专题1 压轴选择题1
1．设函数，若，则实数a的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
当时，不等式可化为，即，解得；
当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C．
2．已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为.
故选：D
3．已知函数，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
函数，可知时，，
所以，可得解得．
不等式即不等式，
可得：或，
解得：或，即
故选：C．
4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则( ) A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由可得，，所以，故函数的周期为，所以，又当时，，所以，故．故选D．
5．在中，，，，过的中点作平面的垂线，点在该垂线上，当
时，三棱锥外接球的半径为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为，，，所以，因此为底面外接圆圆心，又因为平面，所以外接球球心在上，记球心为，连结，设球的半径为，则，
所以，又，所以在中，，即，解得.故选D
6．已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由，及得，，，，
如图，不妨设点在轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径，
令，整理得，则为这个一元二次方程的两不等实根，
所以
于是圆柱的体积，
当且仅当，即时，等号成立.故选B
7．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
根据题意，令其导数，
若函数满足，则有，即在上为增函数，
又由，则，
，又由在上为增函数，则有；
即不等式的解集为（0，2）；
故选：D．
8．如图，四棱锥的底面为矩形，矩形的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，且球的表面积为，点在球面上，则四棱锥体积的最大值为（）
A．8 B．C．16 D．
【答案】D
【解析】
因为球O的表面积是，
所以，解得．
如图，四棱锥底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，
设矩形的长宽为x，y，
则，当且仅当时上式取等号，
即底面为正方形时，底面面积最大，
此时点P在球面上，
当底面ABCD时，，即，
则四棱锥体积的最大值为．
故选：D．
9. 在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥
的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
三棱锥的体积为，，
，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距离d等于三棱柱的高P A的一半，
是边长为的正三角形，
外接圆的半径，
球的半径为R=，
球O的表面积为．
故选：D．
10. 已知函数f（x）＝（kx+）e x﹣2x，若f（x）＜0的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为（）
A．[，）B．（，]
C．[）D．[）
【答案】A
【解析】
由f（x）＜0的解集中有且只有一个正整数，得（kx+）e x＜2x，即kx+＜有且只有一个正整数，令g （x）＝，则g′（x）＝，当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．作出函数g（x）与y＝kx+的图象如图所示，y＝kx+的图象过定点P（0，），A（1，），B（2，），∵，．∴实数k的取值范围为[，）．
故选：A．
11．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
设，
则，
在上递减，在上递增，
，且时，，
有三个零点等价于与的图象有三个交点，
画出的图象，如图，
由图可得，时，与的图象有三个交点，
此时，函数有三个零点，
实数的取值范围是，故选D.
12．三棱锥中，平面ABC，，的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，由的面积为2，得，进而得到外接圆的半径和到平面的距离为，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解.
【详解】
如图所示，设，由的面积为2，得，
因为，外接圆的半径，
因为平面，且，
所以到平面的距离为，
设球的半径为R，则，
当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D.
13．若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )
A．B．（）C．D．（）
【答案】D
【解析】
当时，为减函数，令易得，所以只需有两个零点，令则问题可转化为函数的图象与的图象有两个交点.求导可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，由此可知当时，函数取得
最小值，即．在同一坐标系中作出函数与的简图如图所示，
根据图可得故选D.
14. 已知在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则面积的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为
所以，
故，由余弦定理，得
所以，当且仅当时取等号，所以，
当且仅当时取等号,面积的最大值是,故选C.
15.过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设，
，P是线段AB的中点，则，
过点且倾斜角为的直线方程为：，即：
联立直线与椭圆方程得：
，整理得：
，，代入得：,椭圆的离心率
为:.
故选：C.
16. 正三棱锥中，已知点在上，，，两两垂直，，，正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由，，两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组成，
三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，
∴,
过作，为垂足，,在中，，，
∴，
当垂直截面时，截面圆半径最小.
，.
故选C
17.过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，
设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2?2c﹣3＝2?8﹣3＝13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选：D．
18. 已知函数，若方程（为常数）有两个不相等的根，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
当x＞0时，函数f′（x）＝2﹣（lnx+1）＝1﹣lnx，
由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，
由f′（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，得x＞e，当x值趋向于正无穷大时，y值也趋向于负无穷大，即当x ＝e时，函数f（x）取得极大值，
极大值为f（e）＝2e﹣elne＝2e﹣e＝e，
当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，是二次函数，在轴处取得最大值，
作出函数f（x）的图象如图：
要使f（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，
则a＜0或＜a＜e，
即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪，
故选：D．
19. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意，可得，
若在区间上单调递减，则在区间上恒成立，
即恒成立，
令，
则，故的最大值为1，此时，即，
所以的最大值为，所以，故选D.
20.抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为
A．B．1 C．D．2
【答案】B
【解析】
设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（）2，
∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2
得到|AB|（a+b）＝|CD|．
∴1，即的最小值为1．