第三章 微分中值定理习题课
一、判断题（每题3分）
1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（√）
2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（× ）
3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( ×)
4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . (×)
5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 .
（ √ ）
6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件.( ×)
7.函数()arctan f
x x x =
的图形没有拐点. （ √ ）
8.因为函数y =
0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =
.（ × ）
二、选择题（每题3分）
1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x e B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()2
11f x x
=+，满足罗尔定理全部条件的区间是（D ）.
（A ）[]2,0-；
（B ）[]0,1；
（C ）；[]1,2-
（D ）[]2,2-
3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ）
(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.
4．已知函数3
()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）.
（A ）1
3
（B 1（C ）
12
（D 1
5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数
6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).
A. 单调减函数
B.单调增函数
C. 有单调增区间也有单调减区间
D. 没有单调性
7. 函数2129223-+-=x x x y 的单调减少区间是 （ C ）. （A ）),(+∞-∞ （B ）)1,(-∞
（C ）)2,1(
（D ）),2(+∞
8．设(),a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(),a b 内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A ）上方;
（B ）下方;
（C ）左方;
（D ）右方.
9.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则（A ）. （A ）3,30a b a b +=+= （B ）0,30a b a b +=+= （C ）2,320a b a b +=+=
（D ）0,340a b a b +<+=
10. 设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有()'0f x <且()"0f x <，则()y f x =在(,)a b 内（ C ）
A.单调增加，图像是凹的
B.单调减少，图像是凹的
C.单调减少，图像是凸的
D. 单调增加，图像是凸的
11．函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a 和c 应满足（ C ）. （A ）0a <且0c =； （B ）0a >且c 是任意实数； （C ）0a <且0c ≠；
（D ）0a <且c 是任意实数.
12． 函数23
++=x x y 在其定义域内（ B ） （A ）单调减少 (B) 单调增加 (C) 图形是凹的
(D) 图形是凸的
13．若()()00,x f x 为连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A ）()()00,x f x 必为曲线的拐点; （B ）()()00,x f x 必为曲线的驻点; （C ）0x 点必为曲线的极值点;
（D ）0x x =必为曲线的拐点.
14.函数()2ln f x x x =-的驻点是（ B ）. （A ）1x =
（B ）12
x =
（C ）(1,2)
(D) 1
(,1ln 2)2
+
15．函数2
ln(1)y x x =-+的极值（ D ）. A ．是1ln 2-- B ．是0 C ．是1ln 2- D ．不存在
16.设()[0,1]()f x x f x ''=在上有＜0，则下述正确的是（ A ）
( A ) (1)f '＜)0()1(f f -＜(0)f '; ( B ) (0)f '＜)0()1(f f -＜(1)f '; ( C ) (1)f '＜(0)f '＜)0()1(f f -; ( D ) (0)f '＜(1)f '＜)0()1(f f -
17.设()f x 具有二阶连续的导数，且2
()lim 3,ln(1)
x f x x →=-+则(0)f 是()f x 的
（ A ）
（A ）极大值； （B ）极小值; （C ）驻点; （D ）拐点.
18.设函数()y f x =在0x x =处有()0f x '=0,在1x x =处导数不存在，则( C ). A. 0x x =,1x x =一定都是极值点 B.只有0x x =可以是极值点
C. 0x x =, 1x x =都可能不是极值点
D. 0x x =,1x x =至少有一个是极值点
三、 解答题（求极限每题4分其余每题 8分）
1．
求极限
2
2
0000011sin sin 1cos 2(1)lim lim lim lim lim 0sin sin 22→→→→→---??-===== ???x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x （2）11lim 1ln x x x x →?
?
???--=()()1
1ln 1ln 11
lim lim 11ln ln x x x x x x x x x x x
→→--+-=--+
1
1
ln ln 11lim
lim
ln 1
ln 2
2x x x x x x x x x →→+===
+-+
0(3)1
1lim 1→?? ???
