数学分析中的化归法
目录
摘要 (1)
Abstract (1)
1. 绪论 (2)
1.1 化归法的背景 (2)
2. 详谈化归法 (3)
2.1 化归法的分类 (3)
2.2 常见的化归方法及化归思想 (3)
2.2.1 化归的方法 (3)
2.2.2 化归的思想 (4)
2.3 化归法的原则 (5)
2.3.1 化归的方向与一般模式 (5)
2.3.2 化归法的原则 (5)
3. 数学分析中的化归 (6)
3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6)
3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12)
3.2.1 在极限中的体现 (12)
3.2.2 在微分中的体现 (15)
3.2.3 在积分中的体现... .. (16)
3.2.4 在级数中的体现 (22)
3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24)
4.小结 (25)
参考文献 (26)
致谢 (27)
数学分析中的化归法
摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。
关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用
中图分类号：O1-0
The reduction method of mathematical analysis
Abstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction.
Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method
1 绪论
数学问题的解决往往有很多的方式、方法，在这些方式、方法中有一个共同的特点，就是化归。在学术界有一个这样的故事，也许这个故事更能体现化归的思维特点。有人提出了这样的一个问题：“假设在你的面前有水龙头、火柴、煤气灶、和水壶，你想烧一些水，应该怎么做呢？”对此，有人这样回答：“把水壶里灌上水，点燃煤气灶，然后把水壶放在煤气灶上。”提问者对这一回答给予肯定。接着，提问者又问到：“假如现在水壶里盛满了水，其他的条件都没有变化，又该如何做呢？”此时被提问者会很有自信的回答道：“直接点燃煤气灶，然后再把水壶放在煤气灶上即可。”这个答案会使人比较容易接受，但提问者指出：“这个答案不能使我感到满意，因为只有物理学家才会这样做，而数学家则会把水壶里的水倒掉并说我已经把这个问题转化为第一个已经解决的问题了。”在这个故事中也包含着这样一层意思：即化归法是数学家们所常用的一种方法。化归法是数学研究中的一种重要的技能和方法，它就是把有待解决和未解决的问题通过各种转化、归结到一类已经解决的或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题之解的方法。目前，随着数学科学发展至今，化归法逐渐走向成熟，渗入到数学的各个领域中，化归法也有着广泛的应用。本篇论文将主要阐述化归法在数学分析中的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。
1.1 化归法的背景
对化归法的研究有着漫长的经历，这要从费尔玛大定理的证明谈起。1637年费尔玛留下了著名的费尔玛猜想，在此后的几百年时间里，众多著名的数学家对此进行了漫长的证明求解过程，主要分为三次重大的突破；第一次重大突破是1857年，德国数学接库麦尔引入分圆数和理想数，开创了分圆数和理想数的数学分支；第二次重大突破是1983年，德国29岁的青年数学家G.法尔廷斯利用法国数学家A.格罗腾迪克建立的概型理论证明了莫德尔猜想，还解决了泰特猜想和沙发列维奇猜想；第三次重大突破是费尔玛大定理的完全获证，即1993年英国青年数学家A.怀尔斯通过证明谷山-韦恩-志村猜想而获得费尔玛大定理的全证；从上面的论述可以看出，费尔玛大定理的完全获证，是数学家们前赴后继，艰苦卓绝地运用了各种转化方法和转化思想才得到的，而这种转化的方法就是化归法在数学研究中的具体运用。
2 详谈化归法
化归思想是数学中最重要、最基本的一种思想方法，是数学思想方法的灵魂。何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的意思；具体来说就是将实际中解决问题的一些复杂的方法转化为简单方法，是将我们有待解决或未能解决的问题通过各种转化，最终变成我们容易解决和已经的问题和方法，从而达到证明和求解的目的。在学习中化归思想无处不在，它是分析问题和解决问题的有效途径。
2.1 化归法的分类
1.按照化归方法应用范围来分，可以分为外部的化归方法和内部的化归方法。外部的化归方法是指把实际的问题转化为数学中的问题；内部的化归方法则是指将某一类数学问题转化为另外一类数学问题。
2.按照化归方法解决问题性质来分，可以分为计算中的化归方法和论证中的化归方法以及建立新的学科体系中的化归方法等等。
3.按照化归方法应用广度来分，可以分为多维的化归方法和二维的化归方法以及广义的化归方法。多维的化归方法是指跨越多种数学分支，广泛的适用于各种学科系统的化归方法，例如变量代换法、坐标变换法、参数变换法、映射法、待定系数法、分解与组合法、反证法都属于多维的化归方法；二维的化归方法是指联接两个不同的数学分支的化归方法，例如解析法、坐标法、代数法等；广义的化归方法是指超出数学范围的化归方法，例如数学模型方法、反证法等。
2.2常见的化归方法及化归思想
1. 化归的方法
化归的方法也就是规范化的手段、措施以及技术。化归方法包含三个基本要素：化归的对象、目标、途径。化归的对象就是把什么问题进行化归，化归的目标就是把问题化归到何处去，化归的途径就是如何对问题进行化归（也就是化归的方法）。例如在求解有理函数的积分时一般的方法是先化为部分的分式求解。在这里被积的有理函数就是化归的对象，部分的分式就是化归的目标，而把有理函数表示成部分分式之和时所用的待定系数法就是化归的方法。在化归的三个要素中，化归途径是实现化归的关键，这是很显然的。
常见的化归方法主要有分割法、求变法、映射法、极端化法。
分割法就是把一个要解决的问题分割为若干个有逻辑关系、较简单、较熟悉的小问题，然后对这些小问题进行逐一求解的方法。
求变法是化归方法的重要方法之一，包括恒等变形法、放缩变形法、参数变形法、换元变形法。恒等变形法是把一个解析式变换成另一个与它恒等的式子，通过求得恒等式子的解来得到原问题的解的方法；放缩变形法是指在解决某些数学题时，例如在不等式的证明中，往往会通过放大或缩小的形式从而达到化归目的的方法；参数变形法是指利用参数和题中各个量之间的联系，因而通过讨论参数的变化来求得原问题的解的方法；换元变形法是指通过把题目中某些量用另一个形式相对简单的量来代替，使之更容易发现关系，是一种用处十分广泛的方法。
映射法也就是关系映射反演方法，简称RMI方法。所谓映射就是在两个数学集合的元素之间去建立某种对应关系。使用映射法解题的过程是：首先通过映射把原来的问题转化为问题1，然后求得问题1的解，再通过逆映射去求原问题的解。
极端化法在解决某些数学问题时可以以极端的情况去考察，从而获得更好的启示以得到新的容易解决的问题，再通过一定的教学手段得到原问题的解的方法。极端化的情况往往是多种形式的，并不存在于原问题中，需要充分发挥个人的数学想象力从而把它构造来。
2. 化归的思想
化归思想是指在分析处理问题时，把需要解决或者难以解决的问题，通过各种转化使之化为已经解决或者比较容易解决的问题，从而得到原问题的解的一种思维方法。化归思想是解决数学问题的基本思想，而解题的过程实际上就是转化的过程，化归思想的实质就是一种转化的思想。常见的化归转化思想有等价转化的思想、反证法的转化思想、数形结合的转化思想、函数与方程的转化思想、换元的转化思想、一般与特殊的转化思想等。另外，多元向一元的转化、高次向低次的转化、高维向低维的转化等都是转化思想的体现。
总的来说化归的思想具有多样性和灵活性的特点，并没有统一的模式可以遵循。在解题时，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，来寻找利于问题解决的转化途径和方法，因此要学习和熟悉化归的转化思想，有意识的运用化归转化的方法，灵活解决有关的数学问题。
2.3 化归法的原则
1. 化归的方向与一般模式
问题是数学的心脏，数学问题的解决是数学教学中一个重要的组成部分，几乎所有数学问题的解决均离不开化归，只是运用的化归形式不同而已。化归的方向就是把未知的化为已知的、困难的化为容易的、繁琐的化为简洁的、暗处的化为明处的。
尽管化归的方法有很多，但是所有利用化归方法解决问题的过程，都可以简单的概括为：将所要解决的问题先通过某种方式转化为一个已经解决或较容易解决的问题1，然后通过对问题1的解决来得到原问题的解答，这就是化归的一般模式，其模式的图形如下：
2. 化归法的原则
为了有效的实施化归与转化，就必须遵循相应的原则，不能随心所欲，盲目的进行。一般来说，化归过程应该遵循以下一些基本原则：
1）熟悉化原则：将原问题中的陌生的内容和形式转化为较熟悉的内容和形式，使之符合人们的思维习惯，以便于用已有的知识和经验使原问题获得解决。
2）简单化原则：将复杂的问题化归为相对简单的问题，把复杂的形式转化为较简单的形式，从而让问题变得更加容易解决，使问题的空间形式和数量关系更加明朗和具体。以便于更加容易的找到问题的突破口。
