M 12丿」I 2丿
第三章 微分中值定理与导数的应用
习题3-1
1.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。可见，
f(x)
在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:
f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏
0,—】，F'(X)H 0
, ”■. f (x),
F (x)满足柯西 I 2丿
中值定理条件。
—
12©
宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,
f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在
一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3
), y ‘ = 一 2
3 —12x 2
厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5 L 2」 I 2丿 c oxs n ——x 、、2 丿 F Q-F(O) 12丿 兀 --1 2 F( x) -1 sixn_ c O 弓-x 厂(X )_ F(x) ZL" 2 /兀 X , ，即 tan I - -- U--1，此时 l 4 2丿 2 f JI 「兀 X = 2 I — -arctan l — -1 L 4 l 2 显然萨〔0,-〕，即 丿」 I 2丿 5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得: 3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为 6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为 X o V X 1 则由罗尔中值定理知：存在 J (i =1,2,川n): X0 <：勺1 cj ■ 再由罗尔中值定理至少存在 So =1,2,川n-1): 上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得 7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为 X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点 E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。 &证明：令f(x) =x 5 +x -1，由于f (0) =-1, f(1) = 1由零点定理知，在(0,1)内至少存 在一点匕，使f(r )=0，又由方程得x(x 4 +1)=1，因此方程只存在0与1之间的正根，假 5 — 设X 中X T =0有两个正根，即3x 1, X 2 >0，且X 1 H X 2使得：f(X 1)= f(X 2)= 0 ,不妨假 使得 怯 (0) F ⑶F 帥(0「 f \x) =0只有三个根，二f(x)=0有3个根 ©，勺，0分别属于(0,1), (1,2), (2,3)三个 「(5)=0, (i =12川,n) f "(J)=0, (i =1,2,川，n-1) 如此作到第n 步，则知至少存在一点 匕：匕nt X i 和 X 2，即 P(X i ) = P(X 2)= 0 ,不妨设 设人V X 2，显然f(x)在［X i ,X 2］上连续，在(X ,,X 2)内可导。所以由罗尔定理，得: It<^(x 1,x 2)，使得：f(r )=0,即5©4 41 0 ，矛盾，假设不成立，所以方程x' + x —1 = 0 只有一个正根。 9.证明：(1)因为f (X)在［a,b ］上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在 te (a,b)使 f(b)-f(a) = f ^)(b-a) 又f 牡)>m ，故 f(b)-f(a) >m(b-a)，即 f (b) > f (a)+m(b-a)。 (2)因为f (X)在［a,b ］上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在 (a,b)使得 f(b) —f(a) =(b-a) f 'G ) 又 I f Wk M ，所以 I f (b)-f(a)| (3)当x i =X 2时结论显然成立，当 X i KX 2时，对函数sinx 在以x ,,X 2为端点的区间上应 用拉格朗日中值定理，得 sin X ,-sin X 2 =cos © (x ,—x?),其中匕在x ,与x 2之间，因此 10 .证明：因为f (X)在(a,b)内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得 3^^(X 2,X 3)，使得f 徉 1)=「(©2)=0,又；'f'(x)在忆,2］且满足罗尔定理的条件, 故由罗尔定理，得: 乳亡(q ,©)u (X 1,X 3)，使得厂徉)=0。 11.证明：设f(x) =1 nx ，由拉格朗日中值定理，得 3^ (b, a)，使得：f (E ) = —f ~ (b)即：a 芦 b ina-lnb=ln 弓，又；'匕 (b, a), a - b 匚 b 1 1 1 a-b a-b a-b — <— < — ^ A --------- < —-— < -------- 。 a © b a U b 12.证明：对函数f(x)=arcta nx 在［0, h ］上应用拉格朗日中值定理：存在 ©巳0, h)使得 sin X , —sin x. =COsE 片 一％ < 片一X 2。 韭1 € (X i ,X 2)， h arctan h = arctan h - arctan 0 =—— 1+E2 从而 < arctanh c h。 1+h2 13 .证明：（1）令f（x） = arctanx。当a = b时结论显然成立。 当aHb时，由拉格朗日中值定理，得f©）=f（b）—f⑻。（匕在a, b构成的区间内），即: b-a 1 (b -a) +©2 = f (b) - f (a) = arctan b -arctan a。 1 ”arctan a - arctanb = a -b ---- < a - b 1+r2 综上所述，结论成立。 (2)令f(x) =e x 由拉格朗日中值定理，得：至€（1,x），使得：f徉）=f（x）-f（1），即: X—1 芒 f(X)- f ⑴=eX —e =(X -1) f '(©) =(x — 又T匕（1,x），故e j e，所以 e x-e =(x-1涉:>&-1)e，即 X e >ex。 14•证明：y = f（x）在x=0的某邻域内具有n阶导数，由柯西中值定理，得： f(x) f(x) — f(O) f G) f G)—f(0) /_0 ，反复使用柯西中值定理，得: —0n ©€（0,与）川上弘0,鳥4）匸（0山，使得 €(0,匕1). f(x) f 徉1)- f '(0) f ”(匕2)- f "(0) 芦n4 c / /i\^n-2 ' n! n十-0 n(n -1>2-0 即30亡（0,1），使9 x =匕忘0）x ，使得：n X 习题3-2 1.解：f(2) =-6, f ⑵=Y f "(2) =4, f "⑵=6, f (n) (2) =0(n >4) 将上述结果代入泰勒多项式，得 f 丫2） f 冋⑵ f （X ）= f ⑵ + f （2）（ X — 2） + 士（X —2）2 + （X - 2）3 二 f (X) = (X -2)3 +2(x -2)2 -4(x -2) -6. k 2解：因为讣—⑹“帶彳讪“心十川 所以 3.解：因为 f (0) =0, f '(X)=sec X, f '(0) =1, f '(X)= 2sec 2 xtan x, f "(0) = 0 , f x) = 4sec 2 xtan 2 x + 2sec 4 x, f "(0) = 2， f ⑷(X)=8sec 2 xtan 3 x + 16sec 4 xtanx, f ⑷(0) = 0， f (5)(x) =16sec 2xtan 4 x + 88sec 4 xtan 2x + 16sec 6 x, f ⑸(0) =16，所以 ^xFx 5 ). f(x)=-^f(x)=—1x 冷，f"7x^|x^ 2 J x 4 8 113 f ⑷=2,厂(4) =—, f "⑷=-—,f "(4)=——，由泰勒公式，得 4 32 256 f(x) f (n )(日 X) ,(0<0<1)。 n! f(X) =1-x +x 2 +川+(-1)n x n / d \n + +占八…. 