） A
【答案】D
【解析】25sin α=
故选D ．
例19．【2018河南省林州模拟】已知锐角θ
满足
值为（ ）
A 【答案】C
例20．【2018吉林百校联盟九月联考】已知tan 2tan B A =，且4
cos sin 5
A B =
，则3cos 2A B π?
?
--
= ??
?
（ ） A ．45-
B ．45
C ．25-
D ．25
【答案】D
【解析】由tan 2tan B A =，可得： cos sin 2sinAcosB A B =，又4
cos sin 5
A B =
，∴2sinAcosB 5=
，则()32cos sin sinAcosB cos sin 25A B A B A B π?
?
--
=--=-+= ?
??
．故选D
例21．【2018河北石家庄二中八月模拟】已知1sin 43
x π?
?
+= ??
?，则sin42cos3sin x x x -= ( )
A ．
79 B ．7
9
- C ．429 D ．429-
【答案】B 【
解
析
】
由
()sin4sin 3x sin3xcosx cos3xsinx
x x =+=+可得：
27sin42cos3sin sin3xcosx cos3xsinx sin2x cos22sin 1449x x x x x ππ???
?-=-==-+=+-=-
? ????
?故选：B
例22．【2018南宁二中、柳州高中9月联考】若3
sin 5
α=-
，且α为第三象限角，则
()
tan 45α+等于( )
A ．7
B ．1
7
C ．1
D ．0 【答案】A
【解析】因为3
5
sin α=-
，且α为第三象限角，所以
24sin 3
cos 1sin ,tan ,5cos 4
ααααα=--=-==()
tan45tan tan 457.1tan45tan ααα+∴+=
=-本题选择A 选项．
例23．【2017江西南昌二模】已知sin 2cos 0θθ+=，则21sin2cos θ
θ
+=_________．
【答案】1．
例24．【2017福建厦门第一中学届高三高考考前模拟】已知()7
cos ,π,2π25
θθ=-∈ ，则sin
cos
2
2θ
θ
+= __________．
【答案】1
5
【
解析】
π1cos 41cos 31,πsin ,cos ,sin cos 22225225225
θ
θθθθθθ-+??
∈∴===-=-∴+= ??? 例25．【2017南京、盐城二模】若sin(α－
6π)＝35，α∈(0， 2
π
)，则cos α的值为________．
【答案】
433
10
- 【解析】由题意得，因为0,
,2663ππππαα??
??∈?-∈- ? ??
???
， 又23
4sin cos 1sin 65665
πππααα?
?????-=?-=--= ? ? ??
?????，
则
4331433cos cos cos cos sin
sin 666666525210ππππππαααα??-?????
?=-+=---=?-?=
? ? ???????????
．
例26．【2017江苏南京模拟】已知角α的终边上有一点()1,2p ， （1）求tan 4πα??
+
??
?
的值；
（2）求5sin 26
πα?
?
+ ??
?
的值． 【答案】（1）3；（2）343
10
+-
【解析】【试题分析】（1）先依据正切函数的定义求出
1
tan tan
1142tan ,tan 31241tan tan 142
π
απααπα++
??=+=
== ??
?--进而求得；（2）依据1tan 2α=求得21
sin ,cos 55
αα=
=，
继
而
求
出
5553sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 6662πππααααα???
?
+
=+=- ? ? ??
???
(
)
2
112311
2cos 1?2212252
55α????+-=??-+?-? ? ? ????? 343
10
+=-
．
考向7 三角函数知值求角
例27．（2016高考上海理数】方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ ．
【答案】
566
ππ
或 【解析】3sinx 1cos 2x =+，即2
3sinx 22sin x =-，所以2
2sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=
或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566
ππ或． 【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解．． 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等．
例28．（2015-2016学年内蒙古赤峰二中高一上期末】若锐角,αβ满足
(13tan )(13tan )4αβ++=，则αβ+= ．
【答案】
3
π
考向8 三角恒等变换与三角函数性质的综合 例29．例．【2018辽宁六校协作体】已知函数
（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】，将其图象向右平移
个单位后
得：，由其关于轴对称，
则，由
得
， 即
，∵
，∴
，
∴，则
在区间上的最小值为，故选C ．
例
30．【2017
江苏无锡模拟】若动直线(x t t R =∈）与函数
()()2cos 3sin cos 444f x x g x x x πππ??????