3）和谐化原则：和谐化是数学的内在美的重要内容之一。因此，我们在解题的过程中，可以根据数学问题的条件、结论以及表现形式将其变成更加符合数学内部结构固有的和谐统一的特点，这
样有利于使推演运用某种符合人们思维规律的数学方法。
4）直观化原则：在解决问题的过程中，把抽象的、含糊的、深奥的的问题转化为比较直观的、具体的、浅显的问题,以便于使题中的数量关系更容易把握，问题更容易解决。
5)正难则反的原则：在研究问题的过程中，当问题从正面不知从何着手，可以从问题的反面考虑，探究问题的反面；当问题直接解决遇到困难可以考虑间接解决；当问题顺着推导觉得困难可以考虑逆着推导。不能前进时则考虑后退，也就是转变思维的角度从问题的对立面来进行思考、探求，从而使问题得到解决。
3 数学分析中的化归
数学的发展过程是在社会实践中不断的提出问题和不断的解决问题的过程，数学解题是数学研究以及数学教学的重要的组成部分，化归法是数学问题解决中的一种重要的方法，它渗透到数学的各个领域中，具有极其广泛的应用，用化归的思想来解决数学问题具有重要的价值。
3.1化归思想在数学分析中的显化
数学分析是一门内容复杂、具有严谨而系统的理论体系的课程，主要研究的是极限、导数、积分、级数等内容。当我们仔细分析这门课程的知识结构和内容的相互关系时，容易发现，数学分析课程中蕴含着丰富的化归思想，在数学分析中有很多的具体的问题都渗透着化归这思想，下面做一些简单的总结：
一、在变元个数上的化归
极限最先是在一元函数和数列上定义的（数列也一样是只有一个变量），然后在多元函数中定义，而多元函数求极限是可以通过坐标变换的形式转化为一元函数求极限的，把多重的极限化为累次极限的过程也就是将多元函数求极限化归为一元函数求极限的过程。导数的概念首先也是在一元函数中定义的，然后再定义多元函数求偏导、求微分，在解决问题的过程中多元函数求偏导就是将其中一个变元看成变量，而其它的变元暂时先看成常量，再对变量求导数，可以看出多元函数求导的所有问题都可以化归为一元函数的求导问题。在积分中，首先是在一元函数上定义了不定积分和定积分，而后在多元函数中定义了重积分、累次积分、曲线积分、曲面积分，在解决积分问题的时候，在求累次积分的题时，是先求一个变量的定积分，再依次下去求剩余变量的定积分，其实就是把累
次积分转化为求定积分，就是把多元函数求积分转化为求一元函数定积分的过程，而求重积分、曲线积分、曲面积分则是通过变量替换等方式化成累次积分，实际上就是转化成了求一元函数定积分的过程。
二、导数在阶数上的化归
导数概念首先是定义一阶导数，然后在一阶导数的基础上定义了高阶导数，求高阶导数的过程就是一阶一阶的求一阶导数的过程，也就是把求高阶导数的计算问题化归为求一阶导数的计算问题。公式()(1)()(())n n f x f x -'=充分体现了化高阶为低阶的化归思想。许多高阶导数的应用中都能在一阶阶导数中找到其“影子”，例如泰勒公式：
()()()()()()()()()2000000''2!!n
n o f x f x f x f x f x x x x x x x n '=+-+-+⋅⋅⋅+-+余项，泰勒公式就是高阶导数的一个应用，而将泰勒公式化归为一阶导数就是微分中值定理，微分中值定理是帮我们讨论怎么由导数()f x '的已知性质来推断出函数()f x 具有的性质，把高阶导数中的泰勒公式化归为微分中值定理，理解起来就容易多了；函数的增减性和凸凹性也包含了高阶导数化归为一阶导数的应用。
三、微分和积分观点之间的互相化归
微分和积分都是数学分析中的主要内容，积分可以看成是微分的逆运算
()()f x dx f x '=⎰。原
则上来说，微分中的计算在积分中都有着相应的逆运算，例如 ()()()()()g d kf x l x kdf x ldg x +=+与()()()()()g kf x l x dx k f x dx l g x dx +=+⎰⎰⎰ ()()()()()()()d f x g x f x dg x g x df x =+与()()()()()()f x g x f x dg x g x df x =+⎰⎰ ()()()()f b f a f b a ξ'-=-与()()()b
a f x dx f
b a ξ=-⎰ 等公式都是成对的出现的，由于在数学分析中的这一性质，使得对积分中公式定理的证明都可以转化为基于微分中相应的公式的证明，如积分中分部积分法的公式就是通过两个函数的乘积的导数的公式来证明的，因此只要掌握微分中的公式及证明就能记住相应的积分中的公式，并可以证明其正确性。
四、在讨论对象上的化归
在数学分析中我们首先讨论了六种基本的初等函数，这六种函数分别是：
常量函数 (y c c =是常数)；
幂函数 (y x αα=为实数);
指数函数 (0,1)x y a a a =>≠；
对数函数 (0,1)log x y a a a
=>≠； 三角函数 sin y x =，cos y x =，tan y x =，cot y x =；
反三角函数 arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =.
以上的六种基本初等函数都具有非常好的分析性质，数学分析中的一般理论讨论的都是一般函数，但是具体的问题都是以上六种基本初等函数或者是它们的复合函数，也就是说， 数学分析中的一般函数都是可以化归为基本初等函数的，如:
①泰勒公式是用幂函数来逼近或表示一般函数，也就是说一般函数可以通过泰勒公式用恒等变形的方法化归为幂函数，例如: 证明
()211......1n n x x x o x x
=++++- 证明如下：设()1,1f x x =- 则()()()()()()()()()23411
12123!','',''',...,1111n n n f x f x f x f x x x x x +⨯⨯⨯====----
代入泰勒公式：
()()()()()()()()()()2000000''2!!n
n n o f x f x f x f x f x x x x x x x o x n '=+-+-+⋅⋅⋅+-+， 在00x =时的形式，即带有皮亚诺余项的麦克劳林公式
()()()()()()()''000'0...2!!n
n n f f f x f f x x o x n =+++++从而 ()()()
()()222311112!!...1...110101010n n n n n n x x x o x x x x o x x +=+++++=+++++----- 证毕。
②傅里叶级数是用三角函数来逼近或表示一般函数的，也就是一般函数可以通过傅里叶级数用恒等变形的方法化归为三角函数，例如：
求函数(),0,0,0.
t t f t t ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩的傅里叶级数展开式. 解:函数()f t 及其周期延拓之后的图像如下图所示：
显然()f t 是可以展开成为傅里叶级数的，其中 ()001
12a f t dt tdt ππππππ-==
=⎰⎰. 当1n ≥时，()011cos cos n a f t ntdt t ntdt π
ππππ-==⎰⎰
()002022111sin sin cos 2,1cos 10,n t nt ntdt nt n n n n n n ππ
πππππππ=
-=⎧-⎪=-=⎨⎪⎩⎰当n 为奇数时当为偶数时,;
()011sin sin n b f t ntdt t ntdt πππππ-==
⎰⎰ ()()00120111cos cos 11cos 1.
n n t nt ntdt
n n ntdt n
n n ππ
ππ
ππ++=-+-=+-=⎰⎰ 因此在开区间(),ππ-上
()2121cos sin sin 2cos3sin 3...,4293f t t t t t t πππ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 在x π=±时，上式右边收敛于
()()000222
f f ππππ-+-++== 于是，在[],ππ-上f 的傅里叶级数的图像如下图所示：
从以上能够看出在数学分析中可以用基本初等函数来表示或逼近一般函数；分段函数虽然不是初等函数，但是分段函数在不同的定义域上大多是以基本初等函数出现的，如著名的符号函数
1,0,
sgn 0,
0,1,0.
x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
和狄利克雷函数1,
()0,x Q D x x Q
∈⎧=⎨
∈⎩.当然，若我们从复变函数的观点
看，以上六种基本初等函数都可以看成是一种函数，因此数学分析中的函数都可以化归为一种函数。
五、在一些著名公式中的化归
数学分析中有许多著名的公式、定理都是可是推广和拓展的，因此也都可以化归。在微分学中我们所熟悉拉格朗日中值定理和柯西中值定理就是通过构造辅助函数的方法转化为罗尔中值定理证明的，这三个中值定理的内容如下：
罗尔中值定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且()(),f b f a =则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0.f ξ'=
拉格朗日中值定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()().
