化归方法
一、化归方法在小学数学教学中的体现
在小学数学教学中，小数乘法、除法分别化归为整数乘法、除法；异分母加法、减法化归为同分母加法、减法，进而又化归为整数（分子）的加法、减法；平行四边形、三角形、梯形、圆的面积公式及圆柱的体积公式都是通过化归得到的；组合图形的面积计算也是通过化归的方法进行计算的；因此，化归方法在小学数学教学中有相当多的体现。
二、化归方法的基本知识
1、一个未必真实的故事
据说有人给一位数学家和一位物理学家同时提了如下的两个问题：
问题1 假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它是空的）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？
问题2假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它盛满了水）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？
对于问题在1，两人的回答是一致的：在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。而对于问题2，两人的回答却大相径庭，物理学家的回答是：点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。数学家的回答是：倒掉壶中的水，把问题2转化为问题1，由于问题1已经解决，所以问题2也随之解决。
这个故事或许太夸大了，但它却形象地说明了数学家思维方式的重要特征。
2、化归方法的含义
从字面上看，“化归”即转化和归结的意思。“化归方法”一般是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。
例1平行四边形面积学生不会求，但通过剪拼的方法把平行四边形转化为长方形，而长方形的面积学生是会求的，再通过原平行四边形和转化所得的长方形关系的比较，得到求平行四边形面积的一般方法。
化归是解决数学问题的一种极为重要的思想方法，它甚至被称为是数学家的
思想。从宏观上看，化归思想是解决数学问题形成数学构想的方法论依据。解析几何就是把几何问题化归为代数问题，函数图像是把代数问题化归为几何问题来解决的工具。从微观方面看，数学问题的解决过程就是不断地发现问题、分析问题，直到化归为熟悉问题的过程。
化归方法包括三个要素：化归对象、化归目标和化归途径。化归对象就是把什么东西进行化归；化归目标就是化归到何处去；化归途径，即如何进行化归。例1中化归的对象为平行四边形，化归的目标是长方形，化归的途径是剪拼。实现化归的关键是实现问题的规范化、模式化，化未知为已知是化归的方向。
化归的一般模式：
3、化归方法的原则
（1）简单化原则
所谓简单化原则就是将复杂的问题化归为比较简单的问题，从而使问题更加容易解决。
例2一个圆柱形水桶，底面半径为2分米，桶内水深3分米。把一块不规则形状的铁块放进桶内水中后，水面上升到3.5分米。这块铁块的体积是多少立方分米？
这道题中的铁块是不规则形，题中没有告知铁块的其他已知条件，所以不能直接求出它的体积，而运用化归的方法通过等积变形，把铁块的体积化归为桶内水上升的体积，求得与水上升等高的圆柱体积。本题中，变求不规则形状铁块的体积这个复杂问题，为求桶内水上升的体积即圆柱的体积的简单问题，体现了简单化的原则。
（2）熟悉化原则
所谓熟悉化原则就是将原问题中陌生的形式或内容转化成比较熟悉的形式和内容。
如上例1，就是把求平行四边形面积这个不熟悉的内容转化成学生熟悉的求长方形面积的内容。
4、化归的途径
（1）分解与组合
分解与组合是实现化归的重要途径。所谓分解，就是把一个复杂的问题分成若干个较简单或较熟悉的问题，从而使原问题得以解决。当然，在许多情况下，“分解”并不能单独解决问题，为了使化归过程的完全实现，还要结合“组合”，即把所给出的问题与有关的其他问题作综合的研究，使原问题得以解决。分解与组合是相辅相成的，也是和谐统一的。其模式可用框图表示如下：
小学数学中求组合图形的面积大部分都是用这种分解与组合的化归方法。
（2）恒等变形
恒等变换就是把一个解析式变换成另一个和它恒等的解析式。数学中的配方法、因式分解等恒等变换，都起到将复杂（难、未知）的问题化归为简单（易、已知）的问题的作用。
如上例1，其实也是一种恒等变形，它把平行四边形变成了长方形，但其面积没变。
思考题：
1. 结合小学数学教材中的教学内容，举一个运用化归方法的例子。
2.利用网络资源，对“数形结合”数学思想方法的相关材料进行查找，并以小学数学内容举例
资料来源：
1. 《数学思想方法》顾泠沅朱成杰中央广播电视大学出版社 2004年6月第1版2．《数学思想方法教学研究导论》朱成杰文汇出版社 2001年6月第2版3．《数学思想应用及探究—建构教学》王培德人民教育出版社 2003年8月第1版4．中央电大开放教育小学教育本科《数学思想与方法》课程学习辅导材料
化归思想方法在数学教学中的应用 一、化归的基本内涵(一)化归思想方法概述所谓化归，就是在研究和解决有关数学问题时。采用某种手段将问题转换。进而达到解决问题的一种数学思想方法。 化归是一种分析问题、解决问题的基本思想方法。在数学中通常的做法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换或平移、旋转、伸缩等多种方式，化归成一个熟悉的基本问题，从而求出解答。总之，化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的；复杂的化为简单的；抽象的化为具体的；一般的化为特殊的；非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。 (二)化归的核心思想和本质 化归的核心思想和本质：对需要解决的问题进行适当的变形。 1. 对已知成分进行变形――条件变形 2. 对未知成分进行变形――结论变形 3. 对整个问题进行变形 (三)化归的方法 化归的主要特点是灵活性。一个数学问题，我们可以视其为一个数学系统和数学结构，其各要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，且其形变也并非唯一，而是多样的。我们需要
