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解题思想之化归思想
一、注解：
“化归”就是转化和归结的简称。所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形…..
实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。
二、实例运用：
1.在实数中的运用
【例1】今年2月份某市一天的最高气温11℃，最低气温-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）
A -17℃
B 17℃
C 5℃
D 11℃
【例2】 计算：()()02324732+-++
2. 在代数式的化简求值中的运用
【例3】计算：
111x x x ++-
【例4】已知31x =-，求代数式
11x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的值。
3.在方程（组）中的运用
【例5】用配方法解方程：x 2-4x+1=0
【例6】解方程组：728x y x y +=⎧⎨-=⎩
【例7】用换元法解方程：226212x x x x +-
=+
4.在确定函数解析式中的运用
【例8】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如
图为电流与电阻之间的函数图象，则电阻R 与电流I 的函数解析式为：（ ）
A. 2I R =
B. 3I R =
C. 6I R =
D. 6I R
=-
【例9】某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他的该月销售量成一次函
数关系，如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）求小李个人月收入y （元）与月销售量x （件）（x ≥0）之间的函数关系式。
（2）已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元？
【例10】已知二次函数y=ax 2+bx+c 过点O （0，0），A （1，3），B （-2，43）和C （-1，m ）四个点。
（1）确定这个二次函数的解析式；
（2）判断△OAC 的形状。
5.在三角形中的运用
【例11】如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°则∠BCD= 。
【例12】如图，△ABC中，BC=4，AC=23，∠ACB=60°，P为BC上一点，过P作PD∥AB交AC于D，连接AP，问P在何处时，△APD面积最大？
6.在四边形中的运用
【例13】在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AC平分∠BAD，AC=7，AD=6，S△ADC=15
3
2
,求BC
和AB的长。
【例14】在四边形ABCD中，∠A=120°，∠ABC=90°，BD=7，cos∠DBC=33
14
，求AB。
【例15】如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为。
三、随堂练习
2、二元二次方程组⎩
⎨⎧=+=+326422y x y x 的解是 。 3、已知：如图，扇形AOB 中，∠AOB=45°，AD=4cm ，弧CD=3πcm ，则图
中阴影部分的面积是 。(结果保留π)
4、在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦，则该弦所对的圆周角的度数
是 。
5、已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=CD=4，∠BCD=60°求梯形的中位线长。
6、解方程组⎩⎨⎧==+12
1112711xy y x 时，若设a x =1，b y =1，则方程组变为 ；若把x 1、y
1看作某关于z 的一元二次方程的两根，则方程组变为 。 7、如图：公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30o ，在点A 处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路NN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响? 请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒?
四、课后练习
选择题：
1、如果a 与-2互为倒数，那么a 是（ ）
A -2
B 12-
C 12
D 2 2、今年2月3日，我市最低气温-6℃，最高气温7℃，那么这一天最低温度比最高温度低（ ）
A 7℃
B 13℃
C 1℃
D -13℃
3、计算（-3a 3）2÷a 2的结果为（ ）
A 9a 4
B -9a 4
C 6a 4
D 9a 3
4、用换元法解分式方程222(1)671x x x x ++=+时，如果设y=21x x
+，那么将原方程化为（ ） A 2y 2-7y+6=0 B 2y 2+7y+6-0 C y 2-7y+6=0 D y 2+7y+6=0
5、已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）
A a ≤1
B a ＜1
C a ≤-1
D a ≥1
6、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）
(如图)，把余下的部分拼成一个矩形。根据这两个图形中阴影部
分的面积相同，可以验证（ ）
A (a+b)2=a 2+2ab+b 2
B (a-b)2=a 2-2ab+b 2
C a 2-b 2=(a+b)(a-b)
D (a+2b)(a-b)=a 2+ab-2ab
7、平面直角坐标系中的点P （2-m ，12
m ）关于x 轴的对称点在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示为（ ） 8、已知点A(-2，y 1)，B （-1，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数4y x =
的图象上，则（ ） A y 1＜y 2＜y 3 B y 3＜y 2＜y 1 C y 3＜y 1＜y 2 D y 2＜y 1＜y 3
9、在△ABC 中，∠C=90°，sinA 35
=，则cosA=( ) A 45 B 35 C 34 D 43
填空题：
1、若23a =，则2223712
a a a a ---+的值等于 。 2、解方程(x 2-5)2-x 2+3=0时，令x 2-5=y ，则原方程变为 。
3、一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距u ，像距v 和透镜的焦距f 满足关系式111u v f
+=，若f=6cm ，v=8cm ，则物距u= 。
