第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]
1、
曲线的渐近线为（）。
A、仅有铅直渐近线
B、仅有水平渐近线
C、既有水平渐近线又有铅直渐近线
D、无渐近线
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【正确答案】 B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
本题考察渐近线计算.
因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。
[单选题]
2、
在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）
A、4
B、2
C、3
D、1
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【正确答案】 D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]
3、
，则待定型的类型是（）.
A、
B、
C、
D、
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【正确答案】 D
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【答案解析】
由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]
4、
下列极限不能使用洛必达法则的是（）.
A、
B、
C、
D、
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【正确答案】 D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.
[单选题]
5、
在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.
A、1
B、2
C、e
D、
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【正确答案】 D
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【答案解析】本题考察中值定理的应用。
[单选题]
6、
如果在内，且在连续，则在上（）.
A、
B、
C、
D、
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【正确答案】 C
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【答案解析】
在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在
上f(a)＜f(x)＜f(b).
[单选题]
7、
的单调增加区间是（）.
A、（0，+∞）
B、（-1，+∞）
C、（-∞，+∞）
D、（1，+∞）
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【正确答案】 D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]
8、
（）.
A、-1
B、0
C、1
D、∞
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【正确答案】 C
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【答案解析】
[单选题]
9、
设，则（）.
A、是的最大值或最小值
B、是的极值
C、不是的极值
D、可能是的极值
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【正确答案】 D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]
10、
的凹区间是（）.
A、（0，+∞）
B、（-1，+∞）
C、（-∞，+∞）
D、（1，+∞）
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【正确答案】 B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.
[单选题]
11、
的水平渐近线是（）.
A、x=1，x=-2
B、x=-1
C、y=2
D、y=-1
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【正确答案】 C
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【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.
[单选题]
12、
设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.
A、-8
B、7
C、8
D、-7
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【正确答案】 A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
，
当P=4时，Q=-8.
[单选题]
13、
设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.
A、
B、
C、
D、
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【正确答案】 C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
由弹性定义可知，
[单选题]
14、
设函数在a处可导，，则（）.
A、
B、5
C、2
D、
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【正确答案】 A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.
所以
[单选题]
15、
已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.
A、1
B、2
C、0
D、3
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【正确答案】 C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
在点处取得极值，
[单选题]
16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.
A、9.5
B、9
C、8.5
D、7
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【正确答案】 A
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【答案解析】
设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P
利润
此时即取得最大值.
[单选题]
17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）
A、增加且凹的
B、减少且凹的
C、增加且凸的
D、减少且凸的
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【正确答案】 C
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【答案解析】
[单选题]
18、
求极限=（）.
A、2
B、
C、0
D、1
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【正确答案】 B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
19、
函数在区间上的极大值点=（）.
A、0
B、
C、
D、
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【正确答案】 C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
令，
当时，
当时，
当时，函数有极大值.
[单选题]
20、
设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.
A、
B、
C、
D、
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【正确答案】 A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
21、
某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0
B、
C、1
D、2
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【正确答案】 D
【您的答案】您未答题
【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.
[单选题]
22、
已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()
A、0
B、1
C、2
D、3
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【正确答案】 B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
，得到a=1.
[单选题]
23、
极限=()
A、-
B、0
C、
D、1
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【正确答案】 C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，
.
[单选题]
24、曲线y＝x3的拐点为（）．
A、（0，0）
B、（0，1）
C、（1，0）
D、（1，1）
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【正确答案】 A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）
[单选题]
25、曲线的水平渐近线为（）．
A、y＝0
B、y＝1
C、y＝2
D、y＝3
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【正确答案】 B
【您的答案】您未答题
因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．
参见教材P110～111．（2015年4月真题）
[单选题]
26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．
A、（－∞，－1）
B、（－1，1）
C、（1，＋∞）
D、（－∞，＋∞）
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】 B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
y＇＝3x2－3
y＇＝0时，x＝±1．
在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；
在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；
在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．
因此选B．
参见教材P100～101．（2015年4月真题）
[单选题]
27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．
A、0
B、1
C、2
D、3
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【正确答案】 A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
∵在处，取得极值点，
∴
参见教材P102～104。（2014年4月真题）
[单选题]
28、设函数，则下列结论正确的是（）．
A、f（x）在（0，＋∞）内单调减少
B、f（x）在（0，e）内单调减少
C、f（x）在（0，＋∞）内单调增加
D、f（x）在（0，e）内单调增加
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【正确答案】 D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
解得x＝e，
当0＜x＜e时，y＇＞0
∴f（x）在（0，e）内单调增加，选择D．
参见教材P100～101。（2014年4月真题）
[单选题]
29、曲线的水平渐近线为（）．
A、y＝1
B、y＝3
C、x＝1
D、x＝3
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【正确答案】 B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
因此选择B．
参见教材P110～111。（2014年10月真题）
[单选题]
30、设函数f（x）可导，且＝0，则x0一定是函数的（）．
A、极大值点
B、极小值点
C、驻点
D、拐点
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【正确答案】 C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
本题考查驻点的定义，
驻点：函数的一阶导数为0的点．
因此选择C．
参见教材P102～104。（2014年10月真题）
[单选题]
31、下列函数在区间(-∞，+∞)上单调减少的是（）。
A、
B、
C、
D、
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【正确答案】 A
【您的答案】您未答题
【答案解析】为指数函数，它在(-∞，+∞)上是单调递减的，故A正确，B、C、D在整个R上是非单调函数。参见教材P100。
[单选题]
32、已知是函数的驻点，则常数（）。
A、-3
B、-2
C、-1
D、0
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【正确答案】 C
【您的答案】您未答题
【答案解析】因为是函数的驻点，因此，而
，代入可得a=-1。参见教材P92。
[单选题]
33、
设函数可导，且，则在处（）.
