第一章 随机事件及其概率
1、解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{}Λ,4,3,2=S （3）{}Λ,,,TTH TH H S =
（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =
2、设A , B 是两个事件，已知8
1)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P Y ，)(B A P ，
)(AB P ，)])([(AB B A P Y
解：8
1
)(,21)(,41)(===
AB P B P A P Θ ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+=Y 8
5
812141=-+=
)()()(AB P B P B A P -=838121=-=
87
811)(1)(=-=-=AB P AB P
)])([(AB B A P Y )]()[(AB B A P -=Y
)()(AB P B A P -=Y )(B A AB Y ?
2
1
8185=-=
3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”
25
18
900998900)(191918=??==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”
(1) 4554
43)(2
5
15141413????==A C C C C A P =
2） 4554
21452)(2
5
1514122512????+??=+=A C C C A C B P = 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球； （2）4只中至少有2只红球； （3）4只中没有白球
解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”
（1）4
12
1
31425)(C C C C A P ==495120=338
（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”
16567
)(4
12
4
418342824=++=C C C C C C B P 或41248381
41)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”
99
7
49535)(4124
7=
==C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”
n
k
n k n M
M C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”
（1）3212313)(=??+=A P 或32
1231121)(=????-=A P
（2）31
123112)(=????=B P
8
、
（
1
）
设
1
.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求
(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B U U (),()P AB A B P A AB U ；
（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P （1）31
3.01.0)()()(===
B P AB P B A P ， 5
1
5.01.0)()()(===
A P A
B P A B P 7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P Y )()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P Y Y Y Y Y Y ===
75
7.05.0==
7
1
7.01.0)()()()])([()(====
B A P AB P B A P B A AB P B A AB P Y Y Y Y
1)
()()()]([)(===
AB P AB P AB P AB A P AB A P
（2）设{}1,2,3,4i A i i ==第次取到白球，B = {第一、二次取到白球且第三、四次取到红球则}，1234B A A A A =
12341213124123()()()()()()6754840
0.04081112131220592
P B P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ===???==
9、解： 用A 表示事件“取到的两只球中至少有1只红球”，B 表示事件“两只都是红球”
方法1 651)(2422=-=C C A P ，6
1
)(242
2==C C B P ，61)()(==B P AB P
51
6561
)()()(===A P AB P A B P
方法2 在减缩样本空间中计算 5
1)(=
A B P 10、解：A 表示事件“一病人以为自己患了癌症”，B 表示事件“病人确实患了癌症”
由已知得，()0.05,()0.45,()0.10,()0.40P AB P AB P AB P AB ==== （1）B A AB B A AB A 与,
Y Θ
=互斥
5.045.005.0)()()()(=+=+==∴B A P AB P B A AB P A P Y 同理 15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P Y （2）1.05
.005
.0)()()(===
A P A
B P A B P （3）2.05
.01
.0)()()(,5.05.01)(1)(===
=-=-=A P B A P A B P A P A P （4）17
9
85.045.0)()()(,85.015.01)(1)(===
=-=-=B P B A P B A P B P B P （5）3
1
15.005.0)()()(===
B P AB P B A P 11、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ”
92401
)(6
11
1
3131222==A A A A A A P 12、据统计，对于某一种的两种症状：症状A 、症状B ，有20%的人只有症状A ，有30%的人只有症状B ，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有，在患这种疾病的人群中随机的选一人，求 （1）该人两种症状都没有的概率； （2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B ，求该人有两种症状的概率。
解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，B 表示事件“B 该种疾病具有症状”
由已知2.0)(=B A P ，3.0)(=B A P ，1.0)(=AB P （1）设C = {该人两种症状都没有}，
C A B =
,
S AB AB AB AB =Q U U U 且B A AB B A B A ,,,互斥
()()1()()()10.20.30.10.4P C P A B P AB P AB P AB ∴==---=---=
或 A B AB AB AB =Q U U U ，AB AB AB 且、、互斥
()()()()0.20.30.10.6P A B P AB P AB P AB ∴=++=++=U 即 ()()()1()10.60.4P C P A B P A B P A B ===-=-=U U （2）设D = {该人至少有一种症状}，
D A B =U
A B AB AB AB =Q U U U ，AB AB AB 且、、互斥
即 ()()()()()0.20.30.10.6P D P A B P AB P AB P AB ==++=++=U （3）设E = {已知该人有症状B ，求该人有两种症状}，
E AB B =
B A AB B Y =， B A AB ,互斥
4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P Y 即 [()]()()()()()P AB B P AB P E P AB B P B P B ==
=4
1
4.01.0==
13、解：用B 表示“讯号无误差地被接受”
i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i
;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P
9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得
4
1()()()0.40.99980.30.99990.10.99970.20.99960.99978
i i i P B P A P B A ===?+?+?+?=∑
14、一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患有关节炎