--x x x e 01lim (1)→--=-x
x x e x x e 0011lim lim 12x
x
x x x x x x x e e e xe e e xe →→-===-+++ （4）2
11ln(1)ln(1)
lim (
)lim
lim
ln(1)
ln(1)
x x x x x x x x x
x x x
→→→-+-+-
==++
001
1111lim
lim lim 22(1)2(1)2
x x x x x x x x x →→→-+====
++ 2
0sin (5)lim tan →-x x x x x
2
2
sin 1cos lim
lim
tan 3x x x x x x x
x
→→--==0
sin 1lim
66
x x x
→==
2
2
2
2
1(6)lim
(1)
→---x
x
x e
x
x e
2
2
4
1lim
→--=x
x e
x x
2
2
3
2
2211
lim
lim
42
x
x
x x xe
x
e
x
x
→→--==
12
=
2
2
2
3
2
2
tan tan sec 1tan 1(7)lim
lim
lim
lim
ln(1)
333
→→→→---====
+x x x x x x x x
x x x x x
x
x
1ln 1(8)lim cot →+∞?
?+ ?
??x x arc x 1lim cot →+∞=x x arc x 2
2
2
2
11lim
lim
11
1x x x x
x x
x
→+∞
→+∞
-+===+-
+
sin sin cos (9)lim
lim
cos 1
→→-==-x a
x a
x a
x a x a
2
2
2
0021
sec 77
ln tan 7tan 2sec 77
tan 7(10)lim lim lim 11ln tan 2tan 7sec 22sec 22tan 2+
++→→→???===???x x x x x
x x x x x x x x
(11)lim arctan 2→+∞
??
- ?
??
x x x π22
2
2
1arctan 12
lim lim
lim
1
111→+∞
→+∞
→+∞
-
-+====+-x x x x x
x
x
x
x
π
2
lim ln(arctan )2(12)lim arctan →+∞→+∞
??= ???x x
x x x x e
π
π
2
lim ln(
arctan )
→+∞
x x x π2
2
2
2
1
1
ln
arctan ln
ln arctan arctan 1lim
lim
lim 111
→+∞
→+∞
→+∞+?
+===-x x x x x x x
x
x
x
π
π
22
2
2
lim
1x x
x
π
π
→+∞
=-
=-
+
2
2lim arctan -→+∞
??
∴= ???
x
x x e ππ .
()
tan
1
(13)lim 2→-x
x x π
解：()
()
()
1
1
sin
ln 22
lim
lim tan
ln 2cos
tan
2
2
2
1
lim 2x x x x x x x
x
x x e
e
π
π
π
π
→→--→-==
1
122
sin
lim
2
2
x x
x e e
ππ
π
→---?
==
tan 0
(14)1lim +→??
?
??
x
x x 0
11lim tan ln
lim ln
+
+
→→??==x x x x x
x
e e
2
00
1110
ln lim
lim
1x x x x
x
x
e e
e
+
+
→→-
-
-====
2．
验证罗尔中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[]0,1上的正确性.
解：()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，()()012f f ==-满
足罗尔定理条件.
（3分）
令()2121010f x x x '=-+=
，得()
50,112x ±=∈，满足罗尔定理
结论.
3．
试证明对函数2y px qx r =++应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.
证明：在区间[],a b 上，
()()()f b f a f b a
ξ-'=-
代入：
()()
2
2
2pb
qb r pa qa r p q b a
ξ++-++=+-
解得：2
a b ξ+=.
4．
证明方程5
31x x -=在()1,2之间有且仅有一个实根．
证明：令()531f x x x =--，()11310f =--<， ()5
22610f =-->
所以 ()0f x =在()1,2上至少一个根，又()4'53f x x =-，
当()1,2x ∈时()'0f x >，所以单增，因此在()1,2上至多有一个根. ()0f x =在()1,2上有且仅有一个根.