依靠问题所提供的信息，利用动态的思维去寻找有利于问题解决的途径并运用恰当的方法。化归的方法主要包括：分割法、映射法、求变法。 二、数学教学中应用化归思想方法的必要性 化归是一种重要的数学思想方法，从广义上来讲，数学题的求解都是应用已知条件，对问题进行一连串恰当的化归，进而达到解决问题的一个探索过程。从宏观上看，化归的思想方法是数学问题解决中形成数学构想的方法论依据。从微观上看，数学问题的解决过程就是不断地发现问题、分析问题，直至化归为一类已经能解决或比较容易解决的问题的过程。在平时的数学教学中，教师如果经常地进行化归思想方法的教学，针对不同的问题，进行缜密的思考，及时总结各种“化归”方法。学生的解题能力及灵活性就会逐步得到提高，这对培养学生的数学素养是十分重要的。学生有了化归思想，就能从更深的层次揭示知识的内部联系，提高分析问题和解决问题的能力，这将有利于创新精神的培养。 数学知识本身是非常重要的，但它并不是唯一的决定因素。真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学的思想方法。未来的社会将需要大量的具有数学意识和数学素质的人才，21世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”。化归的思想方法在培养人、提高人的素质方面起着比数学知识本身更重要的作用。因此，向学生渗透化归的思想方法
举例说明化归三个方法 化归是数学中常用的一种方法，用于将问题转化为更简单的形式，从 而更容易解决。下面举例说明化归的三种常见方法：代换法、递推法和对 称法。 一、代换法 代换法是指通过引入新的变量或函数，将原问题转化为一个等价的、 更易解的问题。 例1：求解方程x^3-4x^2+5x+2=0的根。 解：我们可以使用代换法将该方程转化为一个更简单的形式。设 y=x-2，则有x=y+2、将x的表达式代入原方程，得到(y+2)^3- 4(y+2)^2+5(y+2)+2=0。化简后得到y^3+2y-8=0。这是一个更易解的方程，我们可以直接求解它得到y的解，再将y的解带回原方程中求得x的解。 例2：证明任意正整数都可以表示为4个整数的平方和。 解：我们可以使用代换法将该问题转化为一个更易证明的形式。设 n=4k+r，其中k为非负整数，r为0、1、2或3、我们可以证明，对于 r=0,1,2,3的情况，都存在一组整数a、b、c、d使得n=a^2+b^2+c^2+d^2、进一步地，我们可以利用代换法证明r=0的情况，然后利用模4的性质证 明r=1,2,3的情况。 二、递推法 递推法是指通过已知的几个或一些特殊情况的解，推导出问题的一般解。 例3：求解斐波那契数列。
解：斐波那契数列是以递推方式定义的数列，其中每一项都等于前两项的和。已知第一项F(1)=1、第二项F(2)=1，我们可以使用递推法求解其余的项。根据递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，可以依次计算出F(3)、 F(4)、F(5)等，得到整个数列的解。 例4：求解汉诺塔问题。 解：汉诺塔问题是一个经典的递推问题，要求将n个盘子从一根柱子移动到另一根柱子，且在移动过程中要满足一个规则：任意时刻都不能将较大的盘子放在较小的盘子上。已知当n=1时，只需要进行一次移动。根据这个特殊情况的解，我们可以通过递推的方式求解出移动n个盘子的总步数和移动路径。 三、对称法 对称法是指通过寻找问题中的其中一种对称关系，将问题转化为一个与之对称的更易解的问题。 例5：求解圆与直线的交点。 解：我们可以利用对称法简化求解圆与直线的交点的问题。设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，直线的方程为y = kx + c，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，k为直线斜率，c为截距。观察圆的方程可以发现，如果将x平移到a的对称位置a'，y平移到b的对称位置b'，则交点的坐标也会发生对称变化。因此，我们可以在圆心和直线上沿着对称位置的轴线进行变换，将原问题转化为一个相对简单的问题，然后再将计算得到的交点坐标转回到原坐标系中。这样，我们可以通过寻找问题中的对称关系，简化求解过程。