的病人，有85%给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎，已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却患有关节炎的概率。
解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”， B 表示事件“检验患有关节炎的人”
C 表示事件：“一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却患有关节炎” 所求为()()P C P A B =，由已知 1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P 则 9.0)(=A P ，()0.15P B A =，96.0)(=A B P 由贝叶斯公式得
017.096
.09.015.01.015
.01.0)
()()()()()()(=?+??=
+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
15、解：用D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”
A B C 、、分别表示事件“程序交与打字机A B C 、、打字”
由已知得 6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ；
01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P
由贝叶斯公式得 )
()()()()()()
()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=
24.025
6
04.01.005.03.001.06.001.06.0==?+?+??=
)
()()()()()()
()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=
6.05
3
04.01.005.03.001.06.005.03.0==?+?+??=
)
()()()()()()
()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=
16.025
6
04.01.005.03.001.06.004.01.0==?+?+??=
16、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息” 由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P
由贝叶斯公式得
999947.0001
.005.0195.01
95.0)
()()()()()()(≈?+??=
+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
17、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”，
C 表示事件“两次得同一面”
则 11()()22P A P B ==，，,21
211)(2=+=C P
211()24P AB ==，211()24P BC ==，211
()24
P AC ==
()()()()()()()()()P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C ∴===，， C B A ,,∴两两独立
而4
1
)(=
ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ≠ C B A ,,∴不是相互独立的
18、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”，
C 表示事件“运动员C 进球”，
由已知得 5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则 5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P
（1）设{}1D =恰有一人进球，则1D ABC ABC ABC =U U 且C B A C B A C B A ,,互斥
1()P D P ABC ABC ABC ∴=U U ()
)()()(C B A P C B A P C B A P ++=
)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=
相互独立）C B A ,,(
29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=??+??+??=
（2）设{}2D =恰有二人进球，则2D ABC ABC ABC =U U 且C B A BC A C AB ,,互斥
2(()P D P ABC ABC ABC ∴=U U )
)()()(C B A P BC A P C AB P ++=
)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=
相互独立）C B A ,,(
44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=??+??+??= （3）设{}3D =至少有一人进球，则3D A B C =U U
3()()P D P A B C ∴=U U
)(1C B A P Y Y -= 1()P A B C =-
)()()(1C P B P A P -= (,,A B C Q 相互独立） 10.50.30.40.94=-??= 19、解：设B 表示事件“病人能得救”
i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RH A 血型”，Λ,3,2,1=i
则 1121231234,B A A A A A A A A A A =U U U
且1121231234,,,A A A A A A A A A A 互斥，1234,,,A A A A 相互独立
()()(1P A P B P +=∴+)21A A 1231234()()P A A A P A A A A +
230.40.60.4(0.6)0.4(0.6)0.40.8704=+?+?+?=
20、一元件（或系统）正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性，如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联后并联的方式联接（称为串并联系统），设元件的可靠性为p ，求系统的可靠性。
解：设{}B =系统可靠，{},1,2,3,4,5i A i i ==元件可靠
由已知得()(1,2,3,4,5)i P A p i == 54321,,,,A A A A A 相互独立 法1：54321A A A A A B Y Y =
)()(54321A A A A A P B P Y Y =∴
12345123345124512345()()()()()()
P A A P A P A A P A A A P A A A P A A A A P A A A A A =++---+（）
543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A 543222p p p p p +--+=
法2：12345()1()P B P A A A A A =-
)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A
123451[1()][1][1]P A A P
A P A A =----（）（） 123451[1()()][1][1]P A P A P
A P A P A =----（）（）（） ()相互独立54321,,,,A A A A A
2223451(1)(1)(1)22p p p p p p p p =----=+--+
21、用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下，若真含有杂质检验结果为含有的概率为；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为；根据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为， 。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而有1次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。 解：用A 表示事件“真含有杂质”,
用B 表示事件“3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而有1次检验认为不含有杂质”
由已知得 4.0)(=A P ，6.0)(=A P ，2
23()(0.8)0.2P B A C =??，
223()(0.1)0.9P B A C =?? 由贝叶斯公式得
22
3
2222
33()()()()()()()
0.4(0.8)0.21536
0.9050.4(0.8)0.20.6(0.1)0.91698
P A P B A P A B P A P B A P A P B A C C C =
+???=
==???+???
