微分中值定理例题

理工大学

微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２

１２１２１２１２２１１１２１１１２１

１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 001

1

000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n

n

i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.

'''=+-+

∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00

1

1

1

1

0000111()

()()()().x 2!

()()()()()(()()().)

n

n n

i i i i i i i n

n

i n

n

i

i

i

i

i

i

i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫

''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭

∑∑∑∑∑∑∑注：x

()3.)tan

.

2

F ,F 2

(0)0,(0)0,((cos

02

F f x

f F F f ππξ

ξπξξπππ

πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，

在（，）内可导，

且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos

sin F cos sin 0222222

cos

0)tan

2

2

x x x f f f πξξξ

ξξξξ

ξ

ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

4.设)(x f 在]1 , 0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，,

1)21(=f

试证：（1）至少存在一点),1,21

(∈η使得η=η)(f ；（2）对任意实数λ，必存在), , 0(η∈ξ 使

得 ].)([1)(ξ-ξλ=-ξ'f f

证明：（1）设

x

x f x F -=)()(，则

],1,21

[)(∈x F 又1

)1(,

21)21(-==F F ，所以0)1()2

1

(<⋅F F 由零点定理知：,0)(),1,2

1

(=η∈η∃F 使得即.)(η=ηf

（2）构造辅助函数：])([)(x x f e x G x

-=λ-则),0()(],,0[)(η∈η∈D x G C x G

又0)(,

0)0(=η=G G

所以将上应用罗尔定理，有，在]0[)(ηx G 存在），（η∈ξ0

使得0)(=ξ'G .

0]}1)([])([{)(=-ξ'+ξ-ξλ-=ξ'λξ-f f e G

又 ,0≠λξ

-e

得0]1)([])([=-ξ'+ξ-ξλ-f f 即 1)(])([-ξ'=ξ-ξλf f 结论成

立。

5.求证：对任意实数x ，2

2arctan ln(1).x x x ≥+

、 证明：设)1ln(arctan 2)(2x x x f +-=，则0)0(=f

x x f arctan 2)(=',当0>x 时，有,0)(>'x f )(x f 在),0(+∞严格单增，有0)(>x f ，

当0x f ， 所以对任意实数x ，

0)(≥x f ，结论成立。 （后半部分也可利用偶函数的性质证明）.

6.(1) 设n 为正整数，试利用拉格朗日中值定理证明不等式：

111ln(1);1n n n

<+<+ (2) 利用(1)的结果证明数列11

1

(1)ln 23

n x n n

=+++

+-收敛. 证明：（1）设,ln )(x x f =对于正整数n ，显然有)(x f 在区间]1,[+n n 上满足拉氏 中值定理，所以至少存在一点)1,(+∈ξn n ，使得

)(1

)

()1(ξ'=-+f n f n f

即ξ=-+=+

1

ln )1ln()11ln(n n n 又n

n 1111<ξ<+,从而n n n 1)11ln(11<+<+ 成立。 （2）n n

n n x x n n ln )1211()1ln()11211(1++++-+-++++=-+ .0)11ln(11<+-+=n n

所以数列为单调递减数列。 又n

n n n x x

n n 1

11)11ln(111-+>+-+=

-+112111)()()(x x x x x x x x n n n n n +-++-+-=-++

1)121()111()111(

+-++--+-+> n n n n 01

1>+=n 所以此数列有下界，由单调有界准则知此数列收敛。

7.设()f x 在[]0,1上二阶可导,且()()01f f =.求证在()0,1内至少存在一点ξ,使得

()()20f f ξξξ'''+=

证明: 作辅助函数()2

()F x x f x '=, 由

()f x 在[]0,1上二阶可导,知()F x 在

[]0,1上可导,从而()F x 在[]0,1上连续.

又

()f x 在[]0,1上满足Rolle 定理的条件，从而由Rolle 定理知：()0,1η∃∈，

使得()0f η'=。 又(0)0F =，()2

()0F f ηηη'==

这样，()F x 在[]0,η上满足Rolle 定理的条件，由Rolle 定理，有

()()()0,0,1,0F ξηξ'∃∈⊂=使得

又()()()22F x xf x x f x ''''=+()()()220F f f ξξξξξ''''∴=+=∴()()20

f f ξξξ'''+=,结论得证.

8.已知()

f x 在

[0,1]

上连续，且在(

)

0,1内可导，且

()0f =0，()1f =1

。求证 （1） 存

在

()0,1ξ∈ 使得()1

2

f ξ=。

（2） 存在两个不同的点(),0,1ηλ∈，使得

()()

11

2f f ηλ+='' 证明：（1）

()()()1

,00,11,02

f x C f f ∈[0,1]==<

<1且又，故由连续函数介值定理知()()10,1,.2

f ξξ∃∈=使

（2）对()f x 在区间ξ[0,]，ξ[,1]上分别应用拉格朗日中值定理，得

()()0,,,,

ηξλξηλ∃∈∈,1≠，使

()()()()()()()

1101011122.21121f f f f f f ξξηλξξξξξξ----''=====

=---()()

1122(1) 2.f f ξξηλ∴

+=+-='' 9. 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，且0)(,0)(<''>'x f x f ，证明在),(b a 内， 方程x

b a f x f x f --=

')

()()(有惟一的实根.

