1 数学化归方法概述
1.1对数学思想方法的理解与认识
“数学思想”这一术语,还未形成精确的定义,比较一致的认识是,数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,基本看法,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的后果,它是对数学事实与数学理论的本质认识。
数学方法是指人们在数学学习,研究,以及利用数学解决实际问题的步骤、程序和格式，是实施有关教学思想的技术手段，由此可以看出数学方法具有过程性、层次性、可操作性特点。
1.2 化归是数学发现的重要策略和方法
数学问题的形式千变万化，结构错综复杂，特别是一些难度较大的综合题（如一些国内外竞赛题），不仅题型新颖，知识覆盖面大，而且技巧性强，个别问题的解法独到别致，寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境，绕过障碍的途径。因此，我们在解决数学问题时，思考的重点就是要把所需要解决的问题转化为已能解决的问题，也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把它化归成一个或若干个熟知的或已能解决的问题，这就是数学思维中重要的特点和方法——化归方法。
匈牙利著名数学家P.路莎指出：“对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经解决的问题。”P.路莎还用以下比喻，十分生动地说明了化归的实质。“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些开水，应当怎么去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放在煤气灶上。”接着路莎又提出了第二个问题：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经放了足够的水，这时你又应当如何去做？”这时，人们往往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是路莎指出，这一回答并不能使她感到满意。因为，更好的回答应该是这样的：“只有物理学家才会这样去做；而数学家们则会倒去壶中的水，并声称我已经把后一个问题化归成先前的问题了。”“把水倒掉”。多么简洁的回答！
罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了化归的根本特征：在解决一个问题时人们的眼光并不落在问题的结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，尽管向前走两步，也许能达到目的，但我们也情愿退一步回到原来的问题上去．虽然
这一方法并不是最省时、省工、省料，但这一回答却道出了数学家思考问题与解决问题的一个特点——与其他科学家相比，数学家特别善于使用化归思想方法。
1.3化归的一般模式
化归
把所要解决的问题经过某些变化,使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得的结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的思想，我们称之为化归。
化归法是一种分析问题解决问题的基本思想方法．在数学中通常的作法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换…，或平移、旅转、伸缩…等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本的问题，从而求出解答．如学完一元一次方程、因式分解等知识后，学习一元二次方程我们就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的．后来我们学到特殊的一元高次方程时，又是化归为一元一次和一元二次方程来解的．对一元不等式也有类似的作法．又如在平面几何中我们在学习了三角形的内角和、面积计算等有关定理后，对n 边形的内角和、面积的计算，也是通过分解、拼合为若干个三角形来加以解决的．再如在解析几何中，当我们学完了最基本、最简单的圆锥曲线知识以后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线(在新坐标系中)来实现的．其它如几何问题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了．所以，掌握化归的思想方法对于数学学习有着重要的意义．总之，化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。
例：证明：不存在整数a ，b ，c ，满足6822=-+c b a 。 还原
思考与分析 ：由于题目给出的已知条件比较抽象，不便于使用，故我们可考虑命题的结论。如果将 6822=-+c b a 转化为两个数的平方和被8除余6，根据整数的性质，我们考虑整数关于模4的剩余类，可得十分巧妙的证法。
证明：由于每个整数都具有下列形式之一：
4n ， 4n ±1， 4n +2，
它们的平方数分别是
162n ， 162n ±8n +1， 162n +16n +4，
它们被8除的余数分别是0，1，4.而这三个余数的任意两数（可以相同）的和都不等于6，所以对任意整数a ，b ，c ，不存在6822=-+c b a 。
(毕业论文)数学中的化归思想方法
