举例说明化归三个方法
化归是数学中常用的一种方法，用于将问题转化为更简单的形式，从
而更容易解决。下面举例说明化归的三种常见方法：代换法、递推法和对
称法。
一、代换法
代换法是指通过引入新的变量或函数，将原问题转化为一个等价的、
更易解的问题。
例1：求解方程x^3-4x^2+5x+2=0的根。
解：我们可以使用代换法将该方程转化为一个更简单的形式。设
y=x-2，则有x=y+2、将x的表达式代入原方程，得到(y+2)^3-
4(y+2)^2+5(y+2)+2=0。化简后得到y^3+2y-8=0。这是一个更易解的方程，我们可以直接求解它得到y的解，再将y的解带回原方程中求得x的解。
例2：证明任意正整数都可以表示为4个整数的平方和。
解：我们可以使用代换法将该问题转化为一个更易证明的形式。设
n=4k+r，其中k为非负整数，r为0、1、2或3、我们可以证明，对于
r=0,1,2,3的情况，都存在一组整数a、b、c、d使得n=a^2+b^2+c^2+d^2、进一步地，我们可以利用代换法证明r=0的情况，然后利用模4的性质证
明r=1,2,3的情况。
二、递推法
递推法是指通过已知的几个或一些特殊情况的解，推导出问题的一般解。
例3：求解斐波那契数列。
解：斐波那契数列是以递推方式定义的数列，其中每一项都等于前两项的和。已知第一项F(1)=1、第二项F(2)=1，我们可以使用递推法求解其余的项。根据递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，可以依次计算出F(3)、
F(4)、F(5)等，得到整个数列的解。
例4：求解汉诺塔问题。
解：汉诺塔问题是一个经典的递推问题，要求将n个盘子从一根柱子移动到另一根柱子，且在移动过程中要满足一个规则：任意时刻都不能将较大的盘子放在较小的盘子上。已知当n=1时，只需要进行一次移动。根据这个特殊情况的解，我们可以通过递推的方式求解出移动n个盘子的总步数和移动路径。
三、对称法
对称法是指通过寻找问题中的其中一种对称关系，将问题转化为一个与之对称的更易解的问题。
例5：求解圆与直线的交点。
解：我们可以利用对称法简化求解圆与直线的交点的问题。设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，直线的方程为y = kx + c，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，k为直线斜率，c为截距。观察圆的方程可以发现，如果将x平移到a的对称位置a'，y平移到b的对称位置b'，则交点的坐标也会发生对称变化。因此，我们可以在圆心和直线上沿着对称位置的轴线进行变换，将原问题转化为一个相对简单的问题，然后再将计算得到的交点坐标转回到原坐标系中。这样，我们可以通过寻找问题中的对称关系，简化求解过程。
以上是化归的三种常见方法的例子，代换法通过引入新的变量或函数将问题转化；递推法通过已知的特殊情况的解推导出一般解；对称法通过寻找问题中的对称关系简化求解过程。这些方法在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
(毕业论文)数学中的化归思想方法
数学中的化归思想方法 ——例谈化归法在解题中的运用 姓名：林军玉 摘要：所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法，参数法，数形结合法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。 关键词：转化变形还原化归法实现化归 一．化归法概述 数学是探求、认识和刻划自然规律的重要工具。在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于习题的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出习题解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。 这就是在数学方法论中我们学习到的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，“化归”方法在中学数学教材中是普遍存在，到处可见，与中学数学教学密切相关。如在引入“三角形内角和定理”时，可把三角形的三个角剪下来，可以拼成一个平角，这就是转化，也可用下法引入，如下图（1）中：a∥b，则∠1＋∠2＝？（180°），图（2）中∠1＋∠2与180°的关系？（小于），少掉的那部分到哪儿去了？（∠3，即∠4）于是有∠1＋∠2＋∠4＝180 a
摘要：化归方法是一种重要的数学思想方法把未解决的问题，通过某种转化，归结为一类比较容易解决的问题，从而获得原问题解答. 应用化归方法解题常常分为两步：第一步解决原问题的一个特殊情况；第二步将原问题化归为特殊问题. 关键词：化归原则，化归方法，化归应用 Abstract: The reduction method is an important mathematical method.It turns the unsolved problem into the problem easy to solve. There are two steps to solve problems by the way of reduction. First,we must solve a special case of the original problem. Second,we reduce the original problem to the special case we treated. Key words:reduction principle，reduction method，applications of reduction