4、请给出一元二次方程x2-8x+ =0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根。
5、图象经过点（-1，2）的反比例函数的表达式为 。
6、若y 关于x 的函数y=(a-2)x 2-(2a-1)x+a 的图象与坐标轴有两个焦点，则a 的可取的值为 。
7、将一个平角n 等分，每份是15°，那么n= 。
8、如图是一口直径AB=4m ，深BC=2m 的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常
坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD= （不
考虑青蛙的身高）
解答题：
1、 计算：（1）2
1
293()12323-÷+-⨯+ （2）222223(35)a b a b a b ab a b ÷+--
2、 有一道题“先化简，再求值”：其中，小玲做题22241()244
x x x x x -+÷+--时把“3x =-”错抄成了3x =，但她的计算结果也是正确的，请解释为什么？
3、 为了确保我市“国家级卫生先进城市”的称号，市里对主要街道的排污水沟进行改造，其中光明施工
队承包了一段96米长的排污水沟，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成任务，问原计划每天挖多少米？
4、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，
且AC ⊥BD ，AD=3，BC=5，求AC 的长。
化归思想方法在数学教学中的应用 一、化归的基本内涵(一)化归思想方法概述所谓化归，就是在研究和解决有关数学问题时。采用某种手段将问题转换。进而达到解决问题的一种数学思想方法。 化归是一种分析问题、解决问题的基本思想方法。在数学中通常的做法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换或平移、旋转、伸缩等多种方式，化归成一个熟悉的基本问题，从而求出解答。总之，化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的；复杂的化为简单的；抽象的化为具体的；一般的化为特殊的；非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。 (二)化归的核心思想和本质 化归的核心思想和本质：对需要解决的问题进行适当的变形。 1. 对已知成分进行变形――条件变形 2. 对未知成分进行变形――结论变形 3. 对整个问题进行变形 (三)化归的方法 化归的主要特点是灵活性。一个数学问题，我们可以视其为一个数学系统和数学结构，其各要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，且其形变也并非唯一，而是多样的。我们需要
依靠问题所提供的信息，利用动态的思维去寻找有利于问题解决的途径并运用恰当的方法。化归的方法主要包括：分割法、映射法、求变法。 二、数学教学中应用化归思想方法的必要性 化归是一种重要的数学思想方法，从广义上来讲，数学题的求解都是应用已知条件，对问题进行一连串恰当的化归，进而达到解决问题的一个探索过程。从宏观上看，化归的思想方法是数学问题解决中形成数学构想的方法论依据。从微观上看，数学问题的解决过程就是不断地发现问题、分析问题，直至化归为一类已经能解决或比较容易解决的问题的过程。在平时的数学教学中，教师如果经常地进行化归思想方法的教学，针对不同的问题，进行缜密的思考，及时总结各种“化归”方法。学生的解题能力及灵活性就会逐步得到提高，这对培养学生的数学素养是十分重要的。学生有了化归思想，就能从更深的层次揭示知识的内部联系，提高分析问题和解决问题的能力，这将有利于创新精神的培养。 数学知识本身是非常重要的，但它并不是唯一的决定因素。真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学的思想方法。未来的社会将需要大量的具有数学意识和数学素质的人才，21世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”。化归的思想方法在培养人、提高人的素质方面起着比数学知识本身更重要的作用。因此，向学生渗透化归的思想方法
数学中的化归方法及其应用 班级电子商务10-01 学号 20104045 姓名鲁婷 数学思想是对数学事实、概念、理论和方法的本质认识，是数学方法的灵魂，揭示了数学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化中的辩证唯物主义观点，数学方法是数学思想的具体表现，它们是数学知识的核心。在数学中比较常用和基本的数学思想及方法是化归（转化）。 一、化归思想方法及化归原则 1、化归的思想 “化归”是转化和归结的简称，是数学家们十分典型的思维特点，匈牙利数学家罗莎•彼得在《无穷的玩艺》中分析数学家在面临所要解决的问题时提出：“他们不是对问题实行正面的攻击，而是不断的将它变形直至将它转化成能够解决的问题。”化归，是运用某种方法和手段，把有待解的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为所熟悉的规范性问题来解决的方法。 2、化归的一般原则 化归原则的结构中蕴涵着三个基本要素，即化归的对象、目标、和方法。化归的对象就是待解问题中需要变更的成分，化归的目标是所要达到的规范问题。 化归原则的核心是实现问题的规范化，也就是把一个生疏的，复杂的问题化为熟悉的、简单的问题，以便利用已知的理论、方法和程序实现问题的解决。因此熟悉化和简单化是化归的基本方向。 化归与转化的一般原则是： ①化归目标简单化原则； ②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。）； ③具体化原则； ④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已 经建立起来的数学模式。如二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）；椭圆方程）； ⑤低层次化原则（解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决。这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单）。
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心 【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】 解题思想之化归思想 一、注解： “化归”就是转化和归结的简称。所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形….. 实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。 二、实例运用： 1.在实数中的运用 【例1】今年2月份某市一天的最高气温11℃，最低气温-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ） A -17℃ B 17℃ C 5℃ D 11℃ 【例2】 计算：()()02324732+-++ 2. 在代数式的化简求值中的运用 【例3】计算： 111x x x ++- 【例4】已知31x =-，求代数式 11x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝ ⎭的值。 3.在方程（组）中的运用