数学中的化归思想方法 ——例谈化归法在解题中的运用 姓名：林军玉 摘要：所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法，参数法，数形结合法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。 关键词：转化变形还原化归法实现化归 一．化归法概述 数学是探求、认识和刻划自然规律的重要工具。在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于习题的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出习题解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。 这就是在数学方法论中我们学习到的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，“化归”方法在中学数学教材中是普遍存在，到处可见，与中学数学教学密切相关。如在引入“三角形内角和定理”时，可把三角形的三个角剪下来，可以拼成一个平角，这就是转化，也可用下法引入，如下图（1）中：a∥b，则∠1＋∠2＝？（180°），图（2）中∠1＋∠2与180°的关系？（小于），少掉的那部分到哪儿去了？（∠3，即∠4）于是有∠1＋∠2＋∠4＝180 a
化归思想方法在数学教学中的应用 一、化归的基本内涵(一)化归思想方法概述所谓化归，就是在研究和解决有关数学问题时。采用某种手段将问题转换。进而达到解决问题的一种数学思想方法。 化归是一种分析问题、解决问题的基本思想方法。在数学中通常的做法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换或平移、旋转、伸缩等多种方式，化归成一个熟悉的基本问题，从而求出解答。总之，化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的；复杂的化为简单的；抽象的化为具体的；一般的化为特殊的；非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。 (二)化归的核心思想和本质 化归的核心思想和本质：对需要解决的问题进行适当的变形。 1. 对已知成分进行变形――条件变形 2. 对未知成分进行变形――结论变形 3. 对整个问题进行变形 (三)化归的方法 化归的主要特点是灵活性。一个数学问题，我们可以视其为一个数学系统和数学结构，其各要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，且其形变也并非唯一，而是多样的。我们需要
依靠问题所提供的信息，利用动态的思维去寻找有利于问题解决的途径并运用恰当的方法。化归的方法主要包括：分割法、映射法、求变法。 二、数学教学中应用化归思想方法的必要性 化归是一种重要的数学思想方法，从广义上来讲，数学题的求解都是应用已知条件，对问题进行一连串恰当的化归，进而达到解决问题的一个探索过程。从宏观上看，化归的思想方法是数学问题解决中形成数学构想的方法论依据。从微观上看，数学问题的解决过程就是不断地发现问题、分析问题，直至化归为一类已经能解决或比较容易解决的问题的过程。在平时的数学教学中，教师如果经常地进行化归思想方法的教学，针对不同的问题，进行缜密的思考，及时总结各种“化归”方法。学生的解题能力及灵活性就会逐步得到提高，这对培养学生的数学素养是十分重要的。学生有了化归思想，就能从更深的层次揭示知识的内部联系，提高分析问题和解决问题的能力，这将有利于创新精神的培养。 数学知识本身是非常重要的，但它并不是唯一的决定因素。真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学的思想方法。未来的社会将需要大量的具有数学意识和数学素质的人才，21世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”。化归的思想方法在培养人、提高人的素质方面起着比数学知识本身更重要的作用。因此，向学生渗透化归的思想方法
数学中的化归方法及其应用 班级电子商务10-01 学号 20104045 姓名鲁婷 数学思想是对数学事实、概念、理论和方法的本质认识，是数学方法的灵魂，揭示了数学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化中的辩证唯物主义观点，数学方法是数学思想的具体表现，它们是数学知识的核心。在数学中比较常用和基本的数学思想及方法是化归（转化）。 一、化归思想方法及化归原则 1、化归的思想 “化归”是转化和归结的简称，是数学家们十分典型的思维特点，匈牙利数学家罗莎•彼得在《无穷的玩艺》中分析数学家在面临所要解决的问题时提出：“他们不是对问题实行正面的攻击，而是不断的将它变形直至将它转化成能够解决的问题。”化归，是运用某种方法和手段，把有待解的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为所熟悉的规范性问题来解决的方法。 2、化归的一般原则 化归原则的结构中蕴涵着三个基本要素，即化归的对象、目标、和方法。化归的对象就是待解问题中需要变更的成分，化归的目标是所要达到的规范问题。 化归原则的核心是实现问题的规范化，也就是把一个生疏的，复杂的问题化为熟悉的、简单的问题，以便利用已知的理论、方法和程序实现问题的解决。因此熟悉化和简单化是化归的基本方向。 化归与转化的一般原则是： ①化归目标简单化原则； ②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。）； ③具体化原则； ④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已 经建立起来的数学模式。如二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）；椭圆方程）； ⑤低层次化原则（解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决。这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单）。