目录 1引言 (4) 2 化归的定义 (4) 3 化归的应用 (4) 3.1 通过条件的变换实现化归 (5) 3.2 通过问题的变换实现化归 (5) 3.3 通过图形变换实现化归 (6) 3.4 通过数量关系的变换实现化归 (8) 4 化归方法解题的注意点 (8) 4.1 紧盯化归目标,保证化归的有效性,规范性 (8) 4.2 转化的等价性，保证逻辑上的正确 (8) 4.3 转化的多样性，设计合理的转化方
举例说明化归三个方法 化归是数学中常用的一种方法，用于将问题转化为更简单的形式，从 而更容易解决。下面举例说明化归的三种常见方法：代换法、递推法和对 称法。 一、代换法 代换法是指通过引入新的变量或函数，将原问题转化为一个等价的、 更易解的问题。 例1：求解方程x^3-4x^2+5x+2=0的根。 解：我们可以使用代换法将该方程转化为一个更简单的形式。设 y=x-2，则有x=y+2、将x的表达式代入原方程，得到(y+2)^3- 4(y+2)^2+5(y+2)+2=0。化简后得到y^3+2y-8=0。这是一个更易解的方程，我们可以直接求解它得到y的解，再将y的解带回原方程中求得x的解。 例2：证明任意正整数都可以表示为4个整数的平方和。 解：我们可以使用代换法将该问题转化为一个更易证明的形式。设 n=4k+r，其中k为非负整数，r为0、1、2或3、我们可以证明，对于 r=0,1,2,3的情况，都存在一组整数a、b、c、d使得n=a^2+b^2+c^2+d^2、进一步地，我们可以利用代换法证明r=0的情况，然后利用模4的性质证 明r=1,2,3的情况。 二、递推法 递推法是指通过已知的几个或一些特殊情况的解，推导出问题的一般解。 例3：求解斐波那契数列。
解：斐波那契数列是以递推方式定义的数列，其中每一项都等于前两项的和。已知第一项F(1)=1、第二项F(2)=1，我们可以使用递推法求解其余的项。根据递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，可以依次计算出F(3)、 F(4)、F(5)等，得到整个数列的解。 例4：求解汉诺塔问题。 解：汉诺塔问题是一个经典的递推问题，要求将n个盘子从一根柱子移动到另一根柱子，且在移动过程中要满足一个规则：任意时刻都不能将较大的盘子放在较小的盘子上。已知当n=1时，只需要进行一次移动。根据这个特殊情况的解，我们可以通过递推的方式求解出移动n个盘子的总步数和移动路径。 三、对称法 对称法是指通过寻找问题中的其中一种对称关系，将问题转化为一个与之对称的更易解的问题。 例5：求解圆与直线的交点。 解：我们可以利用对称法简化求解圆与直线的交点的问题。设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，直线的方程为y = kx + c，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，k为直线斜率，c为截距。观察圆的方程可以发现，如果将x平移到a的对称位置a'，y平移到b的对称位置b'，则交点的坐标也会发生对称变化。因此，我们可以在圆心和直线上沿着对称位置的轴线进行变换，将原问题转化为一个相对简单的问题，然后再将计算得到的交点坐标转回到原坐标系中。这样，我们可以通过寻找问题中的对称关系，简化求解过程。
数学分析中的化归法 目录 摘要 (1) Abstract (1) 1. 绪论 (2) 1.1 化归法的背景 (2) 2. 详谈化归法 (3) 2.1 化归法的分类 (3) 2.2 常见的化归方法及化归思想 (3) 2.2.1 化归的方法 (3) 2.2.2 化归的思想 (4) 2.3 化归法的原则 (5) 2.3.1 化归的方向与一般模式 (5) 2.3.2 化归法的原则 (5) 3. 数学分析中的化归 (6) 3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6) 3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12) 3.2.1 在极限中的体现 (12) 3.2.2 在微分中的体现 (15) 3.2.3 在积分中的体现... .. (16) 3.2.4 在级数中的体现 (22) 3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24) 4.小结 (25) 参考文献 (26) 致谢 (27)
数学分析中的化归法 摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。 关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用 中图分类号：O1-0 The reduction method of mathematical analysis Abstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction. Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method
高考数学化归与转化思想及方法讲解 化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略. 化归与转化的思想,遵循以下五项基本原则: (1)化繁为简的原则. (2)化生为熟的的原则. (3)等价性原则. (4)正难反则易即逆向思维原则.当问题从正面解决困难时,可以转化为问题的逆否命题或考虑反证法.(5)形象具体化原则.将抽象的数学信息转化为可以观察,或者能够定性研究的具体问题. 下面通过一些具体例子说明化归与转化思想中主要的一些方法. 1.用构造法实现化归与转化 例1 已知,3232,x y y x R y x --+>+∈且那么（ ） 0y x .<+A 0y x .>+B 0 x y .