A、一定有极大值
B、一定有极小值
C、不一定有极值
D、一定没有极值
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】 C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
导数为零不一定是极值点，还需要判断两侧导数的正负，故本题选C。参见教材P102。[单选题]
34、
曲线的拐点为（）.
A、（0，1）
B、（1，0）
C、（0，2）
D、（2，0）
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】 B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
得，代入
所以在（1，0）处二阶导数为0，二阶导数在（1，0）两端符号相反，所以（1，0）是曲线的拐点。参见教材P107。
[单选题]
35、曲线的铅直渐近线为（）.
A、x=-1
B、x=1
C、y=-1
D、y=1
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【正确答案】 B
【您的答案】您未答题
【答案解析】 x-1=0，解得x=1。
[单选题]
36、函数的单调减少区间为（）.
A、（－∞，－1）
B、（5，+∞）
C、（－∞，－1）与（5，+∞）
D、（－1，5）
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】 D
【您的答案】您未答题
【答案解析】，得到－1＜x ＜5.参见教材P100。
[解答题]
37、
函数在区间［0，1］上满足拉格朗日中值定理的中值=_________．
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【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
在区间［0，1］上，由拉格朗日中值定理可得：，
即
[解答题]
38、
函数在区间［-1,1］上的最小值为_________．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
，在［-1,1］上，
故单调递减，故.
[解答题]
39、
求曲线的凹凸区间及拐点．
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
，，令，
所以上凸区间为；
上凹区间为；
拐点为
【您的答案】您未答题
[解答题]
40、
证明当x>0时，
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
令，
所以，当x>0时为单增函数，所以当x>0时，有
即
【您的答案】您未答题
[解答题]
41、
求极限
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
42、
求的单调区间，极值，凹凸区间，拐点【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
43、
某厂生产某种产品，固定成本为400万元，多生产一个单位产品，成本增加10万元。该产品产产销平衡且产品需求函数为x=1000-50P（x产量，P为价格）。该厂生产多少单位产品所获利润最大？最大利润是多少？
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【正确答案】设生产x个单位产品的利润为L，成本为C，收益为R，则
【您的答案】您未答题
[解答题]
44、
证明：方程在区间[0，1]上不可能有两个不同的根.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
45、设某商品的市场需求函数为，则需求价格弹性函数为.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】需求价格弹性函数为
. 【您的答案】您未答题
[解答题]
46、求极限
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
47、
求函数的极值.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
,
令，
当x=0或x=2时，不存在,
且
所以极大值为
【您的答案】您未答题
[解答题]
48、
证明不等式：
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
习题四 1.（1）解：将区间[a , b ]n 等分，分点为() , 1,2,,1;i i b a x a i n n -=+ =- 记每个小区间1[,]i i x x -长度为, i b a x n -?= 取, 1,2,,,i i x i n ξ== 则得和式 211()2(1) ()[()]()2n n i i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+?=+-?=-+∑∑ 由定积分定义得 220 1 22()(1) d lim ()lim[()]21 (). 2n b i i a n i b a n n x x f x a b a n b a λξ→→∞=-+=?=-+=-∑ ? (2) 解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n = =- 记每个小区间长度 1,i x n ?=取 (1,2,,),i i x i n ξ== 则和式 11 1 ()i n n n i i i i f x e n ξ==?=∑∑ 1 21 01 111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1) lim lim 1e e 11 e (e 1)1lim e 1.1 i n n x n n n n n n i n n n n n n n n n x n n n n n n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑? 2.（1）；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的 面积，故原式=1. (2).解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限 内的面积，故原式=21π4R . 3. (1)；证明：当2 e e x ≤≤时，2 ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤ 由积分的保序性知： 2 22 e e e e e e d ln d 2d x x x x ≤≤? ??