f b f a f b a ξ-'=
-
柯西中值定理：若函数()f x 和()g x 在闭区间[],a b 上都连续，在开区间(),a b 内都可导，且
()f x '和()g x '不同时为零，()()g a g b ≠则存在(),a b ξ∈使得
()()()()
()().
f f b f a
g g b g a ξξ'-=
'- ① 用罗尔中值定理来证明拉格朗日中值定理
显然从罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的内容可以看出当拉格朗日中值定理()()f b f a = 时，拉格朗日中值定理的结论即为罗尔中值定理的结论，这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。证明方法如下：
构造辅助函数()()()()()
().f b f a G x f x f a x a b a
-=--
--那么显然有()()()0G a G b ==，
且()G x 在[],a b 上也满足罗尔中值定理的另外两个条件，所以
()()()()(),,0f b f a a b stG f b a ξξξ-''∃∈=-
=-，即()()()
.f b f a f b a
ξ-'=-证毕；
② 用罗尔中值定理来证明柯西中值定理，证明方法如下：
构造辅助函数()()()()()
()()
()()().f b f a T x f x f a g x g a g b g a -=----
显然有()()()0T a T b ==，且()T x 在[],a b 上满足罗尔中值定理的条件，所以
()()()()()
()()
(),,0f b f a a b stT f g g b g a ξξξξ-'''∃∈=-
=-，由于()0g ξ'≠（否则由上式可得
()0f ξ'=）
，所以上式变形即为()()()()
()()
.f f b f a g g b g a ξξ'-='-证毕。 在积分学中有几个著名的公式都体现着化归的等价转化思想，如下： 格林公式：
()(),,L
D Q P d P x y dx Q x y dy x y σ⎛⎫
∂∂-=+ ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰（这里L 为区域D 的边界曲线）给
出了二元函数在平面区域D 上的二重积分与其“原函数”在平面区域D 的边界曲线L 上的第二型曲线积分之间的联系。
高斯公式：
()()(,,),,,,V S
P Q R dxdydz P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy x y z ⎛⎫
∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰
（这里空间区域V 由封闭曲面S 围成）给出了三元函数在空间区域V 上的三重积分与其“原函数”在围成空间区域V 的封闭曲面S 上的第二型曲面积分之间的联系。
斯托克斯公式：
.L
S R Q P R Q P dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz y z Z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+-=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎰⎰⎰
（这里的光滑曲线L 是光滑曲面S 的边界）给出了三元函数在空间曲面S 上的第二型曲面积分与“原函数”在围成曲面S 的边界光滑曲线L 上的第二型曲线积分之间的联系。
我们知道，牛顿—莱布尼兹公式
()()()b
a f x dx f
b f a '=-⎰给出了定积分与“原函数”在闭区
间的端点上值的关系。可见，从“原函数”与“边界”的这个意义来看，格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，都是可以化为牛顿—莱布尼兹公式的，也就是格林公式、高斯公式、斯托克斯公式都能够在牛顿—莱布尼兹公式中找到自己的影子，这是数学思想上非常有意思的化归。
化归在数学分析中的显化，有化归在基本概念中的显化，化归在基本理论中的显化。例如，函数的连续性、导数、积分、无穷大（小）量、反常积分和级数的收敛，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的定义等都是归结成为极限的方式来定义的；海涅定理揭示了函数极限与数列极限之间的关系，其意义是可以将数列极限的问题转化为函数极限的问题来处理，例如在求解数列的不定式极限时，可以将其转化为求解函数的不定式极限，从而运用洛必达法则求出极限，也可以将函数极限的问题转化为数列极限的问题来处理，通过数列极限的性质得到并证明函数极限的性质；微分中值定理揭示了函数及其导数之间的关系，其意义是可以讲函数问题转化为其导数的问题来研究，例如用导数来研究函数的单调性、凹凸性、最值、极值等问题；在积分中，二重积分、三重积分、第一、二型曲线积分、第一、二型曲面积分、无穷积分、瑕积分都可以转化为定积分来求解，求解定积分和不定积分的换元法和分部积分法都含有化归的思想。总之，数学分析这门课程到处都体现着化归这一思想。
3.2化归方法在数学分析解题中的体现
1.在极限中的体现
我们知道极限包括函数极限和数列极限，而在函数极限中有两个重要的极限：0sin lim
1,x x
x
→=
1
0lim (1)x
x e x →=+（等价于1(1)lim x
x e x →∞+=）
，因此在解有很多函数极限计算的题目只要将其转化为两个重要极限的形式就很容易得出结果，例如
①2222200000
sin sin sin lim
lim lim lim lim 1100sin sin sin x x x x x x x x x x
x x x x x x x →→→→→=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=， ②3
333
33
33lim(1)
lim(1)lim(1)x x x
x x x e x
x
x --⋅-→∞
→∞
→∞
⎡⎤
-=+
=+=⎢⎥--⎣⎦
在函数极限中还有一种是关于不定式的极限的问题，不定式的极限形式主要是：
000-0,0-0∞∞∞⋅∞∞∞，，，，00，以及1∞等类型，其中0
∞∞，是两大基本的类型，而其他的形式都可以通过取对数或者恒等变形的方法化为∞∞或00
型，从而应用洛比达法则来求解，而其中1∞
类型
的题目求极限时可以转化为求第二个重要极限的类型。例如
①2222111212lim()("00")lim ("")lim lim 01(1)316x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞-+∞---====++∞+型型 ②1
sin
10lim sin ("0")lim
("")110
x x x x x x
→∞→∞⋅∞⋅==型型
③1
)("""2x x x x →∞
∞
∞-∞=∞
型型)=)= ④()002
01ln lim
lim 11
lim ln 0
lim ("0""0"1x x x x
x x x
x x
x x x ++→→+
→+
-
→⋅∞===型型)=e e
e
⑤()11
11111
11ln 1111lim lim lim lim lim 11ln 1ln 1ln 2ln 2ln t t t t t t t t t t t t t t t t t t t
t
→→→→→--+--⎛⎫-=====- ⎪----++⎝⎭+ ⑥()()00sin cos 11cos sin lim ln cos sin lim sin sin cos 0
0lim(cos sin )
"1"=""0x x x x
x x x x x
x
x
x x x e
e e →→-+++∞→⎛⎫+== ⎪⎝⎭
型型
在上述解题过程中中我们通过化简、取对数等方法来实现恒等变形将其他的不定式极限都化归为"
"∞∞
型和0
""0型，从而应用我们所熟悉的洛比达法则解题。
在求数列极限的问题时，可以通过海涅定理将数列极限转化为函数极限，在判断函数极限的敛
散性时也可以将函数极限转化为数列极限，这体现了一般与特殊之间的转化，从而解决数列极限及函数极限敛散性的问题；而夹逼定理可以将原式放缩变形然后再求解。例如
①1111lim ln lim
lim lim lim 1x x x n
x
x
x n n x n x e e
→∞→∞→∞
→∞
→∞=====
②证明极限02
lim sin
x x →不存在
证：设()
11
',''4
n n x x n N n n πππ*==∈+
则显然有()'0,''0n n x x n →→→∞，
2
limsin
limsin 20'x n n n x π→→∞
==
2limsin
limsin 2lim 21''42x n n n n n x ππππ→→∞→∞⎛⎫⎛
⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
所以极限0
2
lim sin
x x
→不存在。
③求lim n →∞
⎛
⎫+
<<
并且lim
1n n n n →∞
====
所以由夹逼定理可得......1n →∞
+=
在解题时会遇到从表面上看比较复杂的题目，这时候我们可以通过换元变形的方法将其转化为较简单的问题，使的我们更容易解决问题。例如求极限3
21lim ln
21t t t t t →∞
+⎛⎫
- ⎪-⎝
⎭
. 解：令1
t x
=
，则,0t x →∞→ ()()()33220
000111
ln
22ln 1ln 1222111lim
lim lim lim 33
31x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→+-+-+----+-====
-原式=
在求解某些二元函数的极限计算问题的时候，可以经过一些适当的变换如：()(),x x t y y t ==,可以使得二元函数在某一点处的极限转化为一元函数在该点处的极限，则可以用一元函数求极限的方法来求二元函数在该点处的极限了，例如：
已知：()()()()()22
22,,0,0,0,,=0,0x y yx x y x y f x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪⎩
，，求()()
(),0,0lim ,x y f x y →
解：对二元函数的自变量,x y 作如下的极坐标变换cos ,sin x r t y r t ==.则对
()(),0,0x y →等价于对任意的t 都会有0r →.由于
()2222
22
11,0sin 4,44
x y f x y yx r t r x y --==≤+因此，对于任意的0,ε>只需要取
δ=当0r δ<=<时，则不管t 取什么值都有(),0f x y ε-<，也就是
()()
(),0,0lim
,0x y f x y →=.