证明：（1）根的存在性：

设

x

a f x bf x xf x F )()()()(--=，则],,[)(

b a C x F ∈),,()(b a D x F ∈又

)()()(b F a bf a F =-=，由罗尔定理知：,0)(),,(=ξ'∈ξF b a 使得至少存在一点

即方程0)(='x F 至少有一个根，而)()()()()(a f x f b x f x x f x F -'-'+='

x

b a f x f x f x F --=

'=')()()(0)(，变形即为方程.)

()()(至少有一个根所以方程x b a f x f x f --='

（2）根的惟一性：

)()()()()(a f x f x f b x x F -+'-=')()()(2)(x f b x x f x F ''-+'='' ),((b a x ∈∀

.0)(,0,0)(,0)(>''<-<''>'x F b x x f x f 可知，由已知条件，

有惟一零点。

严格单增，)()(x F x F ''∴.

)()()(有惟一一个根所以方程x

b a f x f x f --='

10.证明arcsin arccos (11).2

x x x π

+=

-≤≤

证：设()arcsin arccos f x x x =+， [1,1]x ∈- 则在(1,1)-

上

()(0f x '=

+=

(),(1,1)f x C x ∴≡∈- (0)arcsin 0arccos002

2

f π

π

=+=+

=

又

即 .2

C π

=

又(1),2

f π

±=

()arcsin arccos 2

f x x x π

=+=

[1,1]x ∈-

11.证明当

0,

ln(1).1x

x x x x

><+<+时 证：设()ln(1)f x x =+， ()f x 在[]0x ，上满足拉氏定理条件，

()(0)()(0),(0)f x f f x x ξξ'∴-=-<<

1(0)0,(),1f f x x

'==

+ 由上式得ln(1)1x x ξ+=

+，又0x ξ<< 111x ξ∴<+<+ 11

111x ξ

∴

<<++ ,11x x x x ξ∴

<<++ 即 ln(1)1x

x x x

<+<+ 12. 0,ln b a b b a b a b a a -->><<

设证明： 证：将待证不等式整理为1ln ln 1

,b a b b a a

-<<- 设函数()ln ,f x x =，则()[,]f x a b 在上满

足拉格朗日定理的条件，于是存在(,)a b ξ∈，使得

ln ln 1

()b a f b a ξξ

-'==-

由于(,)a b ξ∈，故111.b a ξ<<所以1ln ln 1b a b b a a -<<-，即ln .b a b b a

b a a

--<<

13.证明：不等式2

sin 1(01)2

x

x e x x -+<+<<成立

证:设函数2

()sin (1),[0,1].2

x

x f x e x x -=+-+∈则有()cos x f x e x x -'=-+-，

()f x '的正负难以确定，继续求导得()sin 1x f x e x -''=--。

显然，当01x <<时，()0,f x ''<所以()f x '严格单调递减。

又由于(0)0f '=，得当01()(0)0,x f x f ''<<<=时,从而()f x 严格单调递减，

所以当01()(0)10(10)0,x f x f <<<=+-+=时, 因此2

sin 1(01).2

x

x e x x -+<+<<

14.设函数()[0,1]f x 在上连续，在(0,1)内可导，证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使

()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-

证：分析：结论可变形为

2

(1)(0)()()

102()x f f f f x x ξ

ξξ=''-=='

- 设2()g x x =

则(),()[0,1]f x g x 在上满足柯西中值定理条件，(0,1)∴在内至少存在一点ξ，有

(1)(0)()

102f f f ξξ

'-=- 即()2[(1)(0)]f f f ξξ'=-

15.设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内存在二阶导数，连接(,())A a f a 和

(,())B b f b 的直线段与曲线()y f x =相交于(,())C c f c ，其中a c b <<。证明：至少存在一

点(,),()0a b f ξξ''∈=使得。

证明：分别在[,][,]a c c b 和上应用拉格朗日定理，则存在2(,),(,)a c c b ξξ∈∈1，使得

()()()()

(),()f c f a f b f c f f c a b c ξξ--''=

=

--12 ,,A B C 三点共线，故有 ()()()()

()()AC BC f c f a f b f c f k k f c a b c

ξξ--''=====--12

在[,]ξξ12上应用罗尔定理，得存在(,)(,)a b ξξξ∈⊂12，使得()0.f ξ''=

16.若函数()f x 在区间00[,](0)x x δδ+>上连续，在00,)x x δ+(内可导，且0

lim ()x x f x +

→'存在（或为∞），则0

0()lim ()x x f x f x +

+→''= 证 任取00,),x x x δ∈+(则()f x 在区间0[,]x x 上满足拉格朗日定理的条件，于是存在

0,)x x ξ∈(，使得

00()()()f x f x f x x ξ-'=- 因此0

00000()()

()lim lim ()lim ()x x x x x x f x f x f x f f x x x ξ++++→→→-'''===-

同理可证：若函数()f x 在区间00[,](0)x x δδ->上连续，在00,)x x δ-(内可导，且0

lim ()x x f x +→'存在（或为∞），则0

0()lim ()x x f x f x -

-→''= 17.设()[0,],f x C π∈ 且在(0,)π内可导，证明至少存在一点,),0(πξ∈使

()()cot .f f ξξξ'=-

提示：由结论可知，只需证()sin ()cos 0f f ξξξξ'+= 即[]