第四章 微分学的应用 一、 本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 2. 基本方法 ⑴ 用洛必达法则求未定型的极限； ⑵ 函数单调性的判定； ⑶ 单调区间的求法； ⑷ 可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸ 连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹ 求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺ 曲线的凹向及拐点的求法； ⑻ 曲线的渐近线的求法； ⑼ 一元函数图像的描绘方法． 3. 定理 柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则． 二、 要点解析 问题1 如何根据曲线的几何形状及导数的几何意义记忆曲线凹向的判别法则？ 解析 掌握曲线的凹向判定准则关键是要掌握二阶导数''f x () 的符号与曲线凹向的具体联系． 为此,可先在纸上画一条有确定凹向的曲线弧,比如下凹曲线弧（如右图），然后,在其 上作两条切线．当x 逐渐增大时,观察其上各点切线斜率 'f x ()的变化规律．不难发现,当21x x <时,有 )(tan tan )(2211x f x f '=>='αα ,即一阶导数'f x ()单减, y 1 2
所以,()0d d <'x x f ,即0)(<''x f 这就是说,若曲线弧是下凹曲线弧,则有0)(<''x f 按上述方法, 就不会弄错''f x ()的符号与曲线凹向的对应关系． 问题2 在函数单调性判别定理中,定理的假设条件除了要求'f x ()在开区间),(b a 内有确定符号（大于零或小于零）外,还特别要求)(x f 在闭区间],[b a 上连续,它与定理结论中的函数)(x f 在闭区间],[b a 上单调（单增或单减）有何联系？在利用该定理考虑有关问题时,将闭区间],[b a 一律写成开区间),(b a 行吗？ 解析 对于该定理,'f x () 在开区间),(b a 内存在并有确定的符号是不容易被忽视的．容易忽视的是)(x f 的单调区间究竟是),(b a ,],(b a ,),[b a 或],[b a 中哪一种形式？这从该定理的证明过程中可知,)(x f 在上述四个区间中,哪一个区间上连续,则)(x f 就是在相应区间上单调（单增或单减）．在利用该定理求解问题时,应特别注意定理的条件与结论的对应,不能忽视)(x f 在区间],[b a 的端点处的性态．请注意例1是如何应用单调性判别定理证明不等式的． 例1 证明当0>x 时，x x <+)1ln(． 证 令)1ln()(x x x f +-=，则)(x f 在[)0,+∞上连续,且在()0,+∞内， ()01111>+=+- ='x x x x f ，由单调性判断定理知,)(x f 在[)0,+∞上单调增加,所以,当0>x 时,有0)0()(=>f x f ，即 0)1ln(>+-x x ， 所以0>x 时,有)1ln(x x +>． 在本例的证明过程中,有利于单增函数最本质的属性：当21x x >时,)()(21x f x f >．应用此性质时,要特别注意1x ,2x 必须属于)(x f 的单增区间.因此,在上面的证明过程中,所断定的)(x f 的单调增区间[)0,+∞包含点0=x 是必要的．
第四章微分中值定理和导数的应用[单选题] 1、 曲线的渐近线为（）。 A、仅有铅直渐近线 B、仅有水平渐近线 C、既有水平渐近线又有铅直渐近线 D、无渐近线 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察渐近线计算. 因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。 [单选题] 2、 在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（） A、4 B、2 C、3 D、1 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题] 3、 ，则待定型的类型是（）. A、 B、 C、 D、
【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题] 4、 下列极限不能使用洛必达法则的是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则. [单选题] 5、 在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）. A、1 B、2 C、e D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题考察中值定理的应用。
[单选题] 6、 如果在内，且在连续，则在上（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在 上f(a)＜f(x)＜f(b). [单选题] 7、 的单调增加区间是（）. A、（0，+∞） B、（-1，+∞） C、（-∞，+∞） D、（1，+∞） 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题] 8、 （）.