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心 【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】 解题思想之化归思想 一、注解： “化归”就是转化和归结的简称。所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形….. 实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。 二、实例运用： 1.在实数中的运用 【例1】今年2月份某市一天的最高气温11℃，最低气温-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ） A -17℃ B 17℃ C 5℃ D 11℃ 【例2】 计算：()()02324732+-++ 2. 在代数式的化简求值中的运用 【例3】计算： 111x x x ++- 【例4】已知31x =-，求代数式 11x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝ ⎭的值。 3.在方程（组）中的运用
【例5】用配方法解方程：x 2-4x+1=0 【例6】解方程组：728x y x y +=⎧⎨-=⎩ 【例7】用换元法解方程：226212x x x x +- =+ 4.在确定函数解析式中的运用 【例8】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如 图为电流与电阻之间的函数图象，则电阻R 与电流I 的函数解析式为：（ ） A. 2I R = B. 3I R = C. 6I R = D. 6I R =- 【例9】某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他的该月销售量成一次函 数关系，如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题： （1）求小李个人月收入y （元）与月销售量x （件）（x ≥0）之间的函数关系式。 （2）已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元？ 【例10】已知二次函数y=ax 2+bx+c 过点O （0，0），A （1，3），B （-2，43）和C （-1，m ）四个点。 （1）确定这个二次函数的解析式； （2）判断△OAC 的形状。
举例说明化归三个方法 化归是数学中常用的一种方法，用于将问题转化为更简单的形式，从 而更容易解决。下面举例说明化归的三种常见方法：代换法、递推法和对 称法。 一、代换法 代换法是指通过引入新的变量或函数，将原问题转化为一个等价的、 更易解的问题。 例1：求解方程x^3-4x^2+5x+2=0的根。 解：我们可以使用代换法将该方程转化为一个更简单的形式。设 y=x-2，则有x=y+2、将x的表达式代入原方程，得到(y+2)^3- 4(y+2)^2+5(y+2)+2=0。化简后得到y^3+2y-8=0。这是一个更易解的方程，我们可以直接求解它得到y的解，再将y的解带回原方程中求得x的解。 例2：证明任意正整数都可以表示为4个整数的平方和。 解：我们可以使用代换法将该问题转化为一个更易证明的形式。设 n=4k+r，其中k为非负整数，r为0、1、2或3、我们可以证明，对于 r=0,1,2,3的情况，都存在一组整数a、b、c、d使得n=a^2+b^2+c^2+d^2、进一步地，我们可以利用代换法证明r=0的情况，然后利用模4的性质证 明r=1,2,3的情况。 二、递推法 递推法是指通过已知的几个或一些特殊情况的解，推导出问题的一般解。 例3：求解斐波那契数列。
解：斐波那契数列是以递推方式定义的数列，其中每一项都等于前两项的和。已知第一项F(1)=1、第二项F(2)=1，我们可以使用递推法求解其余的项。根据递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，可以依次计算出F(3)、 F(4)、F(5)等，得到整个数列的解。 例4：求解汉诺塔问题。 解：汉诺塔问题是一个经典的递推问题，要求将n个盘子从一根柱子移动到另一根柱子，且在移动过程中要满足一个规则：任意时刻都不能将较大的盘子放在较小的盘子上。已知当n=1时，只需要进行一次移动。根据这个特殊情况的解，我们可以通过递推的方式求解出移动n个盘子的总步数和移动路径。 三、对称法 对称法是指通过寻找问题中的其中一种对称关系，将问题转化为一个与之对称的更易解的问题。 例5：求解圆与直线的交点。 解：我们可以利用对称法简化求解圆与直线的交点的问题。设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，直线的方程为y = kx + c，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，k为直线斜率，c为截距。观察圆的方程可以发现，如果将x平移到a的对称位置a'，y平移到b的对称位置b'，则交点的坐标也会发生对称变化。因此，我们可以在圆心和直线上沿着对称位置的轴线进行变换，将原问题转化为一个相对简单的问题，然后再将计算得到的交点坐标转回到原坐标系中。这样，我们可以通过寻找问题中的对称关系，简化求解过程。