5． 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=. 提示:令()()x
F x e f x =
证明：令()()x F x e f x =，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，
且()()()()x
F x e
f x f x ''=+（3分）
由Larange 中值定理，则至少(,)a b ξ∈，使得()()
()F b F a F b a
ξ-'=-
又 ()()0f a f b ==∴()()0f f ξξ'+= 6．
设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.提示:令 ()()F x xf x =.
证明：构造辅助函数()()F x xf x =， ()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导
∴()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，()()()F x f x xf x ''=+
且(0)()0F F a ==
由Rolle 定理，至少(0,)a ξ?∈，有()0F ξ'= 即()()0f f ξξξ'+= 7．
证明：不论b 取何值，方程033
=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个
实根
证：令
()()()()
32
3,33311f
x x x b f x x x x '=-+=-=+-()1,1x ∈-时，0,,f f '< 故()f
x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.
8．
证明：当1x >时，x
e x e >?.
证明: 令()x
f x e x e =-?，显然()f x 在[1,]x 上满足Lagrange 中值定理的条
件，由中值定理，至少存在一点(1,)x ξ∈，使得
()
(1)
(1)()
(f x f x f x e e
ξ
ξ
'-=-=
-- 即()(1)0f x f >=又即x
e x e >?
9．
证明：当0x >时，112
x +
>
证：()()1110
2
2
f x x f x '=+
-
=
-=
>
()()00f x f >=,即有112
x +
>
10．
求证：1,(0,)>+∈+∞x e x x
证明：令()1,,[0,)x f x e x x =--∈+∞
当(0,)x ∈+∞时，()10x f x e '=->
故在区间[0,)+∞上，()f x 单调递增
从而当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=即1x e x >+
或者：
证明：()
2
2
1112!
2
x
f e
e x x x x x ξ
ξ''=++
=++
>+
……8分
11． 当1>x 时，证明：13>-
x
.
答案参看课本p148 例6 12．
证明：当0x >时，
ln(1).1x x x x
<+<+
答案参看课本P132 例1 13．
设0,1a b n >>>，
证明:1
1
()()n n n n nb a b a b na
a b ---<-<-.
证明：
令()n
f x x =，
显然()f x 在[,]b a 上满足lagrange 定理条件，故至少存在一点(,)b a ξ∈，使得
()()()()f a f b f a b ξ'-=-
即
1
()n
n
n a b n a b ξ
--=-
又由b a ξ<<及1(1)n n n ξ->的单增性，得
1
1
()()n n n n nb
a b a b na
a b ---<-<-
14．
设0a b >>，证明：
ln
a b b a b a
a b
--<<
证明：令()ln f x x =，在区间[],b a 上连续，在区间(,)b a 内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点(),b a ξ∈，使得1
ln ln ()a b a b ξ
-=
-，又
因为11
10,a
b
ξ
<
<
<
因此，
ln
a b a a b a
b
b
--<<
.
15． 证明恒等式()arcsin arccos ,112
x x x π
+=
-≤≤.
证：令()arcsin arccos f x x x =+
则()f
x 在[]1,1-上连续.在()1,1-内有:
()
0,f x f C '=
-
≡≡
令0,,arcsin arccos 2
2
x C x x π
π
==+=
在()1,1-内成立.
再根据()f x 在[]1,1-上的连续性,可知上式在[]1,1-上成立.
16．
求函数2y x =-的极值点和单调区间.
解：13
2(1)y x -'=-
因此，2y x =-在定义域(,)-∞+∞内有不可导点10x =和驻点
21x =
列表
17．
求函数32535y x x x =-++的单调区间，拐点及凹或凸的区间.
解：23103y x x '=-+,
易得函数的单调递增区间为1(,)(3,)3-∞+∞ ,单调减区间1
(,3)3.
610y x ''=-,令0y ''=，得5
3
x =.
当5
3
x -∞<<时，0y ''<，因此曲线在5(,]3-∞上是凸的；
当5
3
x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在5[,)3+∞上是凹的，
故520
(,)327
是拐点
18．
试确定,,a b c 的值，使曲线32y x ax bx c =-++在（1,1-）为一拐点，在0x =处有极值，并求曲线的凹凸区间.
