数学解题中的化归法
摘要：在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进
行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或者容易解决的问题，把所
要解决的问题，经过某种变化，使之化归。化归法是一种分析问题、解决问题的
基本思想方法。在数学中通常的作法是：将一个非基本问题通过分解、变形、代
换等，或平移、旋转、伸缩等方式，将它化归为一个熟悉的基本问题，从而求出
解答。
关键词：化归法；转化；变形；联想
在解决问题过程中，往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或者容易解决的问题，把所要解决的问题，
经过某种化归，使之得到解决，这就叫做化归法。
化归法是一种分析问题、解决问题的基本思想方法。在数学中通常的作法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换等，或平移、旋转、伸缩等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本问题，从而求出解答。如在解析几何中，当我们学完
了最基本、最简单的圆锥曲线知识后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐
标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线(在新坐标系中)来实现。其他如几何问
题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题
化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了。所以，掌握化归的思想方法对
于数学学习有着重要意义。
一、化归法的基本原则
化归的核心是转化。化归法有三个要素，即化归的对象：即问题中需要改变
的成份，是改变整个题目还是只改变它的条件或问题；化归的目标：即化难为易、化繁为简，还是将陌生问题转化为熟悉问题；化归的方法：即转化途径，这是化
归法的关键。
若要实施好某种化归，且使这种化归行之有效，就必须遵循相应的原则，而
不是盲目进行。一般说来，化归应遵循以下原则：即熟悉化原则，就是将不熟悉
的问题化归为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验用于解决新问题；简单化原则，就是将复杂的问题化归为比较简单的问题，从而使问题更加容易解决；和谐化原则，就是将问题的表现形式变形为更加符合数学内部固有的和谐统
一的特点，这样做有利于揭示问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系；直观
化原则，就是将一些含糊的、抽象的、深奥的问题化归为比较具体的、直观的、
浅显的问题来解决。
二、化归法的应用
在明确了化归的对象和化归的目标后，如何进行化归途径就是最重要的。实
现化归的常用措施有：分割法、典型化法、数形结合法、映射法、逼近法、消元法、降次法、换元法、数学模型法等。实施化归的方法虽然很多，但是都具有一
个共同特点：我们不应以静止的观点来看待问题，而应以可变化的观点去看待问题，即善于将待解的问题进行变形，通过适当的变形使之更加容易解决，这才是
化归的核心思想。
三、总结
在解题过程中，必须紧紧盯着目标，即应考虑这样的问题：怎样才能达到解决原问题的目的，在这个大前提下，实施化归才是有成效的，盲目地选择化归方向与方法必将走入死胡同，我们应保持一定的灵活性。正如波利亚所指出：如果有几条可能的途径，而其中没有一个是十分有把握的，那么在沿着某条路走得太远以前，最好对每条路都稍加探索，不要过早地把自己局限于某一途径，这也是化归的策略之一。在解题中必须考虑以下问题：怎样才能更快、更有效地解决问题，即应注意在几种可能的途径中进行选择，这就是择优原则。这几种择优原则也是我们运用化归的依据和出发点，而化归法并非万能，即并不是所有问题都可以通过化归而得到解决的。它的成功运用是以“数学发现”为前提。因此，我们不能停留于化归法的分析，而必须从事新的研究，在研究中获得新方法和新理论。
参考文献：
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[2]殷堰工.数学解题策略精编[M].上海：上海科技教育出版社，1994.
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[5]李文斌等.运用化归与转化的若干原则[J].中学数学研究，2004(12).