化归方法 一、化归方法在小学数学教学中的体现 在小学数学教学中，小数乘法、除法分别化归为整数乘法、除法；异分母加法、减法化归为同分母加法、减法，进而又化归为整数（分子）的加法、减法；平行四边形、三角形、梯形、圆的面积公式及圆柱的体积公式都是通过化归得到的；组合图形的面积计算也是通过化归的方法进行计算的；因此，化归方法在小学数学教学中有相当多的体现。 二、化归方法的基本知识 1、一个未必真实的故事 据说有人给一位数学家和一位物理学家同时提了如下的两个问题： 问题1 假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它是空的）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？ 问题2假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它盛满了水）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？ 对于问题在1，两人的回答是一致的：在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。而对于问题2，两人的回答却大相径庭，物理学家的回答是：点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。数学家的回答是：倒掉壶中的水，把问题2转化为问题1，由于问题1已经解决，所以问题2也随之解决。 这个故事或许太夸大了，但它却形象地说明了数学家思维方式的重要特征。 2、化归方法的含义 从字面上看，“化归”即转化和归结的意思。“化归方法”一般是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。 例1平行四边形面积学生不会求，但通过剪拼的方法把平行四边形转化为长方形，而长方形的面积学生是会求的，再通过原平行四边形和转化所得的长方形关系的比较，得到求平行四边形面积的一般方法。 化归是解决数学问题的一种极为重要的思想方法，它甚至被称为是数学家的
数学分析中的化归法 目录 摘要 (1) Abstract (1) 1. 绪论 (2) 1.1 化归法的背景 (2) 2. 详谈化归法 (3) 2.1 化归法的分类 (3) 2.2 常见的化归方法及化归思想 (3) 2.2.1 化归的方法 (3) 2.2.2 化归的思想 (4) 2.3 化归法的原则 (5) 2.3.1 化归的方向与一般模式 (5) 2.3.2 化归法的原则 (5) 3. 数学分析中的化归 (6) 3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6) 3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12) 3.2.1 在极限中的体现 (12) 3.2.2 在微分中的体现 (15) 3.2.3 在积分中的体现... .. (16) 3.2.4 在级数中的体现 (22) 3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24) 4.小结 (25) 参考文献 (26) 致谢 (27)
数学分析中的化归法 摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。 关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用 中图分类号：O1-0 The reduction method of mathematical analysis Abstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction. Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method
小学数学教材中的化归法及其教学方法 作者：曹鹏 来源：《教学与管理(小学版)》2016年第02期 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要反映社会的需求、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”[1] 化归法是最重要、最基本的数学思想方法之一。化归即转化归结的意思，化归法就是把当前有待解决的问题，通过转化，归结为已经解决或容易解决的问题[2]。匈牙利著名数学家罗莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》中写到“数学往往不是对问题进行正面攻击，而是不断对它进行变形，直到把它转化成能够解决的问题”。[3]我国关于化归法最早的研究，起源于东汉时期成书的数学巨著《九章算术》，书中很多问题的解答都体现了化归法。 纵观小学数学教材，化归法贯穿于一年级到六年级始末，有着广泛应用。化归法符合小学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握。化归法有利于小学生形成完整的知识结构，从而提高自学能力。学生领会了化归法后，不仅能解决学习上碰到的问题，更能在生活中灵活运用。[4]如何进行化归法的教学，提高学生分析和解决问题的能力呢？本文在系统梳理和总结人教版小学数学教材中蕴含的化归法的基础上，对化归法进行分类，并提出一些化归法的教学策略。 一、小学数学教材中的化归法分类举隅 化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的和基本的知识为基础，将未知的化为已知的、复杂的化为简单的、抽象的化为具体的、一般的化为特殊的、非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。鉴于小学生的年龄和学习特点，小学数学教材中的化归法主要分为三类。 1.