第19题 函数与方程问题的分析
I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知()3x f x =，求证： （1）()()()f x f y f x y ?=+； （2）()()()f x f y f x y ÷=-． 【证明】 （1）()()()()3,333x x y x y f x f x f y f x y +=∴?=?==+．
（2）
()()()()3,333x x y x y f x f x f y f x y -=∴÷=÷==-．
精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修1第82页复习参考题A 组第7题．
【母题评析】本题考查了指数幂运算的性质．
【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题．
II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考江苏卷】设()f x 是定义在R 且周期为1
的函数，在区间[0,1)上，2
,,
(),,
x x D f x x x D ?∈?=???? 其中集合
1,*n D x x n n -??
==∈????
N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数
是 ． 【答案】8
【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设
*,,,2q
x p q p p
=∈≥N ，且,p q 互质．
若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设
*lg ,,,2n
x m n m m
=
∈≥N ，且,m n 互质，因此10n
m
q p =，则10()n
m q p
=，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ?，
因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ?的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ?的部分，且1x =处
()11lg 1ln10ln10
x x '=
=<，则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．
【命题意图】本题属于能力题，中等难度．在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．
【难点中心】解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论．
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，
可利用函数的值域或最值，结合函数的单调
性、草图确定其中参数范围．从图象的最高
点、最低点，分析函数的最值、极值；从图
象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的
走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
【例3】【2014高考辽宁卷】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：
①(0)(1)0f f ==；
②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1
|()()|||2
f x f y x y -<
-． 若对所有
,[0,1]
x y ∈，
|())|f x f y k -<，则k 的
最小值为（
A ．
12 B ．14 C ．12π D ．1
8
【答案】B
【解析】不妨令01x y ≤<≤，则()()1
2
f x f y x y -<-． 解法一：
()()()()()()()()201f x f y f x f f x f y f y f -=-+---??
()()()()()()01f x f f x f y f y f ≤-+-+-
()()11111110112222222
x x y y x y x y <
-+-+-=+-+-=，
即得()()14f x f y -<
，另一方面，当10,2u ??∈ ???
时，
()()1,02
11,1
2
ux x f x u x x ?
≤≤??=??--<≤??，符合题意，
当12u →
时，()110224u f f ??
-=→ ???
，故14k ≤． 解法二：当12x y -≤时， ()()11
24
f x f y x y -<-≤， 当12
x y ->
时，()()()()()()01f x f y f x f f y f -=---????????
()()()()11
100122
f x f f y f x y ≤-+-<
-+- ()()
11111122224x y y x =
-+=+-<，故1
4
k ≤． III ．理论基础·解题原理
1．函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：()()()(),11f x f x f x f x =---=+都可称为函数方程．在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：
（1）表示函数()f x 的某种性质：例如()()f x f x =-体现()f x 是偶函数；()()1f x f x +=体现()f x 是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）．
（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：()123f x f x x ??
+=
???
，可用1x 代替x 得()132f f x x x ??
+= ???，即()()()1232
132f x f x x f x x x
f
f x x x ?
??
+=
?????
?=
-?
???+= ?
???
?
． （3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值． 2．双变量函数方程的赋值方法：
（1）对,x y 均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如
()()()0,1,1f f f -，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域．
（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，考查对基本初等函数及超越函数
性质的理解，一般难度较大． 【技能方法】
常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程．
抽 象 函 数
具 体 模 型
()()()f x y f x f y +=+ 比例函数：正()f x kx =
()()()f x y f x f y +=? 指数函数：()()0,1x f x a a a =>≠ ()()()f x y f x f y ?=+ 当()0,x ∈+∞时，()log a f x x = 当{}|0x x x ∈≠时，()log a f x x = ()()()f x y f x f y ?=?