【例5】用配方法解方程：x 2-4x+1=0 【例6】解方程组：728x y x y +=⎧⎨-=⎩ 【例7】用换元法解方程：226212x x x x +- =+ 4.在确定函数解析式中的运用 【例8】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如 图为电流与电阻之间的函数图象，则电阻R 与电流I 的函数解析式为：（ ） A. 2I R = B. 3I R = C. 6I R = D. 6I R =- 【例9】某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他的该月销售量成一次函 数关系，如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题： （1）求小李个人月收入y （元）与月销售量x （件）（x ≥0）之间的函数关系式。 （2）已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元？ 【例10】已知二次函数y=ax 2+bx+c 过点O （0，0），A （1，3），B （-2，43）和C （-1，m ）四个点。 （1）确定这个二次函数的解析式； （2）判断△OAC 的形状。
“化归”思想在小学数学教学中的运用 一、“化归”思想的内涵 “化归”思想，是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法，从字面意思上讲，“化归”理解为“转化”和“归结”两种含义，即不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。而渗透化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。从而求得原问题的解决。化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。 匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个精彩的例证。 二、“化归”思想在小学数学教学中的渗透 1、数与代数----在简单计算中体验“化归” 例１：计算48×53＋47×48 机械地应用乘法分配律公式进行计算，学生不容易真正理解。将48这一数化归成物，即看到了相同的数48，想起了红富士苹果，以物红富士苹果代替数4 8，相同的数48是化归的对象，红富士苹果是实施化归的途径，于是48×53＋47×48就转化成求53个苹果与47个苹果之和的问题是化归的目标。 48×53＋47×48 ＝48×(53＋47)
化归思想 1. 化归思想的概念。 人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。 从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。 2. 化归所遵循的原则。 化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。 （2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。 （3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。 （4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。 3. 化归思想的具体应用。
化归思想 化归思想是初中数学中常见的一种思想方法。“化归”是转化和归结的简称。我们在处理和解决数学问题时,总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题,这就是化归思想。正如古之“围魏救赵”是战史上“避实就虚”的典型战例,军事上的这种策略思想迁移到数学解题方面,可以这样理解它:“实”是指繁、难、隐蔽、曲折，“虚”是指简、易、明显、径直。在解题中表现为:化难为易,避繁从简,转暗为明,化生为熟。具体的说,即把生疏的问题转化为熟悉的问题,把抽象的问题转化为具体的问题,把复杂的问题转化为简单的问题,把一般的问题转化为特殊的问题,把高次的问题转化为低次的问题,把未知转化为已知,把一个综合的问题转化为几个基本的问题等等。 化归思想无处不在,它是分析问题解决问题的有效途径。在初中数学学习中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。例如,在代数方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想。即将复杂的方程(组)通过各种途径转化为简单的方程(组),最后归结为一元一次方程或一元二次方程。这种化归过程可以概括为“高次方程低次化,无理方程有理化,分式方程整式化,多元方程组一元化”。这里化归的主要途径是降次和消元。虽然各类方程(组)具体的解法不尽相同,然而万变不离其宗,化归是方程求解的金钥匙。 平面几何的学习中亦是如此。例如,研究四边形、多边形问题时通过分割图形,把四边形、多边形知识转化为三角形知识来研究；解斜三角形的问题，通过作三角形一边上的高，转化为解直角三角形问题；我们熟悉的梯形问题,常通过作腰的平行线或作两条高等常用辅助线,把梯形问题转化为平行四边形与三角形问题。又如，圆中有关弦心距、半径、弦长的计算亦能通过连结半径或作弦心距把问题转化为直角三角形的求解。还有，解正多边形的问题，通过添半径和边心距，转化为解直角三角形问题等等。 化归思想贯穿整个初中数学，在学习的过程中要有意识的体会这种科学的思维方法，有利于我们在解决问题的过程中思维通畅、方法得当，从而达到事半功倍的效果。数学中化归的形式与方法是多种多样的。在初中代数与几何的学习中常见的有以下几种： 1．化高次为低次 例1 已知：21=+x x ，求441x x +的值。 【分析】题目的条件中所含的是字母x 的一次式，而所求的结论中是x 的四次式，因次我们可以通过降次，由结论向已知转化；或通过升次，由已知向结论转化。 【解】441x x +=222)1(x x +－2=2]2)1[(22--+x x =2。