化归方法 一、化归方法在小学数学教学中的体现 在小学数学教学中，小数乘法、除法分别化归为整数乘法、除法；异分母加法、减法化归为同分母加法、减法，进而又化归为整数（分子）的加法、减法；平行四边形、三角形、梯形、圆的面积公式及圆柱的体积公式都是通过化归得到的；组合图形的面积计算也是通过化归的方法进行计算的；因此，化归方法在小学数学教学中有相当多的体现。 二、化归方法的基本知识 1、一个未必真实的故事 据说有人给一位数学家和一位物理学家同时提了如下的两个问题： 问题1 假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它是空的）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？ 问题2假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它盛满了水）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？ 对于问题在1，两人的回答是一致的：在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。而对于问题2，两人的回答却大相径庭，物理学家的回答是：点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。数学家的回答是：倒掉壶中的水，把问题2转化为问题1，由于问题1已经解决，所以问题2也随之解决。 这个故事或许太夸大了，但它却形象地说明了数学家思维方式的重要特征。 2、化归方法的含义 从字面上看，“化归”即转化和归结的意思。“化归方法”一般是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。 例1平行四边形面积学生不会求，但通过剪拼的方法把平行四边形转化为长方形，而长方形的面积学生是会求的，再通过原平行四边形和转化所得的长方形关系的比较，得到求平行四边形面积的一般方法。 化归是解决数学问题的一种极为重要的思想方法，它甚至被称为是数学家的
数学分析中的化归法 目录 摘要 (1) Abstract (1) 1. 绪论 (2) 1.1 化归法的背景 (2) 2. 详谈化归法 (3) 2.1 化归法的分类 (3) 2.2 常见的化归方法及化归思想 (3) 2.2.1 化归的方法 (3) 2.2.2 化归的思想 (4) 2.3 化归法的原则 (5) 2.3.1 化归的方向与一般模式 (5) 2.3.2 化归法的原则 (5) 3. 数学分析中的化归 (6) 3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6) 3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12) 3.2.1 在极限中的体现 (12) 3.2.2 在微分中的体现 (15) 3.2.3 在积分中的体现... .. (16) 3.2.4 在级数中的体现 (22) 3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24) 4.小结 (25) 参考文献 (26) 致谢 (27)
数学分析中的化归法 摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。 关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用 中图分类号：O1-0 The reduction method of mathematical analysis Abstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction. Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method
待解决或 未解决的问题问题解答 问题* 解答* 已经能解决或 可以解决的问题** 解答** 转化再转化直至 归纳为 第二讲化归方法 一、化归方法的含义 所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。数学方法论中的化归方法是指：将一个问题进行变换，使其归结为另一个已能（或已经）解决的问题，最终获得问题的解的一种求解问题的手段和方法。或简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。 其解决问题的思维方式是“转化”或“再转化”，解题过程可用下列框图来表述： 化归的方1. 向 一般是：由未知到已知，由难到易，由繁到简，由暗到明。 2.化归方法遵循的基本原则主要有：熟悉化原则，简约化原则，具体化原则，正难则反原则。 3.化归方法包括三个要素： 化归对象：即把什么东西进行化归； 化归目标：即化归到何处去； 化归途径：即如何进行化归。 4、化归方法的分类 （1）按照化归方法应用的范围来分，有外部的化归方法（即将实际问题转化为数学问题）与内部的化归方法（即将某一类数学问题转化为另一类数学问题）。从数学研究的角度看，应用数学问题大多来源于数学外部，纯数学问题大多来源于数学内部。 （2）按照化归方法解决问题的性质来分，有计算的化归方法，论证的化归方法，建立新科学体系的化归方法等。 （3）按照化归方法应用的广度来分，有: 多维化归方法（指跨越多种数学分支，广泛适用于各学科体系的化归方法）； 二维化归方法（指能沟通两个不同数学分支的化归方法，如解析法等）； 广义化归方法（指超出数学学科范围的化归方法，如MM方法等）。 有位数学教育工作者提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中倒上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，他对这样的回答并不满意，因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称把后一问题化归为前面所说的问题了。”