幂函数：()f x x α=
()()()()()2,00f x y f x y f x f y f ++-=?≠
三角函数：()cos f x x = 【易错指导】
由于抽象函数没有具体的函数解析式，构造时容易顾此失彼，忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质，结论背后可能还推论出其他结论．所以，在解题时一定要反复推敲，不断假设验证，或者索性先构造一个具体函数，然后隐去解析式来叙述这个函数的性质，那么出现错题的可能性就小了许多． V ．举一反三·触类旁通
考向1 求抽象函数的解析式（值）
【例1】【2017东北三省三校第二次联合模拟考试】已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()1f x -为奇函数，且()23f =，则()()56f f +的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 【答案】D
【例2】已知函数()f x 满足：()1
12
f =，对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()()()()1232014f f f f +++
+=
（ ） A ． 1 B ． 12- C ． 1
2
D ． 1- 【答案】B ．
【解析】由所求出发可考虑判断()f x 是否具备周期性，令1y =，可得
()()()()1121f x f x f x f ++-=，即()()()11f x f x f x ++-=，∴()()()21f x f x f x ++=+，
两式相加可得()()21f x f x +=--，则可判定()f x 的周期为6，由()()()11f x f x f x ++-=可得：
()()()12012f f f +=
=
，即()()1262f f +=，由()()21f x f x +=--可得()()1412
f f =-=-，则()()()1
3542
f f f +==-
，从而()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，∴()()()()()()()()12320133351620132013f f f f f f f f +++
+=+
++=????，且
()()1
201442
f f ==-．
【例3】设角α的终边在第一象限，函数)(x f 的定义域为[]1,0，且1)1(,0)0(==f f ，当y x ≥时，有
()()()sin 1sin 2x y f f x f y αα+??
=+- ???
，则使等式
11
44
f ??= ???成立的α的集合为 ． 【答案】|2,6k k Z π
ααπ??
=
+∈???
?
． 限可得：1sin 2α=
，从而α的集合为|2,6k k Z πααπ??=+∈????
．
【例4】设函数()f x 的定义域为R ，()01f =，且对,x y R ?∈，都有
()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x 的解析式为________．
【答案】()1f x x =+．
【解析】观察到右边的结构并非()(),f x f y 的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，则1x =时， ()()()()1112f y f f y f y +=--+ ①，1y =时，
()()()()1112f x f x f f x +=--+ ②，则求()1f 是关键，结合()01f =，可令0x y ==，则
()()()()21000212f f f f =--+?=，代入到①②可得：()()()()11
12f y f y f x f x x
+=+???
+=-??，即
()()(
)()11
12f x f x f x f x x +=+???
+=-??，消去()1f x +解得：()1f x x =+． 【跟踪练习】
1．已知函数y=f(x)是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】D
【解析】偶函数图像关于y 轴对称，所以与x 轴四个交点横坐标，两两关于y 轴对称，即两两之和为零，所有实根之和为零，选D ．
2．【2017重庆第一次调研抽测】奇函数
的定义域为．若
为偶函数，且
，则
（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．1 【答案】
B
3．已知()f x 是定义在R 上的函数，04f π??
=
???
，且对任意的,x y R ∈，都有()()222x y x y f x f y f f +-????
+= ? ?????
，那么
35201544
4
4
f f f f ππππ????????
++++= ? ? ? ???
????
??
_________． 【答案】0．
【解析】函数方程为“和→积”的特点，抓住04f π??
=
?
??
，可发现令2y x π=-，则()22222022
244x x x f x f x f f f x f
πππππ?????
?--- ? ? ????
?????
?+-==-=
? ? ? ? ?????
??
? ??
?
??
，∴可得：自变量间隔2π，，其函数值的和为0，∴将求和的式子两两一组，即：
357201320150444
44
4S f f f f f f ππππππ????????
??????????=+
++++= ? ? ? ? ? ?????????????
????
????????
． 4．【2017西省实验中学高三下学期模拟热身】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件
()()4f x f x +=-，且函数()2y f x =+是偶函数，当(]0,2x ∈时，()ln f x x ax =-（1
2
a >
），当[)2,0x ∈-时，()f x 的最小值为3，则a 的值等于 （ ）
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1 【答案】A
【解析】因为函数()2y f x =+是偶函数，所以()()22f x f x +=-+，即()()4f x f x +=-． 当[)2,0x ∈-时，(]
()()()()0,2,?4ln x f x f x f x x ax -∈=-+=--=---．
()11x 0ax f a x x +=--=-='，
有()12,0x a =-∈-，函数()y f x =在12,?a ?
