b f ； （B ） )(x f 在],[b a 上单调增加，且0)(3第三章-微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章微分中值定理与导数的应用答案
§3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧ =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成 立（ B ）． A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221) ()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π =， 故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞= +x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在 ),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 5． 证明方程06213 2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03 1)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使
《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)
第四章微分中值定理和导数的应用[单选题] 1、 曲线的渐近线为（）。 A、仅有铅直渐近线 B、仅有水平渐近线 C、既有水平渐近线又有铅直渐近线 D、无渐近线 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察渐近线计算. 因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。 [单选题] 2、 在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（） A、4 B、2 C、3 D、1 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题] 3、 ，则待定型的类型是（）. A、 B、 C、 D、
【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题] 4、 下列极限不能使用洛必达法则的是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则. [单选题] 5、 在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）. A、1 B、2 C、e D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题考察中值定理的应用。
[单选题] 6、 如果在内，且在连续，则在上（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在 上f(a)＜f(x)＜f(b). [单选题] 7、 的单调增加区间是（）. A、（0，+∞） B、（-1，+∞） C、（-∞，+∞） D、（1，+∞） 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题] 8、 （）.
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
> 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ ， 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4 , 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， & 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 、 二、填空题 2 x -
微分中值定理与导数的应用
第3章 微分中值定理与导数的应用 3.1 微分中值定理 习题 3-1 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的 数值ξ. (1) 2()23f x x x =--，[]1,1.5-； (2) ()f x =[0,3]. 2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间[0,1]上的正确性，并求出满足定理的数值ξ. 3.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区 间的正中间. 4.一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速为65公里/小时的收费道路 上在2小时内走了159公里.罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶.为什么？ 5.函数3()f x x =与2()1g x x =+在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件？ 如满足，请求出满足定理的数值ξ. 6.设()f x 在[0,]π上连接，在(0,)π内可导，求证：存在(0,)ξπ∈，使得 ()()cot f f ξξξ'=-. 7.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导函数，且123()()()f x f x f x ==12(a x x << 3)x b <<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=. 8.证明：方程015=-+x x 只有一个正根. 9.证明下列不等式： (1)当0a b >>，1n >时，11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-; (2)当0b a >>时，ln b a b b a b a a --<< ； (3)当1>x 时，x e e x ?>； (4)当0>x 时， x x x x <<+arctan 12 ； (5)当0>x 时，x x +>??? ? ?+1111ln .
第四章 中值定理与导数的应用习题
习题四 1．下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值ξ。 （1）32)(2--=x x x f [－1，1.5] （2）211 )(x x f += [－2，2] （3）x x x f -=3)( [0，3] （4）1)(2-=x e x f [0，3] 2．下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足就求出定理中的数ξ。 （1）3)(x x f = [，a] a ＞0 （2）x x f ln )(= [1，2] （3）25)(23-+-=x x x x f [－1，0] 3．函数3)(x x f =与1)(2+=x x g 在区间[1，2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值ξ。 4．若4次方程043223140=++++a x a x a x a x a 有4个不同的实根，证明 023*******=+++a x a x a x a 的所有根皆为实根。 5．用拉格朗日定理证明：若0)0()(lim 0==+ →f x f x ，且当x ＞0时)(x f '＞0，则当x ＞0时，f （x ）＞0。 提示：对任给的x 0＞0，f （x ）在[0，x 0]上满足拉格朗日定理的条件。 6．证明不等式 |sinx 2－sinx 1|≤|x 2－x 1| 提示：设f （x ）＝sinx 7．证明：若函数f （x ）在[x 0，x 0+δ]上连续，在（x 0，x 0+δ）内可导，且A x f x x ='+ →)(lim 0（A 为常数），则f （x ）在x 0处的右导数存在且等于A 。 提示：)()()(00ξf x x f x x f '=?-?+ （0＜Δx ＜δ，x 0＜ξ＜x 0＋Δx ＝
微分中值定理与导数的应用练习题