4.解：f （X ）=仮， 所以 f ⑷(X)—dx 16 _7 "2' 令X =4代入得 1 1 1 屁 2 V x — 4 )—64 (x —4)2 +^(x —4 ) 1 2 ，r(x) — 一,f“(x)r， x x 3! f "（x ）——，一般地，有 x f(-1) = -1, f '(—1) =—1, f ”(—1) = —2, f 气-1) =—3!，—般地，有: 所以，由泰勒公式，得 1 ( x +1)n 屮 厂 m x w+zm’T l 爲 x l 1严 解：f(x)=xe 」，所以 f ⑺(X)=(xe 」)⑴=(-1)n C ：e 」x + (-1)2^/&)' + 0 =(—1)n xe 」+(—1)2n ■e x ，又 f (n )(0) =(—"^n ，所以 f(x 2x —x2+7W+( — 1)n 」^+o(x n ). 7.解：（1） 因为 S (27) + f (27)( x —27)y (27)(x -27)2 + f ◎)(-力 2 =3 + 2(X —27)-扣一27)2 + 余(x —27) 3 8.解：（1）由于分式的分母 sin 3 xL X 3 （X T 0），我们只需将分子中的 sinx 和xcosx 分别 (2)Vsinx sin18 3 f ⑺(x)=(-1)n 为，所以 所以 痢止3.10724,误差为: f ⑷（r ）34 4! f ⑷(27) ”34 4! =乌 < 0.00002 312 兀 1 Sz —— —— 10 3! 詡巾 30999 误差为 sin ⑸心X 5 5! <2X101 15(x —4)4 7 . 4!16[4 +0(x-4)]2 5.解：因为f （X ）二丄 x 5)(-1) = - n! 3! 用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示，即 16 3 3 X 3 X 3 sinx a ：x - — +0( X )， xcosxszx ——+0(x )，于是 3! 2! 3 3 - X 〜3, X 〜3, 13 _,3, Sin X — xcosx 俺 X —一 +0(x ) —x + — -0(x ) = — x +0(x )，故 3! 2! 3 sin X —xcosx lim ------ 3 ----- =lim 一0 sin 3 X T (2)因为分子关于X 的次数为2 2 2 =1 +X-2X +o(x ) 原式 _lXm )[i +x-2x 2+0(X 2)]-(1 + x) X 3 X 5 < 9.解：(1) sinx=x-— + 一sin 10x + 3! 5! I 2 丿 因此|R 4（X ） |兰 (a ⑴5 5! 5! 12 丿 1 1 1 E=(1 + 5X )5 十 5 (5X ) 2 1[(5X )2+O (X 2) J 5丿 （2）解：设 f （X ）=/ +x , 则因为 1 丄 f （0） 川心尹八"） 1 -■ 1 f ”(x)二一一(1 +x) 2 , f "(0)=-—, 4 4 「（X ） 」(1+X )气 8 所以f （x ）=jr 匸带拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为 ‘ - X X 2 X 3 2 J 1 +x =1 —— +一(1 +9x) 2, (0 V 日 d )，从而 2 8 16 R 2（X ）= 2 1 (1 + 0X)2 <；^,x 迂[0,1]。 习题3-3 e X -1 _ 「解：（门処石呵cosJ ； 1 3 3 3X 3+0(X 3 ) X 3 X 2 、 (0 <0 <1) 16 (8) 1 -2sin X 2cos x lim ----------- = lim ----- in 3x J6 cos3x lim ln(1+x)-x x_^COSX — 1 In sinx lim ------ 2 T( n-2x)2 lim x_^ m m X -a n n X -a tan X lim x-^tan3x 1 — —-1 1 +x = lim J0 -sinx COSX lim T —4sin X(兀-2x) mx m' = m a m』 n sec X —lim 2 T3sec 3x cos3x lim 违cosx ln Gl V X丿 lim -- ---- = lim X-扛arccotx -疥 lim X— x i lim e x— 1 丿T -1- X 令y = x2 , ln 所以 亠i ； Sin X 丿 COSX 為4(2x —兀) 2 1 cos 3x =一lim --- 2— 3 込cos X 3sin 3x c lim ------ = 3。 T sinx 1+1 X U] I X丿 1 1 +x2 ©-1-x) l x(e X-1)丿 X2+1 —lim ~2 = 1 ； 十X2+ X = lim A-limH」X T 2x —2 1 --- ln X, limln y =lim 旦= lim 2 一1 ； ly — x I1」 斗 =e 。 (10)设In y =sin xin X, sin X , lim ,x = lim+y = limQnxinx ln 2x+2ln x In x +1 =2 lim 1 =0o X -枫X 2 .解：(1) i m -x -e x 亠不存在，故不能用洛必达法则 X I —X 2 . 1 x sin- X x 1 (2) lim ------ =lim ----- dim x sin- =10 =0， X T 0 sin X T sinx I x 所以 limy inx =1 x # + 2 AC ，- X cos X (12)lim xcot2x =hm --------- T T sin2x (13) 2 “、, ,, .. ( n2arctan x) 2x dn x (14) lim ( n — 2arctan x)ln x = lim ------- = lim In x ^lim .xlnx = X 耳+ X In X =0 ; lim In = lim x -?C 3x +5 x 2 =lim T ： 1 = limg=3 x -?C 所以lim TV x 3 =e ; (11)令 y =卩 l x 丿 janx 1 ,ln y =tanx In — In x cotx lim Iny = lim 厂 2 _csc X =lim - x _^ + sin 2 x =1 , lim J- =e 0 =1; = lim cos2x li lim ---- 7 sin2x 1+x 2 习题3-4 2 2 -1 =二^^ <0，单调减少. 1+x 2 1+x 2 2.解：(1)单调增区间(=, —1］, ［3,址)；单调减区间［—1,3］； [0,2];单调减区间( = , —1), (—1,0], [2, + 切； 「,31+)；单调减区间 ［2a,a L I 3」 ［3」 (2)单调增区间 ［1,2］;单调减区间［0,1］； (3)单调增区间 (亠,1］,;单调减区间［1,+邈］； 而若用洛必达法则：有 2. 1 c • 1 2 1 f 1 ) X sin — 2Xsin — + x cos — I —2 r X r X X l X 丿 lim ----- - = lim --------------- ---- O • 1 1 2xsin ——cos — = lim ——x ——x 2 . 1 X sin- 该极限不存在，但/. lim ------ x 存在，故不能用洛必达法则得出。 1 1 3.解：lim f(X)= lim e 2 =e 2 , ^^0 — 1 X lim 丄f(X)= lim 丄 -ln(1 H x)」 lim X ______________ =e x 」十x =lim e —0十 _ln(Hx) 4 X , X X 2 所以 lm f(X)=lm+f (x) =e 1 "2 =f (0)，由连续的定义知f(X)在X = 0处连续。 1 1.对函数求导，得：f '(X)= (4)单调增区间 (5)单调增区间 第三章微分中值定理与导数的应用习题详解(6)单调增区间 单调减区间 「kn n k n n ~\ 八 小 」 —十32十计(k 二0,±1j 2 川). 、工…、sixi , (x-tax! )ao 设 f(x)=——,贝y f -( x)J ) <0 g( x> x t a n^ jx —^0 贝 g(X)= —tan 2 x < 0, f o,— 1,故 2丿 I 2丿 g(x)在［0j y ］内严格递减，又g(x)在x=0处连续，且g(0) = 0,故在 阿〕内 g(x)< , 即x-tanx<0，所以当X 迂f o,-】时，f (x) <0。从而f (x)在涉 V 2丿 f Oj — 1内严格递减。 