?--???
?函数单减，在(1,0)a -单调递增．()11113min f x f ln lna a a ??
=-
=-+=+= ?
??
，解得2a e =，故选A ． 点睛：本题的难点是对于函数()2y f x =+是偶函数的正确转化，应该得到()()22f x f x +=-+．如果说是()y f x =是偶函数，则应得到()()22x f x +=--．
考向2 抽象函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等） 【例5】定义在()1,1-的函数满足关系()()1x y f x f y f xy ??
--=
?-??
，当()1,0x ∈-时，()0f x <，若()111,,0452P f f Q f R f ??????
=+== ? ? ???????
，则,,P Q R 的大小关系为 （ ）
A ． R P Q >>
B ． R Q P >>
C ． P Q R >>
D ． Q P R >> 【答案】D ．
虑121,0,2x x ???∈????，12x x <，则()()12
12121x x f x f x f x x ??--= ?-??
，因为121
02x x ≤<≤，∴
12121113
0,112224x x x x -≤-<->-?=，从而1212101x x x x --<<-，即()()12121201x x f x f x f x x ??--=< ?-??
，
得到()f x 在10,2
??????
单调递增，∴Q P R >>．
【评注】本题在证明单调性时，因为考虑了,,P Q R 中自变量的取值，所以只需考虑10,2??
????
的单调性，缩
小12,x x 的范围使得判断
12121x x x x --的范围较容易．但也可将12,x x 在()1,1-中任取，但是在判断12
12
1x x x x --的
范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：假设1212101x x x x --<
<-，因为1210x x ->，
12
12
01x x x x -∴<-且
12
121212
111x x x x x x x x ->-?->--()()11221210110x x x x x x ?-+->?+->，由()12,1,1x x ∈-可得()()12110x x +->成立，从而
12
12
11x x x x ->--．
【例6】【2017山东聊城模拟】已知定义域为R 的函数()f x ，若函数()f x y x
='的图象如图所示，给出
下列命题：
①()()110f f '-'==；
②函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递增； ③当1x =时，函数()f x 取得极小值；
④方程()0xf x '=与()0f x =均有三个实数根．
其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C
所以方程'00xf x f x ==（
）与（） 均有三个实数根．不正确；故选：C ． 【例7】【2018河北衡水模拟】定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有
()()1212
0f x f x x x -<-，
且函数()
1y f x =-的图象关于（1，0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()
22
22f s s f t t -≤--，
则当14s ≤≤时，
2t s
s t
-+的取值范围是 （ ） A ．13,2??--
???? B ．13,2??--???? C ．15,2?
?--????
D ．15,2??--???? 【答案】D ．
【解析】设12x x <，则120x x -<．由
1212
()()
0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，
所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以2
2
2
(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以22
22s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为
233111t s s t s t s t s
-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥??≤≤?下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以1
1[,2]2t s +∈，
所以
3
3[,6]21t s ∈+，所以311[5,]21t s
-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 【例8】【2018陕西西安长安区高三上学期质量检测】已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足
()()()1212f x x f x f x ?=+，且当1x >时， ()0f x >．
（1）求()1f 的值；
（2）证明： ()f x 为单调增函数； （3）若115f ??=- ???，求()f x 在1,12525??
?
???