化抽象为具体 化抽象为具体，通俗地说就是把抽象枯燥的数学概念转化为具体形象的东西来理解的方法。这种方法在小学数学教材中普遍存在。众所周知，数学是研究数量关系和空间形式的科学，它的研究对象都是抽象的。比如数，现实生活中是没有1、2、3等数存在的，它是人脑抽象的产物，但一年级学生在认识100以内数的时候，并没有遇到障碍和困难，而是非常自然地接受和认识了这些数，这是因为教材已经用化归法把抽象的数转化为生活中具体的物体个数了。教材用大量生动形象、多姿多彩的图片，展示了很多生活中的实物。学生们从3只小猴、3个桃子、3块橡皮擦等很多具体的个数为3的物体中认识了数“3”，把抽象的数“3”转化为具体物体的个数。这就是最朴素、最简单的化归法。再比如图形，现实生活中也不存在长方形、正方形、平行四边形等几何图形。教材提供了一些生活中长方形、正方形、平行四边形等形状的实物，比如四年级上册，教材用图片给出了生活中的楼梯、窗格、停车位等，并要学生自己说说生活中包含平行四边形的物体，从这些物体中发现平行四边形的特征，并归纳概括出平行四边形的概念。实际上这也是化归法，化抽象的几何图形的认识为具体的生活实物的认识。
待解决或 未解决的问题问题解答 问题* 解答* 已经能解决或 可以解决的问题** 解答** 转化再转化直至 归纳为 第二讲化归方法 一、化归方法的含义 所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。数学方法论中的化归方法是指：将一个问题进行变换，使其归结为另一个已能（或已经）解决的问题，最终获得问题的解的一种求解问题的手段和方法。或简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。 其解决问题的思维方式是“转化”或“再转化”，解题过程可用下列框图来表述： 化归的方1. 向 一般是：由未知到已知，由难到易，由繁到简，由暗到明。 2.化归方法遵循的基本原则主要有：熟悉化原则，简约化原则，具体化原则，正难则反原则。 3.化归方法包括三个要素： 化归对象：即把什么东西进行化归； 化归目标：即化归到何处去； 化归途径：即如何进行化归。 4、化归方法的分类 （1）按照化归方法应用的范围来分，有外部的化归方法（即将实际问题转化为数学问题）与内部的化归方法（即将某一类数学问题转化为另一类数学问题）。从数学研究的角度看，应用数学问题大多来源于数学外部，纯数学问题大多来源于数学内部。 （2）按照化归方法解决问题的性质来分，有计算的化归方法，论证的化归方法，建立新科学体系的化归方法等。 （3）按照化归方法应用的广度来分，有: 多维化归方法（指跨越多种数学分支，广泛适用于各学科体系的化归方法）； 二维化归方法（指能沟通两个不同数学分支的化归方法，如解析法等）； 广义化归方法（指超出数学学科范围的化归方法，如MM方法等）。 有位数学教育工作者提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中倒上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，他对这样的回答并不满意，因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称把后一问题化归为前面所说的问题了。”
化归思想方法(一) 化归是解决问题的一种最基本的思想方法。数学大师波利亚说：解决问题需要不断地变换，需要一再变化它，重新叙述它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止，……。波利亚精辟地叙述了化归思想方法的重要性。 实际上，我们常常是把将要解决的陌生问题通过化归，变为一个比较熟悉的问题来解决，因为这样可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法应用于问题的解决，也常常将一个复杂问题化归为一个或几个简单的问题来解决，或将抽象的问题化归为具体的问题来解决，等等，这就是化归的思想方法。 从这个角度上来看，我们在解决数学问题所采用的各种数学思想方法，实质上都是数学模式之间化归的一种手段，数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式的相互转化，分类讨论则体现了局部与整体的相互转化。因此，化归的思想方法已渗透到整个教学内容及解题过程中，它也是历届高考的重点考查对象。对考生的要求也越来越高，理应引起充分重视。 【要点回顾】 1、函数与方程、不等式的化归； 2、函数与数列的化归； 【1】
3、向量、复数和三角的化归； 4、向量与几何的化归； 5、平面与立体图形的化归； 6、变量与常量间的化归； 7、数与形的化归； 8、实际问题和数学模型的化归； 9、命题间的化归，如根据原命题与逆否问题的等价性转化； 10．将复杂的问题、陌生的问题，通过等价变形化归为简单的问题、熟悉的问题、基本量问题。 【能力要求】 1、运算能力与等价转化能力； 2、知识间的联想类比能力(包括结构、关系、因果等)； 3、数形结合的能力； 4、能根据实际问题中的数量关系建立相应的函数关系的数学建模能力； 5、探索能力、分析问题和解决问题能力。 一、换元法是一种常用的化归策略 1、常用换元法 换元法是化归思想方法中较为常用且很重要的解题方法，其实质 【2】