举例说明化归三个方法 化归是数学中常用的思维方法之一，用于简化问题的求解过程。化归方法的核心是将原问题转化为等价的、更简单的问题来求解。在数学中，常见的化归方法有代入法、递推法和反证法。 一、代入法 代入法是将未知量或变量替换为已知量或常量的一种方法。通过找到适当的代入值，可以简化问题的复杂性。代入法常用于方程求解、函数定义、等式验证等问题中。 举例： 1.方程求解 假设有一个一元二次方程：$ax^2+bx+c=0$，其中$a \neq 0$。为了求解该方程的解，可以使用代入法。假设$x_1$为方程的一个解，将 $x_1$代入方程中，得到$a{x_1}^2 + bx_1 + c = 0$。根据这个等式，可以将$b$和$c$表示为$x_1$和$a$的函数，从而化简方程的求解过程。 2.函数定义 假设有一个函数$f(x)$的定义为$f(x)=2x+1$。为了求解$f(x)$在其中一特定点$x_0$处的值，可以使用代入法。将$x_0$代入函数定义中，得到$f(x_0)=2x_0+1$，从而得到函数在$x_0$点处的值。 二、递推法 递推法是通过已知规律的数列或关系式，利用前一项或前几项来确定后一项的方法。递推法常应用于数列、递归和动态规划等问题中。
举例： 1.斐波那契数列 斐波那契数列是一个典型的可以使用递推法求解的数列。该数列的规 律是，从第三项开始，每一项都是前两项的和。即$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$，其中$F(1)=0$，$F(2)=1$。通过递推方法，可以依次求解出数列中的每一项。 2.动态规划 动态规划是一种用于解决具有最优子结构性质的问题的方法。动态规 划的核心思想是将问题分解为多个子问题，并通过当前子问题的解来推导 出更大规模问题的解。通过递推的方式逐步求解子问题，在每一步选择最 优的解，最终得到原问题的最优解。 三、反证法 反证法是一种证明方法，利用推理的反向思维来证明一些命题的方法。反证法通常通过假设命题的否定，推导出与已知事实或已有定理矛盾的结论，从而推翻假设命题的否定，进而证明了原命题。 举例： 1.唯一分解定理 唯一分解定理是数论中一个重要的定理，它指出任何一个大于1的自 然数都可以被唯一地表示为一系列质数的乘积。为了证明这个定理，可以 采用反证法。假设存在一个大于1的自然数不能按照唯一分解定理进行分解，通过推导可以发现与已有事实或定理相矛盾，从而推翻了假设，证明 了原命题。
小学数学化归思想方法的教学策略分析 化归是小学数学中的重要思想方法之一。它是将一个较为复杂的问题化简为更简单的 问题，或将一个较长的式子、较大的数化简成更简略的形式，从而方便运算和解题。在小 学数学教学中，教师既要让学生掌握化归方法，更要培养学生的化归思想能力。 化归的思想方法主要有以下几种： （1）同类化归。所谓同类化归，就是将不同的物品按照它们的某一种特征分成若干类，使得同一类中的物品具有相同的特征。例如将几只不同颜色的汽车分类，就可以得到同颜 色的汽车一类。 在教学上，可以通过分类游戏、分类图、分类讨论等方式培养学生分类的能力，使他 们能够将不同的事物有条理地分成若干类。 （2）差减化归。所谓差减化归，就是不断地将两个数或两个式子相减，使它们逐渐接近或变成同一个数或式子。例如，将1+2+3+……+100化简为 (1+100)+(2+99)+……+(50+51)。 在教学上，可以通过数列游戏、应用题、练习题等方式让学生了解差减化归的思想， 掌握化简方法。 （3）配对化归。所谓配对化归，就是将两个不同但有某种联系的数或式子配对相减或相加，使化简后的数或式子更简略。例如，ax+bx化简为(a+b)x。 （4）分组化归。所谓分组化归，就是先将数列或式子等分成若干组后再加或减，使化简后的结果更便于计算或分析。例如，将3、5、7、9、11、13六个连续的奇数分成两组后相加，得到2×12=24。 二、化归的教学策略 （1）提高学生的兴趣。在学生尚未理解化归的概念和方法时，可以通过多维度多角度讲解及生动的例子，引导学生探索、发现和理解化归的思想，使学生在愉快的氛围中更好 地接受化归思想。 （2）多角度引导学生。在进行化归思想教学时，教师应引导学生从不同角度组合、分解问题，用一种或多种化归思想模式解决问题，这既能帮助学生理解化归思想，也能锻炼 学生的创造性思维能力。 （3）强化练习巩固。在化归思想教学过程中，教师需要让学生大量练习，不断强化巩固。学生需要通过多重练习，掌握化归思想的基本方法，并熟练运用。
化归思想方法在数学解题中的应用 化归思想方法是解决数学问题的常用方法之一。下面从以下几个方面来谈谈化归方法在数学解题中的应用。 一、化未知为已知 已知与未知是相对的，在一定条件下，未知可转化为已知，已知也可视为未知，这种看法上的转变，往往可帮助我们找到解题的方向。 例：已知sinα=■，cos（α+β）=■， α，β∈0，■，求cosβ。 分析：该题若将β转化为[（α+β）-α]，再运用公式展开，则容易求解。 解：∵α∈0，■，sinα=■，∴cosα=■， ∵α，β∈0，■，∴α+β∈（0，π）， 又∵cos（α+β）=■，∴sin（α+β）=■， ∴cosβ=cos[（α+β）-α]= cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=■×■+■×■=■。 二、化繁为简 有些数学问题情况复杂，使用常规解法无处下手，对这些问题，可视情况对问题进行转化。 例：求函数f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）的最大值 分析：该题若运用公式展开相当繁琐，难以求出结果。若把（x+80 ）转化为[（x+20 ）+60 ]，则非常容易。 解：f（x）=3sin（x+20°）+sin[（x+20°）+60°] =3sin（x+20°）+■sin（x+20°）+■cos（x+20°） =■sin（x+20°）+■cos（x+20°）=■sin（x+20°+φ）（其中φ=arc tan■） 因此f（x）的最大值为■ 三、一般为特殊