I 2丿 兀 sin — 由于lim 邑°上=1。所以 ----- - ^^0 sinx , 口2x . L C f < ---- <1，即 —— X X f(X)=ln(1 +x) -x + —，贝U f '(X)= -- >0(^>0)从而当 X 》0 时，f (x)严格 2 八 又f (x)在x =0处连续，且f (0) =0 ,所以当XA0时，f (x)A 0,即 I n(1x 2 、 X -一。 2 设 g(x) =x -1 n(1 +x)j X A 0。同理可证，当 x A O 时，g(x) >■ 0 ,即卩 x > In(1 + x)。 综合上述结果可得，当 X > 0时，有 2 X , x-^vl n(1 +x) f (X)在］内单调递增，所以f(x) > f(0) =0，即 *1 d d (4)令 f(X) =2依一3+—，贝y f'(X)= 依X 2 X 2-依 ，当 x>1 时 f'（x ）〉0， 即 f （X ）在）上单调增加，所以 f(X)A f(1) = 0,即 1 2>/X A 3-— (x>"1)。 X 4.解：令 fX ） ft X X-，所以 f '（X ） 1 =一 一 a X g ，所以当 X X E U 时，f'（x ）》 0 ； a 」 当X 迂f 1 ,邑h l a 丿 f '（X ）<0。所以 f (X)在X 迂 I —OC , -1内单调递 增, 在［―,邑1内单调 L a 丿 f F 〕 l a 丿 1 =In — 一1 = -In a —1 a 所以当 （1 X 引一 ^,一 a j l a 丿 I —"£当 x1 】时，f(x) < l a 丿 f 石丿 -In a-1， 1 所以当—Ina —1=0，即卩a =—时，方程只有一个实根: e 当一In a-1 cO , 即 卩 a >!时, e 方程没有实 根。 -In a — 1 > 0， 即 ac 1 时, e 方程有2个 实 根。 5.解：（1）在丄】凸，在 I 2丿 .2 、 +=c 凹, ) （1 境】为拐点 在（亠,0）凸，在（0,+^ r 厂 rn 斤) —OC — 与 J 兄为凹， h 丿 艸3,丿为 J 3 V 3 丿 ）凹，无拐 点. 没有拐点, 处处是凹的 为凸, 在（1严 3 与 为拐点 3 与（Y ,—1）凸，在（—1,1）凹, (—1,1 n 2), (1,ln2)为拐点. 在「，1］内是凹，在卩，凸.亿e 12」 b ■- 丿12 1 、 arcta n- 2 为拐点. 6.解：(1)令 f(x)=x n ，则 f &)= nx n 4, f "(x)= n(n —,所以当 x a 0 且 nX 时, 2 f "(xb>0。即f(x)=x n 在［0, +处)内为凹的。二由凹函数的定义，知：对 P X H ，即芥+y n H 宁)。 y m — 12丿 1 I 2 y(X 1)qq]y(X 2) x (2 )设 y =e ,则 IP x y' =e > 0 X &送。)故y 为(亠严、上凹函数， 从而对 X i = a,X 2 =b, , 2 a 书 e — .1 . a , b, 笃(e +e )。 7. 解：y -x 2 -2x+1 2 2 ("x 2 ) 2 ” 2(x -1)(x 2 +4x + 1) y = 2 3 (1+X ) _ 2(X -1) [x — (—2 + 73) ][x - (-2 -73)] 2 3 (1+X ) 令 y ” = 0 解得：X, =1,X2 =—2 +J 3, X3 =—2-J 3，所以 X 珂—oc , -2-73)时, 才<0, 当 X 迂(一2，一2 +73)时，y”AO ;当 x € (-2+ @1 )时，/ <0;当 X 壬(1, +乂)时, 故 X 1 =1 时，y 1 =1 ； X 2 = -2-J 5 时，'^2= 忑丄 8 + 4 J 3 X 3 -皿时宀存， f 厂 _J^_1) f 即(1,1), -2-屈 , I 8+4© V 验证这三点在同一条直线上。 是曲线y = X +1 —的三个拐点，很容易 X 2 +1 8.解：y=ax ' +bx 2，所以 y'=3ax 2 +2bx, y" = 6ax + 2b 若(1,3 )为曲线的拐点，则满足 丨 f(1)=a+b=3 3 f(1)=6a +2b = 0 解得：a 一尹 =9 9.解：(x o ,f(X o ))是f (x)的拐点，因为 f ：X 0)HO ,故可设f"(X 0)》O ，又因为「(X) y ，有: 在X=X0的某邻域内连续，所以lim f「"(x) = f%X0)>0・由保号性，知存在6，当 x-U(xe)时，f"(X)A f >■0,故f"(x)在X忘U(X00)上单调递增，又因为 f "(x0) =0，所以当X忘U(x0,x0+6)时，f'(x)A f "(x )= 0,即是凹的。同理可得 X忘U(X0 —5, x0)上 f "(X)< f "(人)=0，即是凸的。所以，(X0, f(X0))是拐点. 习题3-5 1.解：(1)令f '(X)= 6x2 _4x' = 0，解得x^ = 0, x2 = -3，又f" a 】=—9 < 0，所 以 2 12丿 在 x=|处f(x)有极大值'由于当xM01)时，fX〉。.故在x = 0的邻 域内f (X)严格递增，所以在x=0处f (X)不能取得极值; 2 1 (2)『=__十^^^丈0 V x忘R，在整个定义域上单调，故无极值。 3^(^^ / 、” (6x+4)(x2+x+1)-(3x2+4x+4)(2x+1) (3)y =(X2+x+1)2 -X2-2X _(x2+x + 1)2 人，c C C “2X3+6X2-2 令y =0, X, =0, X2 =—2，y= ------------ 忑—— 厂11 3 |x+—+ — I 2丿4 y"(0) <0。故y(0) =4为极大值, 8 又y”(-2) >0，故y(-2)=-为极小值; 3 (4)极小值 (5)令f(X)=(2 ~ )lnx = 0,得x=1, e。因为当0CXC1 时，f'(x)< 0 ；当 1 1 — X (6)令fa=丄三=0，得x=1。由于当XA1 时，f'(x)<0 ;当x<1 时，f'(x):>0, 1 +x 4. 解: (1) 令 y' = 5x 4-20x 3 +15x 2 =5X 2(X -1)(X -3) =0 得 X =0,1,3.3老［-1,2］，舍去。而 y(0)=0, y(-1) = —10, y(1) = 2，y(2) = -7，所以函 数在X =1处取得最大值y(1)=2，在X = —1处，取得最小值y(-1)：=—10 ； (2)令 y = 2sec 2 x(1 -tan x) =0 ,得 x = — '|0,— 1。由于 4 L 2丿 f 兀) 2 兀 y(0) =0, y 丿=1且li|_(2tanx-tan x)=虫,所以函数在x =—处取得最大值 y 『卫〕：=1，无最小值; 14丿 y(-5)=苗-5 ； P ，令 f '(X)= pxP ，— P(1-x)Pd =0，解得 x = 所以f(x)在x=1处有极大值f(1)= n 2ln2 2.证明: 4 2 1 li i^ X sin — =0 ,故 f(x)>f(0)= 0,所以，x=0是极小值点。 3. 解: f'(X)= a cos x + cos 3，若此函数在 x=—处为极值点，则 3 =0即 13丿 ac 。运+ cos3八0,解得a = 2，这时 JI = -a sin X -3sin 3X 兀 f 兀1 = (-2)sin — 一3sin 13 •— (<0 3 I 3丿 所以=3为极大值点，且极大值点为 f 〔3〕 w 。 yJp(p -1)x P r(p -1)(1-x 严 ，弋丿 >0 , f(1) = 1, f(0) =1, (3)最大值y 5.证明(1)设 f(x) =x P 弋-X 第三章微分中值定理与导数的应用习题详解 1 =-^为最小值，故 w<^[0,1]，原不等式 1 2^ 成立。 (2 )设 f(x) =(1 -x)e X , f(X)= -e x +(1 -x)e X =0 解得 x = 0， f ”(x) =-e X 一 xe X = _eX (1 +x), f"(0)= - 1c 0，函数 f(x) = (1-x)e X 在定义域内有一个 驻点且为最大值点，即f (0) =1，所以(1 -X)e x 兰1在整个定义域上成立。 2 54 54 6.解：V = f(X)=x -一，令 v' = 2x + r = 0，解得： X X X = -3，又因为 108 f "(X)=2-p, f "(—3)=6>0，所以 f(X)在 x = —3处取得极小值。 X 取得最小值27. 即f(X)在x = -3处 7. 解: v=f(x)=£，令—(x+W ，解得: X +1 (X +1) X l = 1, X 2 = —1， 又 f(—1) = —丄，鮒*1 , f (0)=0比较上述各值，得：f (X)在x=1处取得最大值- 2 2 2 8.