数学中的化归方法及其应用 班级电子商务10-01 学号 20104045 姓名鲁婷 数学思想是对数学事实、概念、理论和方法的本质认识，是数学方法的灵魂，揭示了数学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化中的辩证唯物主义观点，数学方法是数学思想的具体表现，它们是数学知识的核心。在数学中比较常用和基本的数学思想及方法是化归（转化）。 一、化归思想方法及化归原则 1、化归的思想 “化归”是转化和归结的简称，是数学家们十分典型的思维特点，匈牙利数学家罗莎•彼得在《无穷的玩艺》中分析数学家在面临所要解决的问题时提出：“他们不是对问题实行正面的攻击，而是不断的将它变形直至将它转化成能够解决的问题。”化归，是运用某种方法和手段，把有待解的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为所熟悉的规范性问题来解决的方法。 2、化归的一般原则 化归原则的结构中蕴涵着三个基本要素，即化归的对象、目标、和方法。化归的对象就是待解问题中需要变更的成分，化归的目标是所要达到的规范问题。 化归原则的核心是实现问题的规范化，也就是把一个生疏的，复杂的问题化为熟悉的、简单的问题，以便利用已知的理论、方法和程序实现问题的解决。因此熟悉化和简单化是化归的基本方向。 化归与转化的一般原则是： ①化归目标简单化原则； ②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。）； ③具体化原则； ④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已 经建立起来的数学模式。如二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）；椭圆方程）； ⑤低层次化原则（解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决。这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单）。
化归方法 一、化归方法在小学数学教学中的体现 在小学数学教学中，小数乘法、除法分别化归为整数乘法、除法；异分母加法、减法化归为同分母加法、减法，进而又化归为整数（分子）的加法、减法；平行四边形、三角形、梯形、圆的面积公式及圆柱的体积公式都是通过化归得到的；组合图形的面积计算也是通过化归的方法进行计算的；因此，化归方法在小学数学教学中有相当多的体现。 二、化归方法的基本知识 1、一个未必真实的故事 据说有人给一位数学家和一位物理学家同时提了如下的两个问题： 问题1 假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它是空的）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？ 问题2假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它盛满了水）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？ 对于问题在1，两人的回答是一致的：在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。而对于问题2，两人的回答却大相径庭，物理学家的回答是：点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。数学家的回答是：倒掉壶中的水，把问题2转化为问题1，由于问题1已经解决，所以问题2也随之解决。 这个故事或许太夸大了，但它却形象地说明了数学家思维方式的重要特征。 2、化归方法的含义 从字面上看，“化归”即转化和归结的意思。“化归方法”一般是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。 例1平行四边形面积学生不会求，但通过剪拼的方法把平行四边形转化为长方形，而长方形的面积学生是会求的，再通过原平行四边形和转化所得的长方形关系的比较，得到求平行四边形面积的一般方法。 化归是解决数学问题的一种极为重要的思想方法，它甚至被称为是数学家的
进行化归思想方法的教学。 在中学数学中，经常出现的化归方法有生熟转化，映射转化，数形转化，构造转化及特殊法化归。它的形式也是多中多样的主要有纵向化归，横向化归，同向化归及逆向化归。这些化归方法和形式，始终离不开化归思想的三要素，那就是化归的对象，化归的目标和化归的过程。（引用张雄）。化归的实质是不断的变更问题，有时变更问题的条件，有时是变更问题的结论，有时是将整个问题进行变更，变更为一个与原命题等价的问题。要正确的运用化归思想就要分清化归的对象，目标，来考虑化归过程中要使用的化归方法形式。下面就结合中学数学题目中用到化归思想来讨论一下中学数学中的化归方 法及教学。
1．随着现代数学发展和新课程改革深入，化归思想方法做为一般方法原则在现代数学形式下主要表现为关系（relationship）映射(mapping)反演(inversion)方法，简称RMI 法 。这一方法是有我国数学家徐利治教授提出来的。（问题） （问题 ） （结果 ） （结果）。在求复杂问题时可能要借助多步的RMI程序。在中学数学中适当的渗透RMI方法的思想，有助培养学生思维的灵活性，独创性和敏感性，提高学生的现代数学意识。 例6．过点P（2，2）并和椭圆 相切的直线方程？ 分析：运用RMI法，对椭圆进行伸缩变换，将椭圆换成圆的问题。 令