解：232y x ax b '=-+62y x a ''=-
(1,1)-为拐点，则062a =-3a ∴=
由0y '=，则2
360x x b -+= , 代入0x =，则0b =.
11,1a b c c -++=-=
曲线为3
2
31y x x =-+, 66y x ''=-. 凸区间为(,1)-∞-, 凹区间为(1,)+∞.
19．
求函数()7ln 124-=x x y 的单调区间，拐点及凹或凸的区间.
解：3
4
3
14(12ln 7)124(12ln 4)y x x x x x x
'=-+??
=-，
易得函数的单调递增区间为1
3(,)e +∞,单调减区间1
3(0,)e .
()2
3
2
112(12ln 4)412144ln 0y x x x x x x x
''=-+??
=>，
令0y ''=，得1x =.
当01x <<时，0y ''<，因此曲线在(0,1]上是凸的；
当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在[1,)+∞上是凹的，故(1,7)-是拐点 20．
求函数arctan x y e =的单调区间，拐点及凹或凸的区间．
解：arctan 2
11x y e x
'=?
+>0,因此单调增区间是R ,
arctan arctan arctan 2
2
22221212(1)
(1)(1)x
x
x x x y e
e
e x x x ????
-''=+-=????
+++??
??
， 令0y ''=，得12
x =.
当12
x -∞<<时，0y ''>，因此曲线在1
(,]2
-∞上是凹的；
当
1
2
x <<+∞时，0y ''<，因此曲线在1
[,)2+∞上是凸的，
故1arctan
2
1
(,)2e
是拐点
21．
求函数1234+-=x x y 的拐点和凹凸区间.
解：3246y x x '=-2121212(1)y x x x x ''=-=- 令0y ''=，得10x =，21x = 列表 （4分）
22．
求函数3
2
391=+-+y x x x 的极值.
解：2
'3693(1)(3)y x x x x =+-=-+''66y x =+ 令0'=y 得驻点：121,3x x ==-.
当21x =时，''0,y >取得极小值，其值为4-. 当33x =-时，''0y <，取得极大值，其值为28.
23．
求函数23(1)1=-+y x 的极值.
解： 2
2
6(1)y x x '
=-
2
2
2
2
6(1)24(1)y x x x ''=-+-
令0y '
=，得1231,0,1x x x =-==
(0)60y ''=>，故20x =是极小值点.(1)0y ''
±=， 无法用第二充分条件进行判
定.
在11x =-的附近的左右两侧取值均有0y '<，故11x =-不是极值点. 在21x =的附近的左右两侧取值均有0y '>，故21x =不是极值点. 极小值(0)0y =
24．
求函数32(1)(23)=-+y x x 的极值点和单调区间.
解：22323(1)(23)4(1)(23)(1)(23)(105)0y x x x x x x x '=-++-+=-++=
所以，驻点11x =，232
x =-，312
x =-
列表
∴()f x 在32
x =-处取得极大值3
()02f -
=
()f x 在12
x =-
处取得极小值127()22
f -
=-
单调递增区间31(,],[,)22
-∞--
+∞，单调递增区间31[,]22-
-
25．
试问a 为何值时，函数1()sin sin 23
=+
f x a x x 在
3
π处取得极值？它
是极大值还是极小值？并求此极值.
解：2
()cos cos 23
f x a x x '=+
()f x 在3
π处取得极值
22121
()cos
cos
03
3
3
3
2
32
f a a πππ'∴=+
=?
-
?= 23
a ∴=
即 ()2()cos cos 23
f x x x '=
+
()2()sin 2sin 23
f x x x ''∴=
--
222()sin 2sin 203
33
3
32
2f πππ?
??''∴=--=-?+<
?
?
?
??