化归方法及应用论文 化归方法是一种数学的证明技巧，它通过将一个待证命题转化成另一个已知命题来进行证明。化归方法在数学、计算机科学、逻辑学等领域具有广泛的应用。下面将从数学、计算机科学和逻辑学三个方面介绍化归方法的应用及相关研究论文。 在数学领域，化归方法可以用于解决各种数学问题。其中最经典的是利用化归方法证明了费马大定理。费马大定理是一个在17世纪被提出的数论问题，它断言在n>2时，方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。然而，该猜想一直难以证明，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯利利用化归方法证明了这一猜想，获得了菲尔兹奖。他的证明通过将该问题化归成了另一个数学问题，从而得到了最终的证明。 在计算机科学领域，化归方法被广泛应用于算法分析和问题求解。例如，在算法设计中，化归方法可以用于设计高效的算法。一个经典的例子是快速排序算法。快速排序算法利用分治思想，将一个大问题分解成若干个小问题并解决。每次选择一个元素作为基准，将所有小于基准的元素放在基准的左边，大于基准的元素放在基准的右边。然后对左右两个部分分别进行递归调用。这样，原本复杂的排序问题就被化归成了两个较小的排序问题，从而提高了算法的效率。 另外，化归方法还可以用于证明算法的正确性。例如，形式化方法在软件工程中得到了广泛的应用。形式化方法使用严格的数学表示和逻辑推理来证明算法设计的正确性。其中一个常用的方法是利用不动点理论和化归方法来证明算法的正确
性。例如，Dijkstra算法是图论中一种用于计算最短路径的算法。使用化归方法和不动点理论，可以证明Dijkstra算法的正确性，即算法可以找到图中的最短路径。 在逻辑学领域，化归方法主要应用于命题逻辑和谓词逻辑的证明。化归方法在形式化证明中起到了至关重要的作用。化归方法通过将一个待证命题转化成另一个更简单的命题来进行证明。例如，在谓词逻辑中，使用Skolem形式化方法可以将存在量词化为全称量词，从而化简了命题的形式。然后利用定理证明的方法，可以将原命题化归成一系列易于证明的命题。 总结起来，化归方法是一种重要的数学证明技巧，在数学、计算机科学和逻辑学等领域得到广泛应用。它可以用于解决各种数学问题，设计高效的算法以及证明算法的正确性。相关的研究论文有很多，其中包括费马大定理的证明论文、算法设计和分析的研究论文、形式化方法在软件工程中的应用论文等。通过研读这些论文，可以更深入地了解化归方法的应用及其在科学研究中的重要性。
化归的数学思想 1、化归思想的概念。 人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。 从小学到中学，数学知识呈现出由易到难，由简单到复杂的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，往往是通过把不熟悉的知识变成熟悉的知识，把难懂的知识变成简单的知识，一步步地学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归不仅是一种广义的数学思想方法，而且具有普遍意义。同时，转化思想也是克服各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。 2、化归所遵循的原则。 化归思想的实质是在已有的简单、具体、基础知识的基础上，把未知的变成已知的，把复杂的变成简单的，把概括的变成特殊的，把抽象的变成具体的，把非常的规划成常规的，从而解决各种问题。因此，在应用转换思想时，应遵循以下基本原则: （1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，《课程标准》特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与《课程标准》提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。 （3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。 (4)形象化原则，即将抽象的问题变成具体的问题。苏雪的特点之一就是抽象。有些抽象的问题很难直接分析解决。要把它们变成具体的问题，或者用直观的手段分析解决更容易。所以，可视化是中小学生经常使用的方法，也是重要的原则之一。 3、化归思想的具体应用。 学生面临的各种数学问题可以简单地分为两类:一类是直接应用已有知识就能顺利解决的问题；另一类不熟悉的知识或现有知识无法直接解决的问题，则需要综合运用现有知识或创造性的解决方案。如果知道矩形的长和宽，求其面积，任何知道矩形公式的人都可以算出来。这是第一种问题；如果不知道平行四边形的面积公式，通过切割补偿平移变换将平行四边形转化为矩形，推导出它的面积公式，然后计算面积，就是第二类问题。对于广大中小学生来说，学习数学过程中遇到的很多问题都可以归为第二类问题，要不断地把第二类问题变成第一类问题。从某种意义上说，解决问题的过程就是不断转化和解决的过程。因此，归约的思想被广泛应用。
浅谈化归方法在数学解题中的应用 化归方法是解决数学问题的常用方法之一。化归方法就是把未知问题化归为已知问题、把复杂问题化归为简单问题、把非常规问题化归为常规问题，从而使问题获得解决的方法。学生有了化归的思想，就能在更深层次上揭示知识的内部联系，提高他们分析问题和解决问题的能力。下面从以下几个方面来谈谈化归方法在数学解题中的应用。 一、化未知为已知 已知与未知是相对的，在一定条件下，未知可转化为已知，已知也可视为未知。这种看法上的转变，往往可以帮助我们找到解题的方向。 二、化繁为简 有些数学问题情况复杂，使用常规解法无处下手，对这些问题，可视情况对问题进行转化。 例：求f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）的最大值。 分析：该题若运用公式展开相当繁琐，难以求出结果。若把（x+80°）转化为[（x+20°）+60°]，则非常容易求解。 解：f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）=3sin（x+20°）+sin[（x+20°）+60°] = sin（x+20°+?渍） ∴f（x）max= 三、化一般为特殊 “一般”与“特殊”两者之间可以互相转化，一般性寓于特殊性中，特殊性不能代替一般性。但我们可以从问题的特殊情况入手，探索研究问题的一般性。 例：已知PA、PB是圆O的切线，∠APB=60°，AP=5 ，C为弦AB上的任意一点，过点C作射线OH，使PH⊥OH于H，求OC·OH的值。 分析：C为AB上任意一点，为探求OC·OH的值，我们可以特殊化处理，即取AB的中点C′，此时H与P重合，连接OA，AC′为直角三角形斜边上的高，由射影定理OC′·OP=OA2（⊙O的半径OA可求），当C在弦AB的一般位置时，只证OC·OH=OC′·OP。 由割线定理可知，只证C、C′、P、H四点共圆即可。因为∠CC′P=∠CHP=90°，