化归思想方法(一) 化归是解决问题的一种最基本的思想方法。数学大师波利亚说：解决问题需要不断地变换，需要一再变化它，重新叙述它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止，……。波利亚精辟地叙述了化归思想方法的重要性。 实际上，我们常常是把将要解决的陌生问题通过化归，变为一个比较熟悉的问题来解决，因为这样可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法应用于问题的解决，也常常将一个复杂问题化归为一个或几个简单的问题来解决，或将抽象的问题化归为具体的问题来解决，等等，这就是化归的思想方法。 从这个角度上来看，我们在解决数学问题所采用的各种数学思想方法，实质上都是数学模式之间化归的一种手段，数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式的相互转化，分类讨论则体现了局部与整体的相互转化。因此，化归的思想方法已渗透到整个教学内容及解题过程中，它也是历届高考的重点考查对象。对考生的要求也越来越高，理应引起充分重视。 【要点回顾】 1、函数与方程、不等式的化归； 2、函数与数列的化归； 【1】
3、向量、复数和三角的化归； 4、向量与几何的化归； 5、平面与立体图形的化归； 6、变量与常量间的化归； 7、数与形的化归； 8、实际问题和数学模型的化归； 9、命题间的化归，如根据原命题与逆否问题的等价性转化； 10．将复杂的问题、陌生的问题，通过等价变形化归为简单的问题、熟悉的问题、基本量问题。 【能力要求】 1、运算能力与等价转化能力； 2、知识间的联想类比能力(包括结构、关系、因果等)； 3、数形结合的能力； 4、能根据实际问题中的数量关系建立相应的函数关系的数学建模能力； 5、探索能力、分析问题和解决问题能力。 一、换元法是一种常用的化归策略 1、常用换元法 换元法是化归思想方法中较为常用且很重要的解题方法，其实质 【2】
转化与化归思想——消元 转化与化归的思想 所谓化归与转化的思想是指在研究数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般情况下，都要将未解决的问题化归转化为已解决的问题。 化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，同时也是在解决数学问题过程中无处不存在的基本思想方法。数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，因此以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，各种变换的方法及分析法、反证法、特定系数法、构造法等都是转化的手段。 化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。 解题方法指导 1．运用化归与转化的思想解题需明确三个问题： (1)明确化归对象，即对什么问题转化； 2)认清化归目标，即化归到何处去； (3)把握化归方法，即如何进行化归； 2．运用化归与转化的思想解题的途径： (1)借助函数进行转化； (2)借助方程（组）进行转化； (3)借助辅助命题进行转化； (4)借助等价变换进行转化； (5)借助特殊的数与式的结构进行转化； (6)借助几何特征进行转化。 消元 例 用加减法解方程组34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩ 分析：这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同，直接加减不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。 ①②
解：①×3,得9x+12y=48 ③ ②×2,得10x-12y=66 ④ ③＋④,得19x=114 x=6 把x=6代入①，得3×6+4y=16 4y=-2, y=-1 2 所以，这个方程组的解是 6 1 2 x y = ⎧ ⎪ ⎨ =-⎪⎩
中学数学中化归思想的研究 中学数学教育是全面发展学生知识和能力的重要环节，“化归思想”是学习数学的重要方法，帮助学生掌握数学知识，深入理解数学思想，提高学习效率，发挥数学的建构性作用。本文通过介绍化归思想的概念、内涵和作用，对中学数学中化归思想的研究及其实践应用做出了介绍。 一、什么是化归思想 化归思想是指将较复杂的数学问题在思想上归结到简单的共性学习问题，从而达到深入探究、挖掘思想的基本方法，它是学习数学的主要思想手段。简而言之，“化归”就是把问题分解成更小的部分，有助于学生更快理解和掌握，进而向上求解。 二、化归思想的内涵 化归思想主要包括“分解”、“归结”和“求解”三个方面。 1、分解是指通过解释、界定等方式将一个复杂的问题分解为相关的小问题，有助于揭示问题的实质，找出问题的解法。 2、归结是指通过找出问题的普遍性、明确问题所具有的规律性，以建立完整的数学模型，最终归结出问题的一般解法。 3、求解是指通过计算、绘图等方式，用数学语言描述问题，找到解决问题的方法，从而得出问题的具体解。 三、化归思想的作用 1、激发研究兴趣和学习积极性。由于数学中的规律性，每个问题都是一种新的挑战，学生往往可以从中激发出研究兴趣和学习积极
性，更好地理解和应用数学。 2、提高学生数学综合运用能力。当学生能够既深刻理解数学概念又能灵活使用数学思维方法，就可以更有效地应用数学解决复杂问题，从而提高学生数学综合运用能力。 3、培养学生数学创造力。在学习数学过程中，学生按照规律、构建模型、做出实际解决问题的尝试，这极大地激发学生的思维，培养学生的数学创新性思维。 四、对中学数学化归思想的应用 1、注重运用化归思想进行教学。在数学教学中，老师应倡导学生探究学习，注重使学生掌握化归思想，让其能够有效的用化归思想解决问题。 2、提倡团队研究。在团队协作中，学生共同探究学习，分工合作，彼此交流，激发学生思维，提高整体学习效率和效果。 3、搭建数学思维训练场所。在训练中，学生可以掌握数学技能，熟悉数学思维，使学生能够更深入的理解数学，提高学生的数学能力。 综上所述，中学数学中的“化归思想”在发展学生数学思维及其能力上具有重要性，老师应充分利用化归思想，让学生深刻理解数学，让数学充满生命力，从而发挥数学的建构性作用，提高学生的数学素养。
化归思想在初中数学教学中的应用 摘要：化归思想是数学中最常见、最重要的一种思想方法，它同样贯 穿于初中数学的每个部分，可化陌生为熟悉、化抽象为具体、化未知为已知.在数学教学中，化归思想可化多元为一元、化部分为整体、化一般为 特殊，还体现在数形互化与动静互化的过程中. 关键词：化归思想；中学数学；实践运用 化归思想是数学思想中的核心思想，本文在介绍化归思想的内涵、意 义之后，结合笔者的教学实践，对化归思想在初中数学教学中的应用进行 了简要分类，并分别加以举例说明. 一、化归思想的内涵 初中数学新课标明确指出：初中阶段的学生不仅要掌握“重要数学知 识（包括数学事实、数学活动经验）”，还必须让学生掌握“基本的数学 思想方法和必要的应用技能”.初中数学思想方法包括化归思想、分类讨 论思想、数形结合思想等.其中化归思想是初中数学思想方法中最常见、 最重要的一种，贯穿了整个初中数学，在中考的各类题中都有所表现，也 是数学思想在中考中的较多体现. 二、化归思想的意义 数学知识本身就是具有抽象性，隐藏于数学知识背后的数学思想方法 更是深一层次的抽象.初中生正处于身心发展的关键时刻，思维方式由形 象思维逐渐向抽象思维过渡.化归思想是初中数学教材涉及得最多的一种 基本数学思想.教师必须充分认识到化归思想在初中数学教学中的重要性，在传授数学知识的过程中，尤其要指导学生真正理解和应用化归思想.