解：设两线段长为X, l-x ，则矩形面积为S =x(l-X), (0,丨)。令S' = 1—2xf 得X =—。又S" = -2<0，故x=—是S 的唯一极大值点。又在端点处 2 2 就是最大值点。所以当两线段的长均为 丄，矩形面积最大. 2 9.解：设底半径为 R ，高为h ，则体积为 S = 0,从而x E 表面积为 V "R 2h S=；iR 2 +2；! R^H R^2V R 2V 令STR -亍0,得R=h 。所以，当底半径与高的比例为 1:1时，容器的表面 积为最小。 10.解: 由题意， 知：5=xv + l 兀仏1截面的周长：C 2 12丿 1 = x + 2y +-兀X ，由 2 1 5 = xV +-兀 2 ，得: V 丄X 2 V 8 )1 1 -，把其代入C =x + 2v + —兀X ，得: 丿X 2 f ⑴ 12 第三章微分中值定理与导数的应用习题详解 10 1 10 JT X = i 二兀 +1 X +—，令 C'(x )= — 兀 + 1— = 0 得： 丿 X 4 x 20 2 . 3 6 6 （（rrft ）值舍去）又因为c”（x ）= —>0 （当x>0时）所以当 x 11.解：设房租为x 元，获得的收入设为f （x ），则租出去的公寓目为： 10 2.366（ m ），其截面的周长最 小。 c 10 1 1 <1 入 C = X + ———兀 X + —:—— 4 2 (4 兀+4 50_ x - 1 000 3500 50 50 由题意知: f(x) = 3500 -x 50 (X -100) JX 2 +3600x —35000 50 第3章中值定理与导数的应用 内容概要 课后习题全解 习题3-1 ★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 ξ。 （1） ]511[32)(2.,,x x x f ---=； （2） ]30[3)(,,x x x f -=。 知识点：罗尔中值定理。 思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/ =ξf ，得到的根ξ便为所求。 解：（1）∵32)(2 --=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ， ∴ 32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。令()410f ξξ'=-=得 )511(4 1 .,ξ-∈= 即为所求。 （2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴ x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令 ()0 f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。 ★2.验证拉格朗日中值定理对函数 25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。 知识点：拉格朗日中值定理。 思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0) ()10 f f f ξ-'= -，若得到的根]10[, ξ∈则可验证定理的正确性。 解：∵32 ()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴2542 3 -+-=x x x y 在 区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。又 2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+， ∴要使 (1)(0) ()010 f f f ξ-'= =-，只要：5(01)12,ξ±= ， ∴5(01)12,ξ?= ∈，使(1)(0) ()10 f f f ξ-'=-，验证完毕。 ★3.已知函数 4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。 M 12丿」I 2丿 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题3-1 1.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。可见， f(x) 在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即: f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏 0,—】，F'(X)H 0 , ”■. f (x), F (x)满足柯西 I 2丿 中值定理条件。 — 12© 宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续, f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在 一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3 ), y ‘ = 一 2 3 —12x 2 厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5 第三章微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧ =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成 立（ B ）． A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221) ()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π =， 故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞= +x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在 ),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 5． 证明方程06213 2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03 1)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节基本概念与内容提要 一、微分中值定理 1、费马定理 2、罗尔中值定理 3、拉格朗日中值定理 4、柯西中值定理 5、泰勒公式 二、不定式的极限 三、导数的应用 1、平面曲线的切线与法线 2、单调性 3、极值(求极值的程序) 4、最值(求最值的程序) 5、凸性 6、拐点 7、渐近线 8、曲率 9、函数作图 10、经济上的应用 第二节 中值定理与泰勒公式 一、 注解 1、 中值定理的条件、结论要清楚 2、 中值定理建立了一个函数与其（某点）导数之间的关系 3、 中值定理的应用，常与积分不等式联合出题，以大题为主 4、 中值定理的证明题中关键是辅助函数的构造，请注意构造的方法 二、举例 （一）、 比较含函数导数的大小 1、设在【0,1】上，()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-的大小顺序为 分析： （二）、 结论为()()0n f ξ=的命题的证明（证明方法有三：（1）证明(1)()n f x -有极值点， 后用费马定理（2）(1)()n f x -用罗尔定理（3）用泰勒公式或多次用罗尔定理 （4）用零点存在定理也可 1、设函数()f x 在【a,b 】上可积，且()()0f a f b -+''?<，则在(a,b)内，存在ξ，使得()0f ξ'= 分析： 2、设12,, ,n a a a 为n 个实数，并满足：2 1(1)03 21 n n a a a n - ++-=-，证明： 存在(0, )2 π ξ∈使得，12cos cos3cos(21)0n a a a n ξξξ+++-=。 分析： 《高等数学》（上）题库 第三章 微分中值定理与导数的应用 判断题 第一节.微分中值定理 1、可导函数的极值点一定是函数的驻点。 （ ） 2、曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值。 （ ） 3、方程015=-+x x 只有一个正根。 （ ） 第二节.洛必达法则 4、洛必达法则只能用于计算00，∞∞ 型未定式。 （ ） 5、不是未定式，也可以使用洛必达法则。 （ ） 6、洛必达法则的条件不满足时，极限一定不存在。 （ ） 第三节.泰勒公式 7、在泰勒公式中取00=x 既得麦克劳林公式。 （ ） 8、佩亚诺余项可以用于误差估计。 （ ） 9、泰勒中值定理是拉格朗日定理的推广。 （ ） 10、()n n x n x x x x ο++++=!!21sin 2 。 （ ） 第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性 11、如果在()b a ,内0)(＜x f '，那么函数在[]b a ,上单调减少。 （ ） 12、二阶导数为零的点一定是拐点。 （ ） 第五节.函数的极值与最大值最小值 13、单调函数一定存在最大值最小值。 （ ） 14、0)(0='x f 是函数取得极值的充分条件。 （ ） 第六节.函数图形的描绘 15、若()0lim =+∞ →x f x ，则0=y 是()x f 的一条水平渐近线。 （ ） 16、若()-∞=-→x f x 3 lim ，则3-=x 是()x f 的一条铅直渐近线。 （ ） 注：难度系数(1-10)依次为3，4，8；3，4，4；2，4，4，4；2，3；2，4；3， 3。 填空题 第一节.微分中值定理 1、如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，那么)(x f 在区间I 上是 。 2、设函数)(x f 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么)(0x f '= 。 第二节.洛必达法则 3、如果当a x →时，两个函数)(x f 与）（x F 都趋于零，那么极限)()(lim x F x f a x →可能存在、可能不存在，通常把这种极限叫做 。 4、在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为 。 第三节.泰勒公式 5、带有佩亚诺余项的泰勒公式 为 。 6、带有拉格朗日余项的泰勒公式 为 。 第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性 7、函数1--=x e y x 在区间 上是单调增加的。 8、如果曲线)(x f y =在经过),(000y x M 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 ),(000y x M 为这曲线的 。 9、曲线3x y =的拐点是 。 第五节.函数的极值与最大值最小值 10、若()00,x x x δ-∈时0)(＞x f '，()δ+∈00,x x x 时0)(＜x f '，则()x f 在0x 处取得 1 第三章 微分中值定理与导数的应用 本章概述：本章以微分中值定理为中心，讨论导数在研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性）方面的应用． 重点：中值定理；洛必达法则；函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点；函数极值的求法；函数的最值问题；方程根的存在性及不等式的证明． 难点：三个中值定理及泰勒公式；方程根的存在性及不等式的证明． 基本要求：理解中值定理的条件和结论，它是本章内容的理论基础，是建立导数与函数关系的桥梁；掌握中值定理证明的思想方法--构造性证明方法．此方法不仅在中值定理的证明中，而且在不等式的证明、方程根的存在性及导数的应用中都具有广泛的应用；掌握洛必达法则，它是求未定型极限的一种重要方法；掌握导数的应用，会利用导数研究函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性和拐点等． 第一节 微分中值定理 1．填空与选择： （1）下列函数在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ） （A ）x e x f =)(； （B ）||)(x x f =； （C ）2 1)(x x f -=； （D ）⎪⎩⎪⎨⎧ =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ． （2）下列条件不能使)(x f 在],[b a 上应用拉格朗日中值定理的是（ ） （A ）在],[b a 上连续，在),(b a 内可导； （B ）在],[b a 上可导； （C ）在),(b a 内可导，且在a 点右连续，b 点左连续； （D ）在),(b a 内有连续的导数． （3）函数()ln (1)f x x =+在[0,1]e -上满足拉格朗日定理中的数值ξ是（ ） （A ）e ； （B ）1e -； （C ）2e -； （D ）1． （4）设)(x f y =在),(b a 内可导，,x x x +∆是),(b a 内的任意两点，()-()y f x x f x ∆=+∆，则（ ） （A ）x x f y ∆'=∆)(； （B ）在x x x ∆+,之间恰有一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ； （C ）在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ； 第三章微分中值定理与导数的应用 1 •函数y =x 2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕= 2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕= 3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕= 4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕= 5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。 T 6」 6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。 7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。 9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y ⑶当a汕＞«¥＜"¥ 10.用洛必达法则求下列极限: X _x ⑵ lim e ~e T sin X In R +丄］⑷ li% __¥ —鈕 1 arcta n — x ⑸1x m1x 1 .1 - x 1 ⑹ lim (cot X - 一) T x (7)lim (cos X) ⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .X In (1 +x)⑴lim T X ⑶ lim 沁—sina X T x -a sin X — xcosx 2~； x sinx 11. 确定下列函数的单调区间。 ⑷ y =1 n(x +J 1 + x 2 12. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间: ⑷ y = In(x 2 +1 ) 13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式: (11)lim (1 -x)ta n 便' (2丿 (12) tanx ⑽ lim — - x -^l x 「1 2 、 —2x ~ e -1 丿 ⑴ y = 2x 3 -6x 2 -18x -7 ⑵ y = 2x +8 (X A O ) x =x 3 -5x 2 +3x +5 / \ -x ⑵ y = xe = (x +1y +e x 2 一.应用麦克劳林公式，按X 乘幕展开函数f （X ）=（X - 解：f （X ）是6次多项式, 二 f(x)=f(0)+f'(0X+f ~^)x 2+f _^)x 3 +^^^)x 4 2! 3! 4! 5 计算出：f(0) =1, f'(0)=3(x 2 -3x + 1#2x -3?x 才-9 f "(O) = 60, f '"(0)= -270, f 伫0)= 720, f (m o )= -1080, f 00)=720 故 f(X)= 1 - 9x + 30x 2 -45x 3 + 30x 4 - 9x 5 + X 6 二•当Xo = -1时，求函数 f （X ）= 1的n 阶泰勒公 式。 