第16题对数函数
I ．题源探究·黄金母题
【例1】已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，
(0,1)a a >≠且．
（1）求函数()()f x g x +的定义域；
（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1）由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数
()()f x g x +的定义域为(1,1)-．
（2）根据（1）知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- ∴函数()()f x g x +的定义域关于原点对称． 又∵()()log (1)log (1)a a f x g x x x -+-=-++ ＝()()f x g x +，
∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数．
精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修一第75页B 组第4题
【母题评析】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，能达到考查运算能力以及代数恒等变换能力．
【思路方法】求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，还须考虑对数的真数必须大于0．判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断()f x 与()f x -的关系，进而判定．
II ．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考北京卷】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与M
N
最接近的是（） （参考数据：lg3≈0．48） A ．1033
B ．1053
C ．1073
D ．1093
【答案】D
【解析】设
361
803
10
M x N ==，两边取对数，361
36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=?-=，所以93.2810x =，即M
N
最接近9310，故选D ．
【例2】【2017高考天津卷文理】已知奇函数()f x 在R 上是
增函数．若0.8
221
(log ),(log 4.1),(2)5
a f
b f
c f =-==，则
【命题意图】本类题考查对数型函数的定义域与奇偶性．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查对数运算构成的对数型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、对数函数的图象、在实际生活中的应用．
【难点中心】（1）处理含有参数的对数型
函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；
（2）应用对数函数的图象时，常常涉及
不太规范的对数型函数的图象，其作法可能较难，常常利用转化思想；（3）解决对数不等式问题的方法就是化为同底的对数或对数的形式，再利用函数的单调性转
,,a b c 的大小关系为（）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b << 【答案】C
【解析】由题意：()2
21log log 55a f f ?
?
=-= ???
，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，
据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：
()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，
即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项．
【例3】【2017高考新课标I 理数】设x 、y 、z 为正数，且
235x y z ==，则
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
【答案】D
【解析】令235(1)x
y
z
k k ===>，则2log x k =，
3log y k =，5log z k =，∴
22lg lg3lg9
13lg 23lg lg8
x k y k =?=>，则23x y >，22lg lg5lg 25
15lg 25lg lg32
x k z k =?=<，则25x z <，故选D ．
化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与对数相关的函数模型，也是相对较难．
III ．理论基础·解题原理 考点一 对数与对数的运算性质 （1）对数的定义
如果x
a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数
的底数，N 叫做真数． （2）几种常见对数
2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否
第31题 三角函数的图象 I ．题源探究·黄金母题 例1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）1sin(3),23y x x R π=-∈； （2）2sin(+),4 y x x R π =-∈； （3）1sin(2),5y x x R π=--∈；（4）3sin(),63 x y x R π=-∈； 【解析】 （1） （2） （3 ） （4 ） 精彩解读 【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第16题） 【母题评析】本考查了如何利用五点 法 去 画 函 数 sin()y A x b ω?=++的图象，同 时培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ω?=++的性质有 了进一步的了解，为以后解决由图定式问题奠定了基础． 【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别 是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式． 例2．（1）用描点法画出函数sin ,[0, ]2 y x x π =∈的图象． （2）如何根据（1）题并运用正弦函数的性质，得出函数 sin ,[0,2]y x x π=∈的图象； （3）如何根据（2）题并通过平行移动坐标轴，得出函数 【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第17题 【母题评析】本题是一道综合性问 题，考查了如何用五点法作图、如
何利用对称性进行图象变换以及图象的平移变换．培养了学生的作图、识图能力，对 sin()y A x b ω?=++的性质有了 进一步的了解． 【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式． 【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第18题 【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了函数图象的平移变换．加深了学生对周期变换、振幅变换、相位变换的进一步了解． 【思路方法】使学生进一步认识到数形结合思想在解决函数的问题中的地位，以便引起学生对数形结合思想的重视．