1.化归思想将陌生知识熟悉化 比如，在小学就学过7+5和7-5，那在引入负数后，如何解决（1）-7+（+5）；（2）-7+5；（3）7+（-5）这三个问题？其实这就可以应用到化归思想.在教学中，教师可先让学生动手去做，让学生在做题过程中思考：如何将这三题转化成所熟悉的加减运算，最后师生共同归纳有理数的加法法则. 2.化归思想将复杂问题简单化 一般来说，事物呈现的外在现象往往是纷繁复杂，我们要分析事物的性质，必须将复杂的问题简洁化，才能看清楚现象的本质.同样道理，在初中数学里，我们会遇到题干比较长的应用题.这时候，许多学生面 对这些应用题，往往会手忙脚乱，被这些表面复杂的题目吓倒了.教师必 须引导学生树立化归思想，不要害怕其长又乱的题目，其实这些描述里有许多是毫无作用的，我们必须懂得取其精华，去其糟粕. 比如，一只骆驼和一匹马在路上一起走，它们背上都驼着沉重的货物.于是，骆驼一边走一边不断地咒骂主人没良心，吃的东西给的不多，却要它背如此多的货物.旁边的马听了，不禁地说：“你还在埋怨什么呀？我 背的东西比你更重呢！假如你给我一包，我背的包数是你的两倍啊.”骆 驼马上驳斥说道：“你给我背一包，我们背的货物包数就相同了.”聪明 的同学们，你们能计算出骆驼和马各自背了多少包货物吗？ 面对这类应用题，不少同学都感到害怕，产生畏惧心理.这时候，教 师需要引导学生采用化归思想，将题目中的核心文字提炼出来，将复杂的题目简单化.本题有两个要点：第一是骆驼给马一包，马的包数是骆驼的 两倍；第二是马给骆驼一包，它们的包数就相等了.理解题目的意思后，
化归思想在初中数学教学中的应用 化归思想在初中数学教学中的应用 作为一种基本的思维方式和数学方法，化归思想在初中数学教学中占据着重要地位。化归是一种通过简化问题的方式解决难题的方法，化归思想在数学中的应用既涉及到诸如同类项的合并与消去、分式的简化等一些基础的运用，也包括了一些更高层次的、多步进行的操作，例如求解代数方程的过程、计算于极限思想、集合论、比例与相似等等。新课程标准中强调“承认和感知数学中的重要概念、原理和思想方法，在解决实际问题中做到灵活运用”，而化归思想作为其中一个基本方法，其渗透范围之广，对于学生数学学习和思维发展的素养提升均有重要的影响。 首先，化归思想在初中数学教学中运用于同类项和比例与相似等基本概念的教学上，通过类比、比较和归纳等方式，将学生的注意力引向这些概念的相似点和差异点，进一步帮助学生增强发现和抽象能力。以同类项为例，化归思想要求将含有相同代数式子的数称作同类项，而归纳法则则是将具有相似式子叠加为一个新的式子。在讲解中，教师可以结合实例进行讲解，例如将 $3x,y$ 和 $5x,x$ 和 $7$ 变成同类项，通过调整加括号的方式进行化归1次，获得了一个新的式子 $8x+5y+7$，而在这个过程中辅助学生发现同类项的条件、式子化归和基本原则等。相同的，“化归”思想在比例与相似中也是至关重要的。通过归纳比较相似的形状，我们可以发现它们都具有一个比例系数来描述，而利用这个比例系数，我们不仅可以计算出它们相似的比例关系，并且可以利用这个比例计算新的尺寸。正因为
化归思想的使用，才能使我们根据形状的相似性，利用比例来进行量的计算。 其次，化归思想在数学训练和解题中也是极为重要的。它可以帮助学生深入理解运算思想和方法，减轻运算量，提高解题效率和答题精确度。例如，在解决有理式加减乘除问题的时候，化归思想可以帮助学生使式子更加规范，从而更便于理解和操作。在一些代数分式的计算过程中，我们难免会遇到一些复杂的分式，采用化归法将分式化成最简式，不但可以消去分母中的通分和因数公因数等，而且能有效简化计算过程。在解决一些方程的问题时，尤其是复杂的方程组性的计算时，化归思想的灵活使用也可以大大缩短计算过程和复杂度。 除此之外，化归思想在数学教育和学习中还体现了更高的意义。化归是在模糊的问题背景下寻找共同点，把一些复杂的问题化简为易于处理的部分，最终得到原问题的过程。因此在化归思想中，要求学生具有一定的系统思维和逻辑推理能力，能够通过比较、抽象和归纳，找出问题的本质，未来探寻新课标中所强调的“综合运用理解、分析、创新等能力，增强解决实际问 题的能力和核心素养”。 总之，化归思想在初中数学教育中有着十分广泛和重要的应用，其贯穿了很多数学知识点和方法，涉及到课程的各个方面。化归思想任重道远，要想将化归思想运用好，不仅需要学生树立科学思维，更需要教师有清晰的思维导向，引导学生正确使用这种方法。同时，教师需注重学生实践操作和深层次思考，通过多元化、灵活的教学形式将学生深入培养出科学思维，不断