第二章 随机变量及其分布
1、设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机的选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。 解：{}()
1
10.40.41,2,k P Y k k -==-?=???
2、解：用1231,2,3),,i A i i A A A =表示第个阀门开(,且相互独立，()0.8(1,2,3)i P A i ==
12312323{0}()()[()()()()]P X P A A A P A P A P A P A P A ??===+-??U
072.0)2.02.02.02.0(2.0=?-+=
2123123{1}[()]0.8(0.20.20.04)0.2(0.8)P X P A A A A A A ===+-+?U U 416.0=
3123{2}()(0.8)0.512P X P A A A ====
3、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X 表示15人无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险是相互独立的），问X 服从什么分布，写出X 的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率
（1）恰有3人；（2）至少有两人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。
解：()~15,0.2X B
{}1515(0.2)(0.8)k
k k P X k C -==? k =0,1,2,……,15 （1）{}3
312153(0.2)(0.8)0.2501P X C ==?=
（2）{}0015114151521(0.2)(0.8)0.2(0.8)0.8329P X C C ≥=-?-?=
（3）
{}111422133
31215151513(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)0.6129P X C C C ≤≤=?+?+?=
（4）{}5
1515
51(0.2)(0.8)0.0611k
k k k P X C -=>=-?=∑ 4、解：用X 表示5个元件中正常工作的元件个数
3
324455
5(3)(0.9)(0.1)(0.9)0.1(0.9)0.9914P X C C ≥=?+?+= 5、某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以致产品成为次品，设次品率为p = ，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。 解：设X 表示8000件产品中的次品数，则~(8000,0.001)X B
由于n 很大，P 很小，利用)8(π近似地
～X ，所以{}3134.0!876
8
==<∑=-k k k e X P 6、解：（1）~(10)X π
{}{}0487.09513.01!1011511515
10
=-=-=≤-=>∴∑=-k k k e X P X P （2）∵ ~()X πλ
{}{}!
01010210λ
λ--==-=>=∴e X P X P
{}2
1
0==∴X P 2
1
=
∴-λe 7.02ln ==∴λ {}{}0.7
1
(0.7)211110.84420.1558!k k e P X P X k -=∴≥=-≤=-=-=∑ 或{}{}{}2ln 21
21!12ln 21110122ln -=-
-==-=-=≥-e X P X P X P 7、解：（1） )2(~πX 1353.0!
02}0{20
2====--e e X P （2）设Y 表示一分钟内，5个讯息员中未接到讯息的人数，则2~(5,)Y B e -
42425{4}()(1)0.00145P Y C e e --∴==-=
（3） ()25
5
00
2{}()!k k k e P X k k -∞
∞
==∴==∑∑ 8、一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解，他常结束他讲解在下课铃响后一分钟以内，以X 表示响铃至结束讲解的时间，设X 的概率密度为
2
01()0
kx x f x ?≤≤=?
?其它
（1）确定k ；（2）求13P X ??≤????；（3）求1142P X ??≤≤????；（4）求23P X ?
?>???
?
解：（1）由11
2
3
001()3
3
k
k
f x dx kx dx x +∞
-∞
====?
? 3=∴k （2）()11
1323
330
11
3327
P X f x dx x dx x -∞
?
?≤====
???
??
? （3）111223
2211144
4
1
1117
()34
286464P X f x dx x dx x ??≤≤====-=
?????? （4）1123
222
33
3
2819()3132727
P X f x dx x dx x +∞?