在二元函数的极限中含有一种我们熟悉的累次极限，而累次极限的求法是先对其中一个变量求极限，然后再对另一个变量求极限，因此我们可以看出求累次极限的实质也就是可以转化求一元函
数的极限，例如：求函数()33
2,x y f x y x y
+=+在点()0,0处的累次极限。
解：333
220000
limlim lim lim 0x y x x x y x x x y x →→→→+===+
333220000
limlim lim lim 0y x y y x y y y x y y →→→→+===+ 2.在微分中的体现
在一元函数求导中，要掌握基本初等函数求导的公式以及求导的四则运算就可以了，由函数导数的定义，对于函数导数的研究都可以化归为函数极限的问题的研究。例如，求()2
f x x =在0
x =处的导数，可以有两种方法：
①()()'2,'00f x x f ==
②()()()20000
'0lim
lim 00x x f x f x f x x
→→--===- 二阶导数是在一阶导数的基础上定义的，因此求二阶导数就可以化为求一阶导数，一般的函数
f 的n 阶导数在其1n -导数的基础上定义的，因而求高阶导数都可以转化为求一阶导数。例如，
已知()2
sin x
f x e x x =+，求()'''f x
()()'cos sin 2cos sin 2x x x f x e e x x e x x x =++=++
()()()''cos sin sin cos 22cos 2x x x f x e x x e x x e x =++-++=+ ()'''2cos 2sin .x x f x e x e x =-
一元函数的导数是等于一元函数的微分与其自变量微分的商，即()'dy
f x dx
=
，因此求一元函数的微分dy 只要求一元函数的导数()'f x 再乘以dx 就可以了，所以求一元函数的微分可以化归为求一元函数的导数。例如，已知()2
sin ,1x
f x x =
+求()df x
解：()()'df x f x dx =
()()()
22
2cos 12sin '1x x x x
f x x +-=
+
所以()()()
2
2
2cos 12sin 1x x x x
df x dx x +-=+
由多元函数的偏导数的定义，函数f 对哪个自变量求偏导数是先将其他的自变量都看成常数，从而使多元函数变成一元函数，因此求多元函数的偏导数可以化归为求一元函数的导数；所以像高阶偏导数，以及全微分其实都是可以转化为求一元函数的导数的问题。例如：
已知()2
,sin 2x
f x y x y e y x y =+++，
求()()()()()()',,',,'',,'',,'',,,x y xx xy yy f x y f x y f x y f x y f x y df x y 解：()',2sin 2x
x f x y xy e y =++
()2',cos 1x y f x y x e y =++ ()'',2sin x xx f x y y e y =+ ()'',2cos x xy f x y x e y =+ ()'',sin x yy f x y e y =-
()()()()()2,',',2sin 2cos 1x x x y df x y f x y dx f x y dy xy e y dx x e y dy =+=+++++
3.在积分中的体现
(1)积分学中的运算最基本的当然是不定积分的运算，而不定积分中的计算最根本的是基于基本的积分公式，如
()11,01a a
x x dx C a x a +=+≠-≥+⎰，()0,1ln x x
a a dx C a a a =+>≠⎰，
()1cos cos 0axdx ax C a a =
+≠⎰，()1
ln 0dx x C x x
=+≠⎰， 2
sec tan xdx x C =+⎰
，1arcsin arccos .x C x C =+=-+等等。
如在以下例题中就体现了不定积分运算基本公式的应用
①13
2211
(1ln )(ln 1)(1ln )223
dx x d x x c x =++=++⎰⎰ ②142111
()(21)(1)(12)(1)121121
x dx dx d x d x x x x x x x -=+=++-⎰
⎰⎰⎰+-+-+-
()()1
ln 12ln 12
x x =
++-
③(1)x x x x x x x xe dx xe dx dx xde x xe e dx x xe e x c +=+=+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰
积分运算中常用的方法有第一换元法，第二换元法，牛顿—莱布尼茨公式，分部积分法等，这些方法的依据都是积分中的公式，积分时通过这些方法将被积函数化归与某一积分公式相一致的形式，通过这一积分公式求出原函数。在积分还有一种通过变量代换的形式将不能直接用不定积分基 本公式计算的转化为能用基本公式计算的形式，也就是把未知的化为已知的。
例如：求不定积分
()24dx x +⎰
解：令2tan x θ=，则2
2tan 2sec dx d d θθθ== ()
222
4432
2sec 1cos 2sec 2
4dx
d d x
θθθθθ∴
==+⎰
⎰⎰ ()1
1cos 216d θθ=+⎰ ()1
sin cos 16
C θθθ=++
2212arctan 1624x x C x ⎛⎫=
++ ⎪+⎝⎭
牛顿—莱布尼茨公式：
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰（在这里()F x 是()f x 的原函数，也就是
()()'F x f x =）
，不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且从理论上把定积分的计算和不定积分联系了起来。从化归法的角度看，其RMI 框图如下：
因此不定积分的运算方法掌握了，则定积分的计算方法也就掌握了。
例如：求定积分
⎰
得
解
求
原函数
:ϕ 1:ϕ- 牛顿—莱布尼茨
牛顿—莱布尼茨
解： 令2sin ,x t =则[]
0,20,2x t π⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦
从而原式()()2
22220
2cos 2sin 4cos 2cos 21sin 22td t tdt t dt t t π
π
π
π
π=
==+=+=⎰
⎰⎰
⑵定积分概念产生的背景是“分割、近似求和、取极限”，而第一型曲线积分、第二型曲线积分、重积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分的概念都是用“分割、近似求和、取极限”定义的。因而在解题时这些类型的积分都是可以转化的，下面用一些具体的例题来说明它们之间的转化过程。
一、第一型曲线积分，第二型曲线积分转化为定积分：
①计算第一型曲线积分：设L 是24x y =从原点O 到()1,2A 的一段曲线（如下图），求第一型曲线积分
3.L
yds ⎰
解：由公式
()()(
,,d
L
c
f x y ds f y y ϕ=⎰⎰
所以
3
2
2
2
2
23332140
34L
y yds ⎛⎫==⋅⋅+= ⎪⎝⎭⎰
⎰ ②计算第二型曲线积分：()2,L
M yxdx y x dy x dz =
--+⎰
L 是螺旋线：
cos ,sin ,x a y a z b θθθ===从0θ=到θπ=上的一段，
解：
()32222220
cos sin cos cos sin cos M a a a a b d π
θθθ-θθθθ=-++⎰
()332221111sin sin 1sin 20
3
222a a a b πθθθθ⎡⎤⎛⎫=--+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()2
112
a b π=
+ 二、重积分与累次积分之间的转化： ①计算
()
22
,x y D
e
d δ-+⎰⎰其中D 为圆域，222.x y R +≤
解：通过极坐标变换{cos ,(0,2],(0,]sin x r t t r R y r t
π=∈∈=
()
(
)22
2
2
20
1R
x y r R
D
e
dt re dr e π
π-+--==-⎰⎰⎰⎰
②计算
222V
dxdydz
x y +⎰⎰⎰，其中V 为由平面2,4,0,x x z x y ====与y z =所围的区域，如下图：
解：V 在xy 平面上的投影区域型 (){},0,24D x y y x x =
≤≤≤≤是x 型区域，这里[]0,z y ∈，
所以有
2222224420020222V
x y x dxdydz dz ydy dx dy dx x y x y x y ==+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()2
2
442
21
13
ln 2ln 0222
x x y dx dx =
+=⎰⎰
3
ln
2
=
渤海大学数理学院 毕业论文 论文题目：简述数学分析中的基本内容和方法 系别：数学系 专业年级：数学与应用数学专业07级 姓名：王迪 学号：07020176 指导教师：王长忠 日期：2011年5月20日
目录 一、数学分析中的研究对象 (3) 二、数学分析的基本内容 (3) 三、数学分析中的基本概念和相互关系 (3) 1.极限概念 (4) 2.连续和一致连续的概念 (5) 3.收敛和一致收敛概念 (6) 4.导数概念 (6) 5.微分概念 (7) 6.原函数和不定积分 (7) 7.定积分 (8) 8.一元函数中极限、连续、导数、微分之间的关系 (8) 9.多元函数中，极限、连续、偏导数、方向导数和全微分之间的关系 (9) 10.连续与一致连续的关系 (9) 11.收敛和一致收敛的关系 (9) 12.连续、不定积分和定积分的关系 (10) 13.微分和积分的关系 (10) 四、数学分析的主要计算 (11) 1.极限的求法 (12) 2.微分学中的计算 (13) 3.积分学中的计算 (14) 4.无穷级数中的计算 (14) 五、数学分析的主要理论 (15) 1.实数的连续性和极限的存在性 (16) 2.连续函数的基本性质 (17) 3.微分学的基本定理和泰勒公式 (18) 4.积分中的理论 (19) 5.无穷级数和广义积分的敛散性 (20) 6.函数级数和广义参变量积分的一致收敛性 (21) 六、数学分析的基本方法 (21) 七、数学分析教学内容的初步实践与思考 (22)
简述数学分析中的基本内容和方法 王迪 （渤海大学数学系辽宁锦州121000中国） 摘要：数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。应全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 关键词：极限，微分，积分，近似。 Contents and methods of mathematical analysis Wang di (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematical analysis is based on the theory of real numbers. The real number system is the continuity of the most important feature, with the continuity of real numbers to discuss the limit, continuity, differentiation and integration. It is in discussing the function of the various limits of the legitimacy of the process of operation, it gradually established system of rigorous mathematical theory. Mathematical analysis should be fully grasp the basic theory of knowledge; develop logical thinking and rigorous reasoning ability; people with good computing power and skills; improve the mathematical model, and apply the tools of calculus to solve practical problems. Key word: Limits, differentiation, integration, and similar.