化归思想在初中数学教学中的运用 化归思想作为非常重要的数学思想方法,能帮助学生透过现象发现本质,从而利用数学知识解决实际问题,真正实现学以致用。 摘要:随着沪科版新课程标准的不断推进,化归思想在数学思想中占据的比例越来越大。化归思想的应用,能将抽象、复杂的问题进行具体、简单的处理,是培养学生数学思维的关键。文章立足于化归思想对于初中数学教学的意义,结合具体案例分析化归思想应用于初中数学教学的实践。 关键词:化归思想;初中数学;实践 当前的数学教学强调教师不仅要对学生进行基础知识的传授,更要在数学知识中渗透数学思想。数学思想是人们经过实践后总结出来的对数学本质的一种认识,也是数学的精华所在,在培养学生问题解决能力方面具有积极作用。化归思想是数学思想的一部分,将其渗透到初中数学教学中,能将复杂的问题简单化。沪科版数学教材积极引入化归思想, 为教师向学生介绍和渗透数学化归思想提供了可能。 一、化归思想对于初中数学教学的意义 初中数学涉及大量的数学原理及内涵,而化归思想作为一种重要的数学思想,能帮助学生深入了解数学原理和内涵。学生掌握化归方法, 在很大程度上会提升自身的数学素养。另外,化归思想能进一步完善数学教师的知识体系,引导教师朝着教学专业化方向发展。化归思想在实践中的意义也非常突出。 二、化归思想应用于初中数学教学的实践 (一)陌生问题熟悉化 数学知识的学习是一个由陌生到熟悉的过程。初中生对于熟悉的题目,能以最快捷的方式计算出答案。但针对陌生的题目,就需要耗费更多的.时间和精力。如沪科版数学教学中“三角形的边角关系”问题。如图1所示,等腰三角形ABC 以2m/s的速度沿着直线方向移动,直至AB与CD重合, 如果运动x秒,三角形与正方形的重叠部分为面积ym2,最后求x与y的关系。对于这道题, 教师可借助学生已了解和掌握的静态问题,即利用图形、已知条件求未知问题。化归思想的渗透给予了学生灵感,使学生能将与动点相关的线段找出来,并用含有x的公式表示出来,最后求出x与y之间的关系。该方法的应用能将陌生的动态问题化为
试析初中数学教学中化归思想的应用 化归思想是初中数学教学中重要的思维工具之一，它是指将复杂的问题转化为简单的 问题进行求解的思维方式。在初中数学教学中，化归思想被广泛应用于各个领域，如代数、几何、概率等，具有重要的理论意义和实际应用价值。 1. 同类项的合并：同类项的合并就是运用化归思想将相同的代数项合并为一个，从 而简化计算和推导的过程。例如，2x+3y+4x=6x+3y。 2. 消去未知数：在解方程的过程中，运用化归思想可以消去未知数，从而得到方程 的解。例如，2x+3=5x-2，将它化归为x的形式：2x-5x=-2-3，得到-x=-5，即x=5。 3. 化简式子：化归思想可以将复杂的式子简化为简单的式子进行计算。例如，将 2x+3y+4x+5y化归为6x+8y。 二、化归思想在几何中的应用 1. 图形的分类：运用化归思想可以将图形按照特定的标准进行分类，从而便于进行 理解和运用。例如，根据图形的几何属性将三角形、四边形、圆形等分类。 2. 角度的转化：运用化归思想可以将不同的角度转化为同一单位进行比较。例如， 将角度的度数表示为弧度表示。 3. 空间的计算：运用化归思想可以将复杂的空间计算问题转化为简单的二维计算问题，从而方便学生理解和运用。例如，将空间中的三角形投影在平面上计算。 2. 事件的判断：运用化归思想可以将事件按照不同的特征进行分类，从而判断事件 是否属于同一类别。例如，将事件按照是否独立进行分类。 总之，化归思想在初中数学教学中具有广泛的应用价值，它可以帮助学生理解和认识 数学问题，提高解决问题的能力和思维水平。因此，教师应该引导学生运用化归思想，培 养学生对数学问题的分析和抽象能力，帮助他们掌握数学知识，提高数学成绩。同时，教 师还应该根据学生的实际情况，采用多种不同的教学方法和策略，鼓励学生实践和创新， 从而促进数学教学的发展和进步。
试析化归思想在初中数学教学中的应用 化归思想是数学中一种重要的解题方法，它在初中数学教学中具有广泛的应用。化归 思想的核心是通过对问题进行分析，找到问题的本质，然后将复杂的问题转化成简单的问 题来解决。化归思想在初中数学教学中的应用体现在以下几个方面： 一、解决问题的起点 化归思想可以帮助学生找到解决问题的起点。在解决实际问题时，学生往往面临着复 杂的情景和繁杂的数据，很难一下子找到解题的方法。通过运用化归思想，可以帮助学生 发现问题的本质，并将其转化成简单的问题。解决“杨辉三角形”的问题时，化归思想可 以帮助学生将问题转化成了一般形式的组合数问题，从而更容易求得结果。 二、问题的转化与简化 化归思想可以帮助学生将复杂的问题转化成简单的问题，从而更容易解决。在解决 “分数的加减乘除”问题时，学生往往会遇到分母不同的情况，计算起来较为繁琐。通过 化归思想，我们可以将不同分母的分数转化成相同分母的分数，使计算更加简单明了。 三、问题的归纳与推广 化归思想还可以帮助学生从具体问题的解决中发现问题的规律，从而进行问题的归纳 与推广。在解决“等差数列求和”问题时，学生可以通过归纳总结，发现等差数列求和的 规律，并推广出通用的求和公式，更加方便快捷地计算。 四、问题的拆解与合并 化归思想还可以帮助学生将复杂的问题进行拆解与合并，从而更好地理解和解决问题。在解决“集合的交集和并集”问题时，学生可以通过化归思想将集合的交集和并集问题拆 解成对于每个元素的判断和组合，然后再进行合并得到最终结果。 五、问题的变形与推导 化归思想还可以帮助学生通过对问题的变形与推导，从不同的角度理解和解决问题。 在解决“二次方程求根”问题时，学生可以通过将二次方程变形成平方差公式的形式，推 导出解的公式，并进一步推导出关于根和系数之间的关系，从而更好地理解二次方程的性质。 化归思想在初中数学教学中有着广泛的应用。它不仅能够帮助学生找到解决问题的起点，还能够将复杂的问题转化成简单的问题，帮助学生发现问题的规律并进行归纳和推广，拆解和合并问题，以及通过变形和推导来理解和解决问题。在初中数学教学中，教师应该