()sin 0x f x x ξ

='

=

设()()sin F x f x x =，验证()F x 在[0,]π上满足罗尔定理条件。

18.若()f x 可导试证在其两零点之间一定有()()f x f x '+的零点。

提示：设1212()()0,,f x f x x x ==<欲证：12(,),x x ξ∃∈使()()0f f ξξ'+= 只需证()()0e f e f ξξξξ'+= 亦即[()]0x x e f x ξ

='

=

作辅助函数()(),x F x e f x =验证()F x 在12[,]x x 上满足罗尔定理条件

19.证至少存在一点(1,)e ξ∈，使sin1cosln .ξ= 证：法一用柯西中值定理，令()sin ln ,

()ln f x x F x x ==

则()()[]1,f x F x e 、在上满足柯西中值定理条件，因此

()(1)()

,(1,)()(1)()

f e f f e F e F F ξξξ'-=∈'-

即1

1

cosln sin1cosln ξ

ξξ

ξ=

=

法二：令()sin ln sin1ln f x x x =-⋅，则()[]1,f x e 在上满足罗尔中值定理条件，因此存在(1,),e ξ∈使()0f ξ'=

1

1()cosln sin1f x x x

x

'=⋅-⋅

sin1cosln ξ=

()[]()(0)(1., ,)(2)3,(3)1,(0,, ,3),()0.

f f f f f x f ξξ++=='∈=0303 20设函数在上连续在内可导且试证使必存在

[][]:f(x)0, 3,0, 2,[0, 2]M m,证因在上连续所以在上连续且在上有最大值与最小值故

(0)(1)(2)

3

(0),(1),(2)f f f m f f f M m M ++≤≤⇒≤

≤

(0)(1)(2)

3

[0,2],()1()(3)1,,f f f c f c f c f ++∈====由介值定理至少存在一点使

()[,3],(,3),(,3)(0,3),()0.,f x c c c f ξξ'∈⊂=由罗尔定理且在上连续在内可在导使知必存

()[]()()()21.0,10,110,0,1f x f ξ=∈设在上连续，在内可导，且证明至少存在一点，使 2()

()f f ξξ

ξ'=-

2()2()0.()()

f f x x f x ξξξφ'+==证：问题转化为证设辅助函数[]()0,1(0),,1x φξ∈显然在上满足罗尔定理条件故至少存在一点，

2()2()2()()0()f f f f ξξφξξξξξξ'''=+==-使即有

()1

010010 ,,,,0,2

101.

n

n n n a a a a a a n a a x a x +

++

=+++

+= 22.设函方数满程证明在内至少有一足下述等个实根式 2

1

1010()()2

1

n n n n a a F x a a x a x F x a x x x n +'=+++=+

++

+证：令则可设 01,()[0,1],(0,1),(0)(1)0,(0,1),()0,001n

n F x F F F a a x a x ξξξ

=='∈=++

+=由罗尔定理知存在一点显然在上连续在内可导且使即在（，）内至少有一个实根

若结论中含高阶导数 , 多考虑对导数用中值定理

()[]()()()()()23.(),0,0f x g x a b g x f a f b g a g b ''≠====设和在上二阶可导，且 证明：1）在(),a b 内，()0g x ≠ 2）在(),a b 内，至少存在一点ξ，使得

()''()

()''()

f f

g g ξξξξ= (1)(,)()0.(,)c a b g c a c ∈=∈1证：反证法：若有一点使得由罗尔定理，存在一点x 12212'()0.(,)'()0.[x ,]g x x c b g x x = ∈=使得存在一点使得在上应用罗尔定理， 12[,],g ''()0.x x ξξ∈=存在一点矛盾

(2)()'()'()().()0.'()''()''()().F x f x g x f x g x F a F b F x f x g x f x g x =-===-令（

）于是（）且（） ()''()(,)'()0.()''()

f f a b F

g g ξξξξξξ∈==由罗尔定理，存在,使得即：

注意.证明含一个中值的等式中出现函数值的差或自 变量的差，考虑用拉格朗日或柯西中值定理.

.()[0,1](0,1),(0,1)f x ξ∈24设在上连续，在内可导证明至少存在一点，使

()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-

2

(1)(0)()()

102():f f f f x x x ξξ

ξ''-=='=-证结论可变形为

2(),F x x =设 []()0, 1, 0 ,(1( )) ,,f x F x ξ在上满足柯西中值定理条件因此在内至少存在一点则使

[](1)(0)()

()2(1)(0)102f f f f f f ξξξξ

'-'= =--即

若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用中值定理

()[]()25.0,10,(0)0,(1)11,f f f x ==设在上连续，在内可导，且试证：对任意给定''

()()

.a b

a b f f ξηξη+=+的正数a,b 在（0,1）内存在不同的,，使

,,01()[0,1],(0,1),a

a b f x a b

τ∴<<∈+证：与均为正数又在由介值定理上连续存在

(),()[0,],[,1],a

f f x a b

τττ=

+使得在上分别用拉氏中值定理有 ()(0)(0)(),(0,)f f f ττξξτ'-=-∈ （1） (1)()(1)(),(,1)f f f ττηητ'-=-∈ （2）

()()()

(0)0,(1)1,12()()

a

f a b f f f f ττξξ+====''注意到，由有 （3） 1()1()()b f a b f f ττηη-+-=

='' （4）

（3）+（4）得1.()()()()()()

a b a b

a b f a b f a b f f ξηξη=

+ ∴+=+''''++

26. 22224

,ln ln ().e a b e b a b a e

<<<->-设证明 提示：

222

2ln ln 2ln 1.()ln , b a f x x Lagrange e a b e b a ξ

ξξ

-==<<<<-对函数使用中值定理

ln .()f e ξ

ξξξ

=

>2分析函数（）的单调性。.