不等式基本性质 不等式是数学分析中最重要的概念，它涉及到比较大小的问题，在现代数学的发展中起着至关重要的作用。一般而言，不等式就是给出一个不完全相同的两个数，并表示其大小关系，有时也包括一个不等式中的多个变量，尤其是在微积分和线性代数领域，研究大量不等式的性质。下面介绍一些被称为不等式基本性质的典型性质。 首先，不等式的交换性：也就是如果a≠b，则b≠a，也就是说，左边的数等于右边的数，而右边的数又等于左边的数，因此不等式的交换性得以成立。 其次，不等式的可加性：如果我们考虑两个数的不等式，那么我们可以把这两个数相加，其结果仍然是一个不等式，这就是不等式的可加性。 再次，不等式的超集性：也就是如果a 表示某种状态；在统计中，不等式也发挥着重要作用，可以运用不等式来定义一组统计数据的概率分布及相关特征。 总之，不等式是数学比较大小的重要基础，不等式基本性质是一个很重要的内容，深入研究不等式的基本性质可以更深入地理解不等式的性质，使我们在日常的数学计算中更轻松，更快捷地得出结论，从而推动数学的进一步发展。 《数学分析1/2/3》教学大纲 一、课程基本信息 中文名称：数学分析1/2/3 英文名称：Mathematical Analysis 1/2/3 课程编码：06101/2/3B 课程类别：学科基础课 总学时：252(理论208，实践44) 总学分：14 适用专业：数学与应用数学专业 先修课程：中学数学课程 开课系部：应用数学系 二、课程的性质与任务 数学分析是数学与应用数学专业的一门重要的基础课。它不仅是培养学生用数学的思想认识问题、分析并解决问题的重要入门课程，也是后继课程——微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、泛函分析、概率论与数理统计等的基础。本课程的基本内容有极限理论、一元微积分学、多元微积分学和级数理论，分三学期学习，总学时252学时，总学分14学分（第一学期12周，每周6学时，4学分，第二学期15周，每周6学时，5学分，第三学期15周，每周6学时，5学分）。 通过本课程的学习，学生能够正确理解数学分析的基本概念，掌握基本定理、基本原理、基本方法；正确理解实数理论、极限理论、一元函数微积分、无穷级数和多元微积分等方面的系统知识和基本原理以及它们之间的内在联系；深刻认识极限的思想和方法，弄清不变与变，有限与无限，特殊与一般，抽象与具体的内在关系；掌握数学分析中的论证方法和常用的分析技巧，具有运用数学分析的方法去观察问题、思考问题、分析问题和解决问题的能力，提高抽象思维和逻辑推理的专业素质；熟练掌握微积分学的基本运算方法和运算技巧，获得本课程所要求的分析、论证、计算等方面的能力；对中学数学中的有关内容有深刻的了解，以较高的观点分析和处理好这些内容；提高建立数学模型，并具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力，为进一步学习其它专业课程打下必要的基础，为创新能力的培养提供重要平台。 三、教学内容与教学要求 第一部分函数、极限、连续 这一部分的教学目标主要是 (1) 让学生系统掌握极限的基本思想和基本理论及计算技巧。(2) 让学生掌握连续函数的概念、性质和一致连续性定理并通过对函数连续性的讨论加深学生对极限思 数学分析中的化归法 目录 摘要 (1) Abstract (1) 1. 绪论 (2) 1.1 化归法的背景 (2) 2. 详谈化归法 (3) 2.1 化归法的分类 (3) 2.2 常见的化归方法及化归思想 (3) 2.2.1 化归的方法 (3) 2.2.2 化归的思想 (4) 2.3 化归法的原则 (5) 2.3.1 化归的方向与一般模式 (5) 2.3.2 化归法的原则 (5) 3. 数学分析中的化归 (6) 3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6) 3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12) 3.2.1 在极限中的体现 (12) 3.2.2 在微分中的体现 (15) 3.2.3 在积分中的体现... .. (16) 3.2.4 在级数中的体现 (22) 3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24) 4.小结 (25) 参考文献 (26) 致谢 (27) 数学分析中的化归法 摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。 关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用 中图分类号：O1-0 The reduction method of mathematical analysis Abstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction. Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method 数学分析视频教程全套220讲史济怀中国科技大学 国家精品课程-中国科技大学数学分析视频222讲中科大数学分析史济怀8DVD赠pdf格式课件和部分期末考试试卷 一、所用教材 《数学分析教程》(上、下册),常庚哲,史济怀编，高等教育(2003年) 二、章节容 数学分析一77讲 数学分析二88讲 数学分析三55讲 目前,本课程使用的教材是由我校数学系常庚哲和史济怀两位教授编著的《数学分析教程》上下册（高等教育，2003年5月，第一版）。该教材是普通高等教育“十五”国家级规划教材，是在1998年教育出版的《数学分析教程》的基础上写成的，原书融合了20多年来数学系讲授数学分析课程的教师的教学经验，同时也参考了国外同类书籍中的许多名著，在全国同类教材中有非常积极的影响。该教材已经在本校数学系使用了5年，教学效果很好。该教材的第二版正在 修订中。 参考书：1．《数学分析》，何琛，史济怀，徐森林编，高等教育(1985年)。 2．《数学分析新讲》，筑生编，大学(1991年)。 第一学期： 主要讲授单变量函数的微积分学。主要容有：实数理论，极限理论，单变量函数的微分学和积分学。 教学重点：极限理论，导数的概念和运算，Taylor公式，可积性理论和积分的计算。 教学难点：实数理论，极限理论，上、下极限，Taylor公式，可积性理论。 教材：《数学分析教程》(上册)，常庚哲，史济怀编，高等教育(2003年)。 参考书：《数学分析新讲》，筑生编，大学(1991年)。第一章实数15学时 §1 无尽小数1学时 §2 收敛数列及其性质5学时 §3 收敛原理和上下确界5学时 §4 上、下极限和Stolz定理4学时第二章函数的连续性19学时 §1 集合的映射和势2学时 §2 函数的极限6学时 §3 连续函数7学时 §4 混沌现象4学时 第三章函数的导数15学时 §1 导数的定义和计算5学时 §2 微分学中值定理及其应用5学时 《数学分析（中）》课程标准 1.课程说明 《数学分析(中)》课程标准 课程编码〔36733 〕承担单位〔师范学院〕 制定〔〕制定日期〔2022年11月26日〕 审核〔〕审核日期〔〕 批准〔〕批准日期〔〕 （1）课程性质：《数学分析(中)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。 （2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。 （3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《数学分析（上）》，后续课程有数学分析（下）。 2.学习目标 课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中一元函数微积分学及级数的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。 通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；理解并掌握一元函数的微积分及级数的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算，能够判断级数的敛散性。 3.课程设计 本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。 表3-1教学内容与学时分配表 表2课程总体设计 4.教学设计 表3学习情境设计 5.课程考核 （1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%；期末考试：卷面成绩占70%，试卷可包括填空题、选择题、判断题、计算题、证明题及证明题。 （2）考核标准：学生能够理解并掌握数学.符合中小学数学教师的知识理论基础要求和职业资格要求。 6.课程资源 （1）硬件要求：多媒体课件 （2）师资队伍：数学教育专业团队师资力量雄厚，现有教授2人，副教授9人，讲师5人，其中具有硕士以上学历4人。 （3）本课程教学使用的教材为《数学分析讲义》(上、下册)，刘玉琏编写的高等教育出版社，第五版。 