所以它是极大值，极大值为212(
)sin
sin
3
3
3
3
3
2
f π
π
π∴=
+
=
26．
求函数3223y x x =-在区间[]1,4上的最大值与最小值. 解
：
2
12660,0,1
y x x x x '=-===(舍去0x =)
()()11,480,f f =-=，故最大值为80，最小值为－1.
27．、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
解：设小屋长 x m ，宽 y m ，220,102
x x y y +==-
.
2
101022x x S x x ?
?=-=- ???
，100,10S x x '=-==
故小屋长10米，宽5米时，面积最大.
28.某厂每批生产产品x 单位的总费用为
()5200C x x =+（元），
得到的收入是
()2
100.01R x x x =-（元）.
问每批生产多少个单位产品时总利润()L x 最大？
解：
()()()2
2
100.0152000.015200
L x x x x x
x =--+=-+-
()0.0250,250L x x x '=-+==（单位）
()0.020L x ''=-<，故250x =单位时总利润最大.
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
第三章习题 3-1 1、对函数x y sin ln =在区间]6 5,6[ π π上验证罗尔定理 解答：（1、区间]6 5,6[ π π上连续 ； （2）函数x y sin ln =在区间)6 5,6(π π上可导； （3）、2ln 6sin ln )6(-==π πf ，2ln 6 5sin ln )65( -==π πf 所以满足Rolle 定理的条件。且由0sin cos == 'x x y 解得)6 5,6(4π ππξ∈= 2、证明：函数02=++=r qx px y 在任意区间上应用lagrange 中值定理求得的点ξ总是该区间的中点 证明：（1）02=++=r qx px y 在任意],[b a 上连续 ；02=++=r qx px y 在),(b a 上可导；所以满足lagrange 定理的条件。且由02=+='q px y 解得),(2 b a b a ∈+=ξ 所以求得的点ξ总是该区间的中点 3、证明：方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根 证明：用反证法，设方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内有两个不同的实数根21,x x （1）、函数c x x x f +-=3)(3在],[2x x x 连续 ；（2）、函数c x x x f +-=3)(3 在),(2x x x 可导；（3）、0)()(21==x f x f ， 所以满足Rolle 定理的条件，于是存在]1,0[),(21?=∈x x ξ。使0)(='ξf 但是由033)(2 =-='x x f 解得根为),(121x x x ?±=。矛盾 所以方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根 4、若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 b x x x a <<<<21，证明：在),(31x x 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf :证明：由于函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 b x x x a <<<<21，所以函数)(x f 分别在区间],[21x x 与],[32x x 上满足Rolle 定理的条 件，于是存在),(21x x ∈λ。使0)(='λf ，也存在),(32x x ∈?。使0)(='?f
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）
(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
1 / 10 第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根， 分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n Λ有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a Λ必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=+++L 。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥-
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
习题3－1 1．填空题 （1）函数x y 2 sin =在区间]2 ,2[π π- 上满足罗尔定理的=ξ ． （2）曲线x e y -=在点=x 处的切线与连接两点)1,0(与)1,1(e 的弦平行． 解 （1）显然函数x y 2 sin =在区间]2 ,2[π π- 上满足罗尔定理的三个条件，所以存在22 ππξ∈（-，），使得()0'=y ξ，即sin 20,0ξξ==． （2） 由于函数x e y -=在区间[01],上连续，(01),内可导， 所以满足拉格朗日定理的条件．故存在01x ∈ （，），使得(1)(0)()10-'=-y y y x ，即1 1e e ξ--=-，解得11ln(e )ξ=--． 2．证明下列恒等式 （1）arctan arccot 2 x x π += ，),(+∞-∞∈x ． （2）3 11 3arccos arccos(34)()22 π--=- ≤≤x x x x ． 证 （1） 令()arctan arccot =+f x x x ，则(,),()0x f x '?∈-∞+∞=，所以()≡f x C （常数）．又(0),2 f π = 故()arctan arccot ,(,)2 f x x x x π =+= ∈-∞+∞． （２） 令3 ()3arccos arccos(34)=--f x x x x ，则11 (),22 ?∈- <
高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????.