?>====-
=?????? 9、解：方程有实根04522=-++X Xt t ，即 0)45(4)2(2≥--=?X X
得41X X ≥≤或，所以有实根的概率为
{}{}{}1
10
2
2
4
(4)(1)410.0030.0030.937
P X X P X P X x dx x dx ≥≤=≥+≤=+=??U
10、解：：（1）2
2
11
1
1
200
200
200
00
{1}()10.005100
x x
x P X f x dx e dx e
e
---
-∞
<===-=-≈??
（2）22252200
200
200
52
52
52
{52}()0100
x x x P X f x dx e dx e
e
+∞-
-
-
+∞
+∞
>===-=-≈?
?
（3）2226200
20200
{26}{2620}0.25158{20}P X e
P X X P X e -
-
>>>=
==>
11、设实验室的温度X （以C 计）为随机变量，其概率密度为
()21(4)129
x x f y ?--≤≤?=???其它
（1）某种化学反应在温度X > 1时才能反应，求在实验室中这种化学反应发生的概率；
（2）在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生是相互独立的，以Y 表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y 的分布律； （3）求{}{}2,2P Y P Y =≥。 解
：
（
1）
{}22
2
31
1
1
141884151()(4)()992792792727P X f x dx x dx x x +∞
>==-=-=--+=
?
?
（2）5~(10,)27Y B ，{}10105220,1,2,,102727k
k
k P Y k C k -????==?= ? ?????
L
（3）{}2
28
105222(
)()0.29982727
P Y C ==?=
{}{}{}2
0101
19101052252221011(
)()()()0.577827272727
P Y P Y P Y C C ≥=-=-==-?-= 12、（1）设随机变量Y 的概率密度为
()0.2
100.2010y f y Cy
y -<≤??
=+<≤???
其它
试确定常数C ，求分布函数()F y ，并求{}00.5P Y ≤≤，{}0.50.1P Y Y >> （2）设随机变量X 的概率密度为
112()8
240y f x x y <
其它
求分布函数()F y ，{}13P X ≤≤，{}13P X X ≥≤ 解：（1）由()()01
1
10.20.2f y dy dy Cy dy +∞-∞
-==++?
??
1210
0.2(0.2)0.422C C
y y y -=++=+ 1.2C ∴=
()??
?
??≤<+≤<-=∴其它
0102.12.0012
.0y y
y y f ()()12010
1
01010.2100.20.2
10()()0.60.20.2
010.20.2 1.20111
0.2 1.21y y
y
Y y
dt y y dt y y y F y f t dt y y y dy y dy y y y dy y -∞
--∞
-?<-?<-???-≤<+-≤
???{}()()200.50.500.20.20.50.6(0.5)0.20.25P Y F F ≤≤=-=+?+?-=
{}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=?-?--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=?-?+-=-=>F Y P
{}{}{}{}{}0.5,0.10.50.55
0.50.10.71060.10.10.774
P Y Y P Y P Y Y P Y P Y >>>∴>>=
===>>
（2）()()????
????
?≥<≤+<≤<==????
∞
-414288
1208
10
2200x x dt
t dt x dt x dt t f x F x x x
???
?
?????≥<≤<≤<=4
142162
081
00
2
x x x
x x
x
{}()()917133116816
P X F F ≤≤=-=-= {}()16
933=
=≤F X P {}{}{}97
169167
33131==≤≤≤=≤≥∴X P X P X X P
13、解：{}1
1
1,-?===n n j Y i X P
{}0,===i Y i X P n j i j i ，??=≠,2,1,,
当n =3时，（X ，Y ）联合分布律为
14、设有一加油站有两套用来加油的设备设备A 是加油站工作人员操作的，设备
B 是顾客自己操作的，A ，B 均装有两根加油软管，随机取一时刻，A ，B 正在使用软管数分别为X ，Y 。X ，Y 的联合分布律为
（1）求{1,1}{1,1}P X Y P X Y ==≤≤， （2）至少有一根软管在使用的概率； （3）{}{2}P X Y P X Y =+=， 解：（1）2.0}1,1{===Y X P ，
{1,1}{0,0}{0,1}{1,0}{1,1}
0.100.080.040.200.42
P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤===+==+==+===+++=
（2）设C = {至少有一根软管在使用}
(){(1)(1)}1{0,0}10.100.90P C P X Y P X Y =≥≥=-===-=U
（3）{}{0,0}{1,1}{2,2}P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==
0.100.200.300.60=++=
{2}{0,2}{1,1}{2,0}0.060.200.020.28
P X Y P X Y P X Y P X Y +====+==+===++=
15、设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
()240,0(,)0
x y Ce
x y f x y -+?>>?=?