作者单位：江苏省宝应中学
邮政编码：225800
化归与转化 一、化归与转化 其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。 二、典型例题 例1．）在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴 的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+ .求点M 的轨迹方程. [解析] 在求得曲线C 的方程)0,0(14 2 2 >>=+y x y x 后，将其转化为函数)10(122 <<-=x x y 的图像来认识，通过导数得y '=－ 2x 1－x 2 设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0
数学分析中的化归法 目录 摘要 (1) Abstract (1) 1. 绪论 (2) 1.1 化归法的背景 (2) 2. 详谈化归法 (3) 2.1 化归法的分类 (3) 2.2 常见的化归方法及化归思想 (3) 2.2.1 化归的方法 (3) 2.2.2 化归的思想 (4) 2.3 化归法的原则 (5) 2.3.1 化归的方向与一般模式 (5) 2.3.2 化归法的原则 (5) 3. 数学分析中的化归 (6) 3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6) 3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12) 3.2.1 在极限中的体现 (12) 3.2.2 在微分中的体现 (15) 3.2.3 在积分中的体现... .. (16) 3.2.4 在级数中的体现 (22) 3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24) 4.小结 (25) 参考文献 (26) 致谢 (27)
数学分析中的化归法 摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。 关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用 中图分类号：O1-0 The reduction method of mathematical analysis Abstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction. Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method
数学解题中的化归法 摘要：在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进 行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或者容易解决的问题，把所 要解决的问题，经过某种变化，使之化归。化归法是一种分析问题、解决问题的 基本思想方法。在数学中通常的作法是：将一个非基本问题通过分解、变形、代 换等，或平移、旋转、伸缩等方式，将它化归为一个熟悉的基本问题，从而求出 解答。 关键词：化归法；转化；变形；联想 在解决问题过程中，往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或者容易解决的问题，把所要解决的问题， 经过某种化归，使之得到解决，这就叫做化归法。 化归法是一种分析问题、解决问题的基本思想方法。在数学中通常的作法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换等，或平移、旋转、伸缩等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本问题，从而求出解答。如在解析几何中，当我们学完 了最基本、最简单的圆锥曲线知识后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐 标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线(在新坐标系中)来实现。其他如几何问 题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题 化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了。所以，掌握化归的思想方法对 于数学学习有着重要意义。 一、化归法的基本原则 化归的核心是转化。化归法有三个要素，即化归的对象：即问题中需要改变 的成份，是改变整个题目还是只改变它的条件或问题；化归的目标：即化难为易、化繁为简，还是将陌生问题转化为熟悉问题；化归的方法：即转化途径，这是化 归法的关键。 若要实施好某种化归，且使这种化归行之有效，就必须遵循相应的原则，而 不是盲目进行。一般说来，化归应遵循以下原则：即熟悉化原则，就是将不熟悉 的问题化归为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验用于解决新问题；简单化原则，就是将复杂的问题化归为比较简单的问题，从而使问题更加容易解决；和谐化原则，就是将问题的表现形式变形为更加符合数学内部固有的和谐统 一的特点，这样做有利于揭示问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系；直观 化原则，就是将一些含糊的、抽象的、深奥的问题化归为比较具体的、直观的、 浅显的问题来解决。 二、化归法的应用 在明确了化归的对象和化归的目标后，如何进行化归途径就是最重要的。实 现化归的常用措施有：分割法、典型化法、数形结合法、映射法、逼近法、消元法、降次法、换元法、数学模型法等。实施化归的方法虽然很多，但是都具有一 个共同特点：我们不应以静止的观点来看待问题，而应以可变化的观点去看待问题，即善于将待解的问题进行变形，通过适当的变形使之更加容易解决，这才是 化归的核心思想。