“一般”与“特殊”，两者之间可以互相转化，我们可以从问题的特殊情况入手，探索研究问题的一般性。 例：已知PA，PB是圆0的切线，∠APB=60°，AP=5■，C为弦AB上的任意一点，过OC作射线OH，使PH 于H，求OC·OH的值。
举例说明化归三个方法 化归三个方法是以有效、统一的管理方式来进行组织内部资产信息化处理的一种规范。化归三个方法旨在通过改变组织内部信息管理方式，提高管理效率、提升数据控制和预防数据泄露的问题。化归三个方法的核心思想是通过有效的管理方式，将组织内部的资产信息做到归类、统一和有效的处理，并且能够最大限度的利用这些信息资源。 组织信息化的实现就是针对组织的整体发展而开展的，这也就把化归三个方法变成必要的一步。化归三个方法的有效实施，可以极大的促进组织信息化的进一步发展。 化归三个方法可以大致分为：信息资产归类管理、信息资产统一管理和信息资产有效管理三个层面。 首先，信息资产归类管理是指把组织内部信息资产按照其内容、传播途径、目的、类型等方面进行归类，以便在信息流通和处理的过程中更好的管理和控制。 其次，信息资产统一管理是指把组织内部信息资产统一管理、保管和使用，使信息流动、使用、存储和控制等都能够统一管理，达到安全，有效，可控的效果。 最后，信息资产有效管理是指每一条信息资产在任何时候都可以有效的管理和控制，以达到最大的效能和效用。 以上就是化归三个方法的主要思路，它包含了组织内部信息资产的归类、统一和有效管理，从而为组织信息化的发展提供了有效的保障。
在实际的组织管理中，内部信息资产随着组织发展的不断变化，如何能够有效管理这些数据，是组织管理者面临的一个重要问题。通过科学有效的化归三个方法，可以正确对待和有效利用组织内部信息资产，以提高组织信息化的效率，防止数据泄露，加强安全保护，提升组织信息化水平。 以银行业为例，银行内部信息资产是非常重要的，其中主要包括客户管理信息、资金管理信息、收付款信息等。因此，采用化归三个方法，将客户管理信息、资金管理信息、收付款信息归类、统一和有效管理，有助于提高银行的客户服务水平，增加银行的合作机会，提升银行服务的便捷性，保护客户的隐私安全，实现银行信息化的管理。 总之，化归三个方法是对组织内部信息资产有效管理和管理效率提高的重要手段。在组织信息化的实施中，只有正确的采用这种方法，才能让组织信息管理变得更加科学高效，使资产得到最大的利用，实现事半功倍的效果。
数学中的化归方法及其应用 班级电子商务10-01 学号 20104045 姓名鲁婷 数学思想是对数学事实、概念、理论和方法的本质认识，是数学方法的灵魂，揭示了数学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化中的辩证唯物主义观点，数学方法是数学思想的具体表现，它们是数学知识的核心。在数学中比较常用和基本的数学思想及方法是化归（转化）。 一、化归思想方法及化归原则 1、化归的思想 “化归”是转化和归结的简称，是数学家们十分典型的思维特点，匈牙利数学家罗莎•彼得在《无穷的玩艺》中分析数学家在面临所要解决的问题时提出：“他们不是对问题实行正面的攻击，而是不断的将它变形直至将它转化成能够解决的问题。”化归，是运用某种方法和手段，把有待解的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为所熟悉的规范性问题来解决的方法。 2、化归的一般原则 化归原则的结构中蕴涵着三个基本要素，即化归的对象、目标、和方法。化归的对象就是待解问题中需要变更的成分，化归的目标是所要达到的规范问题。 化归原则的核心是实现问题的规范化，也就是把一个生疏的，复杂的问题化为熟悉的、简单的问题，以便利用已知的理论、方法和程序实现问题的解决。因此熟悉化和简单化是化归的基本方向。 化归与转化的一般原则是： ①化归目标简单化原则； ②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。）； ③具体化原则； ④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已 经建立起来的数学模式。如二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）；椭圆方程）； ⑤低层次化原则（解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决。这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单）。
小学数学教材中化归法及其教学方法 《义务教育数学课程标准（2019年版）》指出：“课程内容要反映社会需求、数学特点，要符合学生认知规律。它不仅包括数学结果，也包括数学结果形成过程与蕴含数学思想方法。”[1] 化归法是最重要、最基本数学思想方法之一。化归即转化归结意思，化归法就是把当前有待解决问题，通过转化，归结为已经解决或容易解决问题[2]。匈牙利著名数学家罗莎?彼得在她名著《无穷玩艺》中写到“数学往往不是对问题进行正面攻击，而是不断对它进行变形，直到把它转化成能够解决问题”。[3]我国关于化归法最早研究，起源于东汉时期成书数学巨著《九章算术》，书中很多问题解答都体现了化归法。 纵观小学数学教材，化归法贯穿于一年级到六年级始末，有着广泛应用。化归法符合小学生思维能力及他们实际生活经验，易于被他们理解与掌握。化归法有利于小学生形成完整知识结构，从而提高自学能力。学生领会了化归法后，不仅能解决学习上碰到问题，更能在生活中灵活运用。 [4]如何进行化归法教学，提高学生剖析与解决问题能力呢？