第四章 中值定理与导数的应用 中值定理是利用导数研究函数性质的重要工具。导数只是反映函数在某一点附近的局部变化性态，而在理论研究和实际应用中，常常需要知道函数在某一区间上的整体变化情况与它在区间内某些点处的局部变化性态之间的关系。中值定理正是对这一关系的理论解释。本章以中值定理为基础，以导数为工具，解决一类特殊类型的（不定式）极限的计算问题，研究函数的单调性、极值问题、最值问题、曲线的凹凸性、函数图形的描绘等理论和实际应用问题。 §4.1 中值定理 一、罗尔定理 如果函数f (x )满足条件：（1）在闭区间[a ，b ]上连续；（2）在开区间（a ，b ）上可导；（3）在区间两个端点的函数值相等，即f (a ) = f (b )，则至少存在一点ξ ∈ （a ，b ），使得()0='ξf 。 几何意义：如果连续光滑曲线y = f (x ) 在点A 、B 处纵坐标相等，那么在弧AB 上至少有一点C （ξ，f (ξ)），曲线在C 点的切线平行于x 轴。 习题1（4）、4：
二、拉格朗日定理 如果函数f (x ) 满足条件：（1）在闭区间[a ，b ] 上连续；（2）在开区间（a ，b ）上可导，则至少存在一点ξ ∈（a ，b ），使得 ()()()a b a f b f f --= 'ξ 或 ()()()()a b f a f b f -'+=ξ 当f (a ) = f (b )时，该定理变为罗尔定理。罗尔定理是此定理的特殊形式。
几何意义：假设函数y = f (x)在闭区间[a，b]上的图形是连续光滑曲线弧AB，两点坐标A（a，f (a)）、B（b，f (b)），则在弧AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB。 推论1：如果函数f (x)在区间（a，b）内任意一点的导数) f'都等于0，则 (x 函数f (x)在区间（a，b）内是一个常数。 推论2：如果函数f (x)与g(x)在区间（a，b）内每一点的导数) (x g'都 f'与) (x 相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数。 习题2（2）、5、7：
第四章微分中值定理 和导数的应用【字体：大中小】【打印】 4.1 微分中值定理 费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果 （或） 则 一、罗尔(Rolle)定理 1.罗尔（Rolle）定理 如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。 2.几何解释: 在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求 出它的驻点。 【答疑编号11040101：针对该题提问】 解满足 在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0， ∵，取 例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所 在的区间。 【答疑编号11040102：针对该题提问】
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式 成立。 注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b) 结论亦可写成。 2.几何解释: 在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理 例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉 格朗日中值定理。 【答疑编号11040103：针对该题提问】
18.()(,),,()0.()()0(,)(),()()0,[,](,)),. R olle ()(()())0,()()0.19.3x f x a b f x f x f x a b f x g a g b g a b a b g x e f x f x f x f x A x -∞+∞='+==='''∈=+=+=设函数在内可导且是方程的两个实根证明方程在内至少有一个实根. 设在 连续, 在可导根据定理, 存在 c (a,b),使得即决定常数的范围,使方程x 证 g(x)=e 432 4 3 2 3 2 3 2 2 2 12318624.()38624,()12241224 12(22)12[(2)(2)]12(2)(1)12(2)(1)(1)0,. 1,1, 2.()19,(1)13,(2)8. ((x x x A P x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x P x P P P --++'=--+=--+=--+=---=--=--+==-===-==-有四个不相等的实根根据这些数据画图，由图易知当在区间解4 3 2 1),(2))(13,8)38624P x x x x A -=----++时有四个不相等的实根. 2 3 002 20.()1(1) .:()02 3 ,. 0()0,21lim (), lim (),,,,()0,()0. (,),()0.()1n n x x x x x f x x f x n n n x f x f n k f x f x a b a b f a f b x a b f x f x x x →-∞ →+∞ =-+ - ++-=≤>=-=+∞=-∞<><∈='=-+- 设证明方程当为奇数时有一个 实根当为偶数时无实根当时故只有正根当为奇数时,存在根据连续函数的中间值定理,存在使得 证 ,21 22 2221 1 0(0),0,,1 . 1 210, 1. 1 01,()0,1,()0,(1)0,(1)0,().21.()()()()[,k k k k x x x x f x x n k x x x x x x f x x f x f x f n f x u x v x u x v x a ---++-= <>>---+'=-+-++= ==--''<<<>>>>'' 当时严格单调递减故 实根唯一当为偶数时,f (x)=是时的最小值故当为偶数时无实根 设函数与以及它们的导函数与在区间],[,].()(),.()().()(). b uv u v a b u x v x u x v x u x v x ''-上都连续且在上恒不等于零证明在的相邻根之间必有一根反之也对即有与的根互相交错地出现试句举处满足上述条件的与 1212121212122 12,()[,].0,()0,()0.()[,],[,],()()0,R olle ,[,],()()0,)()0,[,]x x u x a b x x u v uv v x v x v x u x x w a b w x w x c x x v u v uv w c c u v uv c u v uv v x x ''<-≠≠≠==∈''-'''''= =-=-设是的在的两个根,由于如果在上没有根则=在连续由定理存在使得 即(此与恒不等于零的假设矛盾.故v(x) 在上有证cos(),sin ,--10,sin cos . u x v x u v uv x x ''===≠根. 例如的根交错出 现
第3章 微分中值定理与导数的应用 3.1 微分中值定理 习题 3-1 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的 数值ξ. (1) 2()23f x x x =--，[]1,1.5-； (2) ()f x =[0,3]. 2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间[0,1]上的正确性，并求 出满足定理的数值ξ. 3.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区 间的正中间. 4.一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速为65公里/小时的收费道路 上在2小时内走了159公里.罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶.为什么？ 5.函数3()f x x =与2()1g x x =+在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件？ 如满足，请求出满足定理的数值ξ. 6.设()f x 在[0,]π上连接，在(0,)π内可导，求证：存在(0,)ξπ∈，使得 ()()cot f f ξξξ'=-. 7.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导函数，且123()()()f x f x f x ==12(a x x << 3)x b <<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=. 8.证明：方程015=-+x x 只有一个正根. 9.证明下列不等式： (1)当0a b >>，1n >时，11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-; (2)当0b a >>时，ln b a b b a b a a --<<； (3)当1>x 时，x e e x ?>； (4)当0>x 时， x x x x <<+arctan 12 ； (5)当0>x 时，x x +>??? ? ?+1111ln .