化归法在小学数学解决问题中应用 摘要：新形势下，数学思想是数学方法的“灵魂”，数学方式是数学思想的 实现方式。化归法可以通过转化过程，分析这个问题，并且转变为熟知的内容进 行解决。小学数学教学活动的过程中，就需要充分的挖掘数学思想，并且渗透和 强化思想理念，提升学生的自主学习能力。在合作中，自觉感悟，保持多元化的 问题解决策略。因此，本文首先提出了需要探究的主要内容，之后，结合现状， 针对性的构建出科学的应用题解决措施。 关键词:化归法;小学数学;解决问题 一、问题的提出 随着科学技术的进一步延伸，传统理念下的教学方式已经不能满足当前的发 展需要，需要学生整合思想，加大基础建设，保持科学的发展动力，使用化归的 方式，把握好方向，选中目标，探究不一样的解决途径[1]。活化知识，增强弹性，触类旁通，揭示规律，展现思想，实现化归。但是，在实践的过程中，部分教师 还在使用“填鸭式”的教学方式，此种教学方式，不仅教师教的累，并且学生学 习起来也比较的困难。小学生年龄较小，思维逻辑不足，对抽象的内容理解不到位。鉴于此，如何将数学教学知识更快的被学生所吸收？如何使用化归法解决小 学数学问题？这些问题的呈现，就成为了一线教育工作者需要探究的主要问题。 二、化归法在小学数学解决问题中应用 （一）分解法———化整为零 化归思想的存在就是为了研究和解决问题，并且结合问题的转化，找到问题 的所在，最后，达到解决问题的主要目的[2]。另外，小学数学教师还需要将知识 的教学和生活化的内容相互融合在一起，激发学生学习的兴趣，学会使用学习到 的数学知识，解决生活中存在的问题。让学生思考的每一个问题，都可以分为若 干个小的部分，加大理解，将复杂的问题实施合理的分布分解，达到解决问题的
1 数学化归方法概述 1.1对数学思想方法的理解与认识 “数学思想”这一术语,还未形成精确的定义,比较一致的认识是,数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,基本看法,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的后果,它是对数学事实与数学理论的本质认识。 数学方法是指人们在数学学习,研究,以及利用数学解决实际问题的步骤、程序和格式，是实施有关教学思想的技术手段，由此可以看出数学方法具有过程性、层次性、可操作性特点。 1.2 化归是数学发现的重要策略和方法 数学问题的形式千变万化，结构错综复杂，特别是一些难度较大的综合题（如一些国内外竞赛题），不仅题型新颖，知识覆盖面大，而且技巧性强，个别问题的解法独到别致，寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境，绕过障碍的途径。因此，我们在解决数学问题时，思考的重点就是要把所需要解决的问题转化为已能解决的问题，也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把它化归成一个或若干个熟知的或已能解决的问题，这就是数学思维中重要的特点和方法——化归方法。 匈牙利著名数学家P.路莎指出：“对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经解决的问题。”P.路莎还用以下比喻，十分生动地说明了化归的实质。“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些开水，应当怎么去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放在煤气灶上。”接着路莎又提出了第二个问题：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经放了足够的水，这时你又应当如何去做？”这时，人们往往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是路莎指出，这一回答并不能使她感到满意。因为，更好的回答应该是这样的：“只有物理学家才会这样去做；而数学家们则会倒去壶中的水，并声称我已经把后一个问题化归成先前的问题了。”“把水倒掉”。多么简洁的回答！ 罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了化归的根本特征：在解决一个问题时人们的眼光并不落在问题的结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，尽管向前走两步，也许能达到目的，但我们也情愿退一步回到原来的问题上去．虽然
化归思想及其应用 庄桂忠 福建省惠安市第三中学（362100） [摘要]化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的实质，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，着重归纳了用化归思想方法解题的三个注意点，力求比较全面地体现化归思想在中学数学解题中的作用和地位。 在中学数学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。这也是辩证唯物主义的基本观点。 匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去