， ，则 P（2，2）即： 即 即
另一切线不存在，即 因此要求的切线方程为 。 2．化归思想不只在函数中用的是反演映射法，在函数中常用的还有数形化归，以及函数的恒等变形化归。其中例1就是典型的数形结合的化归思想，下面在看一个函数的恒等变形化归的例子： 例7．若 分析：此题若以x值代入来求函数y的值太繁琐了，若利用恒等变形化归，即可化繁为简。 即
数学化归的思想方法 数学思想方法是人类科学思想方法的重要组成部分，随着数学教育改革的深入以及数学在社会发展进程中的作用日益显 现而更加深入人心. 化归的思想方法是一种重要的数学思想方 法，在数学教育中也是一种解决数学问题的基本思想方法. 在某 种程度上，化归方法也是数学家区别于其他科学家的主要特征之 一.因此，学习并掌握化归的思想方法对学好数学具有重要的 理论意义和现实意义 . 一、化归方法的含义、特殊性及基本模式 1．化归方法的含义 一般的，化归方法就是将欲求解的问题通过一次或多次变形转化成一个或若干个已知的或容易求解的问题，在这个转化过程 中所运用的方法就叫做化归方法. 看似一个简单的解释，但对数 学家来说却有其特殊的意义. 正如匈牙利著名数学家Rosza Peter 所说：“（化归）对于数学家的思维过程来说是很典型的， 他们往往不对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题. ”［ 1］ 2．数学化归思想方法的特殊性 Rosza Peter 在其名著《无穷的玩艺》曾经举过一个“烧开水”的例子［ 2］，生动地说明了化归思想方法的实质. “假设在 你面前有煤气灶、水龙头、水壶，要烧开水，该怎么做？”相信
大多数人都会这样做：往水壶里放满水，把水壶放上煤气灶，点 火即可 . 此时，如果其他条件都没变，只是水壶里已经放满了水 . 要烧开水，又该如何做？大多数人会毫不犹豫地说，直接把水壶放上煤气灶，点火就可以了 . 然而，数学家不是这样，他们这样做：把水倒掉 . 这样就把问题归结为上一个问题 . 而上个问题已经解决了，第二个问题自然就解决了 . 在这里，数学家就用了一个步骤，即把水倒掉，就解决了第二个问题 . 虽然有点夸张，但这却可以看出数学思维的特殊性 . 化归的思想方法在数学中的作用由此可见一斑 . 3．化归方法的一般模式 从化归方法的含义中不难看出，应用化归方法解决问题的一 般模式可以表示为下述模型： 说明：上图中，问题 A 到问题 A′即化归过程；而解答 A′到解答A 则是问题的还原过程 . 对照“烧开水”的例子，问题A 是指第二个问题，通过“把水倒掉”转化（化归）为问题 A′（即 第一个问题），而第一个问题已经得到解决（即解答 A′），于是问题 A 的解答就是（“把水倒掉” +“解答 A′”） . 如果问题的化归需要通过多次转化，则化归方法的模式则可 通过以下模型表述： 说明：“问题”到“问题n”的过程是化归过程，而“解答n”到“解答”的过程是还原过程 . 综上所述，化归方法有以下更一般的模式：
小学数学教材中化归法及其教学方法 《义务教育数学课程标准（2019年版）》指出：“课程内容要反映社会需求、数学特点，要符合学生认知规律。它不仅包括数学结果，也包括数学结果形成过程与蕴含数学思想方法。”[1] 化归法是最重要、最基本数学思想方法之一。化归即转化归结意思，化归法就是把当前有待解决问题，通过转化，归结为已经解决或容易解决问题[2]。匈牙利著名数学家罗莎?彼得在她名著《无穷玩艺》中写到“数学往往不是对问题进行正面攻击，而是不断对它进行变形，直到把它转化成能够解决问题”。[3]我国关于化归法最早研究，起源于东汉时期成书数学巨著《九章算术》，书中很多问题解答都体现了化归法。 纵观小学数学教材，化归法贯穿于一年级到六年级始末，有着广泛应用。化归法符合小学生思维能力及他们实际生活经验，易于被他们理解与掌握。化归法有利于小学生形成完整知识结构，从而提高自学能力。学生领会了化归法后，不仅能解决学习上碰到问题，更能在生活中灵活运用。 [4]如何进行化归法教学，提高学生剖析与解决问题能力呢？本文在系统梳理与总结人教版小学数学教材中蕴含化归法基础上，对化归法进行分类，并提出一些化归法教学策略。 一、小学数学教材中化归法分类举隅 化归原则是以已知、简单、具体、特殊与基本知识为基础，将未知化为已知、复杂化为简单、抽象化为具体、一般化为特殊、非基本化为基本，从而得出正确解答。鉴于小学生年龄与学习特点，小学数学教材中化归法主要分为三类。 1.化抽象为具体 化抽象为具体，通俗地说就是把抽象枯燥数学概念转化为具体形象东西来理解方法。这种方法在小学数学教材中普遍存在。众所周知，数学是研究数量关系与空间形式科学，它研究对象都是抽象。比如数，现实生活中是没有1、2、3等数存在，它是人脑抽象产物，但一年级学生在认识100以内数时候，并没有遇到障碍与困难，而是非常自然地接受与认识了这些数，这是因为教材已经用化归法把抽象数转化为生活中具体物体个数了。教材用大量生动形象、多姿多彩图片，展示了很多生活中实物。学生们从3只小猴、3个桃子、3块橡皮擦等很多具体个数为3物体中认识了数“3”，把抽象数“3”转化为具体物体个数。这就是最朴素、最简单化归法。再比如图形，现实生活中也不存在长方形、正方形、平行四边形等几何图形。教材提供了一些生活中长方形、正方形、平行四边形等形状实物，比如四年级上册，教材用图片给出了生活中楼梯、窗格、停车位等，并要学生自己说说生活中包含平行四边形物体，从这些物体中发现平行四边形特征，并归纳概括出平行四边形概念。