题型 1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题 2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算 3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程 内容 一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则 一些类型（00、∞ ∞、∞?0、∞-∞、0 ∞、0 0、∞ 1等） 三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值 四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点 五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线 典型例题
题型I 方程根的证明 题型II 不等式（或等式）的证明 题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点 自测题三 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月13日微分中值定理与导数应用练习题 基础题： 一．填空题 1．函数12 -=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。 3．1)(2 -+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- 8.=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim 0 9.)tan 11( lim 2 x x x x -→=31 10.0 lim(sin )x x x + →=1 二． 选择题
第三章 微分中值定理及导数应用 单元测试题
第三章 中值定理与导数应用 单元测试题 一、选择题 1.设函数()f x 在[],a b 上有定义，在开区间(),a b 内可导，则 （A ）当()()0f a f b ?<时，存在(),a b ξ∈，使()0f ξ= （B ）对任何(),a b ξ∈，有()()lim 0x f x f ξξ→-=???? （C ）当()()f a f b =时，存在(),a b ξ∈，使()'0f ξ= （D ）存在(),a b ξ∈，使()()()()'f b f a f b a ξ-=- 2.已知在(),-∞+∞上()2 ' 111x f x e = ++，且 ()()2lim lim 11x x x ax b f x f x x →∞→∞??--=+-?? ???+?? ，则 （A ）1,0a b == （B ）0,1a b == （C ）1,1a b == （D ）1,2a b ==- 3. 设函数()y f x =在()0,∞内有界且可导，则 （A ）当()l i m 0x f x →∞ =时，必有()' lim 0x f x →∞ = （B ）当 ()'l i m x f x →∞ 存在时，必有()' lim 0x f x →∞ = （C ）当()0l i m 0x f x + →=时，必有()'lim 0x f x →∞ = （D ）()'0 lim x f x + →存在时，必有()' lim 0x f x →∞ = 4.设()f x 处处可导，则下面命题正确的是 （A ）若()lim x f x →-∞ =-∞，则必有()' lim x f x →-∞ =-∞ （B ）若()' lim x f x →-∞ =-∞，则必有()lim x f x →-∞ =-∞ （C ）若()lim x f x →+∞ =+∞，则必有()' lim x f x →+∞ =+∞ （D ）若()' lim x f x →+∞ =+∞，则必有()lim x f x →+∞ =+∞ 5．()f x 二阶可导，()f π=0，()''0,f x ππ>=是()f x 的极值点，()()cos g x f x x =，则 （A ）x π=是()g x 的极大值点 （B ）x π=是()g x 的极小值点 （C ）x π=不是()g x 的极值点 （D ）不能确定x π=是否为()g x 的极值点 6设()f x 在[],a b 上连续，则下列结论中正确的是
第三章 微分中值定理与导数的应用
《高等数学》（上）题库 第三章 微分中值定理与导数的应用 判断题 第一节.微分中值定理 1、可导函数的极值点一定是函数的驻点。 （ ） 2、曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值。 （ ） 3、方程015=-+x x 只有一个正根。 （ ） 第二节.洛必达法则 4、洛必达法则只能用于计算00，∞∞ 型未定式。 （ ） 5、不是未定式，也可以使用洛必达法则。 （ ） 6、洛必达法则的条件不满足时，极限一定不存在。 （ ） 第三节.泰勒公式 7、在泰勒公式中取00=x 既得麦克劳林公式。 （ ） 8、佩亚诺余项可以用于误差估计。 （ ） 9、泰勒中值定理是拉格朗日定理的推广。 （ ） 10、()n n x n x x x x ο++++=!!21sin 2 。 （ ） 第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性 11、如果在()b a ,内0)(＜x f '，那么函数在[]b a ,上单调减少。 （ ） 12、二阶导数为零的点一定是拐点。 （ ） 第五节.函数的极值与最大值最小值 13、单调函数一定存在最大值最小值。 （ ） 14、0)(0='x f 是函数取得极值的充分条件。 （ ）
第六节.函数图形的描绘 15、若()0lim =+∞ →x f x ，则0=y 是()x f 的一条水平渐近线。 （ ） 16、若()-∞=-→x f x 3 lim ，则3-=x 是()x f 的一条铅直渐近线。 （ ） 注：难度系数(1-10)依次为3，4，8；3，4，4；2，4，4，4；2，3；2，4；3， 3。 填空题 第一节.微分中值定理 1、如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，那么)(x f 在区间I 上是 。 2、设函数)(x f 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么)(0x f '= 。 第二节.洛必达法则 3、如果当a x →时，两个函数)(x f 与）（x F 都趋于零，那么极限)()(lim x F x f a x →可能存在、可能不存在，通常把这种极限叫做 。 4、在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为 。 第三节.泰勒公式 5、带有佩亚诺余项的泰勒公式 为 。 6、带有拉格朗日余项的泰勒公式 为 。 第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性 7、函数1--=x e y x 在区间 上是单调增加的。 8、如果曲线)(x f y =在经过),(000y x M 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 ),(000y x M 为这曲线的 。 9、曲线3x y =的拐点是 。 第五节.函数的极值与最大值最小值 10、若()00,x x x δ-∈时0)(＞x f '，()δ+∈00,x x x 时0)(＜x f '，则()x f 在0x 处取得
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>〔 〕 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==〔 〕 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=〔 〕 ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 〔 〕 (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处〔 〕 (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=〔 〕 (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是〔 〕 (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，假设0x 为)x (f 的极值点，则必有〔 〕 ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =〔 〕 (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=〔 〕 ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=〔 〕 的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ． 4、函数f 〔x 〕＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．