浅谈化归方法在数学解题中的应用 化归方法是解决数学问题的常用方法之一。化归方法就是把未知问题化归为已知问题、把复杂问题化归为简单问题、把非常规问题化归为常规问题，从而使问题获得解决的方法。学生有了化归的思想，就能在更深层次上揭示知识的内部联系，提高他们分析问题和解决问题的能力。下面从以下几个方面来谈谈化归方法在数学解题中的应用。 一、化未知为已知 已知与未知是相对的，在一定条件下，未知可转化为已知，已知也可视为未知。这种看法上的转变，往往可以帮助我们找到解题的方向。 二、化繁为简 有些数学问题情况复杂，使用常规解法无处下手，对这些问题，可视情况对问题进行转化。 例：求f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）的最大值。 分析：该题若运用公式展开相当繁琐，难以求出结果。若把（x+80°）转化为[（x+20°）+60°]，则非常容易求解。 解：f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）=3sin（x+20°）+sin[（x+20°）+60°] = sin（x+20°+?渍） ∴f（x）max= 三、化一般为特殊 “一般”与“特殊”两者之间可以互相转化，一般性寓于特殊性中，特殊性不能代替一般性。但我们可以从问题的特殊情况入手，探索研究问题的一般性。 例：已知PA、PB是圆O的切线，∠APB=60°，AP=5 ，C为弦AB上的任意一点，过点C作射线OH，使PH⊥OH于H，求OC·OH的值。 分析：C为AB上任意一点，为探求OC·OH的值，我们可以特殊化处理，即取AB的中点C′，此时H与P重合，连接OA，AC′为直角三角形斜边上的高，由射影定理OC′·OP=OA2（⊙O的半径OA可求），当C在弦AB的一般位置时，只证OC·OH=OC′·OP。 由割线定理可知，只证C、C′、P、H四点共圆即可。因为∠CC′P=∠CHP=90°，
化归法在小学数学解决问题（应用题） 中的运用 摘要：所谓化归法,“ 就是指在解决问题时, 把较复杂的问题转化成已学过 的比较简单、容易解决的题目类型, 从而使原来的问题得到解决的方法。”我们 知道数学学习是在原有的知识基础上经过新旧知识的相互作用并形成新的基础知 识技能的过程。以下是我谈谈化归法在小学应用题中的应用。 关键词：化归法小学数学解决问题应用 数学学习的这一特点为化归法在小学数学学习中的运用提供了有利的条件。 主要有着几种情况： 一、通过信息的变换实现化归 将解决问题的信息变换成与它等价的新信息, 把原题转化为容易解答的问题。例：小强买2本笔记本和12枝铅笔共用了1.08元, 已知6本笔记本和18枝铅 笔的价钱相等, 那么一枝铅笔和一本笔记本的价钱各是多少元？分析：把“6本 笔记本和18枝铅笔的价钱相等”这个信息转化成“买一本笔记本能买3只铅笔”，也就是说买2本笔记本能买6只铅笔，这样一来，信息就可变为“买18 只铅笔共用了1.08元”，学生自然就能解决了。 二、通过问题的变换实现化归 有些数学题, 可通过对问题的变换将其转化为另一个完全不同的, 但是比较 容易解决的题。例：客车由甲地到乙地需要5小时, 货车由乙地到甲地需要7小时, 客车从甲地开出2小时后, 货车从乙地相对开出。相遇时, 货车行了多少小时？在学生已有的知识基础上，把问题变换成另一个完全不同的学生能解决的题目。可变为“一项工程，甲做完需5天，乙做完需要7天，现甲已经先做了两天，然后乙加入工作，问：做完整个工程还需几天？”当然转变之后，这是一道学生
熟悉的题目。现在来分析这道问题：把两地的距离看作单位“1”，则客车一小 时行全程的五分之一，货车每小时行全程的七分之一，相遇时，货车行了“（1-）÷（ +）的路程。 三、通过数量关系的转换实现化归 题中的信息和问题之间往往存在一定的数量关系, 我们可以对信息作适当的 变换, 以实现从难到易的化归。例：小明和小刚共买了10枝铅笔。如果小明给 小刚1枝,那么, 小明铅笔枝数的就等于小刚铅笔枝数的。小明、小刚原来铅笔各买有几只？由于两个分数的单位“1”不同，所以小学生很难从中找出数 量关系，所以考虑转换数量关系。根据题意可知：小明给小刚1枝后,那么, 小 明铅笔枝数的就等于小刚铅笔枝数的。可得他们交换后的“数量总数比是 3比2”，再根据总数不变的性质，可以算出：交换后小明的铅笔数：10×小 刚的铅笔数：10×通过转换数量关系，得出了间接条件，再联系条件，可知：小明铅笔原来有（枝），小刚铅笔原来有（枝）。 用化归法解题时, 应针对题目自身的特点, 遵循熟悉化、简单化、特殊化等 原则, 只有这样才能化繁为简, 化难为易, 否则就有可能会弄巧成拙 , 达不到 化归的目的。 在小学的教学中，教师要根据学生的实际水平进行解说。在培养学生这种解 题技能时，需要教师花一定的时间去把握，在使用过程中，适当做铺垫，渗透思想，不仅传授这种方法的运用技巧，还要解释方法的用因；教师在解题过程可给 予适当的指导和帮助，适时给与评价。