实际上这也是化归法，化抽象几何图形认识为具体生活实物认识。 2.化未知为已知 化未知为已知就是把未知数学问题转化为已知数学问题来解决。这种方法在“数与代数”与“图形与几何”两大领域应用非常之多。 在数与代数领域，尤其是数运算中，随处可见化未知为已知化归法。20以内退位减法与20以内不进位加法都可用化归法计算解答。如计算15减9（退位）时，可以通过将15拆分成10 加5，再用10减9得1，最后计算1加5，进而把未知15减9计算问题转化为已知1加5问题。 再如计算12加6时，可以通过将12拆分成10加2，再用2加6得8，最后计算10加8得18。通过巧妙数拆分，将未知20以内退位减法转化为已知10减一位数与一位数加一位数计算，将未知20以内不进位加法转化为已知一位数加一位数与10加一位数计算。整十数加减整十数也可转化为已知一位数加减一位数来计算。将几百几十加、减几百几十计算转化为已知两位数加、减两位数计算。同分母分数加减法转化为分子加减法，即已知整数加减法。 在图形与几何领域，化未知为已知化归法应用也很多，主要集中在图形测量。在求平行四边形面积时，可利用割补法将平行四边形面积化归为已知长方形面积来计算。[5]而三角形面积又可利用割补法或拼凑法将其化归为已知平行四边形面积来计算。而梯形面积也用割补法化归为平
高中数学思维方法训练系列课程 第2课化生为熟化难为易善于转化曲径通幽――化归与转化的思想方法 一、方法整合 1.化难为易、化生为熟、化繁为简； 2.尽可能是等价转化， 3.常见转化：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。 4.实现转化的常用方法：通过方程(组); 通过不等式; 通过函数;通过换元; 5通过升(降)维或幂; 通过辅助命题 5.高考点睛：高考中往往会以函数与方程、函数与不等式、形与数、空间与平面的转化为主要考查内容，在选择、填空及解答题中均会有所体现． 二.典例精析 例1.求值：ctg10°－4cos10° 思维启动点：分析所求值的式子，应有两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。 解法一（注：和积互化公式已不要求）： ctg10°－4cos10°＝cos sin 10 10 ° ° －4cos10°＝ cos sin cos sin 1041010 10 °°° ° - ＝sin sin sin 80220 10 °° ° - ＝ sin sin sin sin 802020 10 °°° ° -- ＝2503020 10 cos sin sin sin °°° ° - ＝ sin sin sin 4020 10 °° ° - ＝23010 10 cos sin sin °° ° ＝3 转化过程回顾：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积 解法二：ctg10°－4cos10°＝cos sin 10 10 ° ° －4cos10°＝ cos sin cos sin 1041010 10 °°° ° - ＝sin sin sin 80220 10 °° ° - ＝ 2 1 2 80220 10 ·°° ° sin sin sin - ＝26080220 10 cos sin sin sin °°° ° - ＝ sin sin()sin sin 14020220 10 °°° ° --- ＝sin sin sin 14020 10 °° ° - ＝ 28060 10 cos sin sin °° ° ＝3
举例说明化归三个方法 化归是数学中常用的思维方法之一，用于简化问题的求解过程。化归方法的核心是将原问题转化为等价的、更简单的问题来求解。在数学中，常见的化归方法有代入法、递推法和反证法。 一、代入法 代入法是将未知量或变量替换为已知量或常量的一种方法。通过找到适当的代入值，可以简化问题的复杂性。代入法常用于方程求解、函数定义、等式验证等问题中。 举例： 1.方程求解 假设有一个一元二次方程：$ax^2+bx+c=0$，其中$a \neq 0$。为了求解该方程的解，可以使用代入法。假设$x_1$为方程的一个解，将 $x_1$代入方程中，得到$a{x_1}^2 + bx_1 + c = 0$。根据这个等式，可以将$b$和$c$表示为$x_1$和$a$的函数，从而化简方程的求解过程。 2.函数定义 假设有一个函数$f(x)$的定义为$f(x)=2x+1$。为了求解$f(x)$在其中一特定点$x_0$处的值，可以使用代入法。将$x_0$代入函数定义中，得到$f(x_0)=2x_0+1$，从而得到函数在$x_0$点处的值。 二、递推法 递推法是通过已知规律的数列或关系式，利用前一项或前几项来确定后一项的方法。递推法常应用于数列、递归和动态规划等问题中。
举例： 1.斐波那契数列 斐波那契数列是一个典型的可以使用递推法求解的数列。该数列的规 律是，从第三项开始，每一项都是前两项的和。即$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$，其中$F(1)=0$，$F(2)=1$。通过递推方法，可以依次求解出数列中的每一项。 2.动态规划 动态规划是一种用于解决具有最优子结构性质的问题的方法。动态规 划的核心思想是将问题分解为多个子问题，并通过当前子问题的解来推导 出更大规模问题的解。通过递推的方式逐步求解子问题，在每一步选择最 优的解，最终得到原问题的最优解。 三、反证法 反证法是一种证明方法，利用推理的反向思维来证明一些命题的方法。反证法通常通过假设命题的否定，推导出与已知事实或已有定理矛盾的结论，从而推翻假设命题的否定，进而证明了原命题。 举例： 1.唯一分解定理 唯一分解定理是数论中一个重要的定理，它指出任何一个大于1的自 然数都可以被唯一地表示为一系列质数的乘积。为了证明这个定理，可以 采用反证法。假设存在一个大于1的自然数不能按照唯一分解定理进行分解，通过推导可以发现与已有事实或定理相矛盾，从而推翻了假设，证明 了原命题。