3微分中值定理与导数的应用习题
第三章微分中值定理与导数的应用 1 •函数y =x 2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕= 2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕= 3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕= 4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕= 5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。 T 6」 6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。 7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。
9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y ⑶当a汕＞«¥＜"¥ 10.用洛必达法则求下列极限: X _x ⑵ lim e ~e T sin X In R +丄］⑷ li% __¥ —鈕 1 arcta n — x ⑸1x m1x 1 .1 - x 1 ⑹ lim (cot X - 一) T x (7)lim (cos X) ⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .X In (1 +x)⑴lim T X ⑶ lim 沁—sina X T x -a
sin X — xcosx 2~； x sinx 11. 确定下列函数的单调区间。 ⑷ y =1 n(x +J 1 + x 2 12. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间: ⑷ y = In(x 2 +1 ) 13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式: (11)lim (1 -x)ta n 便' (2丿 (12) tanx ⑽ lim — - x -^l x 「1 2 、 —2x ~ e -1 丿 ⑴ y = 2x 3 -6x 2 -18x -7 ⑵ y = 2x +8 (X A O ) x =x 3 -5x 2 +3x +5 / \ -x ⑵ y = xe = (x +1y +e x
大一高数 微分中值定理与导数的应用高等数学作业与练习册(第三章习题)
1 第三章 微分中值定理与导数的应用 本章概述：本章以微分中值定理为中心，讨论导数在研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性）方面的应用． 重点：中值定理；洛必达法则；函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点；函数极值的求法；函数的最值问题；方程根的存在性及不等式的证明． 难点：三个中值定理及泰勒公式；方程根的存在性及不等式的证明． 基本要求：理解中值定理的条件和结论，它是本章内容的理论基础，是建立导数与函数关系的桥梁；掌握中值定理证明的思想方法--构造性证明方法．此方法不仅在中值定理的证明中，而且在不等式的证明、方程根的存在性及导数的应用中都具有广泛的应用；掌握洛必达法则，它是求未定型极限的一种重要方法；掌握导数的应用，会利用导数研究函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性和拐点等． 第一节 微分中值定理 1．填空与选择： （1）下列函数在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ） （A ）x e x f =)(； （B ）||)(x x f =； （C ）2 1)(x x f -=； （D ）⎪⎩⎪⎨⎧ =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ． （2）下列条件不能使)(x f 在],[b a 上应用拉格朗日中值定理的是（ ） （A ）在],[b a 上连续，在),(b a 内可导； （B ）在],[b a 上可导； （C ）在),(b a 内可导，且在a 点右连续，b 点左连续； （D ）在),(b a 内有连续的导数． （3）函数()ln (1)f x x =+在[0,1]e -上满足拉格朗日定理中的数值ξ是（ ） （A ）e ； （B ）1e -； （C ）2e -； （D ）1． （4）设)(x f y =在),(b a 内可导，,x x x +∆是),(b a 内的任意两点，()-()y f x x f x ∆=+∆，则（ ） （A ）x x f y ∆'=∆)(； （B ）在x x x ∆+,之间恰有一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ； （C ）在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ；
3第三章 微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章 微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． For personal use only in study and research; not for commercial use 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧ =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成 立（ B ）． A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π = ， 故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在 ),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．
微分中值定理与导数的应用习题
第四章 微分中值定理与导数的应用习题 §4.1 微分中值定理 1． 填空题 〔１〕函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． 〔２〕设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有3 个实根，分别位于区间 )5,3(),3,2(),2,1(中． 2．选择题 〔１〕罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的〔 B 〕． A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 〔２〕以下函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是〔C 〕． A.x e x f =)( B.||)(x x f = C.2 1)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f 〔３〕假设)(x f 在),(b a 可导，且21x x 、是),(b a 任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立 〔 B 〕． A ．),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ．ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ．211221) ()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ．211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π =， 故)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 4．假设函数)(x f 在),(b a 具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 5．证明方程06213 2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03 1)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使
中值定理与导数习题