X f (x )=(-1X-2)x —3 ，…，f g(x )=(-1)k k!x n •• f ( — 1)= -1, f '(一1)——1, f''(—1)= -2 f'"(—1)—— 3!,…,f (n n —1)= -n! =(_1广 n(x + 1)n =(匕在一1和X 之间) 1 f "f_1\ f1 f (—1)+ f'( — 1)(x + 1)+^^~^(x + 1)2+…+ --- (x +1)n + R/x) X 2! ■ =-1 + (x + 1) +(x + l f +…+ (x +1)n ]+(T)n %7EX x + 1严 第3章 微分中值定理及其应用 （第二讲泰勒公式、 函数极值等 ） 解: f(x)=丄=x —1 X f (x )= x^2 3X+ 1)3 。 5+d 6 Rn(X)= f r ) =（-1厂（n + 1!© 一卩七） n! 第三章中值定理与导数的应用 基本内容 (一)中值定理 1.罗尔定理 如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a) = f(b), 那么在(a,b)内存在一点©，使得f'(©)=0. 2.拉格朗日中值定理 如果函数f (x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少 f(b)—f⑻ f4 b -a 其微分形式为 f(X + A x) - f(X)= f'(◎丛X 这里匕=x+0血x,0 <0 <1 . 推论如果函数f (X)在开区间(a,b)内的导数恒为零，那么f(x)在(a,b)内是 个常数. 3.柯西中值定理 如果函数f (x)及g(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且g'(x)在(a,b)内的每一点均不为零，那么在(a,b)内至少有一点©，使得 f(b)-f(a) _ f® g(b)-g(a) g'G) 中值定理是导数应用的理论基础，在应用中值定理证明题时，关键是构造适当的辅助函数. (二)洛必达法则 1.法则1 如果函数f (x)及g(x)满足条件: ⑴ lim f(x) =0, lim g(x) =0 ； X—J a x—S ⑵在点a的某去心邻域内，f '(X)及g(X)都存在且g '(x) H 0 ； ⑶lim 匚也存在（或为无穷大），那么 T g '（X ） limf2XL|im 空 T g(x) yg'(x) 2. 法则2 如果函数f （X ）及g （x ）满足条件: (1)lim f(x) =0, lim g(x) =0； x _jiC ⑵当X 》N 时，f '（X ）及g '（X ）都存在且g '（x ） h 0 ； ⑶存在（或为无穷大）； 那么 lim 竺=lim 匸凶 Y g(x) Y g '(x) 以上两个法则是针对2型未定式对一型未定式，也有相应的两个法则 0 比 对0^、乂、00、1汽ac 0型未定式，可以通过变形将其转化成0或一型来求. 0 处 （三）泰勒公式 1. 带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数y = f （X ）在x o 的某邻域U （x 。®）内有n +1阶导数，那么在此邻域内有 f(X)= f (X 0)+ f(X 0)(X -X 0)+ f (X 0 ) (X — X 0)2 +■■■ 2 n! 帥=甘（—0严 其中©在X o 和X 之间，R n （x ）是拉格朗日余项 （四）函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数y=f （x ）在［a,b ］上连续，在（a,b ）内可导. ⑴如果在（a,b ）内f '（X ）＞0，那么函数y = f （x ）在［a,b ］上单调增加; ⑵如果在（a,b ）内厂（X ）co ，那么函数y = f （x ）在［a,b ］上单调减少. 北大高等数学教材答案 高等数学是大学数学系列中的一门重要课程，对于我们打好数学基础、提高数学思维能力具有重要意义。在学习高等数学的过程中，我 们时常会遇到一些难题，需要参考答案来巩固和检查自己的学习成果。本文将提供一份北大高等数学教材答案，帮助大家更好地学习和巩固 所学知识。 第一章极限与连续 1.1 课后习题答案 1.2 挑战练习答案 1.3 补充练习答案 第二章导数与微分 2.1 课后习题答案 2.2 挑战练习答案 2.3 补充练习答案 第三章微分中值定理与导数的应用 3.1 课后习题答案 3.2 挑战练习答案 3.3 补充练习答案 第四章不定积分 4.1 课后习题答案4.2 挑战练习答案4.3 补充练习答案 第五章定积分 5.1 课后习题答案5.2 挑战练习答案5.3 补充练习答案 第六章定积分的应用6.1 课后习题答案6.2 挑战练习答案6.3 补充练习答案 第七章微分方程 7.1 课后习题答案7.2 挑战练习答案7.3 补充练习答案 通过使用这份北大高等数学教材答案，我们可以及时纠正错误并理 解解题思路，提高自己的解题能力。同时，对于那些难题和挑战练习，我们可以更好地进行反复练习和思考，加深对知识点的理解和掌握。 当然，答案只是学习中的一个参考，我们也需要充分发挥自己的思 维和分析能力，尽可能独立地解决问题。通过不断的练习和思考，我 们将能够更深入地理解和掌握高等数学知识。 总之，北大高等数学教材答案给予了我们很大的帮助，为我们提供 了一个学习的参考和检验的工具。希望大家能够积极利用答案，不断 努力，提高自己的数学水平。祝愿大家在学习高等数学的过程中取得 优异的成绩！ 微分中值定理及其应用习题课 一 大体定理 1）．罗尔中值定理 假设函数f 知足如下条件： （ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上持续； （ⅱ）f 在开区间(),a b 内可导； （ⅲ）)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 注 罗尔中值定理要紧用于说明()0f x '=有根，关键是要找两点使这两点函数值相等． 注 介值定理要紧用于说明()0f x =有根，关键是要找两点使这两点函数值异号． （1） 证()0f x =有根 ()()()()()()()()1 00,f x f x g x g x g x f x g x g x ⎧⎪ ⎪⎪ '===⎨⎪ '=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎩ 法用介值定理（若此时易找两点使函数值异号）.法2 将转化为对用罗尔定理 若很容易求出，使，且对很容易 找两点使函数值相等. （2）证()0f x '=有根()1 .⎧⎪⎨⎪⎩ 法费马定理（易找极值点或内部最值点）, 法2 罗尔定理易找两点使函数值相等 （3）证根唯一的方式 1 ⎧⎨⎩ 法单调性, 法2 反证法+罗尔定理. （4）证() ()0n f x =有根，常常对()()1n f x -用罗尔定理． （5）证至少存在一点ξ，使含ξ的代数式 ()()()() ()()( ) ,,,,,,0n G a b f a f b f f f ξξξξ'=成立的经常使用方式是构造辅助函数，然后 对辅助函数用罗尔定理． 2）．拉格朗日中值定理 假设函数f 知足如下条件： （ⅰ）f 在闭区间],[b a 上持续； （ⅱ）f 在开区间(),a b 内可导， 那么在（b a ,）内至少存在一点ξ，使得 ()() ()f b f a f b a ξ-'= -． 注 看到函数增量，或隐含增量（含条件()0f a =），常常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，常常要考虑拉格朗日中值定理． 3）．柯西中值定理 设函数f 和g 知足 （i ）在],[b a 上都持续； (ii)在),(b a 上都可导； (iii))()(x g x f ''和不同时为零； (iv))()(b g a g ≠ 那么存在),(b a ∈ξ，使得 ()()() ()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-． 注 看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，常常要用柯西中值定理． 4）．泰勒中值定理 假设函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，那么有 ()()200000000()()()()'()()()()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n ''=+-+-+ +-+-． 