()(,)(a,)'()()(,).f x a b x b f x M f x a b ∀∈≤27.设函数在内可导，且，证明函数在内有界 ()000(,),(,),:,x a b x a b f x x x x ∈∈ 证取点再取异于的点为端点对再以的区间上

000,()()()()()f x f x f x x x x ξξ'-=-用拉氏中值界于定与理之间得

00000()()()()()()()()f x f x f x x f x f x x f x M b a K ξξ''∴=+-≤+-≤+-=（定数） (,),(),x a b f x K ∈≤可见对任意即得所证。

微分中值定理例题

理工大学 微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２ １２１２１２１２２１１１２１１１２１ １２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫ ''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭ ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 02 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续， 在（，）内可导， 且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理及其应用

微分中值定理及其应用 微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。 微分中值定理的数学表述如下： 若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件： 1、f(x)在[a, b]区间内可导； 2、f(a)和f(b)存在； 则在[a, b]内必有一个点c满足： f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a) 其中，f'(c)表示在点c处的导数。 这个定理的意义可以用图示表示为以下： 此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。 下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。 例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。 我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。 由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足： f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a) 根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数： f'(x) = k 因此，有： 即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。

例2：证明一段周期函数的平均值等于零。 假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即： (1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期） 我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到： 由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到： ∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0 即： 由此可得： 因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。 以上就是微分中值定理及其应用的一些主要内容。无论是在证明数学定理，还是研究物理现象等方面，微分中值定理都可以派上很大的用场。希望本文能够给大家带来帮助。

第03章微分中值定理与导数的应用习题详解

M 12丿」I 2丿 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题3-1 1.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。可见， f(x) 在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即: f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏 0,—】，F'(X)H 0 , ”■. f (x), F (x)满足柯西 I 2丿 中值定理条件。 — 12© 宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续, f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在 一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3 ), y ‘ = 一 2 3 —12x 2 厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5

微分中值定理题目

例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7]. 例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞ →→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7]. 例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'?'+ b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7]. 例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2]. 例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3 =,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF . 例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<' +a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点. 例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00

3第三章-微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章微分中值定理与导数的应用答案

§3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧ =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成 立（ B ）． A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221) ()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π =， 故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞= +x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在 ),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 5． 证明方程06213 2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03 1)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使

微分中值定理与导数的应用

第3章 微分中值定理与导数的应用 3.1 微分中值定理 习题 3-1 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的 数值ξ. (1) 2()23f x x x =--，[]1,1.5-； (2) ()f x =[0,3]. 2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间[0,1]上的正确性，并求出满足定理的数值ξ. 3.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区 间的正中间. 4.一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速为65公里/小时的收费道路 上在2小时内走了159公里.罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶.为什么？ 5.函数3()f x x =与2()1g x x =+在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件？ 如满足，请求出满足定理的数值ξ. 6.设()f x 在[0,]π上连接，在(0,)π内可导，求证：存在(0,)ξπ∈，使得 ()()cot f f ξξξ'=-. 7.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导函数，且123()()()f x f x f x ==12(a x x << 3)x b <<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=. 8.证明：方程015=-+x x 只有一个正根. 9.证明下列不等式： (1)当0a b >>，1n >时，11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-; (2)当0b a >>时，ln b a b b a b a a --<< ； (3)当1>x 时，x e e x ?>； (4)当0>x 时， x x x x <<+arctan 12 ； (5)当0>x 时，x x +>??? ? ?+1111ln .

数学分析6微分中值定理及其应用总练习题详解

第六章 微分中值定理及其应用 总练习题 1、证明：若f(x)在(a,b)内可导，且+ →a x lim f(x)=- →b x lim f(x)，则至少存在一点 ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0. 证：定义f(a)=+ →a x lim f(x)，f(b)=- →b x lim f(x)，则 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，由罗尔中值定理知 至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0. 2、证明：若x>0，则 (1)1x +-x = θ(x) x 21+，其中41<θ(x)<2 1； (2)0x lim →θ(x)=4 1，+∞ →x lim θ(x)=2 1. 证：(1)由拉格朗日中值定理得：1x +-x =θ(x) x 21+, (0<θ(x)<1)， ∴θ(x)x 2+= x 1x 1-+=1x ++x ，∴θ(x)=4 1 +2 1[1)x(x +-x]. ∵1)x(x +-x>2x -x=0，∴4 1+2 1[1)x(x +-x]>4 1； 又1)x(x +-x=x 1)x(x x ++< x x x 2+=21，∴41+21[1)x(x +-x] <2 1. ∴4 1<θ(x)<2 1. (2)(1)中已证θ(x)=41+21[1)x(x +-x]， ∴0x lim →θ(x)=0x lim →{41+21[1)x(x +-x]}=41 ； +∞ →x lim θ(x)=+∞ →x lim { 41+21[1)x(x +-x]}=41+21 +∞ →x lim 1x 1 11++=2 1.