第四章微分中值定理和导数的应用 一、考核要求 Ⅰ 知道罗尔定理成立的条件和结论，知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论。 Ⅱ 能识别各种类型的未定式，并会用洛必达法则求它们的极限。 Ⅲ 会判别函数的单调性，会用单调性求函数的单调区间，并会利用函数的单调性证明简单的不等式。 Ⅳ 会求函数的极值。 Ⅴ 会求出数在闭区间上的最值，并会求简单应用问题的最值。 Ⅵ 会判断曲线的凹凸性，会求曲线的凹凸区间和拐点。 Ⅶ 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。 二、基本概念、主要定理和公式、典型例题 Ⅰ 微分中值定理 今后，如果函数f(x)在某一点x 0处的导数值=0，就说这一点是驻点，因此罗尔中值定理的结论也可以说f(x)在（a，b）内至少有一个驻点。 从y=f(x)的几何图形（见下图）可以看出，若y=f(x)满足罗尔中值的条件，则它在（a，b）内至少有一点，其切线是水平的，根据导数的几何意义知道，该点的斜率=k=0。 从函数y= f(x)的图形看（见下图），
连接y= f(x)在[a，b]上的图形的端点A与B，则线段AB的斜率为： 将AB平行移动至某处，当AB的平行线与曲线y=f(x)相切时，若切点为x=c，则根据导数的几 何意义知： 或写作 故从几何图形看，拉格朗日定理是成立的。 典型例题 例一：（单选）下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条件的函数是（） ① ，[-1，1]； ② ，[-1，1]； ③ ，[1， 2]； ④ ，[-1，1]。 解：①在[-1，1]上处处有意义，没有无意义的点，因为他没有分母，所以 在b区间[-1，1]上处处连续满足第一个条件。 又f(-1)=1，f(1)=1，所以在端点上函数值相等，满足第三个条件 因此这函数在开间内不是处处可导，只少在0这一点不可导的，因此不满足第二个条件。 ② 在x=o处不可导，∴也不满足第二个条件。 ③ f(1)=1，f(2)=4，∴在[1，2]上满足第三个条件。 ④ ，处处可导且处处连续，f(-1)=1， f(1)=1。 ∴在[-1，1]上满足三个条件。 例二：证明方程在（0，1）内至少有一个根。 证：用罗尔中值定理 解：由于
大一高等数学教材课后答案第一章求极限和连续 1.1 极限的概念和性质 1.2 极限的运算法则 1.3 函数的连续性 第二章导数与微分 2.1 导数的概念和性质 2.2 函数的求导法则 2.3 高阶导数和隐函数求导 第三章微分中值定理与导数的应用 3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理 3.2 微分中值定理的应用 3.3 函数单调性与曲线图像 第四章不定积分 4.1 不定积分的概念和性质 4.2 基本积分法 4.3 第一换元法和第二换元法
第五章定积分 5.1 定积分的概念和性质 5.2 牛顿-莱布尼茨公式 5.3 定积分的几何应用 第六章微分方程 6.1 微分方程的基本概念 6.2 可分离变量的微分方程 6.3 一阶线性微分方程 第七章多元函数微分学 7.1 多元函数的概念和性质 7.2 偏导数与全微分 7.3 隐函数及其导数 第八章多元函数的积分学 8.1 二重积分的概念和性质 8.2 三重积分的概念和性质 8.3 曲线与曲面的面积与曲线积分第九章曲线积分与曲面积分
9.1 标量场与矢量场的线积分 9.2 标量场的曲面积分 9.3 矢量场的曲面积分 第十章空间解析几何 10.1 空间直线与平面 10.2 空间曲线与曲面 10.3 空间几何问题的解析法 第十一章空间曲线与曲面积分11.1 曲线积分的计算 11.2 曲面积分的计算 11.3 广义曲线积分与曲面积分 第十二章傅里叶级数与傅里叶变换12.1 傅里叶级数的定义和性质12.2 傅里叶级数的收敛性 12.3 傅里叶变换的定义和性质 第十三章偏微分方程 13.1 偏微分方程的基本概念
13.2 热传导方程与波动方程 13.3 拉普拉斯方程与边值问题 以上是大一高等数学教材的课后答案目录，每一章节都覆盖了相应知识点的题目答案，供同学们进行课后练习和检查。这些答案对于加深对高等数学知识的理解和掌握具有积极的作用。希望同学们能够认真学习，勤做练习，提高自己的数学水平。