假设函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的持续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，那么对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得 +-''+-+=200000)(!2) ())((')()(x x x f x x x f x f x f 10)1(00)()()! 1()()(!)(++-++-+ n n n n x x n f x x n x f ξ ． 高等数学教材分册答案 [注意：在回答此文章之前，请确保您有合法获取和使用教材答案的权限。本文仅提供参考，不鼓励任何形式的作弊行为。] 第一章：函数与极限 1. 函数的概念与性质 2. 数列的极限与函数的极限 3. 极限的运算法则 4. 无穷小与无穷大 5. 重要极限的计算方法 第二章：导数与微分 1. 函数的导数概念 2. 导数的基本运算法则 3. 高阶导数与高阶微分 4. 隐函数与参数方程的导数 5. 微分中值定理及其应用 第三章：微分中值定理与导数的应用 1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理 2. 导数的应用：函数的单调性、极值与最值 3. 函数图形的凹凸性与拐点 4. 需要结合实际问题解决的应用题 第四章：不定积分 1. 基本不定积分与不定积分的性质 2. 不定积分的基本运算法则 3. 牛顿－莱布尼茨公式 4. 不定积分的换元积分法 5. 分部积分法 第五章：定积分与其应用 1. 定积分的概念与性质 2. 定积分的基本性质与定积分的计算方法 3. 牛顿－莱布尼茨公式的应用 4. 定积分的几何应用 5. 定积分在物理学中的应用 第六章：定积分的计算方法与微分方程 1. 参数方程与极坐标方程下的定积分 2. 柯西序列与柯西审敛原理 3. 无穷级数与收敛性 4. 幂级数的性质与收敛区间 5. 常微分方程的基本概念与基本解法第七章：多元函数微分学 1. 多元函数的概念与性质 2. 多元函数的偏导数与全微分 3. 多元复合函数的导数 4. 隐函数与参数方程的求导 5. 方向导数与梯度 第八章：重积分 1. 二重积分的概念与性质 2. 二重积分的计算方法 3. 极坐标下的二重积分 4. 三重积分的概念与性质 5. 三重积分的计算方法 第九章：曲线积分与曲面积分 1. 曲线积分的概念与性质 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>〔 〕 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==〔 〕 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=〔 〕 ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 〔 〕 (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处〔 〕 (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值(D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=〔 〕 (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4 , 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是〔 〕 (A))2,(-∞ (B))2,(--∞ (C)) 1(∞+， (D)) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x =处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有〔〕． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a=( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =〔 〕 (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=〔 〕 ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=〔 〕 的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ． 第三单元 微分中值定理与导数应用 一、填空题 1、=→x x x ln lim 0 __________。 2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增。 3、函数()43384x x x f -+=的极大值是____________。 4、曲线x x x y 3624+-=在区间__________是凸的。 5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________。 6、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是_________。 7、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______, 则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值。 8、123++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。 9、________)1sin 1(cot lim 0 =-→x x x x 。 10、_________)tan 11(lim 20=-→x x x x 。 11、曲线2x e y -=的上凸区间是___________。 12、函数1--=x e y x 的单调增区间是___________。 二、单项选择 1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→20 )(lim x x x f x （ ） （Ａ）不存在 ； （Ｂ）0 ； （Ｃ）-1 ； （Ｄ）-2。 2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,2 1(内曲线)(x f （ ） （Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； 第三章 微分中值定理与导数的应用 【考试要求】 1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞ ”、“0 0”和“0 ∞”型未定式极限的方法． 3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式． 4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题． 5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线． 【考试内容】 一、微分中值定理 1．罗尔定理 如果函数()y f x =满足下述的三个条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a b ξ <<），使得()0f ξ'=． 说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若 0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点． 2．拉格朗日中值定理 如果函数()y f x =满足下述的两个条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a b ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式） 成立： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-． 说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只 能 ()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于 拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理． 3．两个重要推论 （1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一 个常数． 