本文在系统梳理与总结人教版小学数学教材中蕴含化归法基础上，对化归法进行分类，并提出一些化归法教学策略。 一、小学数学教材中化归法分类举隅 化归原则是以已知、简单、具体、特殊与基本知识为基础，将未知化为已知、复杂化为简单、抽象化为具体、一般化为特殊、非基本化为基本，从而得出正确解答。鉴于小学生年龄与学习特点，小学数学教材中化归法主要分为三类。 1.化抽象为具体 化抽象为具体，通俗地说就是把抽象枯燥数学概念转化为具体形象东西来理解方法。这种方法在小学数学教材中普遍存在。众所周知，数学是研究数量关系与空间形式科学，它研究对象都是抽象。比如数，现实生活中是没有1、2、3等数存在，它是人脑抽象产物，但一年级学生在认识100以内数时候，并没有遇到障碍与困难，而是非常自然地接受与认识了这些数，这是因为教材已经用化归法把抽象数转化为生活中具体物体个数了。教材用大量生动形象、多姿多彩图片，展示了很多生活中实物。学生们从3只小猴、3个桃子、3块橡皮擦等很多具体个数为3物体中认识了数“3”，把抽象数“3”转化为具体物体个数。这就是最朴素、最简单化归法。再比如图形，现实生活中也不存在长方形、正方形、平行四边形等几何图形。教材提供了一些生活中长方形、正方形、平行四边形等形状实物，比如四年级上册，教材用图片给出了生活中楼梯、窗格、停车位等，并要学生自己说说生活中包含平行四边形物体，从这些物体中发现平行四边形特征，并归纳概括出平行四边形概念。实际上这也是化归法，化抽象几何图形认识为具体生活实物认识。 2.化未知为已知 化未知为已知就是把未知数学问题转化为已知数学问题来解决。这种方法在“数与代数”与“图形与几何”两大领域应用非常之多。 在数与代数领域，尤其是数运算中，随处可见化未知为已知化归法。20以内退位减法与20以内不进位加法都可用化归法计算解答。如计算15减9（退位）时，可以通过将15拆分成10 加5，再用10减9得1，最后计算1加5，进而把未知15减9计算问题转化为已知1加5问题。 再如计算12加6时，可以通过将12拆分成10加2，再用2加6得8，最后计算10加8得18。通过巧妙数拆分，将未知20以内退位减法转化为已知10减一位数与一位数加一位数计算，将未知20以内不进位加法转化为已知一位数加一位数与10加一位数计算。整十数加减整十数也可转化为已知一位数加减一位数来计算。将几百几十加、减几百几十计算转化为已知两位数加、减两位数计算。同分母分数加减法转化为分子加减法，即已知整数加减法。 在图形与几何领域，化未知为已知化归法应用也很多，主要集中在图形测量。在求平行四边形面积时，可利用割补法将平行四边形面积化归为已知长方形面积来计算。[5]而三角形面积又可利用割补法或拼凑法将其化归为已知平行四边形面积来计算。而梯形面积也用割补法化归为平
化归方法及其应用 作者：计军 来源：《新教育时代·学生版》2018年第47期 摘要：化归原则是基本的数学思想方法之一，化归原则是把生疏的问题变为熟悉的问题，把复杂的问题变为简单的方法原则。化归方法有多维化归方法、二维化归方法、单维化归方法。 关键词：方法原则生疏复杂熟悉简单 数学在其漫长的发展过程中，不仅构建了严密的思想体系，而且形成了一套行之有效的思想方法，划归思想就是常用的方法之一。 一、化归原则 人们在研究和运用数学的长期实践中，获得了大量的成果，也积累了丰富的经验，许多问题的解决也形成了固定的方法模式和约定俗成的步骤。人们把这种有既定解决方法和程序的问题叫做规范化或称为化归，化归就是运用某种方法和手段把有待解决的较为生疏较为复杂问题归结为所熟悉的规范性问题来解决的方法。[1] 例如，对于一元二次方程，人们已经掌握了求根公式，因而求解一元二次方程的问题是规范问题，而把分式方程、无理方程通过换元等方法转化为一元二次方程就是问题的规范化。其中换元是实现规范化的手段，具有转化归结的作用，可以称这为化归的方法。 规范问题具有确定性，相对性和发展性的特征。对于规范问题，人们不但可以运用书籍的理论和技术达成问题的解决，而且已经掌握了固定的步骤和程序，这就是确定性，所谓相对性，是指对于数学研究工作者以及不同层次的学习者，规范问题的范围并不相同。例如建于高中生和初中生而言，对于初中生不是规范性问题对于高中生就可以看作规范性问题，随着个人数学知识的增长，规范问题也在不断扩大，因此规范问题又具有发展性。[2] 化归原则的核心是实现问题的规范化。也就是把一个生疏的、复杂的问题化为熟悉的、简单的问题，以便利用已知的理论、方法和程序实现问题的解决，它的结构图如下所示。由此不难看出，熟悉化和简单化是化归的基本方向。 二、化归原则的基本思想 化归原则的结构中蕴涵着三个基本要素，即化归的对象，目标和方法，化归的对象就上待解问题中需要变更的成分，化规的目标是指所要达到的规范问题。所谓化归的方法，就是规范化的手段，措施和技术。例如对于初中生而言解二元一次方程组，一般要化为一元一次方程，这里二元一次方程线是化归对象，一元一次方程是化归的目标，而把二元一次方程组化为一元