“化归”思想在小学数学教学中的运用5篇范文 第一篇：“化归”思想在小学数学教学中的运用 “化归”思想在小学数学教学中的运用 一、“化归”思想的内涵 “化归”思想，是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法，从字面意思上讲，“化归”理解为“转化”和“归结”两种含义，即不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。而渗透化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。从而求得原问题的解决。化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。 匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。 “把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个精彩的例证。 二、“化归”思想在小学数学教学中的渗透
化归法在小学数学解题中的运用 摘要：对于农村小学教学来说，各种方法的解题成了教师的一大难题，如何运 用各种方法解题成了学生难以支撑的困难。针对教学中所存在的诸多问题，为使 灵活的运用有效方法教学，迫切需要教师正视现实，积极寻求对策。 关键词：解题教学方法运用 江西省永新县龙门 何谓化归法？所谓化归法，就是指在解决问题时，把较复杂的问题转化成已 学过的比较简单、容易解决的题目类型，从而使原来的问题得到解决的方法。也 就是将原问题进行变形,由未知变已知,由难变易,由复杂变简单,最终归结为我们熟 悉的,或易于解决的,或已经解决的问题。显然,化归法的关键在于问题的转化,因此 在解题时善于运用化归法,合理使用化归法,就能简捷地解决所求问题,并使解题成 为富有特色的益智活动。小学数学许多问题都蕴含了化归法,在解题过程中,如能 渗透化归法,对解题能力的培养会有益处，本人试小学数学在解题中如何合理地 运用化归法谈点体会。 一、化归法在计算题中的运用计算题的解决通常是通过数的转化来实现的。如:除数是小数的除法时，学生可以运用商不变的性质把它变成整数,再按熟知的 除数是整数的除法计算。而整数、小数、分数四则混合运算时,则要依据题中数 的特征和计算简便为原则选用小数、分数、百分数相互转化的方法进行。根据题 目中数的特征把一个数选用拆和、换差或分积的方法转化方式使计算合理、灵活 达到简算目的。 ①36×101=36×(100＋1) 拆和法②975÷25=(1000-25)÷25 换差法 ③215×32×1215=215×4×8×1215 分积法④利用数的倒数把除法转化成乘法。 有些数据较大或计算较复杂的计算题,通常可采用式的转化来解决。学生要 一看题目的整体结构及一些特殊数据；二想能否用化归法将原式作恒等转化后进 行简算；三算能简算的一定简算，确实无法简算的按常规方法计算。通常是合理、灵活利用运算定律和运算性质,把两个或两个以上的数通过加、减、乘、除等凑 成整十、整百的凑整式方法进行转化。 二、化归法在应用题中的运用 1、条件的转化运用化归法在解答条件的转化 应用题时，学生可沟通知识联系，将问题的条件变换成与之等价的新条件,把原 题转化成容易解答的问题，通过条件的转化灵活运用化归法来解答。 2、问题的转化实现化归问题的转化是指在两类数学对象间建立某种对应关 系通过映射将一个问题化归为一个与之等价的可解问题。如:一条横截面是梯形 的水渠,它的下底宽1米，上口宽2米，水深112米。如果渠中水流的速度是每 小时200米，问1小时流过的水有多少立方米?解题时，学生可以把求流水量的 问题通过映射转化为一个求横截面是梯形的直棱柱的体积问题。列成综合式: （2+1）÷2×112× 200=33600立方米，达到化生为熟的效果。又如：客车从甲地到 乙地需要5小时，货车由乙地到甲地需要7小时,客车从甲地开出2小时后,货车 从乙地相对开出。相遇时,货车行了多少小时？在学生已有的知识基础上，把问 题变换成另一个完全不同的学生能解决的题目。可变为“一项工程,甲做完需5天, 乙做完需要7天，现甲先已经做了2天，然后乙加入工作，问做完整个工程还需 几天？”当然转变之后，这是一道学生熟悉的题目，问题就迎刃而解了。现在来 分析这道问题：把两地的距离看作单位“1”，则客车每小时行全程的,货车每小时
化归思想方法在初中数学教学中的应 用 化归思想方法是数学课程中解题的一种重要的方法，它属于数学思想的一种。数学思想是数学课程的灵魂，支撑了整个数学课程体系。中学数学教学和学习并不是教师机械式的讲解和知识的传授，也不是学生死记硬背就可以领悟和掌握的。传统的数学教学通常是以教师讲解为主，学生则是被动地听授，教师始终把控着课堂，这种教学方式不利于调动学生们学习的积极性和主动性，严重会影响到教学的质量和效果。当前许多数学教材并不能够将所有的知识都完整地表达出来，化归思想只是一带而过，这就需要教师将隐含在其中的化归思想明晰地向学生们展示出来，这样更有利于学生对其加深理解和掌握。 一、化归思想方法在中学数学教学中应用需要注意的几点事项 数学是一门发散性思维比较强的学科，课堂教学活动中单纯一味地知识灌输是不可能取得很好的教学效果的。化归思想是解决数学问题最常用的数学思想，其在中学数学教学中应用需要注意几点事项。 1.复杂问题简单化 数学问题是由规律可循的，都是有相关的数学原理、概念、公式等组合而成的。对这些问题的解答需要综合分析其组合原理和构成，就需要将其负责的问题和原理进行分解，使其分解成不同的部分，这就是化归思想需要遵循的简单化原则。除此之外，采用化归思想也可以从相关知识点和原理出发，将原理通过分解为不同知识点的方式，进而展现出屋面熟悉的画面。 2.复杂问题明了化 复杂的数学问题经常使我们产生误解，对其感觉陌生，不知道从哪里入手。但是我们需要明白不管多么复杂的数学问题都是有简单的概念、原理等所构成，