高等数学教材答案解析版 第一章：函数与极限 1.1 函数和映射 函数是一种映射关系，用于表示两个集合之间的对应关系。对于给 定的自变量，函数可以确定唯一的因变量。函数的定义、性质及基本 概念包括：定义域、值域、奇偶性、单调性等。 1.2 三角函数 三角函数是高等数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。三角函数的定义、性质及公式包括：周期性、对称性、 增减性等。 1.3 极限与连续 极限是函数概念的重要基础，也是微积分的核心概念之一。极限的 定义、性质及计算方法包括：左极限、右极限、无穷极限、夹逼定理等。连续性的定义及相关定理也是本章的重点内容。 第二章：导数与微分 2.1 导数的定义与计算 导数是函数在某一点上的变化率，也可以解释为函数曲线在该点的 切线斜率。导数的定义、性质及计算方法包括：左导数、右导数、高 阶导数、导数的四则运算等。
2.2 微分学基本定理 微分学的基本定理包括：导数与连续性的关系、微分中值定理、洛必达法则等。这些定理在实际应用中有着重要的意义，如求函数的最大值、最小值、切线方程等。 2.3 函数的局部特性 函数的局部特性包括：极值点、拐点、凹凸性等。通过导数的计算和分析，可以判断函数在特定区间上的增减性、凹凸性及极值点的存在与位置。 第三章：定积分 3.1 定积分的定义与性质 定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下的面积、弧长、物体的质量等。定积分的定义、性质及计算方法包括：黎曼和、牛顿-莱布尼茨公式、基本定理等。 3.2 定积分的应用 定积分在科学和工程领域中有广泛的应用。常见的应用包括：求曲线下的面积、计算物体的质心、求解微分方程等。通过实际问题的解析，可以加深对定积分的理解和应用。 3.3 反常积分
习题4-1 1．验证下列各题的正确性，并求满足结论的ξ的值： (1) 验证函数()cos 2f x x =在区间[,]44 ππ -上满足罗尔定理； (2) 验证函数()f x = [4,9]上满足拉格朗日中值定理； (3) 验证函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上满足柯西中值定理. 解：(1) 显然()c o s 2f x x =在[,]44ππ - 上连续，在(,)44 ππ -内可导，且 ()()044 f f ππ -==， 又 ()2sin 2f x x '=-，可见在(,)44ππ - 内，存在一点0ξ=使 ()0 0(2sin 2)0.f x ξ='==-= (2) ()f x =[4,9]上连续，() f x '=，即知()f x = (4,9)内可导， 由 (9)(4)1 945f f -==-25 4 x =， 即在(4,9)内存在25 4 ξ=使拉格朗日中值公式成立. (3) 显然函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(内可导，且 .02)(≠='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于 ,371 2)11()12()1()2()1()2(233=-+-+=--g g f f ,23 )()(x x g x f ='' 令,3723=x 得.914=x 取),2,1(9 14 ∈=ξ则等式 ) () ()1()2()1()2(x g x f g g f f ''= -- 成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性. 2．不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根，并指出这些根的范围. 解 因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在(2,1)--内至少存在一点,1ξ使,0)(1='ξf 即1ξ是)(x f '的一个零点； 又在(1,0)-内至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点. 又因为)(x f '为二次多项式，最多只能有两个零点，故)(x f '恰好有两个零点，分别在区间(2,1)--和(1,0)-. 3．设函数)(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数，试证对任意正数a ，存在 (,)a a ξ∈-, 使 ()()f a af ξ'=. 证 因()f x (,)-∞∞处处可导，则()f x 在[]a a -，上应用拉格朗日中值定理：存在 ()a a ξ∈-，，使 ()()()(())f a f a f a a ξ'--=⋅--. 由)(x f 是奇函数，则上式为()()2()f a f a af ξ'+=, 故有 ()()f a af ξ'=.