3、设函数f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且ab>0. 证明： 存在ξ∈(a,b)，使得f(b) f(a)b a b -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ). 证：记F(x)= x f (x)，G(x)=x 1 ，根据柯西中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得 )(G )(F ξξ''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)，又) (G )(F ξξ''=f(ξ)- ξf ’(ξ)，∴f(ξ)- ξf ’(ξ)=G(a)-G(b)F(a) -F(b). 又f(b) f(a)b a b -a 1=b -a bf (a)-af (b)=a 1-b 1a f(a) -b f(b)=G(a)-G(b)F(a)-F(b)， ∴f(b) f(a)b a b -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ). 4、设函数f 在[a,b]上三阶可导，证明： 存在ξ∈(a,b)，使得f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-12 1 (b-a)3f ”’(ξ). 证：记F(x)=f(x)-f(a)-2 1(x-a)[f ’(x)+f ’(a)]，G(x)=(x-a)3，则 F,G 在[a,b]上二阶可导， F ’(x)=f ’(x)-21[f ’(x)+f ’(a)]-21(x-a)f ”(x)， G ’(x)=3(x-a)2， F ”(x)=f ”(x)-21f ”(x)-21f ”(x)-21(x-a)f ’”(x)=-2 1 (x-a)f ’”(x)；G ”(x)=6(x-a). 且F(a)=F ’(a)=0，G(a)=G ’(a)=0. 根据柯西中值定理，存在η∈(a,b)，使得 )(G )(F ηη''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)=G(b) F(b)=3a)-(b ] (a)f (b)f )[a -b (21 -f(a)-f(b)'+'， 又根据柯西中值定理，存在ξ∈(a, η)，使得

《高等数学》微分中值定理

77 微分中值定理 一、基本内容 公共条件：若函数)(x f ，)(x g 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导， 1. 罗尔(Rolle)定理： 在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf 2. 拉格朗日（Lagrange ）中值定理：则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ或a b a f b f f --=')()()(ξ 3. 柯西（Cauchy ）中值定理：对任一),(b a x ∈，0)(≠'x g ，则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得 ) ()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=-- 二、学习要求 理解罗尔定理，拉格郎日中值定理，柯西中值定理的条件和结论，并会使用这些定理。 三、基本题型及解题方法 题型1 不求导数，判断方程0)(='x f 的根的情况 解题方法：先寻找罗尔定理的条件，然后根据罗尔定理得出结论。 【例1】 不用求出函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(='x f 有几个实根，并指出它们所在区间。 解：因为,0)4()3()2()1(====f f f f 所以)(x f 在闭区间[1，2]、[2，3]，[3，4]满足罗尔定理的三个条件，因此，在（1，2）内至少存在一点1ξ，使0)(1='ξf ，即1ξ是)(x f '的一个实根；在（2，3）内至少存在一点2ξ，使0)(2='ξf ，即2ξ是)(x f '的又一个实根，又在（3，4）内至少存在一点3ξ，使0)(3='ξf ，即3ξ是)(x f '的又一个实根。

考研：微分中值定理的证明题汇总

- 0 1 1 1 - e 微分中值定理的证明题 1. 若 f (x ) 在[a , b ] 上连续，在(a , b ) 上可导， f (a ) = f (b ) = 0 ，证明： ∀λ ∈ R ， ∃ξ ∈(a ,b ) 使得： f '(ξ ) + λ f (ξ ) = 0 。 证：构造函数 F (x ) = f (x )e λx ，则 F (x ) 在[a , b ] 上连续，在(a , b ) 内可导， 且 F (a ) = F (b ) = 0 ，由罗尔中值定理知： ∃ξ ∈（a ,b ) ，使 F '(ξ ) = 0 即：[ f '(ξ ) + λ f (ξ )]e λξ = 0 ，而e λξ ≠ 0 ，故 f '(ξ ) + λ f (ξ ) = 0 。 2. 设a ,b > 0 ，证明： ∃ξ ∈(a ,b ) ，使得ae b - be a = (1-ξ )e ξ (a - b )。 1 1 1 证：将上等式变形得： 1 e b - 1 e a 1 = (1- ξ )e ξ ( 1 - 1 ) b a b a 1 1 1 1 1 作辅助函数 f (x ) = xe x ，则 f (x ) 在[ , ] 上连续，在( , ) 内可导， b a b a 由拉格朗日定理得： 1 1 f ( ) f ( ) b a = ' 1 - 1 b a f (ξ ) ∈( , ) ， ξ b a 1 e b 1 a 1 1 1 1 1 1 即 b a = (1- )e ξ ∈( , ) ， 1 - 1 ξ b a ξ b a 即： ae b - be e = (1-ξ )e ξ (a ,b ) ξ ∈(a ,b 。 3. 设 f (x ) 在(0,1) 内有二阶导数，且 f (1) = 0 ，有 F (x ) = x 2 f (x ) 证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ ，使得： F ''(ξ ) = 0 。 证：显然 F (x ) 在[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，又 F (0) = F (1) = 0 ，故由罗尔定理知： ∃x 0 ∈(0,1) ，使得 F '(x 0 ) = 0 又 F '(x ) = 2xf (x ) + x 2 f '(x ) ，故 F '(0) = 0 ， 于是 F '(x ) 在[0，x ] 上满足罗尔定理条件，故存在ξ ∈(0, x 0 ) ， 使得： F ''(ξ ) = 0 ，而ξ ∈(0, x 0 ) ⊂ (0,1) ，即证 4. 设函数 f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导， f (0) = 0 ， f (1) = 1.证明： 1 1 1