上的最值． 【答案】（1）f （1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．
（2）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f （）＞0，
∴f （x1）﹣f （x2）=f （x2?）﹣f （x2）=f （x2）+f （）﹣f （x2）=f （）＞0，
即f （x1）＞f （x2），∴f （x ）在（0，+∞）上的是增函数． （3）∵f （x ）在（0，+∞）上的是增函数． 若
，则f （）+f （）=f （
）=﹣2，即f （?5）=f （1）=f （）+f （5）=0，
即f （5）=1，则f （5）+f （5）=f （25）=2，f （5）+f （25）=f （125）=3， 即f （x ）在
上的最小值为﹣2，最大值为3．
【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键． 【跟踪练习】
1．定义在[]2013,2013-上的函数()f x 满足：对于任意的[],2013,2013a b ∈-，有
()()()2012f a b f a f b +=+-，且0x >时，有()2012f x >，设()f x 的最大值和最小值分别为
,M N ，则M N +的值为
（ ）
A ． 2011
B ． 2012
C ． 4022
D ． 4024 【答案】D ．
【分析】由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明()f x 单调，令211,a x x b x =-=（其中12x x <），则可证明()f x 为增函数，从而()()2013,2013M f N f ==-，再利用函数方程求出
()()20132013f f +-的值即可
令0a b ==，可得：()()()020*********f f f =-?=，4024M N ∴+=． 2．已知函数()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对于任意的实数,a b 满足(2)2f =，
()()()f ab af b bf a =+，(2)(2),(),,()2n n n n n
f f a n N b n N n
**
=∈=∈，考察下列结论： ①(0)(1)f f =；②()f x 为奇函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b 为等比数列． 其中正确的个数为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ． 4 【答案】D ．
【解析】考虑按照选项对函数方程中的,x y 进行赋值．
①计算()()0,1f f ，令0a b ==，可得()00f =；令1x y ==，则()()()12110f f f =?=，∴
(0)(1)f f =，①正确；② 使等式中出现()(),f x f x -，令,1a x b ==-，则()()()1f x xf f x -=--，
需要计算出()1f -，结合方程可令1,1x y =-=-，则有()()121f f =--，即()10f -=，∴
()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，②正确；③从等差数列定义出发，考虑递推公式()()111
222
2
n n n n n n
f f a a +++-=-，因为()()()()
12222222n n n n f f f f +=?=+，所以可得：
()()()()1111
1
22222212222n n n n n n n n n
n n
f f f f a a ++++++-=
-
=
-
=，从而判定{}n a 为等差数列，③正确；④若
按照等比数列定义，考虑()()
1
1212n n n n f b n
b n f ++=?+，则不易于进行化简．可由③出发得到()2n f 的表达式：()1212
f a =
=，∴()11n a a n d n =+-=，即()22n n f n =?，∴()22n n n f b n
=
=，从而可判定{}n b 是
一个等比数列，④正确．
3．【2017上海闵行二模】设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： (1) 若()y f x =是奇函数，则()()y f
f x =也是奇函数； (2) 若()y f x =是周期函数，则()()y f
f x =也是周期函数；
(3) 若()y f x =是单调递减函数，则()()y f f x =也是单调递减函数；
(4) 若函数()y f x =存在反函数()1
y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x
=-也有零点． 其中正确的命题共有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
4．已知函数()f x 对任意的,m n R ∈均有()()()f m n f m f n +=+，且当0x >时，()0f x > （1）求证：()f x 为奇函数； （2）求证：()f x 为R 上的增函数． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】
试题分析：（1）要证明奇函数，则需要()(),f x f x -出现在同一等式中，所以考虑令,m x n x ==-，则有()()()0f f x f x =+-，再通过代入特殊值计算出()00f =即可；（2）思路：要证明单调递增，则需任取12,x x R ∈，且12x x <，去证明()1f x 与()2f x 的大小，结合等式，则需要让()1f x 与()2f x 分居等号的两侧，才能进行作差．所以考虑()2211x x x x =-+，进而21,m n x n x +==．只需判断()21f x x -的符号即可．
试题解析：（1）令,m x n x ==-，则 ()()()0f f x f x =+-．令0,0m n ==，则()()()000f f f =+解得()00f =，()()f x f x ∴=--，()f x ∴为奇函数．
（2）任取12,x x R ∈，且12x x <，令211,m x x n x =-=，代入方程可得：
()()()211211f x x x f x x f x -+=-+????，()()()2121f x f x f x x ∴-=-，21x x >，210x x ∴->，
依题意可得：()210f x x ->，()()210f x f x ∴->即()()21f x f x >，()f x ∴为增函数． 【评注】第（2）问将2x 拆分为()211x x x -+是本题证明的亮点，达到了让()1f x 与()2f x 分居等号的两侧的目的．
5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意121
,[0,]2
x x ∈，都有
1212()()()f x x f x f x +=．
（1）设()12f =，求11(),()24
f f ；
（2）证明()f x 是周期函数． 【答案】（1）4
112,224f f ????==
? ?????