第三章 微分中值定理与导数的应用 一、要求： 1、罗尔定理，拉格朗日定理应用； 2、洛必达法则； 3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘； 4、简单不等式证明； 5、最值在实际问题中的应用。 二、练习 1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ). A. 1 B. f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2 D. f ( x ) x 2 2 x 1 . f ( x) x 2 2. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的 值是 ( ). A. 4 B. 4 1 C. 1 D. 4 . 1 1 3. 4 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点 所在的范围是 ；. 3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点所在 的范围是 . 4. 函数 f ( x ) ln x x 2在(0, ) 内的零点的个数为 . e 5. 曲线 6. 函数 y xe x 的拐点 ，凹区间 ，凸区间 . y ln x 1 x 2 的单调 区间 . 7. 曲线 f ( x) e x 的渐近线为 . x 1 8. 计算： 5 x 4 x 1 1 (1 2 （2） lim ( cos x ) （1） lim x 1 x x ) （3） lim tan 2 x x 1 x e 1 x 0 arctan x x (1 x 2 )1 / 3 1 ； 1 （ 4） lim ； （5） lim （6） lim (csc x ) ； x 0 x ln(1 2 x 2 ) x cos x 1 x 0 x （ 7） lim x 3 (sin 1 1 sin 2 ) ；（ ） lim (tan x ) 2 x ；（ 9） lim x ； e x x 2 x 8 x ln x x 2 9. 证明 2 arctan x arcsin 2 x x 1 . 2 1 x
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根， 分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=++ +。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥-
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
第三章 微分中值定理习题课 一、判断题（每题3分） 1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（√） 2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（× ） 3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( ×) 4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . (×) 5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 . （ √ ） 6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件.( ×) 7.函数()arctan f x x x = 的图形没有拐点. （ √ ） 8.因为函数y = 0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y = .（ × ） 二、选择题（每题3分） 1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x e B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()2 11f x x =+，满足罗尔定理全部条件的区间是（D ）. （A ）[]2,0-； （B ）[]0,1； （C ）；[]1,2- （D ）[]2,2- 3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ） (A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个. 4．已知函数3 ()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）. （A ）1 3 （B 1（C ） 12 （D 1 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数 6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).
《高等数学教程》第三章 习题答案 习题3-1 (A) 1. 34= ξ 2. 14 -= π ξ 习题3-2 (A) 1. (1)31 (2) 8 1 - 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31 e e --∞ 习题3-2 (B) 1. n a a a e e 21)8(1 )7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41) 1(-- 2. 连续 4. )(a f '' 5. )0()1(g a '= ??? ??? ?=+''≠--+'='0 ] 1)0([210 ]c o s )([]s i n )([)()2(2 x g x x x x g x x g x x f (3) 处处连续. 习题3-3 1. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f 2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f 3. )40(, ) (cos 3]2)()[sin sin(31tan 4 523<<+++=θθθθx x x x x x x 4. )10()] 4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(41243 2<<-+-- -+---+=θθx x x x x x
5. )10() (! )1(2132 <<+-++++=θn n x x O n x x x x xe 6. 645.1≈e 7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--?<≈?<≈R R 8. 12 1)3(2 1) 2(2 3 ) 1(- 习题3-4 (A) 1. 单调减少 2. 单调增加 3. .),2 3()23 ,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞ .),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞ .),2 1()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降 在上单调上升；，在+∞n n 7. (1) 凸 (2) 凹 （3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹 8. ），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（22 2),2[]2,(2e +∞-∞ 内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞ ），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞ ） ，（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 2 1),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞ 9. 2 9,32 = -=b a 10. a = 3, b = -9, c = 8 11. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线? ??=+-+=-+-020 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{ }3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-= D y x y x e I d d ) (22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-= 20 20 d d 2 r r e I r π θ??--=-202 20)(d d 212 r e r πθ?-?-=202 d 22 1r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而2 2y x u +=，xy v =，求z d ． 解： )2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求 y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格 林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)