1 数学化归方法概述 1.1对数学思想方法的理解与认识 “数学思想”这一术语,还未形成精确的定义,比较一致的认识是,数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,基本看法,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的后果,它是对数学事实与数学理论的本质认识。 数学方法是指人们在数学学习,研究,以及利用数学解决实际问题的步骤、程序和格式，是实施有关教学思想的技术手段，由此可以看出数学方法具有过程性、层次性、可操作性特点。 1.2 化归是数学发现的重要策略和方法 数学问题的形式千变万化，结构错综复杂，特别是一些难度较大的综合题（如一些国内外竞赛题），不仅题型新颖，知识覆盖面大，而且技巧性强，个别问题的解法独到别致，寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境，绕过障碍的途径。因此，我们在解决数学问题时，思考的重点就是要把所需要解决的问题转化为已能解决的问题，也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把它化归成一个或若干个熟知的或已能解决的问题，这就是数学思维中重要的特点和方法——化归方法。 匈牙利著名数学家P.路莎指出：“对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经解决的问题。”P.路莎还用以下比喻，十分生动地说明了化归的实质。“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些开水，应当怎么去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放在煤气灶上。”接着路莎又提出了第二个问题：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经放了足够的水，这时你又应当如何去做？”这时，人们往往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是路莎指出，这一回答并不能使她感到满意。因为，更好的回答应该是这样的：“只有物理学家才会这样去做；而数学家们则会倒去壶中的水，并声称我已经把后一个问题化归成先前的问题了。”“把水倒掉”。多么简洁的回答！ 罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了化归的根本特征：在解决一个问题时人们的眼光并不落在问题的结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，尽管向前走两步，也许能达到目的，但我们也情愿退一步回到原来的问题上去．虽然
数学化归的思想方法 数学思想方法是人类科学思想方法的重要组成部分，随着数学教育改革的深入以及数学在社会发展进程中的作用日益显 现而更加深入人心. 化归的思想方法是一种重要的数学思想方 法，在数学教育中也是一种解决数学问题的基本思想方法. 在某 种程度上，化归方法也是数学家区别于其他科学家的主要特征之 一.因此，学习并掌握化归的思想方法对学好数学具有重要的 理论意义和现实意义 . 一、化归方法的含义、特殊性及基本模式 1．化归方法的含义 一般的，化归方法就是将欲求解的问题通过一次或多次变形转化成一个或若干个已知的或容易求解的问题，在这个转化过程 中所运用的方法就叫做化归方法. 看似一个简单的解释，但对数 学家来说却有其特殊的意义. 正如匈牙利著名数学家Rosza Peter 所说：“（化归）对于数学家的思维过程来说是很典型的， 他们往往不对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题. ”［ 1］ 2．数学化归思想方法的特殊性 Rosza Peter 在其名著《无穷的玩艺》曾经举过一个“烧开水”的例子［ 2］，生动地说明了化归思想方法的实质. “假设在 你面前有煤气灶、水龙头、水壶，要烧开水，该怎么做？”相信
大多数人都会这样做：往水壶里放满水，把水壶放上煤气灶，点 火即可 . 此时，如果其他条件都没变，只是水壶里已经放满了水 . 要烧开水，又该如何做？大多数人会毫不犹豫地说，直接把水壶放上煤气灶，点火就可以了 . 然而，数学家不是这样，他们这样做：把水倒掉 . 这样就把问题归结为上一个问题 . 而上个问题已经解决了，第二个问题自然就解决了 . 在这里，数学家就用了一个步骤，即把水倒掉，就解决了第二个问题 . 虽然有点夸张，但这却可以看出数学思维的特殊性 . 化归的思想方法在数学中的作用由此可见一斑 . 3．化归方法的一般模式 从化归方法的含义中不难看出，应用化归方法解决问题的一 般模式可以表示为下述模型： 说明：上图中，问题 A 到问题 A′即化归过程；而解答 A′到解答A 则是问题的还原过程 . 对照“烧开水”的例子，问题A 是指第二个问题，通过“把水倒掉”转化（化归）为问题 A′（即 第一个问题），而第一个问题已经得到解决（即解答 A′），于是问题 A 的解答就是（“把水倒掉” +“解答 A′”） . 如果问题的化归需要通过多次转化，则化归方法的模式则可 通过以下模型表述： 说明：“问题”到“问题n”的过程是化归过程，而“解答n”到“解答”的过程是还原过程 . 综上所述，化归方法有以下更一般的模式：