第65题 空间角的计算 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD=DC,点E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F. 图3.2-7 E A D B C P F (1)求证:PA//平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D 的大小. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）600 . 【解析】如图所示建立空间直角坐标系,点D 为坐标原点,设DC=1. y x z 图3.2-8 G E A D B C P F （3）解:已知PB ⊥EF,由(2)可知PB ⊥DF,故 ∠EFD 是二面角C-PB-D 的平面角. 设点F 的坐标为(x,y,z),则)1,,(-=z y x . 因为k =,所以0=?, 所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0, 所以31= k ，点F 的坐标为)3 2 ,31,31(。 又点E 的坐标为)21 ,21,0(， 所以)6 1 ,61,31(--=，因为 cos FE FD EFD FE FD ?∠= =， 1111121(,,)(,,)136633361266 3--?---==? 即∠EFD=600 ，即二面角C-PB-D 的大小为600 . 【点睛】直线与平面平行与垂直的证明,二面角大小的求解是高热点中的热点,几乎每年必考,而此 例题很好的展现了,用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小. II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标II 理10】已知直三棱柱
2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( )
A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题
17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点
专题1 压轴选择题1 1．设函数，若，则实数a的取值范围是( ) A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C． 2．已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为. 故选：D 3．已知函数，且，则不等式的解集为 A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 函数，可知时，， 所以，可得解得． 不等式即不等式，
可得：或， 解得：或，即 故选：C． 4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则( ) A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 由可得，，所以，故函数的周期为，所以，又当时，，所以，故．故选D． 5．在中，，，，过的中点作平面的垂线，点在该垂线上，当 时，三棱锥外接球的半径为（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 因为，，，所以，因此为底面外接圆圆心，又因为平面，所以外接球球心在上，记球心为，连结，设球的半径为，则， 所以，又，所以在中，，即，解得.故选D
6．已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 由，及得，，，， 如图，不妨设点在轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径， 令，整理得，则为这个一元二次方程的两不等实根， 所以 于是圆柱的体积， 当且仅当，即时，等号成立.故选B 7．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 根据题意，令其导数， 若函数满足，则有，即在上为增函数， 又由，则， ，又由在上为增函数，则有； 即不等式的解集为（0，2）； 故选：D．
2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积 的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ）
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+
第64题 空间垂直关系的证明 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ； （2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ?的重心 （三角形三条中线的交点）． 【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1 111DD B D D = ∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，， 由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ?的外心.又11A BC ?是正三角形， ∴点H 为11A BC ?的中心，也为11A BC ?的重心． H C 1 D 1 B 1 A 1 C D A B II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角 A -P B - C 的余弦值. 【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出 AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB ∥CD ，就可证明出AB ⊥平 面PAD .进而证明平面PAB ⊥平面PAD .试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ， CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平 面PAD .又AB ?平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）略 【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四 面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D –A E –C 的余弦值. 【答案】(1)证明略；(2) 7 7 . 【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直； 解析：（1）由题设可得，ABD CBD ???，从而 AD DC = 又ACD ?是直角三角形，所以 0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则
2018年数学高考全国卷3答案
参考答案： 13. 14. 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设的公比为，由题设得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，则.由得，此方 程没有正整数解. 若，则.由得，解得. 综上，. 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 12 3-3{}n a q 1 n n a q -=4 2 4q q =0q =2q =-2q =1 (2)n n a -=-1 2n n a -=1 (2) n n a -=-1(2)3 n n S --= 63 m S =(2) 188 m -=-1 2n n a -=21 n n S =-63 m S =2 64 m =6m =6m =