微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧

微分中值8定理与积分3定理及函数的9性质的综合证明题型与技巧 -)中值八定理以下的连纟卖函数在闭区间xwg. b］的基本定理(只与函数有矢)共同条件：闭连纟卖 ①I有界定理或最大值与最小值左理|x E", b］ => m < f(x) < M o注意xep/,可是闭区间。 ②|介值泄理 • 是介于f (ci)与/(/?) "(a)工打(")，工/ (b)］任一值，则必 3 e(a, h)=> /()=。注意已仏/?)是开区间。 •其推论是：当加S < M»则必日e［«, b］=> /( )= 。b］。注意e［«, b］是闭区间。 ③|根值(零值)建理| /(«)■ /W<0,则3 w(ab)n/( ) = 0。注意xe(t/, b)是开区间。以下的闭区间连纟卖函数有矢导数定理共同条件：闭连续开可导。共同结论：存在的量属于开区间。 ④|费马定理| xe(x0-，儿+ ), /(x)n/a))或今(兀),如果广(旺)存在，则广(忑)=0。 ⑤|洛尔定理| f(a)=f(b\则3 e(«,/^)=> f( ) = 0 ⑥|拉格朗日中值泄理| 3 = )(b-“) ⑦|柯西中值定理| m mu ./"”—/(⑷二LL2 g(b)— g@)s\) ⑧泰勒中值上理 为拉格朗日余项，介于入和X=X^h之间，但不等于它们，*圧(“")，.Y €(“』), 令G(0, l)n =“+ («x•-儿)=.“+ h = .v0+ ( .v ) /)：只婆求在开区间(ab )有直到川+1阶导数:它不o及其”阶导数在］上连续，而且不要求的连续性。 (“)如果增加条件f( x)在［“,0 ］连续n." e仏h ), x 6 ［“, b］； (b)如果条件増强为在有直到川+1阶导数xe［a.b］: 拉氏余项可用于区间［«可上，例如用于证明不等式和等式。 它的“短消息”形式为/(A)=/(A0)+/'()(—儿)就是拉賂朗日中值定理。/•(J)=/(0)+./(0)+o(x) • R = o(h K) 为佩亚若余项.它W( v)在(“”)有直到川阶导数.在(“")上连续。 它有一个隐含条件：.YTD，故佩亚若余项仅能用于心点的邻域.例如讨论极值 及求.YT% 的极限。它的“短消息”形式为门x)*(心)+厂(曲)(—心)+0(—心)°

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>〔 〕 是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==〔 〕 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=〔 〕 ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 〔 〕 (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处〔 〕 (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值(D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=〔 〕 (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4 , 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是〔 〕 (A))2,(-∞ (B))2,(--∞ (C)) 1(∞+， (D)) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x =处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有〔〕． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a=( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =〔 〕 (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=〔 〕 ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=〔 〕 的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ．

第3章微分中值定理及其应用(2)

2 一.应用麦克劳林公式，按X 乘幕展开函数f （X ）=（X - 解：f （X ）是6次多项式, 二 f(x)=f(0)+f'(0X+f ~^)x 2+f _^)x 3 +^^^)x 4 2! 3! 4! 5 计算出：f(0) =1, f'(0)=3(x 2 -3x + 1#2x -3?x 才-9 f "(O) = 60, f '"(0)= -270, f 伫0)= 720, f (m o )= -1080, f 00)=720 故 f(X)= 1 - 9x + 30x 2 -45x 3 + 30x 4 - 9x 5 + X 6 二•当Xo = -1时，求函数 f （X ）= 1的n 阶泰勒公 式。 X f (x )=(-1X-2)x —3 ，…，f g(x )=(-1)k k!x n •• f ( — 1)= -1, f '(一1)——1, f''(—1)= -2 f'"(—1)—— 3!,…,f (n n —1)= -n! =(_1广 n(x + 1)n =(匕在一1和X 之间) 1 f "f_1\ f1 f (—1)+ f'( — 1)(x + 1)+^^~^(x + 1)2+…+ --- (x +1)n + R/x) X 2! ■ =-1 + (x + 1) +(x + l f +…+ (x +1)n ]+(T)n %7EX x + 1严 第3章 微分中值定理及其应用 （第二讲泰勒公式、 函数极值等 ） 解: f(x)=丄=x —1 X f (x )= x^2 3X+ 1)3 。 5+d 6 Rn(X)= f r ) =（-1厂（n + 1!© 一卩七） n!