??其它
是确定常数C ；并求{}2P X >；{}{}1P X Y P X Y >+<； 解：()()
24240
1()
8
8x y x
y
C
C
f x dx Ce
dxdy e e
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
-+---∞
===-?-=
?
?
?
Q ，8C ∴= {}()()
242442
2
2,8()
x y x
y
x P X f x y dxdy dx e
dy e
e
e +∞
+∞
+∞
+∞
-+--->>=
==-?-=???
?
00x y x
≤<∞
≤≤
{}()()240
,8x
x y x y
P X Y f x y dxdy dx e dy +∞-+>>=
=??
??
24620
(2)(22)x y x
x x e e dx e e dx +∞
+∞
----=?-=-+?? 620
1
2()
3
3
x x e e +∞
--=-=
01
01x y x
≤≤≤≤-
{}11(24)0
1
1(,)8x
x y x y P X Y f x y dxdy dx e dy --++<+<=
=????
11
1
242240
2()
(22)x
x
y
x x e
e
dx e e dx -----=-=-??
1
224
220
()(1)x
x e
e
e ---=--=-
16、设随机变量（X ，Y ）在由曲线2
2
,,12
x y x y x ===所围成的区域G 均匀分布
（1）求（X ，Y ）的概率密度； （2）求边缘概率密度(),()X Y f x f y
解：（1）21
2
01
()26G x S x dx =-=?， 6(,)(,)0
x y G f x y ∈?=?
?其他
（2）
22
1
1
01
01221
2x y y x y x
x x ≤≤≤≤
≤≤≤≤≤≤≤≤或 2
2
2
12601301()(,)0
0x x
X dy x x x f x f x y dy +∞
-∞
??<
??
??
其它
其它
1
11002
2
11
()(,)16(1122
00Y dx y y f y f x y dx dy
y y +∞
-∞
??
?≤≤
-≤≤
????
??
==?≤≤=-≤≤????
???????
其它
其它
17、（1）在14题中求边缘概率密度； 解：（1）
1 2 P{Y=y i }
1
（2）
000x y x y x y
≤<+∞≤<+∞
≤<+∞≤<或
()()00
,00
0y x x X e dy x e
x f x f x y dy x x +∞
--+∞
-∞
??>>?∴===??
≤??≤???
()()000
,0
0y
y y
Y e dx
y ye y f y f x y dx y y --+∞
-∞
??>>?===?
?≤??≤???
22、（1）设一离散型随机变量的分布律为
又Y 1，Y 2是两个相互独立的随机变量，且Y 1，Y 2与Y 有相同的分布律，求Y 1与Y 2的联合分布律，并求P{Y 1 = Y 2}; （2）在14题中X 与Y 是否相互独立。 解：（1）
2(1)2
θ
θ- 22(1)θ-
2(1)2
θ
θ-
4
222
θθ
θ=
?
2
(1)2
θ
θ-
4
222
θθ
θ=? 且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y Y P 2
2
2
23
(1)214
42
θθθθθ=
+-+
=-+ （2）{}10.00,0===Y X P {}{}0384.000==?=Y P X P Θ又
{}0,0==Y X P {}{}00=?=≠Y P X P ，∴X 与Y 不相互独立
23、设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，X ～U (0,1) ，Y 的概率密度为
()1
8020
Y y
y f y ?<
??其它
试写出X ，Y 的联合概率密度，并求{}P X Y >。
解：()1010X x f x <
8020Y y
y f y ?
<
??其它
，且X 与Y 相互独立
()()()1801,0,20
X Y y
x y f x y f x f y ?
<<<<
?∴=?=?
??其它
1
210<≤<≤x y y 11
2
22
320
82{}8(8)(4)33
x y
P X Y ydxdy y y dy y y >>==-=-=
???