小学数学化归思想方法的教学策略分析 化归是小学数学中的重要思想方法之一。它是将一个较为复杂的问题化简为更简单的 问题，或将一个较长的式子、较大的数化简成更简略的形式，从而方便运算和解题。在小 学数学教学中，教师既要让学生掌握化归方法，更要培养学生的化归思想能力。 化归的思想方法主要有以下几种： （1）同类化归。所谓同类化归，就是将不同的物品按照它们的某一种特征分成若干类，使得同一类中的物品具有相同的特征。例如将几只不同颜色的汽车分类，就可以得到同颜 色的汽车一类。 在教学上，可以通过分类游戏、分类图、分类讨论等方式培养学生分类的能力，使他 们能够将不同的事物有条理地分成若干类。 （2）差减化归。所谓差减化归，就是不断地将两个数或两个式子相减，使它们逐渐接近或变成同一个数或式子。例如，将1+2+3+……+100化简为 (1+100)+(2+99)+……+(50+51)。 在教学上，可以通过数列游戏、应用题、练习题等方式让学生了解差减化归的思想， 掌握化简方法。 （3）配对化归。所谓配对化归，就是将两个不同但有某种联系的数或式子配对相减或相加，使化简后的数或式子更简略。例如，ax+bx化简为(a+b)x。 （4）分组化归。所谓分组化归，就是先将数列或式子等分成若干组后再加或减，使化简后的结果更便于计算或分析。例如，将3、5、7、9、11、13六个连续的奇数分成两组后相加，得到2×12=24。 二、化归的教学策略 （1）提高学生的兴趣。在学生尚未理解化归的概念和方法时，可以通过多维度多角度讲解及生动的例子，引导学生探索、发现和理解化归的思想，使学生在愉快的氛围中更好 地接受化归思想。 （2）多角度引导学生。在进行化归思想教学时，教师应引导学生从不同角度组合、分解问题，用一种或多种化归思想模式解决问题，这既能帮助学生理解化归思想，也能锻炼 学生的创造性思维能力。 （3）强化练习巩固。在化归思想教学过程中，教师需要让学生大量练习，不断强化巩固。学生需要通过多重练习，掌握化归思想的基本方法，并熟练运用。
培养“化归”能力，应用“化归”方法 在数学知识的学习过程中，总离不开思维，而无论是形象思维，抽象思维还是创造思维，都 离不开最本质的一点：那就是要善于将“新知”转化为“旧知”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把解题的“一种形式”转化为“另一种形式”，也就是常说的“化归”能力。因 此努力培养和提高学生的化归能力就显得十分重要。 那么如何培养这一能力，又如何让学生应用这一方法解决问题呢？ 一、培养“化归”能力的前提 首先，应对课本中的概念有正确的理解，对公理、定理、公式、法则的条件、结论和适用范 围要熟练掌握；对有关的图形和性质（特别是有限制条件时）要牢固掌握，因为这些都是转 化的基础。 其次，对常规的数学方法如：分析法、综合法、归纳法、反证法、换元法等能较熟练地应用，因为这些是转化的手段。 其三，对常规的数学思想如：数形结合思想，函数思想……等有一些了解。这些会给转化提 供一些思路。 其四，要具有从事物的表象中观察、分析出事物的能力，即抽象和概括能力，要充分发挥自 己的想象，把要解决的问题与所学基础知识有机结合起来，以达到“化归”的目的。 二、如何对知识进行“化归” 1.依据概念或基本性质进行化归 在学习数学知识的过程中，都离不开将所学新知识向已有的知识进行转化。那为什么要转化（转化的起因）？依据什么进行转化？此转化的途径是否归最佳？这些知识（或问题）之间 有何联系？这些都是我们进行转化时而必须思考的。 如解分式方程+=1 。首先应想到为什么要化为整式方程呢？转化的方法又是什么？它 的依据呢？学生可围绕这些问题展开思考，并解决问题。 2.依据公式，定理的结构特征进行化归 在数学解题过程中，有很多问题的给出都与我们所学的公式或定理的结构特征相近。因此只 需稍加联想即可将问题转化到易解决的问题上来，以达到简化运算，降低难度的目的。 例如：已知△ABC的三边为a、b、c，且a2+b2+c2=ab +bc+ac，试判断三角形的形状。 从条件等式的特征，联想到完全平方公式，不妨考虑配方： a2+b2+c2=ab+bc+ac 所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 由非负数性质得 从而得a=b=c