习题3 一、填空题 1．设，则有_________个根，它们分别位于________ 区间； 2．函数在上满足拉格朗日定理条件的； ３．函数与在区间上满足柯西定理条件的； 4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的； ５．； 6．； 7．; 8．函数的单调减区间是； 9．设在可导，则是在点处取得极值的条件； 10．函数在及取得极值，则； 11. 函数的极小值是; 12．函数的单调增区间为； 13. 函数的极小值点是； 14. 函数在上的最大值为，最小值为； 14. 函数在的最小值为; 15. 设点是曲线的拐点,则; 16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为; 17. 曲线的上凹区间为; 18. 曲线的拐点为; 19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点处的切线平行于轴,那 么函数的表达式是;
20. 曲线的拐点为; 21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是; 22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为; 23. 曲线在的曲率; 24. 曲线的曲率计算公式为; 25. 抛物线在顶点处的曲率为; 二. 单项选择题 1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且是在至少存在一点,使得成立的( ). 必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要 2. 函数，则（）. 在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立； 在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立； 3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且,,则必有( ). ; ; 4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). ; ; ; 5. 函数,它在( ). 不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且; 满足中值定理的条件,但无法求出的表达式; 不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论. 6. 若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ). ;
第四章 中值定理与导数的应用习题
第四章 中值定理与导数的应用 一、填空题 1、函数4)(x x f =在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ=_______. 2、设)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，方程0)(='x f 有____个根，它们分别在区间_________上 3.如果函数)(x f 在区间I 上的导数__________，那么)(x f 在区间I 上是一个常数. 4、x x y 82+=(0>x )在区间_____单调减少，在区间_____单调增加. 5、.曲线)1ln(2x y +=在区间_____上是凸的,在区间_____上是凹的,拐点为_____ 6、若)(x f 在[a,b]上连续、在(a,b)内二阶可导且 _____ ，则)(x f 在[a,b]上的曲线是凹的. 7、若()bx ax x x f ++=3 5在x = 1时有极值56，则a = ，b = . 8、()x f 二阶可导，()0x f '' = 0是曲线()x f y =上点_____为拐点的 条件. 9、函数y=sinx-cosx 在区间(0,2π)内的极大值点是_____,极小值点是_____. 10、函数2x y e -=的单调递增区间为_____，最大值为 11、设函数()x f 在点0x 处具有导数，且在0x 处取得极值，则该函数在0x 处的导数()='0x f 。 12、()x x f ln =在[1，e ]上满足拉格朗日定理条件，则在（1，e ）内存在一点=ξ ，使()()11=-⋅'e f ξ 13、若()x f 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且()00=f ，()11=f ，由拉格朗日定理，必存在点∈ξ（0，1），使()()='⋅ξξf e f . 14、()()()()321---=x x x x x f ，则方程()0='x f ，有 个实根。 二、选择题 1.下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的有（ ）。 A 、x y = []2,1- B 、1542 3-+-=x x x y []1,0 C 、()21ln x y += []3,0 D 、2 12x x y += []1,1- 2、如果)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，c 为介于b a ,之间的任一点，那么在),(b a （ ）找到两点12,x x ，使)()()()(1212c f x x x f x f '-=-成立. （A ）必能； （B ）可能； （C ）不能； （D ）无法确定能 . 3、不恒为常数的函数)(x f 在],[b a 上连续，()b a ,内可导，且)()(b f a f =，以下命题正确的是（ ）
(整理)高等数学习题详解-第4章微分中值定理与导数的应用
习题4-1 1．验证下列各题的正确性，并求满足结论的ξ的值： (1) 验证函数()cos 2f x x =在区间[,]44 ππ -上满足罗尔定理； (2) 验证函数()f x = [4,9]上满足拉格朗日中值定理； (3) 验证函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上满足柯西中值定理. 解：(1) 显然()c o s 2f x x =在[,]44ππ - 上连续，在(,)44 ππ -内可导，且 ()()044 f f ππ -==， 又 ()2sin 2f x x '=-，可见在(,)44ππ - 内，存在一点0ξ=使 ()0 0(2sin 2)0.f x ξ='==-= (2) ()f x =[4,9]上连续，() f x '=，即知()f x = (4,9)内可导， 由 (9)(4)1 945f f -==-25 4 x =， 即在(4,9)内存在25 4 ξ=使拉格朗日中值公式成立. (3) 显然函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(内可导，且 .02)(≠='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于 ,371 2)11()12()1()2()1()2(233=-+-+=--g g f f ,23 )()(x x g x f ='' 令,3723=x 得.914=x 取),2,1(9 14 ∈=ξ则等式 ) () ()1()2()1()2(x g x f g g f f ''= -- 成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性. 2．不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根，并指出这些根的范围. 解 因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在(2,1)--内至少存在一点,1ξ使,0)(1='ξf 即1ξ是)(x f '的一个零点； 又在(1,0)-内至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点. 又因为)(x f '为二次多项式，最多只能有两个零点，故)(x f '恰好有两个零点，分别在区间(2,1)--和(1,0)-. 3．设函数)(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数，试证对任意正数a ，存在 (,)a a ξ∈-, 使 ()()f a af ξ'=. 证 因()f x (,)-∞∞处处可导，则()f x 在[]a a -，上应用拉格朗日中值定理：存在 ()a a ξ∈-，，使 ()()()(())f a f a f a a ξ'--=⋅--. 由)(x f 是奇函数，则上式为()()2()f a f a af ξ'+=, 故有 ()()f a af ξ'=.