=-=++ ? ? ???????
的图象分别交于,P Q 两点，则线
段PQ 长度的最大值为_________．
【答案】
32
点睛：解答本题的关键是运用正弦、余弦的二倍角公式将函数的的形式进行化简，再借助三角变换公式将其化为()()1sin 223PQ f t g t t π?
?=-=+- ??
?，运用三角函数的有界性求函数的最大值从而使得问题获解．
例31．【2017江苏南京模拟】设函数()23
3sin sin cos (0)2
f x wx wx wx w =
-->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，则()f x 在区间,04π??-????
上的最大值为______________
【答案】1 【解析】()()331π1cos2sin2sin 22223f x x x x ωωω??
=
---=-- ???
，由题意得π2π
π,244T T T
ω=?=== ， ππ4ππ,04,4333x x ??
??∈-∴-∈--??????
??
因此()3,12f x ??∈-????
，则()f x 在区间,04π??-????上的最大值为1．
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换
把函数化为()sin y A x B ω?=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
例32．【2017江西赣州二模】已知函数()2
3
sin cos 3cos (0)2
f x x x x ωωωω=-+
>图像的两条相邻对称轴为
π2
． (1)求函数()y f x =的对称轴方程；
(2)若函数()1
3y f x =-在()0,π上的零点为12,x x ，求()12cos x x -的值． 【答案】(1) ()π5π212k x k =+∈Z ；(2) 1
3
．
【解析】试题分析：
试题解析：
(1) ()2
313
sin cos 3cos sin2cos2222
f x x x x x x ωωωωω=?-+
=- πsin 23x ω?
?=- ??
?
由题意可得周期πT =，所以2π
1T
ω== 所以()πsin 23f x x ??=-
??
?
故函数()y f x =的对称轴方程为()ππ
2π32
x k k -=+∈Z 即()π5π
212
k x k =
+∈Z (2)由条件知12ππ1sin 2sin 20333x x ????-
=-=> ? ??
???
，且125π2π0123x x <<<< 易知()(
)11,x f x 与()()
22,x f x 关于5π12x =
对称，则125π
6
x x +=
所以()121115π5πcos cos cos 266x x x x x ?????
?-=--=-
? ??????
???
11πππ1cos 2]sin 23233x x ?????
?=--=-= ? ????
?????
例33．【2017上海普陀二模】已知函数()sin cos (f x a x b x a =+、b 为常数且
0a x ≠∈R ，)．当π
4
x =
时， ()f x 取得最大值． (1)计算11π4f ??
???
的值； (2)设()π4g x f x ??
=-
???
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) 0；（2）偶函数．
试题解析：(1) ()()22sin cos sin f x a x b x a b x φ=+=++，其中arctan b
a
φ=
根据题设条件可得， 22
π4f a b ??=+
?
??
即()2222a b a b +=+ 化简得()()2
2
2
2a b a b
+=+，所以2
220a
ab b -+=
即()2
0a b -=，故0a b -= 所以()11π11π11π2sin cos 04442f a b a b ??
=+=-=
?
??
(2)由(1)可得， a b =，即()()πsin cos 2sin 4f x a x x a x ?
?=+=
+ ??
?
故()ππππ2sin 2sin 2cos 4442g x f x a x a x a x ??????
=-=-+=-=
? ? ???????
所以()2cos (g x a x x =∈R )
对于任意的()(
)2cos 2cos (0x g x a x a x a ∈-=-=≠R ，) 即()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数．
例34．【2017河南豫南九校联考】已知函数()sin cos f x x x =+．
（1）若()()2f x f x =-，求22
cos sin cos 1sin x x x x
-+的值； （2）求函数()()()()2
F x f x f x f x =-+的最大值和单调增区间．
【答案】（1）=
611．（2）21+．388k k ππππ??