培养“化归”能力，应用“化归”方法 在数学知识的学习过程中，总离不开思维，而无论是形象思维，抽象思维还是创造思维，都 离不开最本质的一点：那就是要善于将“新知”转化为“旧知”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把解题的“一种形式”转化为“另一种形式”，也就是常说的“化归”能力。因 此努力培养和提高学生的化归能力就显得十分重要。 那么如何培养这一能力，又如何让学生应用这一方法解决问题呢？ 一、培养“化归”能力的前提 首先，应对课本中的概念有正确的理解，对公理、定理、公式、法则的条件、结论和适用范 围要熟练掌握；对有关的图形和性质（特别是有限制条件时）要牢固掌握，因为这些都是转 化的基础。 其次，对常规的数学方法如：分析法、综合法、归纳法、反证法、换元法等能较熟练地应用，因为这些是转化的手段。 其三，对常规的数学思想如：数形结合思想，函数思想……等有一些了解。这些会给转化提 供一些思路。 其四，要具有从事物的表象中观察、分析出事物的能力，即抽象和概括能力，要充分发挥自 己的想象，把要解决的问题与所学基础知识有机结合起来，以达到“化归”的目的。 二、如何对知识进行“化归” 1.依据概念或基本性质进行化归 在学习数学知识的过程中，都离不开将所学新知识向已有的知识进行转化。那为什么要转化（转化的起因）？依据什么进行转化？此转化的途径是否归最佳？这些知识（或问题）之间 有何联系？这些都是我们进行转化时而必须思考的。 如解分式方程+=1 。首先应想到为什么要化为整式方程呢？转化的方法又是什么？它 的依据呢？学生可围绕这些问题展开思考，并解决问题。 2.依据公式，定理的结构特征进行化归 在数学解题过程中，有很多问题的给出都与我们所学的公式或定理的结构特征相近。因此只 需稍加联想即可将问题转化到易解决的问题上来，以达到简化运算，降低难度的目的。 例如：已知△ABC的三边为a、b、c，且a2+b2+c2=ab +bc+ac，试判断三角形的形状。 从条件等式的特征，联想到完全平方公式，不妨考虑配方： a2+b2+c2=ab+bc+ac 所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 由非负数性质得 从而得a=b=c
数学化归的思想方法 数学思想方法是人类科学思想方法的重要组成部分，随着数学教育改革的深入以及数学在社会发展进程中的作用日益显 现而更加深入人心. 化归的思想方法是一种重要的数学思想方 法，在数学教育中也是一种解决数学问题的基本思想方法. 在某 种程度上，化归方法也是数学家区别于其他科学家的主要特征之 一.因此，学习并掌握化归的思想方法对学好数学具有重要的 理论意义和现实意义 . 一、化归方法的含义、特殊性及基本模式 1．化归方法的含义 一般的，化归方法就是将欲求解的问题通过一次或多次变形转化成一个或若干个已知的或容易求解的问题，在这个转化过程 中所运用的方法就叫做化归方法. 看似一个简单的解释，但对数 学家来说却有其特殊的意义. 正如匈牙利著名数学家Rosza Peter 所说：“（化归）对于数学家的思维过程来说是很典型的， 他们往往不对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题. ”［ 1］ 2．数学化归思想方法的特殊性 Rosza Peter 在其名著《无穷的玩艺》曾经举过一个“烧开水”的例子［ 2］，生动地说明了化归思想方法的实质. “假设在 你面前有煤气灶、水龙头、水壶，要烧开水，该怎么做？”相信
大多数人都会这样做：往水壶里放满水，把水壶放上煤气灶，点 火即可 . 此时，如果其他条件都没变，只是水壶里已经放满了水 . 要烧开水，又该如何做？大多数人会毫不犹豫地说，直接把水壶放上煤气灶，点火就可以了 . 然而，数学家不是这样，他们这样做：把水倒掉 . 这样就把问题归结为上一个问题 . 而上个问题已经解决了，第二个问题自然就解决了 . 在这里，数学家就用了一个步骤，即把水倒掉，就解决了第二个问题 . 虽然有点夸张，但这却可以看出数学思维的特殊性 . 化归的思想方法在数学中的作用由此可见一斑 . 3．化归方法的一般模式 从化归方法的含义中不难看出，应用化归方法解决问题的一 般模式可以表示为下述模型： 说明：上图中，问题 A 到问题 A′即化归过程；而解答 A′到解答A 则是问题的还原过程 . 对照“烧开水”的例子，问题A 是指第二个问题，通过“把水倒掉”转化（化归）为问题 A′（即 第一个问题），而第一个问题已经得到解决（即解答 A′），于是问题 A 的解答就是（“把水倒掉” +“解答 A′”） . 如果问题的化归需要通过多次转化，则化归方法的模式则可 通过以下模型表述： 说明：“问题”到“问题n”的过程是化归过程，而“解答n”到“解答”的过程是还原过程 . 综上所述，化归方法有以下更一般的模式：
转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. 2简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据. 3直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. 4正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： 1直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. 2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. 3数形结合法：研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换获得转化途径. 4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的. 5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数