数学分析中的典型问题与方法 以《数学分析中的典型问题与方法》为标题，写一篇3000字的中文文章 数学分析是一门重要的数学学科，其主要研究目标是通过紧密的逻辑关系理解不同类型问题，分析复杂的数学模型，以及发现有用的规律和模式。它的研究内容包括各种复杂的数学概念和方法，这些都是在研究中使用的典型问题和方法。因此，了解这些典型问题和方法对学习数学分析非常重要。 首先，数学分析中有一个重要的数学概念叫做函数。函数是一种具有特定规律的数学模型，它可以用来描述一个物理过程或现象的变化规律。数学分析的一个重要内容是研究函数的性质、特征以及表达式的形式和性质。典型的问题和方法包括：在函数可导性问题中研究该函数是否可以微分，在多元函数上研究该函数是否可以求解，以及在函数的积分性问题中求解函数的积分表达式。 另一个在数学分析中常用到的概念是空间几何。空间几何是数学分析中关于几何图形的分析研究，主要研究目标是研究几何图形的特点、形状和特性，并研究不同空间图形的数学关系。典型的问题和方法包括：在空间几何中研究面积、体积以及重心的计算方法，以及在分析几何中研究直线、圆、曲线的性质。 另外，数学分析还涉及到一些更复杂的数学概念，如微分方程、积分方程和常微分方程。这些概念在研究物理过程和现象中起着很重要的作用，典型的问题和方法包括：求解一般椭圆方程的解析解，求 解不定积分的定积分，以及求解常微分方程的解析解。 此外，数学分析还涉及到概率论和统计学，概率论是研究概率分布的数学理论，典型的问题和方法包括：研究概率的概念、性质及其公式推导，以及研究概率形式的性质和计算方法。统计学是研究统计数据集的研究方法，它可以帮助我们了解物理过程和现象，典型的问题和方法包括：研究统计数据集的分布特性，研究统计图表的概念和解释，以及研究统计量的推导方法。 以上就是数学分析中的典型问题和方法。数学分析是一门重要的数学学科，主要致力于研究复杂的数学模型以及发现有用的规律和模式。通过研究不同的典型问题和方法，我们可以更好地理解数学分析，从而更好地发掘出数学分析的奥秘。 数学分析原理与方法在数学中的运用 数学分析是高等教学中的根底技能之一,对数学教学具有促进作用。针对数学的抽象性和严谨性特征,数学分析能够使概念清晰化,数学分析中包含了数学知识内容,主要采用极限的方式建立数学概念之间的内在联系,从而为数学学习提供丰富的方法,拓宽学生是视野,为数学教学提供理论根底。 一、数学分析的重要作用 数学分析以及丰富的内容为数学教学提供了理论根底,其在数学教学中的作用经得起验证。并且是对数学能力、数学意识的客观反映。在教学中,其作用重点表达为以下几点: (一)数学分析有助于培养学生的辩证唯物主义思想 数学分析以极限思想为核心内容,极限的定义利用“ε〞语言实现了有限与无限两个概念紧密相连,将事物由量变向质变转变的过程转化为数学语言。通过这一分析过程,学生自然的掌握了唯物主义理论,对其数学知识学习具有积极意义。 (二)数学分析有助于培养学生的数学应用意识 数学分析来源于实践,在数学教材中,许多例子应用于数学分析理论。通过数学分析理论,学生具有较强的应用意识,丰富了其解题技巧,从而培养其自主学习和探究精神,与素质教育的精神相吻合。 (三)培养抽象意识、建立审美意识 数学分析的主导思想导数和定积分具有高度抽象特点。利用数学分析思想,使学生形成正确的审美观念,培养其抽象意识。 通过概念、命题的形成过程而培养学生从本质看问题的习惯。而对于复 杂事物或概念,数学分析可帮助学生学会由表及里,分清主次的特点,为学生数学问题的解决提供了多样化的、可行的方案。数学分析思想中的极限、微积分都具有抽象特点,有助于引导学生发现数学中的美感,对数学产生好的印象,从而提高其对数学学习的兴趣。 二、数学分析原理和方法在数学中的应用 (一)微分学原理、方法在数学中的应用 数学分析中的微分学原理对函数图形的解读具有积极意义。 函数图形多采取描点法进行图形绘制,这种方法在结果上存在一定的偏差。此时,利用数学分析的导数概念可正确判断函数的凹凸性、单调性等特点,可精确计算出函数极值点和拐点。最后,通过极限法求出渐近线,从而得出函数草图,再利用数学分析中的微积分思想就可以准确绘制函数图形。 (二)积分法原理和方法在中学数学中的应用 积分包括不定积分和定积分两局部。两种积分形式虽具有一定差异,但实际上存在必然的联系。二者之间可以实现转化,通常可将定积分转化为不定积分问题,从而降低解题难度。因此,积分法原理充分利用了数学分析的精髓,将积分与定积分问题联系在一起,提供了专业的数学解题理论。其中,定积分可用于求解面积、体积以及弧长问题。大学阶段,数学概念作为成型的理论出现,但并未进行详细的推导。这样对于一些概念的应用来说,学生理解起来较为困难,无法应用自如。而通过数学分析理论,有关公式的计算完全可利用积分或微积分精确地进行计算,并提供分析过程,使学生准确理解数学概念。总之,在数学教学中,数学分析为多种数学知识的计算提供了理论依据,为其分析提供了方向。 (三)提高能力,掌握数学思想与方法 四年级下册数学知识点总结可打印 运算定律及简便运算 一、加法运算定律： 1、乘法交换律：两个数相乘，互换加数的边线，和维持不变。a+b=b+a 2、加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。（a+b）+c=a+b+c 乘法的这两个定律往往融合出来一起采用。 如：+９３+３５＝９３+（+３５）依据是什么？ 3、连减的性质：一个数已连续乘以两个数，等同于这个数乘以那两个数的和。a-b-c=a-b+c 二、乘法运算定律： 1、乘法交换律：两个数相加，互换因数的边线，内积维持不变。a×b=b×a 2、乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。（a×b）×c=a×b×c 乘法的这两个定律往往融合出来一起采用。例如：×７８×８的简算 3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把积相加。 （a+b）×c=a×c+b×c a－b×c＝a×c－b×c 鸡兔问题公式 （1）未知总头数和总脚数，谋鸡、兔各多少： （总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。 或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。 例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚只，鸡、兔各是多少只？” （答略） （2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式 （每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数 或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。（例略） （3）未知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，需用公式。 （每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。 或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。（例略） （4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式： （1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品 甩分数）=不合格品数。或者就是总产品数-（每只不合格品甩分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品甩分数）=不合格品数。 例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分， 每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了只灯泡，共得分，问其 中有多少个灯泡不合格？” =÷19=25（个） 解二-（15×+）÷（4+15） （“利害问题”也表示“运玻璃器皿问题”，运往完好无损者每只给运费××元，损 坏者不仅不给运费，还须要赔钱成本××元……。它的数学分析似乎可以套用上述公式。） （5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可 用下面的公式： 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚 数之差）〕÷2=鸡数； 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔 脚数之差）〕÷2=兔数。 数学中常用的几种思维方法 在数学学科中，有许多种常用的思维方法，这些方法有助于解决问题，探索规律和证明定理。以下是数学中常用的几种思维方法，以及其在不同 领域中的应用。 1.归纳法：归纳法是通过观察和推理来得出一般性结论的一种方法。 它包括两个步骤：基础情况的验证和归纳假设的提出。