微分中值定理及其应用习题课

微分中值定理及其应用习题课 一 大体定理 1）．罗尔中值定理 假设函数f 知足如下条件： （ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上持续； （ⅱ）f 在开区间(),a b 内可导； （ⅲ）)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 注 罗尔中值定理要紧用于说明()0f x '=有根，关键是要找两点使这两点函数值相等． 注 介值定理要紧用于说明()0f x =有根，关键是要找两点使这两点函数值异号． （1） 证()0f x =有根 ()()()()()()()()1 00,f x f x g x g x g x f x g x g x ⎧⎪ ⎪⎪ '===⎨⎪ '=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎩ 法用介值定理（若此时易找两点使函数值异号）.法2 将转化为对用罗尔定理 若很容易求出，使，且对很容易 找两点使函数值相等. （2）证()0f x '=有根()1 .⎧⎪⎨⎪⎩ 法费马定理（易找极值点或内部最值点）, 法2 罗尔定理易找两点使函数值相等 （3）证根唯一的方式 1 ⎧⎨⎩ 法单调性, 法2 反证法+罗尔定理. （4）证() ()0n f x =有根，常常对()()1n f x -用罗尔定理． （5）证至少存在一点ξ，使含ξ的代数式 ()()()() ()()( ) ,,,,,,0n G a b f a f b f f f ξξξξ'=成立的经常使用方式是构造辅助函数，然后 对辅助函数用罗尔定理． 2）．拉格朗日中值定理 假设函数f 知足如下条件：

（ⅰ）f 在闭区间],[b a 上持续； （ⅱ）f 在开区间(),a b 内可导， 那么在（b a ,）内至少存在一点ξ，使得 ()() ()f b f a f b a ξ-'= -． 注 看到函数增量，或隐含增量（含条件()0f a =），常常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，常常要考虑拉格朗日中值定理． 3）．柯西中值定理 设函数f 和g 知足 （i ）在],[b a 上都持续； (ii)在),(b a 上都可导； (iii))()(x g x f ''和不同时为零； (iv))()(b g a g ≠ 那么存在),(b a ∈ξ，使得 ()()() ()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-． 注 看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，常常要用柯西中值定理． 4）．泰勒中值定理 假设函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，那么有 ()()200000000()()()()'()()()()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n ''=+-+-+ +-+-． 假设函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的持续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，那么对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得 +-''+-+=200000)(!2) ())((')()(x x x f x x x f x f x f 10)1(00)()()! 1()()(!)(++-++-+ n n n n x x n f x x n x f ξ ．

微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧

1 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 洛尔定理 费马定理 根值（零值）定理 有界定理或最大值与最小值定理 n 以下的连续函数在闭区间x ∈[a , b ]的基本定理（只与函数有关）共同条件：闭连续 微分中值 8 定理与积分 3 定理及函数的 9 性质的综合证明题型与技巧 一) 中值八定理 ① x ∈[a , b ] ⇒ m ≤ f (x ) ≤ M 。注意 x ∈[a , b ]是闭区间。 ② ● 是 介 于 f (a ) 与 f (b ) ⎡⎣ f (a ) ≠ f (b ), ≠ f (a ), ≠ f (b )⎤⎦ 任 一 值 ， 则 必 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f ( ) = 。注意 ∈ (a , b ) 是开区间。 ● 其推论是：当m ≤ ≤ M ，则必∃ ∈[a , b ] ⇒ f ( ) = 。 ∈[a , b ]。注意 ∈[a , b ]是闭区间。 ③ f (a ) ⋅ f (b ) < 0 ，则 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f ( ) = 0 。注意 x ∈ (a , b ) 是开区间。 ④ x ∈ ( x 0 - , x 0 + ), f (x ) ≥ f (x 0 )或 ≤ f (x 0 ) ,如果 f '(x 0 ) 存在，则 f '(x 0 ) =0。 ⑤ f (a ) = f (b ), 则 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f '( ) = 0 ⑥ ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f (b ) - f (a ) = f '( )(b - a ) ⑦ ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f (b ) - f (a ) = g (b ) - g (a ) f '( ) g '( ) ⑧ ∞ 1 ⎛ ∂ ⎫ n 1 2 f ( x ) = f ( x 0 + h ) = ∑ n ! h ∂x ⎪ f ( x 0 ) + R n = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )( x - x 0 ) + f ' ( x 0 )( x - x 0 ) 2! + ... + R n 其中： • R n = f (n +1) ( ) (n + 1)！ n = 0 ⎝ ⎭ h n +1 为拉格朗日余项， 介于 x 0 和 x = x 0 + h 之间， 但不等于它们， x 0 ∈ (a , b ), x ∈ (a , b ), 令 ∈ (0, 1) ⇒ = x 0 + ( x - x 0 ) = x 0 + h = x 0 + ( x ) h ； 只要求在开区间(a , b )有直到n + 1阶 导数; 它不要求f ( x )及其n 阶导数在[a , b ]上连续， 而且不要求f ( n +1) ( x )的连续性。 (a ) 如果增加条件f ( x )在[a , b ]连续 ⇒ x 0 ∈ (a , b ), x ∈ [a , b ]; (b ) 如果条件增强为在[a , b ]有直到n + 1阶导数 ⇒ x 0 ∈ [a , b ], x ∈ [a , b ]; 拉氏余项可用于区间[a , b ]上，例如用于证明不等式和等式。 它的“ 短消息” 形式为 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ' ( ) ( x - x 0 )就是拉格朗日中值定理。 f ( x ) = f (0 ) + xf ' (0 ) + o ( x ) • R = o (h n ) 为佩亚若余项， 它要求f ( x )在 (a , b )有直到 n 阶导数, f (n ) ( x )在 (a , b )上连续。 它有一个隐含条件： x → x 0 , 故佩亚若余项仅能用于x 0点的邻域， 例如讨论极值 及求x → x 0 的极限。它的“ 短消息” 形式为 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )( x - x 0 ) + o ( x - x 0 )。 以下的闭区间连续函数有关导数定理共同条件：闭连续开可导。共同结论：存在的量属于开区间。 泰勒中值定理 介值定理