化归方法及应用论文 化归方法是一种数学的证明技巧，它通过将一个待证命题转化成另一个已知命题来进行证明。化归方法在数学、计算机科学、逻辑学等领域具有广泛的应用。下面将从数学、计算机科学和逻辑学三个方面介绍化归方法的应用及相关研究论文。 在数学领域，化归方法可以用于解决各种数学问题。其中最经典的是利用化归方法证明了费马大定理。费马大定理是一个在17世纪被提出的数论问题，它断言在n>2时，方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。然而，该猜想一直难以证明，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯利利用化归方法证明了这一猜想，获得了菲尔兹奖。他的证明通过将该问题化归成了另一个数学问题，从而得到了最终的证明。 在计算机科学领域，化归方法被广泛应用于算法分析和问题求解。例如，在算法设计中，化归方法可以用于设计高效的算法。一个经典的例子是快速排序算法。快速排序算法利用分治思想，将一个大问题分解成若干个小问题并解决。每次选择一个元素作为基准，将所有小于基准的元素放在基准的左边，大于基准的元素放在基准的右边。然后对左右两个部分分别进行递归调用。这样，原本复杂的排序问题就被化归成了两个较小的排序问题，从而提高了算法的效率。 另外，化归方法还可以用于证明算法的正确性。例如，形式化方法在软件工程中得到了广泛的应用。形式化方法使用严格的数学表示和逻辑推理来证明算法设计的正确性。其中一个常用的方法是利用不动点理论和化归方法来证明算法的正确
性。例如，Dijkstra算法是图论中一种用于计算最短路径的算法。使用化归方法和不动点理论，可以证明Dijkstra算法的正确性，即算法可以找到图中的最短路径。 在逻辑学领域，化归方法主要应用于命题逻辑和谓词逻辑的证明。化归方法在形式化证明中起到了至关重要的作用。化归方法通过将一个待证命题转化成另一个更简单的命题来进行证明。例如，在谓词逻辑中，使用Skolem形式化方法可以将存在量词化为全称量词，从而化简了命题的形式。然后利用定理证明的方法，可以将原命题化归成一系列易于证明的命题。 总结起来，化归方法是一种重要的数学证明技巧，在数学、计算机科学和逻辑学等领域得到广泛应用。它可以用于解决各种数学问题，设计高效的算法以及证明算法的正确性。相关的研究论文有很多，其中包括费马大定理的证明论文、算法设计和分析的研究论文、形式化方法在软件工程中的应用论文等。通过研读这些论文，可以更深入地了解化归方法的应用及其在科学研究中的重要性。
一、化归的思想方法 化归是解决数学问题常用的思想方法。化归,是指将有待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,以求得解决。客观事物是不断发展变化的,事物之间的相互联系和转化,是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾,如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等,实现这些矛盾的转化,化未知为已知,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化困难为容易,都是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程,都是一个未知向已知转化的过程,是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想。 在教学平面图形求积公式中,就以化归思想、转化思想等为理论武器,实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应,从而构建和完善了学生的认知结构。二、归纳的思想方法 在研究一般性性问题之前,先研究几个简单的、个别的、特殊的情况,从而归纳出一般的规律和性质,这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想,既可认由此发现给定问题的解题规律,又能在实践的基础上发现新的客观规律,提出新的原理或命题。因此,归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法,也是思维过程中的一次飞跃。 三、符号化的思想方法
数学发展到今天,已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过:“什么是数学?数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号,数学处处要用到符号。怀特海曾说:“只要细细分析,即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便,甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外,它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操,那么,数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。 人教版教材从一年级就开始用“□”或“()”代替变量x,让学生在其中填数。例如:1+2=□,6+()=8,7=□+□+□+□+□+□+□;再如:学校有7个球,又买来4个。现在有多少个?要学生填出□○□=□(个)。 符号化思想在小学数学内容中随处可见,教师要有意识地进行渗透。数学符号是抽象的结晶与基础,如果不了解其含义与功能,它如同“天书”一样令人望而生畏。因此,教师在教学中要注意学生的可接受性。 小学数学除渗透运用了上述各数学思想方法外,还渗透运用了转化的思想方法、假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。总之,在教学中,教师要既重视数学知识、技能的教学,又注重数学思想、方法的渗透和运用,这样无疑有助于学生数学素养的全面提升,无疑有助于学生的终身学习和发展。