化归方法及其应用 作者：计军 来源：《新教育时代·学生版》2018年第47期 摘要：化归原则是基本的数学思想方法之一，化归原则是把生疏的问题变为熟悉的问题，把复杂的问题变为简单的方法原则。化归方法有多维化归方法、二维化归方法、单维化归方法。 关键词：方法原则生疏复杂熟悉简单 数学在其漫长的发展过程中，不仅构建了严密的思想体系，而且形成了一套行之有效的思想方法，划归思想就是常用的方法之一。 一、化归原则 人们在研究和运用数学的长期实践中，获得了大量的成果，也积累了丰富的经验，许多问题的解决也形成了固定的方法模式和约定俗成的步骤。人们把这种有既定解决方法和程序的问题叫做规范化或称为化归，化归就是运用某种方法和手段把有待解决的较为生疏较为复杂问题归结为所熟悉的规范性问题来解决的方法。[1] 例如，对于一元二次方程，人们已经掌握了求根公式，因而求解一元二次方程的问题是规范问题，而把分式方程、无理方程通过换元等方法转化为一元二次方程就是问题的规范化。其中换元是实现规范化的手段，具有转化归结的作用，可以称这为化归的方法。 规范问题具有确定性，相对性和发展性的特征。对于规范问题，人们不但可以运用书籍的理论和技术达成问题的解决，而且已经掌握了固定的步骤和程序，这就是确定性，所谓相对性，是指对于数学研究工作者以及不同层次的学习者，规范问题的范围并不相同。例如建于高中生和初中生而言，对于初中生不是规范性问题对于高中生就可以看作规范性问题，随着个人数学知识的增长，规范问题也在不断扩大，因此规范问题又具有发展性。[2] 化归原则的核心是实现问题的规范化。也就是把一个生疏的、复杂的问题化为熟悉的、简单的问题，以便利用已知的理论、方法和程序实现问题的解决，它的结构图如下所示。由此不难看出，熟悉化和简单化是化归的基本方向。 二、化归原则的基本思想 化归原则的结构中蕴涵着三个基本要素，即化归的对象，目标和方法，化归的对象就上待解问题中需要变更的成分，化规的目标是指所要达到的规范问题。所谓化归的方法，就是规范化的手段，措施和技术。例如对于初中生而言解二元一次方程组，一般要化为一元一次方程，这里二元一次方程线是化归对象，一元一次方程是化归的目标，而把二元一次方程组化为一元
举例说明化归三个方法 化归三个方法是以有效、统一的管理方式来进行组织内部资产信息化处理的一种规范。化归三个方法旨在通过改变组织内部信息管理方式，提高管理效率、提升数据控制和预防数据泄露的问题。化归三个方法的核心思想是通过有效的管理方式，将组织内部的资产信息做到归类、统一和有效的处理，并且能够最大限度的利用这些信息资源。 组织信息化的实现就是针对组织的整体发展而开展的，这也就把化归三个方法变成必要的一步。化归三个方法的有效实施，可以极大的促进组织信息化的进一步发展。 化归三个方法可以大致分为：信息资产归类管理、信息资产统一管理和信息资产有效管理三个层面。 首先，信息资产归类管理是指把组织内部信息资产按照其内容、传播途径、目的、类型等方面进行归类，以便在信息流通和处理的过程中更好的管理和控制。 其次，信息资产统一管理是指把组织内部信息资产统一管理、保管和使用，使信息流动、使用、存储和控制等都能够统一管理，达到安全，有效，可控的效果。 最后，信息资产有效管理是指每一条信息资产在任何时候都可以有效的管理和控制，以达到最大的效能和效用。 以上就是化归三个方法的主要思路，它包含了组织内部信息资产的归类、统一和有效管理，从而为组织信息化的发展提供了有效的保障。
在实际的组织管理中，内部信息资产随着组织发展的不断变化，如何能够有效管理这些数据，是组织管理者面临的一个重要问题。通过科学有效的化归三个方法，可以正确对待和有效利用组织内部信息资产，以提高组织信息化的效率，防止数据泄露，加强安全保护，提升组织信息化水平。 以银行业为例，银行内部信息资产是非常重要的，其中主要包括客户管理信息、资金管理信息、收付款信息等。因此，采用化归三个方法，将客户管理信息、资金管理信息、收付款信息归类、统一和有效管理，有助于提高银行的客户服务水平，增加银行的合作机会，提升银行服务的便捷性，保护客户的隐私安全，实现银行信息化的管理。 总之，化归三个方法是对组织内部信息资产有效管理和管理效率提高的重要手段。在组织信息化的实施中，只有正确的采用这种方法，才能让组织信息管理变得更加科学高效，使资产得到最大的利用，实现事半功倍的效果。
1 数学化归方法概述 1.1对数学思想方法的理解与认识 “数学思想”这一术语,还未形成精确的定义,比较一致的认识是,数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,基本看法,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的后果,它是对数学事实与数学理论的本质认识。 数学方法是指人们在数学学习,研究,以及利用数学解决实际问题的步骤、程序和格式，是实施有关教学思想的技术手段，由此可以看出数学方法具有过程性、层次性、可操作性特点。 1.2 化归是数学发现的重要策略和方法 数学问题的形式千变万化，结构错综复杂，特别是一些难度较大的综合题（如一些国内外竞赛题），不仅题型新颖，知识覆盖面大，而且技巧性强，个别问题的解法独到别致，寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境，绕过障碍的途径。因此，我们在解决数学问题时，思考的重点就是要把所需要解决的问题转化为已能解决的问题，也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把它化归成一个或若干个熟知的或已能解决的问题，这就是数学思维中重要的特点和方法——化归方法。 匈牙利著名数学家P.路莎指出：“对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经解决的问题。”P.路莎还用以下比喻，十分生动地说明了化归的实质。“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些开水，应当怎么去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放在煤气灶上。”