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值 定理 本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。当前页 有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。 1.不用求出函数 的导数，分析方程有几个实根？ ()A．0B．1C．2D．3 答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析： 2.=？（） A．0B．1C．-1D．2 答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析： 3.=？，（） A．0B．1C．-1D．2 答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析： 4.求不能使用洛必塔法则。（）答题：对.错.（已提交）参考答案： √问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和 渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。当前 页有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。1.下面关于函数的 描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调 递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。（）答题：对.错.（已 提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。（）
答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。当前页有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。 1.某厂生产某产品，每批生产 台得费用为，得到的收入为 ，则利润为？（） A．B．C．D． 答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析： 2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（） A．220B．230C．240D．250 答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析： 一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图 本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。当前页有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。1.下面关于函数哪两句话是正确的？（）上是凹的上是凸的A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在上是凹的上是凸的答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AD问题解析：一元微积分·第五章不定积分·第一节不定积分的概念本次练习有3题，你已做3题，已提交3题，其中答对3题。当前页有3题，你已做3题，已提交3题，其中答对3题。
高等数学教材课后习题答案 第一章：函数与极限 1.1 函数的概念与性质 1. a) 题目: 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的定义域。 解答: 由于这是一个二次函数，定义域为全体实数R。 1. b) 题目: 求函数f(x) = \sqrt{x + 2}的定义域。 解答: 根据平方根的定义，要使得函数有意义，必须有x + 2 >= 0，即x >= -2，所以定义域为[-2, +∞)。 1.2 一元函数的极限 2. a) 题目: 计算极限lim(x->2) (x^2 - 4) / (x - 2)。 解答: 这是一个常见的极限形式，可以通过因式分解或利用(x - a) 的性质进行简化，得到lim(x->2) (x + 2) = 4。 2. b) 题目: 判断极限lim(x->0) (3x^2 - 2x) / (5x^2 - 4x)是否存在。 解答: 分子和分母的最高次项都是x^2，可以利用最高次项的系数 求极限的方法进行计算。结果为lim(x->0) (3x^2 - 2x) / (5x^2 - 4x) = 3/5。 1.3 连续性与导数 3. a) 题目: 判断函数y = |x - 2| + x在点x = 2处是否连续。
解答: 在x = 2的左右两侧函数取值不同，所以函数y = |x - 2| + x 在点x = 2处不连续。 3. b) 题目: 求函数y = sin(2x)的导数。 解答: 根据常见的导数公式，导数为dy/dx = 2cos(2x)。 第二章：导数与微分 2.1 导数的概念与性质 1. a) 题目: 求函数y = x^3 - 2x^2 + x的导数。 解答: 根据幂函数的求导规则，导数为dy/dx = 3x^2 - 4x + 1。 1. b) 题目: 求函数y = e^x的导数。 解答: 根据指数函数的求导规则，导数为dy/dx = e^x。 2.2 高阶导数与隐函数求导法 2. a) 题目: 求函数y = sin(x) + cos(x)的二阶导数。 解答: 首先求一阶导数dy/dx = cos(x) - sin(x)，然后再对一阶导数 求导，得到二阶导数d^2y/dx^2 = -sin(x) - cos(x)。 2. b) 题目: 已知函数y = e^x^2 + ln(x)，求y对x的隐函数导数dy/dx。 解答: 根据隐函数求导的方法，先对y进行微分，得到dy = (2xe^x^2 + 1/x)dx，然后求出dy/dx = (2xe^x^2 + 1/x)。 2.3 微分中值定理与导数的应用
高等数学教材郑州大学答案第一章：导数与微分 1.1 导数的概念及其计算方法 1.2 导数的几何意义与应用 1.3 高阶导数 第二章：微分中值定理与导数的应用 2.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理 2.2 高阶导数的应用 2.3 函数的单调性与曲线的凹凸性 2.4 函数的图形与曲线的渐近线 第三章：不定积分 3.1 原函数与不定积分 3.2 换元积分法 3.3 分部积分法 3.4 有理函数的积分 第四章：定积分 4.1 定积分的概念与性质
4.2 定积分的计算方法 4.3 牛顿-莱布尼茨公式 4.4 定积分的应用 第五章：微分方程 5.1 微分方程的基本概念 5.2 可分离变量的微分方程5.3 齐次线性微分方程 5.4 一阶线性微分方程 5.5 高阶线性微分方程 第六章：无穷级数与幂级数6.1 数项级数的概念 6.2 正项级数的审敛法 6.3 幂级数的概念与性质 6.4 幂级数收敛半径的计算6.5 幂级数的展开与运算 第七章：多元函数微分学7.1 二元函数的极限与连续性
7.2 偏导数与全微分 7.3 隐函数与参数方程 7.4 多元函数的极值与条件极值7.5 二重积分的概念与计算方法 第八章：空间解析几何与向量代数8.1 点、直线与平面的方程 8.2 空间曲线的参数方程与切向量8.3 空间曲面的方程与法向量 8.4 空间直线与平面的位置关系8.5 向量的基本运算与数量积 第九章：多元函数积分学 9.1 二重积分的概念与性质 9.2 三重积分的概念与性质 9.3 二重积分的计算方法 9.4 三重积分的计算方法 9.5 曲线、曲面积分与应用 第十章：曲线积分与曲面积分
《经济数学--微积分》第四章中值定理与导数的应用练习题