归纳法常用于证明 数列的性质、解决组合数学问题以及推导重要定理。例如，使用归纳法可 以证明斐波那契数列的递推公式或质数的无穷性。 2.反证法：反证法是通过假设否定结果并推导出矛盾来证明一个命题 的方法。反证法通常用于证明矛盾命题或否定命题。它常用于证明数学分 析中的存在性定理，如勒贝格覆盖定理或柯西中值定理。 3.构造法：构造法是通过构造一个满足要求的对象来证明一个命题的 方法。通过巧妙地构造对象，可以帮助我们理解问题的本质，找到规律或 解决难题。构造法在代数、几何、组合数学等领域中经常使用。例如，可 以通过构造一组满足其中一种条件的整数来证明一些数论问题。 4.抽象化：抽象化是将具体的数学问题转化为更一般、更抽象的形式 来研究的方法。通过抽象化，我们可以将问题与特定的情境分离，发现问 题的共性和规律。抽象化在代数、几何、图论等领域中使用广泛。例如， 将代数方程的特例抽象为一般形式，可以帮助我们研究方程的性质。 5.分类与归类：将问题中的对象进行分类和归类，有助于我们理清思路，辨析问题的性质。分类与归类法在组合数学、图论，以及概率与统计 中经常使用。例如，将图形按照对称性进行分类可以帮助我们更好地理解 和研究对称性的性质。 6.数学建模：数学建模是将实际问题转化为数学模型，然后利用数学 方法进行求解的过程。它结合了现实世界中的问题与数学分析的技巧，有 助于我们理解复杂问题的本质和寻找解决方案。数学建模广泛应用于物理、工程学、经济学等领域中。 7.反向思维：反向思维是指从问题的解决结果出发，逆向推导出问题 的原因或方法。通过反向思维，我们可以找到解决问题的新途径或发现问 题的隐藏性质。反向思维在数学中的应用包括逆向求解几何问题、逆推数 列的递推公式等。 8.递归思维：递归思维是将一个问题分解为更小的子问题，并通过解 决这些子问题来解决原始问题的思维方式。递归思维在组合数学、计算机 科学等领域中经常使用。例如，使用递归思维可以证明二项式系数的递推 公式，或者通过递归算法来实现分治策略。 9.近似方法：近似方法是通过找到一个接近于问题解的近似解，来快 速估计结果或解决问题的方法。近似方法在数值计算、概率论、统计学等 领域中广泛应用。例如，使用泰勒级数近似可以计算复杂函数的近似值， 或者使用蒙特卡罗模拟来估计随机事件的概率。 以上就是数学中常用的几种思维方法，每种方法都有其适用的场景和 问题类型。熟练地掌握这些方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提升解决问题的能力。数学思维方法的灵活运用是学习和研究数学的 关键之一，也是培养创造性和批判性思维的重要途径。 数学分析知识点总结 数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。下面是小编整理的数学分析知识点总结，欢迎来参考！ 从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。 我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法 设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程现代计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课： （1）矩阵理论 （2）随机过程 （3）信息论与编码 （4）现代数字信号处理 （5）通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学。 （6）模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学。 大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学，专业基础课：物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课：中级微观经济学（数学）中级宏观经济学中国市场经济研究经济分析方法（数学）经济理论与实践前沿金融理论与实践必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！ 正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习 数学拔尖技巧 数学是一门需要不断探索和创新的学科，而数学的拔尖技巧则是数学家们在长期的研究和实践中总结出来的一些高效、精准的解题方法和技巧。这些技巧不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高我们的解题能力和思维能力。下面，我将介绍一些数学拔尖技巧。 一、数学归纳法 数学归纳法是一种证明方法，它可以用来证明一些数学命题在自然数范围内成立。具体来说，数学归纳法分为两个步骤：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。通过这种方法，我们可以证明一些数学命题在自然数范围内成立。 二、数学逆推法 数学逆推法是一种解题方法，它可以帮助我们从已知的结果推导出未知的过程或条件。具体来说，数学逆推法分为两个步骤：首先确定已知结果，然后逆推出未知的过程或条件。通过这种方法，我们可以解决一些复杂的数学问题。 三、数学分析法 数学分析法是一种解题方法，它可以帮助我们分析问题的本质和特 点，从而找到解决问题的方法。具体来说，数学分析法分为两个步骤：首先分析问题的本质和特点，然后找到解决问题的方法。通过这种方法，我们可以解决一些复杂的数学问题。 四、数学化归法 数学化归法是一种解题方法，它可以帮助我们将复杂的问题化归为简单的问题，从而更容易解决。具体来说，数学化归法分为两个步骤：首先将复杂的问题化归为简单的问题，然后解决简单的问题。通过这种方法，我们可以解决一些复杂的数学问题。 数学拔尖技巧是数学家们在长期的研究和实践中总结出来的一些高效、精准的解题方法和技巧。这些技巧不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高我们的解题能力和思维能力。因此，我们应该学习和掌握这些数学拔尖技巧，以便更好地应对数学学习和解题挑战。 初等教育学院2010—2011学年第一学期期末考试 《数学思维方法》试卷(B)答案 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 班级B0702专业小学教育 姓名 学号 一、概念题﹙本大题共5题,每题3分,共15分﹚ 1、数学猜想：通过归纳类比等合情推理发现问题的一种思维方式 2、直觉思维：直觉思维是一种对事物、问题、现象的直接领悟式的思维。它不是按照逻辑思维的方式，对问题作详尽有序的逻辑推理，而是一种迅速的识别、敏锐的洞察和直接的理解。例如，人们直觉地认识到过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。 3、数学：关于数量关系、空间形式及其结构的科学 4、归纳推理：个别到一般的推理方式 5、化归法：如果从字面上理解，所谓“化归”就可理解为转化、归结的意思。数学中的化归法是指把待解决的问题归结的一类已解决或者比较容易解决的问题中，从而求得原问题解决的一种方法，化归法有时也称化归原则 二、简答题(本大题共5题,每题6分,共30分) 1、解释灵感思维，并分析其特征。 答：灵感是在特殊情况下的一种直觉，指人们对某一个问题百思不得其解，绞尽脑汁任无答案是，却因某种因素的启发产生顿悟，刹那间闪现出解决问题的方式与方法。其特征是：突发性、模糊性、突逝性。 2、数学解题的目的有哪些？ 答：1）、通过解题加深对知识的理解尤其是加强对基本概念公式和理论的理解是抽象的数学知识具体化。2）、学会在解题中运用数学知识，增强自己解决实际问的能力，尤其是把数学知识运用待解决具体问题上的能力。3） 、掌 2 握数学思维方式，增强自己数学创造性思维的能力。 3、数学美的特征有哪些？ 答：数学美包括结构美、语言美、方法美，特征是简单、对称、完备、统一和谐与奇异。 4、比较数学中的再造想象与创造想象。 答：再造想象是：教师用词、符号、图形、教具将知识传授给学生，要转化为学生的知识水平和能力，学生只有在头脑中形成与抽象数学概念相应的具体化、形象化的知识、思想与方法，才能使学生理解和掌握。 创造想象是知不依赖于现有的描述而独立的创造出新形象。 5、公理化方法的作用有哪些？ 答：1)、公理化方法可以帮助一门学科有经验上升为理论。 2）、公理化方法可以进一步推动科学理论的发展。 3）、公理化方法可以在自然科学体系建立中发挥作用。 4）、公理化方法可以推动了结构主义运动。 5）、公理化方法有利于培养逻辑思维能力。 三、论述题(本大题共3题,每题8分，共24分) 1、教学中如何培养学生发现的意识？ 答：1）、选用科学有效的教学方法。2）、讲解经典发现之例。3）、培养数学兴趣。 4）、加强基础知识教育。5）、结合实际、开动脑筋。 2、比较数学方法中的分析法与综合法。 答：分析法是寻求是结论成立的原因，综合法是有条件推出结论。 3、数学思维方法可以分为哪几类？ 答：数学思维方法可以分为几类？ 答：数学在不同的发展时期以及在数学的几个不同领域中，形成了具有一定 代表性的数学思维方法。