要想真正能够解决这些问题，就需要采用化归的方法将其转化为我们比较熟悉的内容。复杂的数学问题归化并不是盲目的，一定要遵循明晰化的原则，只有这样才能够用正常的数学思想和规律来解决相关的问题。 3.复杂问题具体化 运用归化方法另一个需要注意的事项就是将负责的问题具体化，也就是说复杂问题乍一看是比较陌生的，但是要通过归化的方式将其转化为具体的问题，通常需从抽象转为具体，就是当分析、解决问题的时候，需注重把抽象的问题转向具体化，这样更加容易掌握问题中数量之间的关系，需尽量将抽象关系以及抽象化的语言表达采用具体算式或图形进行表现，这样更利于理解和分析，进而寻找到解题思路。 二、化归思想方法在中学数学教学中应用的对策建议 化归思想方法作为数学问题解决的最重要的一种方式，在数学教学中应有，有利于中学教师更新教育理念，转变教学方式，引导学生采取更有效的方法寻找问题的解决之道。针对当前中学数学教学的实际情况，笔者认为化归思想有利于开发学生的思维，给予学生更多的解题思路和方法。 1.数学教师应当重视化归思想的应用 数学课程与其他课程不同，其诸多数学问题中都隐含了大量的数学知识，要想寻求问题的解决之道，就需要将这些隐含的知识凸显出来。在相对复杂的数学问题面前，如果不能够有效地将其进行化简是难以对其进行认识和解答的。这就要求教师在教学过程中一定要重视化归思想的应用，在知识传授过程中要协助学生理解和应有这一解题思想。在教学活动开展过程中，数学教师应当循序渐进，掌握好讲授的速度和进度，将化归思想融入到课堂教学活动中，使学生们能够切实体会和认识到这一思想在解题中的重要作用。这样就能够使学生从学习的过程中重视学习和应有化归思想，并且能够培养他们自主学习，探究问题的意识和能力。 2.应当鼓励学生采用化归思想的方式解决复杂问题
浅谈化归方法在数学解题中的运用 所谓化归方法，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，把这个问题变形，使之归结为另一个熟知的、较容易解决的或者已经能解决的问题，通过对它的解决，求得原问题的解决。化归方法在小学数学教材中应用非常广泛，是根本且典型的数学思想，是学生解决问题的有效方法之一。学会化归方法，对学生解决问题能力的形成和开展有着十分重要的作用。现谈谈化归方法在数学解题中的运用。 一、把“未知”化归为“已知” 列方程解应用题是将应用题中要求的未知量用某个字母代替，把题中的问题（即未知量）暂时与条件同样对待，从而把“未知”化归为所谓的“已知”，然后再根据题设所反映的等量关系，列方程解答。 例如：一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？ 分析：如果设高是x厘米，就是把题中的问题暂时与已知条件同样对待，把“未知”化归为“已知”。根据题意可知这道题的相等关系式是： 底×高÷2=三角形的面积。 解：设三角形的高是x厘米，那么有： 25x÷2=100 x=8 答：这个三角形的高是8厘米。 二、把一种运算化归为另一种运算
在分数除法运算中，我们通常把分数除法运算化归为分数乘法运算来完成。 例如：÷=×=。 分析：对于异分母分数加、减法的运算，我们可以先通分，转化为同分母分数加、减法的运算，进而化归为整数（分子）的加、减运算来实现。 例如：+=+==。 三、把数的一种形式化归为另一种形式 在分数、小数四那么混合运算中，可以把分数化为小数，通过小数的运算来完成分数的运算，反之也可以。这是利用数的两种形式的化归来实现问题的解决。 例如：2+8.56 或： 2+8.56 =2.75+8.56.125 =2+86 =11.256.125 =2+86 =5.125 =5 四、把一种图形化归为另一种或几种图形 这种化归方法通常应用于求组合图形面积或体积的问题。组合图形的构造有两种情况：一种是由几个根本图形组合而成；另一种是由一个根本图形割出一个图形而成。所以求组合图形的面积或体积时，通过化归，把它分割、添补或再组合，使其成为一个或几个简单图形，再求其面积或体积，最后利用求它们的和或差来求得原题的解。 例如：求以以下图中阴影局部的面积。（单位：厘米）
初中数学“方程”中的化归思想剖析 东方培新学校 黄清华 化归思想是初中数学解题教学中最基本的思想。它将面临的问题设法转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。 在整个初中数学教材中无处不渗透着化归思想，我们时常需要把高次的化为低次的，把多元的化为单元的，把高维的化为低维的，把指数运算化为乘法运算，把几何问题化为代数问题，化无理为有理等，可以说在初中的数学教材中，每一册都有较多问题的解决需要用化归的思想方法来完成，所以这种数学思想是初中数学中解决问题的一种非常重要的数学思想。 化归思想的实质就是将一个新问题进行变形，使其转化为另一个已经解决的问题，从而使原来的问题得到解决。其一般模式是把所要解决的问题A 经过某种变化，使之归结为另一个问题A *，再通过问题A *的求解，得原有问题A 的解答。用框图表示如下： 化归思想包含三个要素：化归的对象、化归的方向和化归的方式方法。要正确运用化归思想，就要分清化归的对象，明确要化归的方向，考虑实施化归的策略。 初中数学有关方程内容贯穿三个年级，主要分布在①七年级（上）—— 一元一次方程（第3章）；②七年级（下）---二元一次方程组（第8章）③八年级下——分式方程（第16章 ）④九年级（上）---一元二次方程（第22章）。在方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想。解方程的过程是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程，因此化归思想是解方程过程中思维活动的主导思想。 本文主要从化归的方向对初中教材中解方程的化归思想进行分析。 一、复杂方程向x a =的转化 在《一元一次方程》这一章中，用一元一次方程解决实际问题时，要把实际问题转化为数学模型-----一元一次方程，这是实际问题与数学问题之间的转化；而解一元一次方程的过程实质也是一种转化，是将复杂的方程逐步转化为最简单的方程x a =. 例如：解方程 14123 x x +=+. 解：两边都乘6，得318 6.x x ++（）=…① 去括号，得338 6.x x ++=…② 移项，得386 3.x x -=-…③ 合并，得5 3.x -=…④