数学思想之转化与化归总结 在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。 首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。 其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。 几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。几何转化不仅能够帮
助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。 最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。 综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。通过等价转化、代数化简、几何转化和枚举化归等方法，我们可以将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，并利用已知的数学知识和规律来解决问题。转化与化归不仅能够帮助我们更好地理解和解决数学问题，还能够提高我们的思维能力和数学素养。因此，在学习和应用数学的过程中，我们应该积极运用转化与化归的思想方法。
浅谈化归方法在数学解题中的运用 所谓化归方法，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，把这个问题变形，使之归结为另一个熟知的、较容易解决的或者已经能解决的问题，通过对它的解决，求得原问题的解决。化归方法在小学数学教材中应用非常广泛，是根本且典型的数学思想，是学生解决问题的有效方法之一。学会化归方法，对学生解决问题能力的形成和开展有着十分重要的作用。现谈谈化归方法在数学解题中的运用。 一、把“未知”化归为“已知” 列方程解应用题是将应用题中要求的未知量用某个字母代替，把题中的问题（即未知量）暂时与条件同样对待，从而把“未知”化归为所谓的“已知”，然后再根据题设所反映的等量关系，列方程解答。 例如：一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？ 分析：如果设高是x厘米，就是把题中的问题暂时与已知条件同样对待，把“未知”化归为“已知”。根据题意可知这道题的相等关系式是： 底×高÷2=三角形的面积。 解：设三角形的高是x厘米，那么有： 25x÷2=100 x=8 答：这个三角形的高是8厘米。 二、把一种运算化归为另一种运算
在分数除法运算中，我们通常把分数除法运算化归为分数乘法运算来完成。 例如：÷=×=。 分析：对于异分母分数加、减法的运算，我们可以先通分，转化为同分母分数加、减法的运算，进而化归为整数（分子）的加、减运算来实现。 例如：+=+==。 三、把数的一种形式化归为另一种形式 在分数、小数四那么混合运算中，可以把分数化为小数，通过小数的运算来完成分数的运算，反之也可以。这是利用数的两种形式的化归来实现问题的解决。 例如：2+8.56 或： 2+8.56 =2.75+8.56.125 =2+86 =11.256.125 =2+86 =5.125 =5 四、把一种图形化归为另一种或几种图形 这种化归方法通常应用于求组合图形面积或体积的问题。组合图形的构造有两种情况：一种是由几个根本图形组合而成；另一种是由一个根本图形割出一个图形而成。所以求组合图形的面积或体积时，通过化归，把它分割、添补或再组合，使其成为一个或几个简单图形，再求其面积或体积，最后利用求它们的和或差来求得原题的解。 例如：求以以下图中阴影局部的面积。（单位：厘米）
数学教学过程中的化归思想 化归思想是数学教学过程中的一个重要思维方法，通过将复杂的问题转化为简单的问题，从而解决复杂问题的方法。化归思想在数学教学中有着广泛的应用，包括代数、几何、概率等方面。 在代数中，化归思想常常用于解决方程问题。对于一些复杂的方程，可以通过化归思 想将其转化为简单的方程，从而求解。对于二次方程ax^2+bx+c=0，当其不能直接分解时，可以通过配方法化归为(ax-p)(x-q)=0的形式，进而求出方程的解。 在几何中，化归思想可以用来证明几何定理。通过将复杂的几何问题转化为简单的几 何问题，可以更容易地证明定理。证明柱面的直母线与其准线垂直，可以先将柱体固定在 立方体的一侧，再利用正方体的特性证明直母线与准线垂直。 在概率中，化归思想可以用来计算复杂事件的概率。对于一些复杂的事件，可以将其 化归为简单的事件，从而计算概率。计算从一副扑克牌中抽出5张牌都是红心的概率，可 以将其化归为计算第一张牌是红心、第二张牌是红心、第三张牌是红心、第四张牌是红心、第五张牌是红心的概率，再将这些概率相乘。 化归思想在数学教学中的应用不仅可以提高学生的解题能力，还可以培养学生的逻辑 思维和分析问题的能力。 化归思想在数学教学中的运用需要注意以下几点： 第一，要善于观察和发现问题的内在结构。通过观察问题的特点，将问题化归为简单 的子问题，从而解决复杂问题。 第二，要善于运用数学方法。化归思想需要学生具备扎实的数学知识基础，只有熟练 掌握数学方法，才能将问题化归为简单的形式。 第四，要注重实际问题的应用。化归思想在解决实际问题时特别重要，通过将实际问 题化归为数学问题，可以更好地理解和解决问题。 在数学教学中，教师可以通过举一反三的方式，引导学生运用化归思想解决问题，培 养学生的数学思维能力。通过多样化的例题和习题，让学生在实践中掌握化归思想的运 用。