主要包括：算术与代数的思维方法，几何学的思维 “化归法”在高等数学教学中的应用 “化归法”是高等数学中的一个基础概念，也是一种重要的解题方法。它通常用于化简复杂的式子，以达到更好的计算或证明的目的。本文将详细介绍“化归法”在高等数学教学中的应用。 方程是数学中最基本的概念之一，方程求解是高等数学中非常重要的一个部分。在方程求解中，有很多情况下需要通过化简的方式将原方程化为更简单的形式，以便于解出未知数。这时“化归法”就可以派上用场了。 例如，对于方程 9x + 6y = 81，我们可以将方程两边同时除以3得到 3x + 2y = 27，再将这个方程写成 3x = 27 - 2y 的形式，这样我们就可以通过不断代入 y 的值，并求解x的值，从而得到全部的解。这就是“化归法”的一个简单应用。 级数是高等数学中一个非常重要的概念，它与微积分、数学分析、函数论等学科密切相关。在级数求和中，“化归法”也可以派上用场。 例如，对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$，我们可以通过“化归法” 将其化简为 $\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$，然后再将 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 的值代入即可得到原级数的和。这种方式可以大大简化级数求和的过程，提高计算效率。 微积分是高等数学中的核心内容，其应用范围极广。在微积分中，很多情况下需要将复杂的函数化简为更简单的形式，以便于求导、积分等操作。 例如，对于函数 $f(x) = \frac{x^2-1}{x+1}$，我们可以通过“化归法”将其化简为$f(x) = x-1 + \frac{1}{x+1}$，这样我们就可以更方便地求得该函数的导数和不定积分。此外，在某些情况下，“化归法”还可以帮助我们发现函数中隐藏的性质，为更深入的研究提供线索。 几何学是高等数学中的一个重要分支，其研究对象是空间中的图形和其性质。在几何学中，“化归法”也可以发挥重要的作用。 例如，在三角形的研究中，我们常常需要将三角形分解为多个简单的三角形，并利用三角形间的相似性质进行计算。这种分解过程就是“化归法”的应用。同时，“化归法”还可以用于证明和探索几何性质，在几何学中具有重要的地位。 综上所述，“化归法”在高等数学教学中应用广泛。通过掌握这一概念，并熟练掌握其应用方法，可以帮助学生更加深入地理解高等数学的概念和原理，并在解题过程中提高效率。 浅谈小学数学中的鸡兔同笼的问题 摘要】鸡兔同笼是中国古代就有的名题，本文浅析在小学数学中所涉及的鸡兔同笼问题，并结合较多的案例和练习题进行稳固加深概念，继而设计到多种不同的方式方法解决该问题.【关键词】鸡兔同笼;解题技巧与方法;解方程 鸡兔同笼是我国古代比较有名也很有趣的一类题.大约在1500年前，古书籍中就记载了此类相关的有趣的问题.有本书中是这样写的：“今有雉兔同在一笼，其中上有三十五个头，下面有九十四足，问雉兔各有几何？〞这四句话的大概意思就是：有不定量的鸡和兔子被关在同一个铁笼里，然而从上面看的话，有35个头;但是从下面数的话，有94只脚.那么问笼中有几只鸡和兔子. 一、典型案例及解决方法 鸡兔同笼问题从小学到初中会有多种不同的方式解决，而且方法不同涉及的思维方式也不同，但不变的是，都是让同学们在脑中设想、构建假设安排来讲，本届知识被放在六年级教材最后一节，主要目的是为了开拓学生的思想视野、培养数学建模的初级能力. 在古书中有这么一种被叫作“砍足〞或“断足〞法，根本步骤如下： 兔数〔94÷2〕-35=12〔只〕， 鸡数35-12=23〔只〕. 这一思路比较新奇，到后来这种思维方法叫化归法.化归法的意义就在于，先不采取直接的分析，而是把题中的条件或问题进行合理变形，转化，最终到达把它归成某个已经解决的问题.除此之外，还有其解题方法来看鸡兔同笼问题，公式总结来看有如下几种方法： 方法1：总体〔兔子的脚数×总的个数-总的脚数〕÷〔兔子的脚数-鸡的脚数〕=鸡的总只数，即总共的只数-鸡的只数=兔子的只数. 方法2：分类〔总的脚数-鸡的脚数×总的只数〕÷〔兔子的脚数-鸡的脚数〕=兔子的总数， 总的只数-兔子的只数=鸡的总只数. 方法3：分类〔总的脚数÷2〕-总的头数=兔子的只数， 总的只数-兔子的只数=鸡的只数. 这种方法是解决问题此类问题比较方法本身是一个由特例到普遍的代表，或者是由形象化到抽象的，但是，这种方法仍旧有较多的缺乏和局限，特别是考试的时候，需要占用较多的时间，大大降低了做题的效率和进度.但是值得注意的是，虽然此方法有诸多弊端，但不仅是一个思考到实验再到确认的过程，提高此方法的效率，不断演变出新的方法解决问题，是教学的主要目的，也能够提高学生化解难题的能力. 二、思维扩展型解题技巧 假设在一个笼子中共有46个头，共有128个脚，那么鸡和兔子各有几只？ 解析假设46只都是兔子，那么应该一共有4×46=184只脚，但是这个和相关题目给出的128只脚多了184-128=56只脚.那么假设，如果用一只鸡来换一只兔子，相比要减少4-2=2只脚.但是46只兔里应该换几只鸡才能使差数就没有呢？显然，56÷2=28，要用28只鸡，去换28只兔子就可以了.所以，鸡一共有的数就是28，相反兔子的总数是46-28=18. 解〔1〕鸡一共有多少只？ 〔4×6-128〕÷〔4-2〕=28〔只〕. 高等代数与数学分析在某些方面的互通性 作者：李娜 来源：《科技视界》2014年第33期 【摘要】数学分析与高等代数是数学学习中的两门基本学科，它们在理论、解题思路及处理方法上都有所不同。但在学习中，我们仍然能够发现它们在某些方面的互通性，本文主要从一些题目的求解上去探讨这些互通性。 【关键词】数学分析;高等代数;互通性 0 引言 有人指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的导向，以便掌握其精神实质，只有把数学思想方法掌握了，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂。”在数学分析和高等代数的学习中，很少有人把两者联系起来比较，下面就从一些例题入手，对这两者进行比较。 1 数学分析与高等代数的思想方法 在数学分析的学习中，一般涉及五种基本方法：极限的方法、类比的思想方法、化归的思想方法、数形结合的思想方法、严密的逻辑推理方法;这五种方法贯穿整个数学分析学习的过程。 高等代数的思想方法主要有：一般化思想、抽象性思想、公理化思想、初等变换的思想、辩证思维的思想、关系映射反演思想、决策思想等。这些思想方法看似没有关系，但在解题时却可以交替运用。 2 具体例题说明 2.1 极限的方法 极限法是数学分析在初等数学的基础上引入的一个新方法，所谓极限法就是用联系变动的观点，把所研究的对象看作是某对象在无限变化过程中变化结果的思想。极限的方法贯穿数学分析，正是利用极限，实现了直与曲、近似与精确、有限与无限等矛盾转化。 有时候，遇到求极限的问题只是按照数学分析介绍的步骤进行求解，然而有些情况，利用高等代数方法求极限显得更简单： 例：考察数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…，数列满足：x=x=1，x=x+xn≥3求极限： 解：设V=uu=u+un≥3，则当u∈V，w∈V，对任意实数a，b：au+bw∈V，从而有 au+bw=au+bw∈V由代数的知识知V构成了实数域上的线性空间。由于数列有前两项唯一确定，故若u∈V， w∈V时，u与w线性无关的充要条件是u，u与w，w线性无关，从而V是二维的线性空间。 设等比数列1，q，q，q，…，且q∈V则q=q+q，n≥4。从而得q=q+1，解之得：q=， q=，由于q≠q，所以 q1，q线性无关，q1，q 便是空间V的一组基，故xn可以由q1，q线性表出。即：xn=aq+bq，由条件知道，a+b=1，aq+bq=1，从而有==·，从而==q=。 2.2 类比的思想方法 所谓类比，是在两类不同的事物之间进行比较，找出若干相同或相似点之后，推测在其它方面也可能存在相同或相似之处的思想方法。类比在引导数学分析理论不断深化中有十分明显的作用。 如已知数列a的极限定义： 设有数列a，a是常数，若对任意ε>0，若存在正整数N，对任意正整数n>N时，有a- a<ε，则称数列a的极限是a。 可以猜想平面点列的极限应有如下定义： 设2中有点列P，P∈2，若对任意ε>0，总存在正整数N，对任意正整数n>N时，有P- P<ε，则称点列P收敛于P。 极限理论体系建立的实践证明，这种定义方式是合理的，并且可以类似地推广到空间点列上去。然而在高等代数的学习中，类比法也很常见： 例：设V，W，U是数域F上的向量空间，σ：V→W，τ：W→U，都是同构映射，θ表示向量空间中的零向量，则 （5）τ。σ：V→U是同构映射; （6）σ-1：W→V是同构映射。 经类比推理，得出线性映射也可能具备这些性质，然后采用与同构映射性质类似的证明方法，结合线性映射的定义，得出线性映射的形式如下：《数学分析123》教学大纲
数学分析中的化归法
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