；（2）答案见解析．
（2）证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，()()2,f x f x x R ∴=-∈．
又()f x 是偶函数，()()()(),2,.f x f x f x f x x R ∴-=∴-=-∈将上式中x -以x 代换，得
()()2,f x f x x R =+∈．这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．
考向3 解不等式
【例9】【2017广西教育质量诊断性联合考试】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[
)0,+∞上递减，若
()
()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A ．()3,-+∞
B ．(),3-∞-
C ．()3,+∞
D ．(),3-∞ 【答案】C
【点睛】本题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得()f x 在R 上是减函数；2．将原命题等价转化为
3a x >- 31x ++在[]1,2- 上恒成立；3．利用导数工具求得()max f x ，从而求得正解．
【例10】【2017四川南充高级中学4月检测】已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()'f x ，若方程
()'0f x =无解，且()20172017x
f f x ??-=??，当()sin cos
g x x x kx =--在,22ππ??-????
上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(]
,1-∞- B ．(
2-∞ C ．2?-? D ．)
2,?+∞?
【答案】A
【解析】因为方程()'0f x =无解，所以函数()f x 为单调函数，因此由()20172017x
f f x ??-=??，得
()2017x f x -=m(m 为常数)， 即()2017x f x m =+ 为单调增函数，因此()cos sin 0g x x x k =+-≥'
在在,22ππ??
-????
上恒成立．πππ,cos sin 2sin 1,2224x x x x ???
???∈-∴+=+∈- ????????
?，因此1k ≤-，选A ．
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题．
【例11】【2017陕西西安铁一中学高三上学期第五次模拟考试】已知偶函数在
上为增函数，
在不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由偶函数可知，可知不等式 恒成立，即
恒成立，则可
得
恒成立．即
且
恒成立．由根的判别式可得
．故本题选C ．
点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性．对于抽象函数不等式，一般根据函数的奇偶性将它转化为
的形式，然后利用函数的单调性将抽象函数不等式转化成具体的不等式
，但不能改变
变量的定义域．对于奇函数，其图像关于原点中心对称，由图知其在关于原点对称的区间单调性相同；偶函数的图像关于 轴对称，偶函数在关于原点对称的区间单调性相反．
【例12】【2017江西南昌三模】定义域为R 的函数()f x 满足(+3)=2()f x f x ，当[
)1,2x ∈-时，
2|1|,[1,0)
()={1,[0,2)2x x x x f x x -+∈-??-∈ ???
．若存在[4,1)x ∈--，使得不等式2
34()t t f x -≥成立，则实数t 的取值范
围是_______．
【答案】][()
,12,-∞?+∞
【点睛】本题考查函数的解析式、抽象函数、函数与不等式，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．先利
用已知条件求
1
()=(+3)
2
f x f
x
2
|1|
11
,[4,-3)
22
={
11
,[-3,1)
22
x
x x x
x
-
+∈-
??
-∈-
?
??
，再利用数形结合思想观察图像求解不等式．
【跟踪练习】
1．【2017重庆一中5月考】已知函数()()
222
x x
f x x-
=-，则不等式()()
2110
f x f
++<的解集是（）
A．
1
,
2
??
-∞-
?
??
B．()
,1
-∞- C．
1
2
??
-+∞
?
??