（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 7981 802 m +==
2019年高中数学 黄金100题系列 第61题 三视图与直观图问题 理 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图 计算它的表面积与体积（尺寸如图，单位： cm ，π取3.14，结果精确到2 1cm ，可用计算器） 【解析】由奖杯的三视图知奖杯的上部是直径为4cm 的球，中部是一个四棱柱，其中上、下底面是边长分别为8cm 、4cm 的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20cm 、8cm 的矩形，另两个侧面是边长分别为20cm 、4cm 的矩形，下部是一个四棱台，其中上底面是边长分别10cm 、8cm 的矩形，下底面是边长分别20cm 、16cm 的矩形，直棱台的高为2cm ，所以它的表面各和体积分别为11933 cm 、10673 cm ． 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视 图 想象出空间几何体的形状并画出其直观 图,具体方法为； II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标1理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】B 【解析】分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体平面内只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和为1 2(24)2122 ?+?? =，故选 B. 【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 【例3】【2017课标II 理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1 2i 1 2i 4 3 4 3 i 3 4 3 4 A ． i B ． 5 C ． i D ． i 5 5 5 5 5 5 5 2．已知集合 A x ，y x 2 y 2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B ． 8 C ． 5 D ． 4 3．函数 f e x e x 的图像大致为 x x 2 A B C D 4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b ) A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 2 2 5．双曲线 x 2 y 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a b A ． y 2x B ． y 3x C ． y 2 D ． y 3 x x 2 2 6．在 △ABC 中， cos C 5 ，BC 1 ， AC 5，则 AB 开始 2 5 N 0,T A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 i 1 1 1 1 1 1 7．为计算 S 1 3 ? 99 ，设计了右侧的程序框图，则在 是 100 否 2 4 100 i 空白框中应填入 1 A ． i i 1 N N S N T i B ． i i 2 T T 1 输出 S i 1 C ． i i 3 结束 D ． i i 4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1 B ． 1 1 1 A ． 14 C ． D ． 12 15 18 ABCD A B C D AD DB
2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、 圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表 面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、 得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入 第三产业收入 其她收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入 养殖收入 其她收入 第三产业收入 建设后经济收入构成比例 A B
专题3 数列与概率 一、单选题 1．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示. 给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个 【答案】C 【解析】 根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到③错误. 故答案为：C. 2．某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为 A．8 B．7 C．9 D．168 【答案】A 【解析】 甲班学生成绩的平均分是85，
， 即． 乙班学生成绩的中位数是83， 若，则中位数为81，不成立． 若，则中位数为， 解得． ， 故选：A． 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( ) A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年减少 C．各年的月接待游客量高峰期大致在月 D．各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性较小，变化比较稳定 【答案】D 【解析】 选项：折线图整体体现了上升趋势，但存在年月接待游客量小于年月接待游客量的情况，故并不是逐月增加，因此错误； 选项：折线图按照年份划分，每年对应月份作比较，可发现同一月份接待游客数量逐年增加，可得年接待游客量逐年增加，因此错误； 选项：根据折线图可发现，每年的，月份接待游客量明显高于当年其他月份，因此每年的接待游客高峰期均在，月份，并非，月份，因此错误； 根据折线图可知，每年月至月的极差较小，同时曲线波动较小；月至月极差明显大于月至月的极
第16题对数函数 I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-， (0,1)a a >≠且． （1）求函数()()f x g x +的定义域； （2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1）由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数 ()()f x g x +的定义域为(1,1)-． （2）根据（1）知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- ∴函数()()f x g x +的定义域关于原点对称． 又∵()()log (1)log (1)a a f x g x x x -+-=-++ ＝()()f x g x +， ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数． 精彩解读 【试题来源】人教版A 版必修一第75页B 组第4题 【母题评析】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，能达到考查运算能力以及代数恒等变换能力． 