化归思想在初中数学教学中的应用 初中数学作为中学阶段的重要学科之一，对学生的逻辑思维能力、问题解决能力和数学素养有着重要影响。而化归思想作为一种重要的数学思维方法，其应用在初中数学教学中能够帮助学生更好地理解和运用数学知识，提升他们的数学思维能力和解题能力。本文将探讨化归思想在初中数学教学中的应用，从基本概念、解题方法和实例三个方面进行详细阐述。 一、基本概念 化归思想是指通过将一个复杂的问题转化为一个相对简单的问题来进行求解的思维方法。在数学中，化归思想常常是通过引入适当的变量、改变问题的形式或结构，从而使问题具有一定的规律性和可操作性，使其能够被解决。化归思想的基本概念有以下几点： 1.归纳化 归纳化是将一个复杂的问题转化为一个特殊情形的简单问题。通过观察和归纳，找到问题中的规律和特点，并将其简化为一般情形的问题来解决。例如，在教学中可以通过选取特殊值，或将复杂的运算过程简化为特殊情况的运算，引导学生理解和掌握抽象问题的解题方法。 2.类比化 类比化是将一个难以处理的问题转化为一个相似但更易处理的问题。通过找到与已知问题相似的问题，运用类似的解题思路和方法来解决未知问题。例如，在求解几何问题时，可以借鉴已知几何形状的性质和解题方法，运用到未知问题中，帮助学
生理解和掌握几何问题的解题方法。 3.延伸化 延伸化是将一个已知的问题扩展或推广为一个更一般的问题。通过对已知问题的分析和推广，找到问题的共性和普遍性，从而解决更一般的问题。例如，在求解等差数列的问题时，可以通过找到问题的一般规律和通项公式，进一步推广到求解任意项、任意和的问题，拓展学生对等差数列知识的理解和应用。 二、解题方法 基于化归思想，我们可以运用多种解题方法来辅助教学，使学生能够更好地理解和应用数学知识。 1.通过特例法解题 特例法是一种常用的运用化归思想的解题方法。通过选取适当的特殊值，使复杂的问题简化为特殊情况的问题，从而找到问题的规律和解题方法。例如，在教学中，可以通过选取一个特殊的数值，如0、1或2，来简化计算过程，帮助学生理解和掌握一般性问题的解题思路和方法。 2.通过类比法解题 类比法是一种通过将一个难以处理的问题转化为与已知问题相似的问题进行求解的方法。通过观察和分析已知问题与未知问题的相似之处，将已知问题中的思路和方法运用到未知问题中来解决。例如，在教学中，可以引导学生将一个未知的几何问题转化为与已知的几何问题相似的问题，从而运用相似的解题思路和方法解决。
初中数学教材中的化归思想剖析 在整个初中数学教材中无处不渗透着化归思想，我们时常需要把高次的化为低次的，把多元的化为单元的，把高维的化为低维的，把指数运算化为乘法运算，把几何问题化为代数问题，化无理为有理等，可以说在初中的数学教材中，每一册都有较多问题的解决需要用化归的思想方法来完成，而在历年的中考题中许多压轴题的解决也需要用化归的思想方法来完成，所以这种数学思想是初中数学中解决问题的一种非常重要的数学思想。 化归思想的实质就是将一个新问题进行变形，使其转化为另一个已经解决的问题，从而使原来的问题得到解决。其一般模式是把所要解决的问题A经过某种变化，使之归结为另一个问题A*，再通过问题A*的求解，把解得的结果还原于原有问题A，从而使原有问题得解。 化归思想包含三个要素：化归的对象、化归的方向和化归的方式方法。要正确运用化归思想，就要分清化归的对象，明确要化归的方向，考虑实施化归的方法。本文主要从化归的方向对初中教材中的化归思想进行举例分析。 从化归的方向上来看，化归的方向大致可以分为下面两种： 一、新知识向已知知识点或知识块的转化 在初中数学教材中，有许多新知识的获得或新问题的解决都
是通过转化为已知知识或已解决的问题来完成的，也就是将新知识向已知知识点或知识块转化，从而使问题得到解决。下面就以解方程为例来分析这种化归的方向。 1、消元降次化归，实现新知识向已知知识点的转化 (1)降次化归解一元方程 解一元二次方程时有以下四种基本解法： a、如果方程的一边是关于X的完全平方式，另一边是个非负的常数，则根据平方根的意义将形如方程转化为两个一次方程进而得解，此为开平方。 b、如果将方程通过配方恒等变形，一边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负的常数，则其后的求解可由思路一完成，此为配方法。 c、如果方程一边为零，一边能分解成两个一次因式之积，就可以得到两个因式分别为零的一次方程，它们的解都是原方程的'解，此为因式分解法。 d、如果以上三条思路受阻，便可把方程整理为一般形式，直接利用公式求解。 纵观以上四种方法，不难发现，方法一即所谓开平方法，它是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程，完成了由“二次”向“一次”的转化。方法二中的“配方”仅完成了方程的恒等变形，把问题转移到“可开方”上来，并未完成“降次转化”这一实质性工作，但已经为“二次”向“一次”转化创造了条件，