D．()
1,
-+∞
【答案】B
【解析】()()
f x f x
-=-，所以函数是奇函数，()()()
2
2222ln22ln20
x x x x
f x x x
--
=
'-++>，所以函数是单调递增函数，那么不等式等价于()()
2112111
f x f x x
+<-?+<-?<-，故选B．【点睛】本题考查了利用函数性质，包括奇偶性，单调性，解抽象不等式，本题的出题意图比较明显，重点是分析函数的性质，如果不用导数分析函数的单调性，也可以利用奇函数的性质，奇函数在对称区间的单调性一致，很明显，函数在[)
0,+∞为增函数，那在定义域内也是增函数，这样判断起来会更快，简便．
2．函数()
f x的定义域为{}
|0
x x≠，满足()()()
f xy f x f y
=+，()
f x在区间()
0,+∞上单调递增，
若m满足()()
31
3
log log21
f m f m f
??
+≤
?
??
，则实数m的取值范围是（）A．[]
1,3 B．
1
0,
3
??
?
??
C．(]
1
0,1,3
3
??
?
??
D．(]
1
,11,3
3
??
?
???
【答案】D．
∴()()
313
3
log log2log
f m f m f m
??
+=
?
??
，所解不等式为()()
3
log1
f m f
≤，∵()
f x为偶函数，且区间()
0,+∞上单调递增，∴自变量距离y轴越近，则函数值越小，∴
3
log1
m≤，即
3
1log1
m
-≤≤，解得
1
3
3
m
≤≤，因为
3
log0,1
m m
≠∴≠，∴m的范围为(]
1
,11,3
3
??
?
???．
3．【2017衡水金卷】定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的x R ∈，有()()()21,f x f x f +=+且当
[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在R 上恰有六个零点，则实数a
的取值范围是（ ）
A ．50,5?? ? ???
B ．5,15?? ? ???
C ．53,53?? ? ???
D ．3,13?? ? ???
【答案】C
【解析】令1x =-，则()()()()11121f f f f =-+=，所以()10f =，所以()()2f x f x +=，即函数的周期为2，由此可画出函数()f x 和()
log 1a y x =+的图像如下图所示．由图可知
()322log 3,3a f a =-==，()542log 5,5a f a =-==，故53,53a ??∈ ? ???
．
4．【2017云南昆明下学期第二次统测】定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数
(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期．若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时， ()()221x f x x =+，且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取
值范围为（ ）
A ．5
,6??+∞????
B ．[
)2,+∞ C ．10,3??
+∞????
D ．[)10,+∞ 【答案】C
5．已知定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数,a b 都满足()()()f a b f a f b +=，且()10f ≠，当
0x >时，()1f x >．
（1）求()0f 的值；
（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上是增函数； （3）求不等式：(
)
()
2
1
24f x x f x +<
-的解集．
【分析】（1）采用赋值法；（2）考虑证明()f x 单调递增，则需构造出()()12f x f x -，即可设21x x >且令211,a x x b x =-=，则有()()()2211f x f x x f x =-，从而()()()()212111f x f x f x x f x -=--????，由210x x ->和已知条件可得：()2110f x x -->，所以需要证明()10f x >，即(),0x ?∈-∞，
()0f x >，可考虑结合题目条件和()01f =，令11,a x b x ==-，则有
()()()()()
11111
00f f x f x f x f x =-?=
>-，从而单调性可证；（3）本题并没有()f x 的解析式，所
以考虑利用函数的单调性求解．由（1）（2）问可得()0f x >，从而
()()
()()221
24024f x x f x x x f f x +<
?++-<-，再根据单调性即可得到关于x 的不等式，解出
不等式即可．
()()()()()
11111
0,f f x f x f x f x ∴=-=
-．
10x <，10x ∴->，()10f x ∴->，
()()
111
0f x f x ∴=
>-，()()()()2121110f x f x f x x f x ∴-=-->????，即()()12f x f x <，()f x ∴在R 上单调递增．
（3）解：
()0f x >，()()
()()221
24124f x x f x x f x f x +<
?+?-<-．
()()()()222242434f x x f x f x x x f x x +-=++-=+-，且()01f =，
()()2340f x x f ∴+-<．由（2）可得()f x 单调递增，2340x x ∴+-<，解得()4,1x ∈-．