【思路方法】求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，还须考虑对数的真数必须大于0．判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断()f x 与()f x -的关系，进而判定． II ．考场精彩·真题回放 【例1】【2017高考北京卷】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与M N 最接近的是（） （参考数据：lg3≈0．48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093 【答案】D 【解析】设 361 803 10 M x N ==，两边取对数，361 36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=?-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D ． 【例2】【2017高考天津卷文理】已知奇函数()f x 在R 上是 增函数．若0.8 221 (log ),(log 4.1),(2)5 a f b f c f =-==，则 【命题意图】本类题考查对数型函数的定义域与奇偶性． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查对数运算构成的对数型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、对数函数的图象、在实际生活中的应用． 【难点中心】（1）处理含有参数的对数型 函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用； （2）应用对数函数的图象时，常常涉及 不太规范的对数型函数的图象，其作法可能较难，常常利用转化思想；（3）解决对数不等式问题的方法就是化为同底的对数或对数的形式，再利用函数的单调性转
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案解析 一、选择题 1.【答案】C 【解析】()()() 2 1i 2i 2i 2i i 1i 1i 2z --=+=+=+-,则1z =,选C . 2.【答案】B 【解析】2{|20}R C A x x x =--≤={|12}x x -≤≤,故选B . 3.【答案】A 【解析】经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,所以建设前与建设后在比例相同的情况下,建设后的经济收入是原来的2倍,所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%,故选A . 4.【答案】B 【解析】令{}n a 的公差为d ,由3243S S S =+,12a =得113(33)67a d a d +=+3d ?=-,则51410a a d =+=-,故选B . 5.【答案】D 【解析】x R ∈,3232()()(1)(1)f x f x x a x ax x a x ax -+=-+--++-+2 2(1)a x =-0=,则1a =,则3()f x x x =+,2()31f x x '=+,所以(0)1f '=,在点(0,0)处的切线方程为 y x =,故选D . 6.【答案】A 【解析】1111113()()()2222444BE BA BD BA BC BA AC AB AC AB =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 则3144 EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,故选A . 7.【答案】B 【解析】将三视图还原成直观图,并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形,从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短,长度为 故选B .
第5题 含参数的简易逻辑问题 I ．题源探究·黄金母题 【例1】下列各题中，那些p 是q 的充要条件？（节选） （1）p ：0b =，q ：函数()2f x ax bx c =++是偶函数； 【解析】 ,p q ?∴p 是q 的充要条件． 精彩解读 【试题来源】人教A 版选修1-1第11页例3． 【母题评析】本题考查充要条件的判断，容易题． 【思路方法】直接应用定义进行判断． II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ ||1212 θ- <”是“1 sin 2 θ< ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】当1a b ==时，有()2 1i 2i +=，即充分性成立．当 ()2 i 2i a b +=时， 有2 2 2i 2i a b ab -+=，得220, 1, a b ab ?-=?=?解得1a b ==或1a b ==-，即必要性不成立，故选A ． 【例3】【2014 福建理数】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点， 则“1k =”是“ABC △的面积为1 2 ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【解析】当1k =时，:1l y x =+，由题意不妨令 ()1,0A -，()0,1B ，则11 1122 AOB S =??=△，所以充分性成立；当1k =-时，:1l y x =-+，也有1 2AOB S =△， 所以必要性不成立． 【命题意图】本类题通常主要考查充分条件与必要条件的判定． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密． 【难点中心】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ” 的真假．并注意和图示相结合，例如“p ? q ”为真，则p 是q 的充分条件． 2．等价法：利用p ? q 与非q ?非p ， q ? p 与非p ?非q ， p ? q 与非q ?非p 的 等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若A ? B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若B A ?，则A 是 B 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要 条件；若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件；若B 是A 的真子集，则A 是B 的 必要不充分条件．
2018年高考全国2卷理科数学W o r d版 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
全国二——理科数学 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共5页。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 2.已知集合A=｛（x，y）｜x 2+y 2≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为 A.9 B.8 C.5 D.4 3.函数f（x）=e 2-e-x/x 2的图像大致为 A. B. C. D. 4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）= A.4 B.3 C.2 D.0 5.双曲线x 2/a 2-y 2/b 2=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为