高中数学解题中的化归方法及其教学研究 作者：黎燕芳 来源：《新课程》2021年第04期 摘要：为了加深学生对数学问题本质的理解，提升学生的数学思维能力，教师将化归方法融入课堂教学，鼓励学生自己总结数学解题思路，提升个人的学习能力。作为一种创造性的教学策略，化归方法对培养学生良好的学习习惯、加深学生对数学知识的理解及认知意义重大。在高中数学解题中，化归方法的利用大有可为。教师需要站在宏观的角度，结合数学知识的要求，通过对学生认知能力和思维能力的分析及研究，找准化归方法的应用切入点和突破口，调整学生的学习行为及方向，鼓励学生自主实践和自由发挥，让学生认识到数学学习的乐趣，进而掌握适合自己的数学解题技巧。将微观分析与宏观研究相结合，着眼于化归思想方法的具体特点，了解这一方法在高中数学解题中的应用要求及教师的教学策略，以期为提高高中数学教学质量提供借鉴。 关键词：高中数学;化归方法;教学研究 作为基本的思想方法，化归方法在高中数学解题中得到了广泛的应用，并且备受数学教师的好评。在数学方法教育中化归方法非常关键，但是长期传统的应试教育导致许多教师过于关注学生成绩的提升，难以留出充分的时间且精力渗透化归方法，导致我们对这一方法的研究和理解比较片面和浅显。对此，数学教师需要充分发挥化归的作用及优势，抓住数学解题的核心，明确数学思想的应用技巧，深入剖析数学方法与教学改革之间的逻辑联系，保障学生掌握化归方法的技巧及应用要求，进而实现举一反三和学以致用。 一、化归方法 化归方法以转化和归结为主体，将复杂抽象的问题转化为简单生动的问题，进而實现高效分析和解读。学术界在对化归思想方法进行分析时将其视作一种方法论，这一方法论能够实现同一性和差异性之间的有机统一。教师可以结合化归思想的运用要求，将化归方法与数学解题教学融为一体。从微观的角度来看，化归思想是化归方法的重要指导和核心所在，教师需要了解化归思想的概括性和普遍性，分析化归方法的操作性和具体性，了解化归方法的应用要求，深层次地反映数学对象之间的关系，通过数学知识的有效延伸来引导学生，培养学生自主学习的行为习惯。 二、化归思想方法的特点 综合上文的相关论述不难发现，化归思想方法对高中生的数学解题有明显的促进作用，如果学生能够掌握这一思想方法，就可以实现事半功倍和高效学习。教师需要结合学生的学习
中学数学中化归思想的应用 所谓化归思想是指在对问题作仔细观察研究的基础上，以丰富的联想唤起对与其相关的知识的记忆，从而将有待解决或较难解决的问题，通过某种转化手段，化归为已经解决的或比较容易解决的问题，从而间接地完成对新问题的解决.在许多问题的解决中，化归思想都发挥了一定的作用.认真分析中学教学教材，很容易发现在教材的编排、内容的选定、习题的解答方面都涉及化归思想.例如：二元一次方程组可以由代入或加减消元化归为一元一次方程；多项式的乘法最后化归为同底幂的乘法；在几何图形中，常用添加辅助线的方法把一些复杂的、难辨的图形化归为简单的、清晰的图形.上述这些数学方法都属于化归法的范畴.因此，教师必须教会学生准确熟练的掌握化归法。 化归实质上就是不断的变更问题，有时是变更问题的条件，有时是变更问题的结论，有时是将整个命题变更，变更为一个与原命题等价的新命题，从而找到一个简单清晰的解决途径.在变更问题的过程中，学生要着重注意运用化归思想解题的三个重要方面，即化归的对象，化归的目的，化归的途径.也就是说在运用化归思想解题时，要分清化归的对象，明确化归的目标，考虑实施化归的途径.这样才能使学生的化归法朝着一个正确的方向行进。 培养学生的化归能力，教会学生熟练掌握并善于运用化归法有几个不容忽视的地方.首先，化归的目标是为了将新的或复杂的问题转化为旧的或简单的问题，从而找到一个清晰的解决途径.其次，运用化归法解题，应考虑其从属的科学知识范畴，从而将其归入到相应的知识系统.最后，运用化归法，虽然问题熟悉了，但它不能保证转化前后的两个问题的等价性，还需要对整个解答过程进行一定的整理和总结.综上所述，化归法是使学生把知识转化为能力的重要手段之一，这 对教学效率和教学质量都很有帮助。 1运用化归思想解题必须把握的几个原则 1.1化归应朝着目标简单的方向。这一原则是指将复杂的难于解决的问题向简单的较易解决的问题转化.这里的简单不仅是指问题结构形式表示上的简单，而且还指问题处理方式、方法上的简单. 例1设x与y为实数，满足(x-1) 3+1997(x-1)=-1，(y-1) 3+1997(y-1)=1，求x+y的值。 分析根据题目的特征，直接求出与的值是行不通的，但我们发现已知的两个