证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证） ，应用拉格朗日中值公式可得 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<） ． 由假定， ()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =． 因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是 相等的，即 ()f x 在区间I 上是一个常数． （2）如果函数 ()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=， 则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即 ()()f x g x C -=（C 为常数）． 证：设()()()F x f x g x = -，则 ()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=． 二、洛必达法则 1．x a →时“0 ”型未定式的洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题3.1 1. 验证罗尔定理对函数f (x ) = sin x 在区间[0, π]上的正确性. 验证：由于函数f (x ) = sin x 在区间[0, π]上连续, 在(0, π)可微且f (0) = sin 0 =f (π) = sin π = 0. 所以在[0, π]上满足罗尔定理条件。令 f '(ξ) = cos ξ = 0 , 从中可求出ξ=2 π∈(0, π), 即存在ξ∈(0, π)使得上式成立. 故对f (x ) = sin x 在[0, π]来说, 罗尔定理是正确的. 2. 证明函数恒等式:arctan x + arc cot x = 2 π， +∞<<∞-x . 证明: 设f (x ) = arctan x +arccot x 则 f '(x ) = 211x +- 2 11x += 0, +∞<<∞-x . 所以f (x )是常数, 设 f (x ) = a (a 为常数). 取x =2π,代入f (x ) = a 中可得a =2 π. 故 arctan x + arccot x =2 π. 3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式: (2)x x +1< ln (1+x ) < x , x >0. 证明: 令f (t ) = ln(1+t ), 任意取定x >0. 则f (t )在[0, x ]连续, 在(0, x )可微, 根据拉格朗日中值定理知, 存在ξ∈(0, x ) 使得 ln(1+x )-ln 1= f ' (ξ)(x -0) =ξ+11·x , 即ln(1+x ) =ξ +1x . 由于x x +1<ξ+1x < x , 所以x x +1< ln(1+x ) < x (x >0). 4．对f (x )= sin x , g (x ) = cos x , 在区间[0，2 π]上验证柯西中值定理的正确性. 验证: f (x ), g(x )在区间[0,2π]连续, 在(0,2π)可微, g (x ) ' = - sin x 在区间(0，2 π)不等于零, 因此柯西定理条件满足. 令 )0()2 ()0()2(g g f f -π-π=) (')('ξξg f , 即 -1 = -cot ξ, 求得ξ =4π∈(0,2π). 可见, 确实存在ξ ∈(0,2 π)使得上式成立, 即对这对f (x ), g(x ), 在区间[0,2 π]上柯西中值定理是正确的. 第三章 中值定理与导数的应用 1. 设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)1()0(==f f ,1)2 1(=f 求证：存在)1,0(∈ξ使1)(='ξf . 2. 求证：若)(x f 在],[b a 上可导，)()(b f a f -+'≠'，则对介于)(a f +'与)(b f -'之间的任意值c ，有),(b a ∈ξ，使 c f =')(ξ.（导函数的介值定理） 3. 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，)(x f 在],[b a 上不恒为常数.求证：),(,21b a ∈∃ξξ，使0)(1>'ξf ，0)(2<'ξf . 4. 设012>>x x ，证明：),(21x x ∈∃ξ，使)()1(212112 x x e e x e x x x --=-ξξ. 5. 讨论方程2 12x x +=的实根个数. 6. 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，2)(max 1 0=≤≤x f x .求证：)1,0(∈∃ξ，使16)(-≤''ξf . 7. 求)1(cot lim 2 2 x x x - → 8. 求x x x ln 0 ) 1(lim -+→ 9. 求2 1)tan ( lim 0 x x x x → 10. 求3 0) 1(sin lim x x x x e x x +-→ 11. 求22 20 sin )(cos 121lim 2x e x x x x x -+-+→ 12. 讨论方程x x x x cos sin 2+=的实根个数。 13. 求证：b b a a b a b a ++ +≤ +++111 14. 比较e π和π e 的大小. 第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程， 故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=++ +。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥- 习题3-1 1．设某产品的总成本C是产量q的函数:C=q2+1，求 (1) 从q=100到q=102时，自变量的改变量∆q； (2) 从q=100到q=102时，函数的改变量∆C； (3) 从q=100到q=102时，函数的平均变化率； (4) 总成本在q=100处的变化率. 解：(1) ∆q=102-100=2, (2) ∆C=C(102)-C(100)=(1022+1)-(1002+1)=404 (3) 函数的平均变化率为 ∆CC(q0+∆q)-C(q0)404 ∆q=∆q=2=202. (4) 总成本在q=100处的变化率为 C(q)-C(100)21002 qlim→100q-100=qlimq-→100q-100=qlim→100(q+100)=200 2 ．设f(x)=f'(4). 解 f'(4)=limf(x)-f(4)x→4x-4=limx→4x-4 =lim1 x→4=2 3．根据函数导数定义，证明(cosx)'=-sinx. 证根据函数导数定义及“和差化积”公式，得 h (cosx)'=limcos(x+h)-cosxhsin=-sinx. h→0h=-hlim→0sin(x+2)⋅h 2 4．已知f'(a)=k，求下列极限： (1) limf(a-x)-f(a) x→0x; (2) limf(a+x)-f(a-x) x x→0 解 (1) limf(a-x)-f(a) x=-limf(a-x)-f(a) -x=-f'(a)=-k;x→0x→0 (2) limf(a+x)-f(a-x) x→0x=limf(a+x)-f(a)+f(a)-f(a-x) x→0x =limf(a+x)-f(a)f(a-x)-f(a) x+limx→0x→0-x=f'(a)+f'(a)=2k 5．已知f(0)=0.f'(0)=1，计算极限limf(2x) x→0x. 解 limf(2x)f(2x)-f(0) x=2limx→0x→02x=2f'(0)=2 6．求下列函数的导数： (1) y=x5； (2) y= - 1 - (3) y=e-x； (5) y=lgx； (4) y=2xex; (6) y=sin 34x - π 4 解(1) (x5)'=5x4； 3 14 ； (2) '=(x4)'= (3) (e-x)'=e-xlne-1=-e-x； 1xln10 (4) (2xex)'=[(2e)x]'=(2e)xln(2e)=2xex(ln2+1); (5) (lgx)'= (6) (sin π中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解
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