A.y=±x B.y=±x C.y=± D.y=± 6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= A.4 B. C. D.2 7.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中 应填入 A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的 成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数 的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不 同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 9.在长方体ABCD-A 1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面 直线AD1与DB1所成角的余弦值为 A. B. 10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是 A. B. C. D.π 11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）= A.-50 B.0 C.2 D.50 12.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶 点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为 A.. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为________。 14.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_________。
第 37题 三角形中的不等问题 I ．题源探究·黄金母题 【例1】海中一小岛，周围mile n 8.3内有暗礁，海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东70°，航行 mile n 8以后，望见这岛在北偏东60°，如果这艘轮船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？ 【解析】根据题意作出如图所示，其中设C 为岛所在位置，B A ,是该轮船航行前后的位置，过C 作 AB CD ⊥于D ，根据题意知，在△ABC 中，8=AB ，?=∠20CAB ，?=∠150ABC ， ∴CAB ABC ACB ∠-∠-?=∠180=10°，∠CBD=30°， 由正弦定理得，ACB AB CAB BC ∠=∠sin sin ， ∴ACB CAB AB BC ∠∠= sin sin =? ? 10sin 20sin 8≈15．7560， ∴=∠=CBD BC CD sin ≈7．878＞3．8， ∴没有触礁的危险． 答：没有触礁的危险． 精彩解读 【试题来源】人教版A 版必修5第24页复习参考题A 组第2题． 【母题评析】本题考查利用正余弦定 理解与三角形有关的综合问题，是常考题型． 【思路方法】根据题意画出图形，C 为岛所在位置，B A ,是该轮船航行前后的位置，过C 作AB CD ⊥于D ，根据题意知，在△ABC 中，8=AB ， ?=∠20CAB ，?=∠150ABC ，要 判断是否触礁，即需要计算C 点到直线AB 的距离CD ，在△ABC 中利用正弦定理计算出BC ，在通过解直角三角形即可求出CD ． II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2016年高考北京理数】在?ABC 中， 222+=a c b ． （1）求B ∠ 的大小； （2 cos cos A C + 的最大值． 【解析】（1）由余弦定理及题设 得 222cos 2a c b B ac +-===， 【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理和三角公式求与三角形有关的三角式的范围问题，考查运算求解能 力，是中档题． 【考试方向】这类试题在考查题型上，
2018年全国普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =（ ） A 、{x|-1
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的 长度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围 是( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019 年全国统一高考数学试卷（新课标1) 未命名 一、单选题 1．设z3i，则 z = 12i A ．2 B ．3C．2 D ． 1 2．已知集合U1,2,3,4,5,6,7， A2,3,4,5，B2,3,6,7 ，则B C U A A．1,6B．1,7C．6,7 D ．1,6,7 3．已知a log 2 0.2, b 20.2 , c0.2 0.3，则 A ．a b c B ．a c b C．c a b D ．b c a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1（5 1 ≈ 0.618，称为黄金分割比例 )，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外， 22 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1 ．若某人满足上述2 两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C． 185 cm D ． 190cm 5．函数 f(x)=sin x x在[ —π，π]的图像大致为 cos x x2 A．B． C．D．
6．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1， 2，?， 1 000，从这 些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则 下面 4 名学生中被抽到的是 A ．8 号学生 B ．200 号学生 C ． 616 号学生 D ． 815 号学生 7． tan255° = A ．－2－ 3 B ．－ 2+ 3 C ．2－ 3 D ．2+ 3 8．已知非零向量 π A ． 6 9．如图是求 2 a ， b 满足 a =2 b ，且（ a –b ） b ，则 a 与 b 的夹角为 π 2π 5π B ． C ． D ． 3 3 6 1 1 的程序框图，图中空白框中应填入 2 1 2 1 1 1 1 A ．A= A B ．A= 2 C ． A= D ．A=1 2 A 1 2A 2A x 2 y 2 1(a 0,b 0) 的 一条渐近线的倾斜角为 130 °，则 C 的离心率为 10．双曲线 C: b 2 a 2 A ．2sin40 ° B ．2cos40 ° 1 1 C ． D ． sin50 cos50 11．△ ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 asinA －bsinB=4csinC ，cosA= － 1 ，则 b = 4 c A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 12．已知椭圆 C 的焦点为 F 1( 1,0) ， F 2( 1,0) ，过 F 2 的直线与 C 交于 A ， B 两点 .若 │ AF │ 2│ F B │，│ AB │ │ BF │，则 C 的方程为