第四章导数的应用 一、判断题 1. 若 «Skip Record If...»在 «Skip Record If...»上连续，在 «Skip Record If...» 内可导，«Skip Record If...»，（） 则至少存在一点 «Skip Record If...»，使得 «Skip Record If...»；（） 2. 函数 «Skip Record If...»在 «Skip Record If...»上满足拉格朗日定理；（） 3. 若 «Skip Record If...»是函数«Skip Record If...»的极值点，则«Skip Record If...»；（） 4.«Skip Record If...»是可导函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点处取得极值的充要条件；（） 5. 函数可导，极值点必为驻点；（） 6. 函数 «Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的极大值一定大于极小 值；（） 7. 设«Skip Record If...»,其中函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处可导,则«Skip Record If...»；（） 8. 因为«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内连续，所以 在«Skip Record If...»内«Skip Record If...»必有最大值；（） 9. 若 «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则 «Skip Record If...»是 «Skip Record If...»的极大值；（） 10. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；（） 11. «Skip Record If...»是 «Skip Record If...»在 «Skip Record If...»上的极小值 点；（）
第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小 值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> (word完整版)专升本高等数学习题集及答案(word版可编辑修改) 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)专升本高等数学习题集及答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(word完整版)专升本高等数学习题集及答案(word版可编辑修改)的全部内容。 第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数 A. x x y +=tan B 。 y x = C. )1()1(-⋅+=x x y D. x x y 2sin 2 ⋅= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B 。 cos y x = C. arcsin y x = D 。 sin y x x =⋅ 4. 下列函数中,定义域是[,+]-∞∞，且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C 。 arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,)22ππ- C 。 [,]22ππ- D 。 (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B 。 arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A 。 (,)-∞+∞ B 。 [1,1]- C 。 (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B 。 [1,1]- C. (,)ππ- D 。 [2,0]- 9. 下列各组函数中,【 A 】是相同的函数 A 。 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B 。 ()arccos f x x = C 。 ()tan f x x = D 。 ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ- B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D 。 [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】 A. arcsin y x x = B. arccos y x x = 高等数学课后习题及参考答案 （第四章） 习题4-1 1. 求下列不定积分: (1)⎰dx x 21 ; 解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰1 12111222. (2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++= =+⎰ ⎰2123 23 52 12 31. (3)⎰dx x 1; 解 C x C x dx x dx x +=++-= =+-- ⎰⎰ 212 11 1121 21 . (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x += ++= =+⎰ ⎰3 313737 3 210 313 71. (5)⎰dx x x 21; 解 C x x C x dx x dx x x +⋅-=++-= =+-- ⎰⎰12312 511125 25 2 . (6)dx x m n ⎰; 解 C x m n m C x m n dx x dx x m n m m n m n m n ++=++= =++⎰ ⎰ 111. (7)⎰dx x 35; 解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334 5 55. (8)⎰+-dx x x )23(2; 解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰22 3 3123)23(2322. (9)⎰ gh dh 2(g 是常数); 解 C g h C h g dh h g gh dh += +⋅= = ⎰⎰ - 22212122 121 . (10)⎰-dx x 2)2(; 解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423 1 44)44()2(23222. (11)⎰+dx x 22)1(; 解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰352424223 2 512)12()1(. (12)dx x x ⎰-+)1)(1(3; 解 ⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰- + -=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23 21 2323)1()1)(1( C x x x x +-+-=25 23 35 2 3231. (13)⎰ -dx x x 2 )1(; 解 C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-=+-=+-=-⎰⎰ ⎰ - 25 23 2 1 2 32 1212 2 5 2 342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1 1 332 24; 解 C x x dx x x dx x x x ++=++ =+++⎰ ⎰arctan )1 13(1 133322224. (15)⎰+dx x x 2 2 1;(word完整版)专升本高等数学习题集及答案(2021年整理)
高等数学课后习题及参考答案(第四章)
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