接着路莎又提出了第二个问题：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经放了足够的水，这时你又应当如何去做？”这时，人们往往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是路莎指出，这一回答并不能使她感到满意。因为，更好的回答应该是这样的：“只有物理学家才会这样去做；而数学家们则会倒去壶中的水，并声称我已经把后一个问题化归成先前的问题了。”“把水倒掉”。多么简洁的回答！ 罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了化归的根本特征：在解决一个问题时人们的眼光并不落在问题的结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，尽管向前走两步，也许能达到目的，但我们也情愿退一步回到原来的问题上去．虽然
化归思想方法在数学解题中的应用 化归思想方法是解决数学问题的常用方法之一。下面从以下几个方面来谈谈化归方法在数学解题中的应用。 一、化未知为已知 已知与未知是相对的，在一定条件下，未知可转化为已知，已知也可视为未知，这种看法上的转变，往往可帮助我们找到解题的方向。 例：已知sinα=■，cos（α+β）=■， α，β∈0，■，求cosβ。 分析：该题若将β转化为[（α+β）-α]，再运用公式展开，则容易求解。 解：∵α∈0，■，sinα=■，∴cosα=■， ∵α，β∈0，■，∴α+β∈（0，π）， 又∵cos（α+β）=■，∴sin（α+β）=■， ∴cosβ=cos[（α+β）-α]= cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=■×■+■×■=■。 二、化繁为简 有些数学问题情况复杂，使用常规解法无处下手，对这些问题，可视情况对问题进行转化。 例：求函数f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）的最大值 分析：该题若运用公式展开相当繁琐，难以求出结果。若把（x+80 ）转化为[（x+20 ）+60 ]，则非常容易。 解：f（x）=3sin（x+20°）+sin[（x+20°）+60°] =3sin（x+20°）+■sin（x+20°）+■cos（x+20°） =■sin（x+20°）+■cos（x+20°）=■sin（x+20°+φ）（其中φ=arc tan■） 因此f（x）的最大值为■ 三、一般为特殊
“一般”与“特殊”，两者之间可以互相转化，我们可以从问题的特殊情况入手，探索研究问题的一般性。 例：已知PA，PB是圆0的切线，∠APB=60°，AP=5■，C为弦AB上的任意一点，过OC作射线OH，使PH 于H，求OC·OH的值。
用化归方法解决初中数学问题 初中数学方法有很多，如：对应、分类思想等.但中考中最活跃、最 实用的是化归思想.化归思想是初中数学中常用的一种重要的数学思想.所 谓“化归”，可以理解为转化归结的意思，是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解决的一种手段和方法.就解题的本质而言，解题既意 味着化归，学生学会化归方法，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度 的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力.常见的化归主要有以 下几种方法供同学们借鉴. 一、化未知问题为已知问题 该法采取的措施是不对问题直接攻克，而是对问题进行变形、转化. 直至把它化归为某个（些）已经解决的问题或容易解决的问题. 例1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于 O点，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，求AC的长. 分析：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点，通过平移对角线将等 腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决. 解：过D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则AD=CE，AC=DE. ∴BE=BC+CE=8. ∵AC⊥BD， ∴BD⊥DE. 又∵AB=CD，
∴AC=BD. ∴BD=DE. 在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2， ∴BD=42√ 即AC=42√ 二、高次与低次的转化 在解高次方程时，一般都是设法将未知数的次数降低，以达到便于求解的目的. 例2.解方程某4-5某2+6=0 分析：这是一道一元高次方程，可通过换元进行降次，转化为会解的一元二次方程.设某2=y则上式变为会解的一元二次方程y2-5y+6=0再进一步来解. 三、正面与反面的转化 所谓“正面”求解就是直接从条件入手，进行“强攻”，但有时会相当棘手.这个时候可以采取迂回曲折的方法，即所谓“反面”求法，它是一种间接的解题方法. 例3.若方程某2+某+m=0与某2-（m-1）某+14=0中至少有一个方程有实根，求m的取值范围. 分析：本题若从正面着手，要分三种情况讨论.如果从反面思考，即两方程都没有实根，则△1=1-4m<0，且△2=m2-2m<0求得 四、一般与特殊的转化