初中数学专题复习(一) 化归思想 本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． 【典型例题剖析】 一、转化思想在代数中的应用。 1.已知：n m ,满足13,132 2 =-=-n n m m , 求n m m n +的值。 二、转化思想在函数问题上的应用： 1. 函数1 y x = 】 A ．第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 2.（2016成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A （2，2）． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限的交点为C ，连接AB 、AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积． 三、转化思想在几何中的应用。 2、已知：如图6所示在中，，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证：AC ＝AE ＋CD y kx =m y x =
四、代数问题与几何问题之间的化归： 1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AB 上一点， 沿EC 折叠，使点B 落在AD 边的B‘处，若AB=6， BC=10， 求AE 的长。 2、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。 【强化训练】 一、选择题与填空题 1、用换元法解方程x x x x += ++2 22 1时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ） A 、y 2+y+2=0 B 、y 2－y －2=0 C 、y 2－y+2=0 D 、y 2+y －2=0 2、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的 面积为（ ） A 、64πcm 2 B 、64 cm 2 C 、32 cm 2 D 、48 πcm 2 E A B C D E F P
化归思想 Ⅰ、专题精讲： 数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（嘉峪关，8 分）如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．Xk b1.c om 解：⑴解方程组82 y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2 （2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422 AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+= 点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】（自贡，5分）解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．
专题复习-----化归思想 Ⅰ、专题精讲： 数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】已知：如图3-1－12所示，在△ABC 中，E 是BC 的中点，D 在AC 边上，若AC=1且∠BAC=60°，∠ABC ＝100°，∠DEC=80°，求ABC CDE S +2S ∆. 【例2】（临沂，10分）△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c 2 的关系，并证明你的结论．00 点拨：勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有：222a b c +=的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系.