微分中值定理在考研数学中的应用示例

微分中值定理在考研数学中的应用示例 微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，起着建立函数与其导数之间的桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，因此在微分学中的地位十分重要。同时也是考研数学中的重要考点，学生普遍认为是学习的难点。本文对考研真题进行剖析，总结中值定理的应用，以便学生能更好地掌握这一知识点。 例1(2011年数一、二)证明：对任意正整数n，都有成立。 证明：根据拉格朗日定理，存在ξ∈(n，n+1)，使得 所以 若所证不等式中出现函数值差的形式，可考虑用根据拉格朗日定理。本题中，令则有该结论是一个常用的结论，希望考生熟悉掌握。 例2(2007年数一、二、三)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)=g″(ξ)。 分析：若令F(x)=f(x)-g(x)，本题需要证明存在ξ∈(a，b)，使F″(ξ)=0，又F(a)=F(b)=0，若能证明存在η∈(a，b)，使F(η)=0，对F(x)反复用罗尔定理可证明本题。 证明：令F(x)=f(x)-g(x)，则F(a)=F(b)=0。设f(x)，g(x)在(a，b)内的最大值为M。且分别在α∈(a，b)，β∈(a，b)取到，即f(α)=M，g(β)=M。⑴若α=β，取η=α，则F(η)=0；⑵若α≠β，则F(α)=f(α)-g(α)=M-g(α)≥0，F(β)=f(β)-g(β)=f(β)-M0。此时，由连续函数介值定理知在α与β之间至少存在点η，使

F(η)=0。综上所述，存在η∈(a，b)，使F(η)=0，由罗尔定理知存在ξ1∈(a，η)，ξ2∈(η，b)，使得F′(ξ1)=0，F′(ξ2)=0，再由罗尔定理得，存在ξ∈(ξ1，ξ2)⊂(a，b)，使得F″(ξ)=0，即f″(ξ)=g″(ξ)。 一般地，证明存在ξ∈(a，b)，使f(n)(ξ)=0的命题的有效方法是证明f(n-1)(x)在(c，d)⊂[a，b]上满足罗尔定理，对f(n-1)(x)应用罗尔定理即可证得命题。 例3(2017年数一、二)设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，且 证明： (1)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (2)方程f(x)f″(x)+[f′(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根。 分析：(1)证明方程有根，用零点定理；(2)证明导函数方程有根，利用原函数法构造辅助函数，再用中值定理：f(x)f″(x)+[f′(x)]2=0变形为两边积分ln f′(x)=-ln f(x)+ln c，分离常数f(x)f′(x)=c，辅助函数即为F(x)=f(x)f′(x)。 证明：(1)由与极限的保号性可知，存在c∈(0，1)，使得f(c)<0。又f(1)>0，在[c，1]上用零点定理，至少存在一个η∈(c，1)，使得f(η)=0，即方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根。 (2)由函数f(x)在区间[0，1]上可导，从而一定连续，以及存在，得f(0)=0。由(1)得f(x)在区间[0，η]上满足罗尔定理条件，所以存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)=0。令F(x)=f(x)f′(x)，显然F(0)=F(ξ)=F(η)=0。对函数F(x)分别在区间[0，ξ]及[ξ，η]上用罗尔定理得，至少存在两个不同的ξ1∈(0，ξ)及ξ2∈(ξ，η)，使得F′(ξ1)=F′(ξ2)=0，即f(ξ1)f″(ξ1)+[f′(ξ1)]2=0及f(ξ2)f″(ξ2)+[f′(ξ2)]2=0。因此，方程f(x)f″(x)+[f′(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根。

经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理

经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值 定理 本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。当前页 有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。 1.不用求出函数 的导数，分析方程有几个实根？ ()A．0B．1C．2D．3 答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析： 2.=？（） A．0B．1C．-1D．2 答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析： 3.=？，（） A．0B．1C．-1D．2 答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析： 4.求不能使用洛必塔法则。（）答题：对.错.（已提交）参考答案： √问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和 渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。当前 页有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。1.下面关于函数的 描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调 递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。（）答题：对.错.（已 提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。（）

答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。当前页有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。 1.某厂生产某产品，每批生产 台得费用为，得到的收入为 ，则利润为？（） A．B．C．D． 答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析： 2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（） A．220B．230C．240D．250 答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析： 一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图 本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。当前页有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。1.下面关于函数哪两句话是正确的？（）上是凹的上是凸的A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在上是凹的上是凸的答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AD问题解析：一元微积分·第五章不定积分·第一节不定积分的概念本次练习有3题，你已做3题，已提交3题，其中答对3题。当前页有3题，你已做3题，已提交3题，其中答对3题。