云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文例谈化归法在解三角函数题中的运用 云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文例谈化归法在解三 角函数题中的运用 摘要:所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结，化归法就是将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理的一种思维方法。本文对化归法在解三角函数题中的运用作了一些探讨。 关键词: 转化化归法三角函数 高考，在过去我们称之为黑色七月，今天，高考已经成为我们生活中的一件大事.有谁知道我们学子的压抑与苦闷，又有谁知道我们学子们为之奋斗的种种艰辛与劳苦.其实，高考不仅仅是一门竞技比赛，它同样是一门艺术，研究高考就要从历年的高考试题入手，将其进行分类归纳总结，并通过高考试题窥探高考动向，总结高考规律，从而真正的征服高考，把握住自己的命运. 而在数学考试中，胜算的最主要因素不只是坚实的基础，更重要的是建立在一定基本功和能力基础上的那种做题的“方法和技巧”.有句话说“学语文的可以把一句话扩展成一本书，学数学的可以把一本书缩成一个符号”，数学不是死教材～只要我们掌握了方法，便将所向无敌! 化归是一种重要的数学思想所谓化归是指将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理的一种思维方法.即把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法. 化归法是数学家们常用的一种方法,也是数学方法论中研究的基本方法之一.笛卡儿曾设想 :将任一问题化归为数学问题 ,将任一数学问题化归为代数问题 ,将任
一代数问题化归为方程求解.尽管他这种理想化的通用方法没有成功 ,但他的这种化归思想却十分宝贵 ,正是这种化归思想 ,促使他完成了解析几何的奠基工作.实际上 ,中学数学中 ,化归方法的应用 ,无处不在。匈牙利著名数学家路莎 ? 彼得也在名著《无穷的玩艺》中曾经指出:“数学家们往往不是对问题进行正面的攻击,而是不断地将它变形,直到把它转变成能够得到解决的问题”. 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 三角函数的命题趋于稳定,今后几年高考可能依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光. 经分析，三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型: 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. tan100:,例1(10全国I卷理2)记cos(80),:,k,那么 ( ) 22kk1,k1,kA. B. - C. D. - 22kk1,k1,k 评注:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2(10全国1卷文1)cos300:,( ) 1133(A) (B)- (C) (D) ,2222 评注:本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
三角函数问题中化归法的运用 作者：张春 来源：《科学导报·学术》2019年第08期 摘要：在解决问题的进程中，数学常常不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个（些）已解决的问题，或容易解决的问题。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另外一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这类解决问题的方法，我们称之为化归法.。 关键词：转化；化归法；三角函数 一种好的数学解题法能化繁为简，化难为易；有较强的规律性；能产生新的"子方法"。"化归法"就是这样的方法之一。所谓"化"，指化解或转化：将一个问题化解为几个小问题；将这类问题转化为另一类问题；所谓"归"，指归于最简单的问题，或归于原问题，或归于基本定律定理。化归法在数学学习中广泛地使用到。 今天，高考已经成为我们生活中的一件大事.高考不仅仅是一门竞技比赛，它同样是一门艺术，研究高考就要从历年的高考试题入手，将其进行分类归纳总结，并通过高考试题窥探高考动向，总结高考规律，从而真正的征服高考，把握住自己的命运.而在数学考试中，胜算的最主要因素不只是坚实的基础，更重要的是建立在一定基本功和能力基础上的那种做题的“方法和技巧”. 化归是一种重要的数学思想所谓化归是指将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理的一种思维方法.即把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法. 化归法是数学家们常用的一种方法，也是数学方法论中研究的基本方法之一.实际上，中学数学中，化归方法的应用，无处不在。 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来 .在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.三角函数的命题趋于稳定，今后几年高考可能依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光. 经分析，三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型：