-
++????
，， k Z ∈．
（1）∵()sin cos f x x x =+，∴()sin cos f x x x -=-+． 又()()2f x f x =-，∴()sin cos 2cos sin x x x x +=-， ∴3sin cos x x =， 即sin 1
tan cos 3
x x x =
=， ∴2
2
2222cos sin cos cos sin cos 1tan 1sin cos 2sin 2tan 1x x x x x x x x x x x -?-?-==+++=2
1
163111213-
=??
?+ ???
． （2）由题意知， ()()()()2
sin cos cos sin sin cos F x x x x x x x =+-++ 22cos sin 12sin cos x x x x =-++ cos2sin21x x =++ 2sin 214
x π
=++（）
∴当sin 214x π??
+= ??
?
时， ()max
21F x =+．
2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+ k Z ∈，得
388
k x k ππ
ππ+≤≤+ k Z ∈
∴()F x 的单调增区间为388k k ππππ??
-
++????
，， k Z ∈．
点睛：解答本题的关键是熟练掌握同角三角函数的之间的关系及灵活运用，同时还要掌
握二倍角的正弦、余弦公式及；两角和的正弦公式、正弦函数的图像与性质等知识的综合运用．求解第一问的关键是借助题设建立方程，求出sin 1
tan cos 3
x x x =
=，进而求出分式的值使得问题获解；解答第二问时，先运用倍角公式进行化简，再运用两角和的正弦公式将其化为正弦函数的形式，借助正弦曲线进行求解而获解．
例35．【2017浙江嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学五校联考】已知函数
()()()
sin 3cos cos 3sin f x x x x x =+-．
（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()006,0,52f x x π??
=
∈????
，求0cos2x 的值． 【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ??
-
-∈???
?
；（2）43310+．
试题解析：（1）()()(
)
sin 3cos cos 3sin f x x x x x =+-＝22sin 23x π?
?
+
??
?
…………4分
所以，函数()f x 的单调递增区间为： ()7,1212k k k Z ππππ?
?
-
-∈???
?
…………7分 （2）()00262sin 23
5f x x π??=+
= ??
?， 0
23
sin 235
x π?
?∴+= ??
?，…………9分 又00,
2x π??
∈????， 024cos 235x π??
∴+=-
?
??
， …………11分 0022413
3433cos2cos 2335252
10x x π
π??+??????∴=+
-=-?-+?= ? ? ???????????……14分 例36．【20173月北京海淀区模拟】已知函数()2sin cos sin 222
x x x
f x =+． （Ⅰ）求3f π??
???
的值；
（Ⅱ）求()f x 在
【答案】
【解析】试题分析：（Ⅰ）把代入函数解析式即可
（Ⅱ）化简
，所以()f x 的值域为
试题解析：
（
Ⅱ
）
所以()f x 的值域为
考向9 三角恒等变换与平面向量的综合
例37．【2017北京朝阳二模】若平面向量(),sin a cos θθ=， ()1,1b =-，且a b ⊥，则sin2θ的值是____．
【答案】1
例．【2017江苏淮安二模】如图已知四边形AOCB
中，5
OA=，(
)
5,0
OC=，点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．
（1）若
3
cos,
5
AOB
∠=求点A的坐标；
（2）记向量OA与BC的夹角为θ，求cos2θ的值．
【答案】（1）A 点坐标为
343433
,.
22
??
-+
?
?
??
（2）
7243
cos2
50
θ
+
=
A
∴点坐标为
343433
,.
22
??
-+
?
?
??
（2）向量()
553
OA3,4,BC,
22
??
=-=-
?
?
??
15
103323
2
cosθ
55105
--
∴==--
?
因此，2
7243
cos2θ2cosθ1
50
+
=-=