24、设随机变量X 具有分布律
求12+=X Y 的分布律。 解：
即
12+=X Y
1
2
5
10
k p
5
1 30
7 5
1 30
11 25、(0,1)X N U X =:设随机变量，求的概率密度。 解：U X =
，22
(
)x X f x
x -
=
-∞<<+∞Q ，当(,)x ∈-∞+∞时，[0,)u ∈+∞
当0(){}{||}0,()0U U u F u P U u P X u f u ≤=≤=≤=∴=时，
0()()(|
|)()()()U X X u F u P U u P X u P u X u F u F u >=≤=≤=-≤≤=--当时，
2222
2
2
()()()()u u u U U X X f u F u u u ??-
-
-
'∴==+-=
+
=
故U X =的概率密度为：2
20()00
u
U u f u u ->=≤?
概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.
工程硕士《应用概率统计》复习题 考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。 解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。 解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（） （而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其
4．设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。 解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+，而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ，从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
习 题 一 解 答 １. 设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来： (1) Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生； (2) Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生； (3) Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生； (4) 三个事件中至少有两个事件发生； (5) 三个事件中最多有两个事件发生； (6) 三个事件中只有一个事件发生． 解：（1）C B A (2)C AB (3)()C B A ? (4)BC A C AB ABC ?? (5)ABC (6)C B A C B A C B A ?? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ２. 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａi 表示“第i 次取到白球”（i ＝1，2，3，4 ），Ｂ表示“至少有 3 次取到白球”． 试用文字叙述下列事件： (1) 41 ==i i A A ， (2) A ,(3) B ， (4) 32A A ． 解：（1）至少有一次取得白球 （2）没有一次取得白球 （3）最多有2次取得白球 （4）第2次和第3次至少有一次取得白球 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ３. 设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系． (1) Ａ Ｂ＝Ａ （2）ＡＢ＝Ａ 解：（1）A B ? (2)A B ? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ４. 设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤 ，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事 件： (1) AB ， (2) BC ，(3) C B ，(4)C D B )( ，(5)C B A ． 解：(1)[]450,200; (2)[]300,200 (3)[]450,0 (4)[]300,200 (5)[]200,0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ５. 在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”， Ｃ表示“ 1970 年后出版”．问： (1) ＡＢＣ表示什么事件？ (2) 在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？ (3) C ?Ｂ表示什么意思？ (4) 如果A ＝Ｂ，说明什么问题？ 解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书 （2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书 （3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书 （4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ６. 互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系． (1) X ＜ 20 与X ≥ 20 ； (2) X ＞ 20与X ＜ 18 ；
第三章 假设检验 课后作业参考答案 某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测 得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布， 试在显著水平下确定这批元件是否合格。 解：
{}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从一 批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比， X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提 高 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为
第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ； 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对 值大于1的概率. X 解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ： 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1)，故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X ： 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值，S 为样 本方差，问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2)， 2 ~ 2(1)。 1 —n 7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S ； 0)。 解： S2 P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01 习题五 1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g) 日期重旦量 1 5500 5800 5740 5710 2 5440 5680 5240 5600 4 5400 5410 5430 5400 9 5640 5700 5660 5700 10 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05) 解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5. 2 假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5 检验的问题：H。：i 2 L 5, H i : i不全相等. 计算结果： 注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为 查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所 以拒绝H。，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 解 根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 . 2 假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 . 日产量 操作工 查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 3 试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另 一个是温度 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用 设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12. 2 假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j , ）,i 1,2,3, j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应； 检验的问题：（1） H i 。： i 全部等于零，H i — i 不全等于零； （2） H 20 : j 全部等于零，H 21： j 不全等于零； 计算结果： 查表F 0.95（2,6） 5.143 ,局.95（3,6） 4.757 ,显然计算值F A , F B 分别大于查表值, 或p = 0.0005 , 0.0009均显著小于0.05，所以拒绝H i°,H 20，认为含铜量和试验温度 都会对钢的冲击值产生显著影响作用 . 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 检验的问题：H 0： 1 计算结果： H i : i 不全相等 第一章 随机事件及概率 第一节 样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式： ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件： ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节 随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8 {}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月 日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。 第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。 7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >= 应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级： 目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社 第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解： i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++ 习题一： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ωπ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207ππx x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； 《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54). (5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩概率论与数理统计课后习题答案
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