第三章 微分中值定理习题课
一、判断题（每题3分）
1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（ √ ）
2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（ × ）
3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( × )
4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . ( × )
5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 .
（ √ ）
6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件. ( × )
7.函数()arctan f x x x =的图形没有拐点. （ √ ）
8.因为函数y =
0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =.（ × ）
二、选择题（每题3分）
1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x
e B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()2
1
1f x x
=+，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. （A ）[]2,0-；
（B ）[]0,1；
（C ）；[]1,2-
（D ）[]2,2-
3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ）
(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.
4．已知函数3
()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）.
（A ）
1
3 （B （C ）1
2 （D 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数
6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).
A. 单调减函数
B.单调增函数
C. 有单调增区间也有单调减区间
D. 没有单调性
7. 函数212922
3
-+-=x x x y 的单调减少区间是 （ C ）. （A ）),(+∞-∞ （B ）)1,(-∞
（C ）)2,1(
（D ）),2(+∞
8．设(),a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(),a b 内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A ）上方;
（B ）下方; （C ）左方; （D ）右方.
9.曲线3
2
y ax bx =+的拐点为(1,3)，则 （ A ）. （A ）3,30a b a b +=+= （B ）0,30a b a b +=+= （C ）2,320a b a b +=+=
（D ）0,340a b a b +<+=
10. 设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有()'0f x <且()"0f x <，则()y f x =在(,)a b 内（ C ）
A.单调增加，图像是凹的
B.单调减少，图像是凹的
C.单调减少，图像是凸的
D. 单调增加，图像是凸的
11．函数2
y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a 和c 应满足（ C ）.
（A ）0a <且0c =； （B ）0a >且c 是任意实数； （C ）0a <且0c ≠；
（D ）0a <且c 是任意实数.
12． 函数23
++=x x y 在其定义域内（ B ） （A ）单调减少 (B) 单调增加 (C) 图形是凹的
(D) 图形是凸的
13．若()()
00,x f x 为连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A ）()()
00,x f x 必为曲线的拐点; （B ）()()
00,x f x 必为曲线的驻点; （C ）0x 点必为曲线的极值点;
（D ）0x x =必为曲线的拐点.
14.函数()2ln f x x x =-的驻点是（ B ）.
（A ）1x = （B ）12
x =
（C ）(1,2) (D) 1(,1ln 2)2
+
15．函数2
ln(1)y x x =-+的极值（ D ）. A ．是1ln 2-- B ．是0
D．不存在 C．是1ln2
16.设()[0,1]()f x x f x ''=在上有＜0，则下述正确的是（ A ）
( A ) (1)f '＜)0()1(f f -＜(0)f '; ( B ) (0)f '＜)0()1(f f -＜(1)f '; ( C ) (1)f '＜(0)f '＜)0()1(f f -; ( D ) (0)f '＜(1)f '＜)0()1(f f -
17.设()f x 具有二阶连续的导数，且20()
lim
3,ln(1)
x f x x →=-+则(0)f 是()f x 的
（ A ）
（A ）极大值； （B ）极小值; （C ）驻点; （D ）拐点.
18.设函数()y f x =在0x x =处有()0f x '=0,在1x x =处导数不存在，则( C ). A. 0x x =,1x x =一定都是极值点 B.只有0x x =可以是极值点
C. 0x x =, 1x x =都可能不是极值点
D. 0x x =,1x x =至少有一个是极值点
三、
解答题（求极限每题4分其余每题 8分） 1．
求极限
2
2000001
1sin sin 1cos 2(1)lim lim lim lim lim 0sin sin 22→→→→→---⎛⎫-===== ⎪⎝
⎭x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）11lim 1ln x x
x x →⎛⎫
⎪⎝⎭
-
- =()()1
1ln 1ln 11
lim
lim 11ln ln x x x x x x x x x x x
→→--+-=--+
1
1ln ln 11
lim
lim ln 1ln 22x x x x x x x x x →→+===
+-+
0(3)11lim 1→⎛⎫ ⎪⎝⎭--x x x e 01lim (1)
→--=-x
x x e x x e 0011lim lim 12x
x
x x x x x x x e e e xe e e xe →→-===-+++ （4）
2
0001
1
ln(1)
ln(1)
lim(
)lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-==++
001
1111lim
lim lim 22(1)2(1)2x x x x x x x x x →→→-
+====++
20
sin (5)lim
tan →-x x x
x x 22
00sin 1cos lim lim
tan 3x x x x x x x x →→--==0sin 1lim 66x x x →==
2
2
2
20
1(6)lim
(1)
→---x x x e x
x e 2
2
401lim
→--=x x e x
x 22
32002211lim lim 42x x x x xe x e x x →→--==12
=
222
3220000tan tan sec 1tan 1
(7)lim lim lim lim ln(1)333
→→→→---====+x x x x x x x x x x x x x x x
1ln 1(8)lim cot →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x arc x 1lim cot →+∞=x x arc x 22
22
11lim lim 11
1x x x x x x x →+∞→+∞-+===+-
+
sin sin cos (9)lim
lim cos 1
→→-==-x a x a x a x
a x a
222
00021
sec 77
ln tan 7tan 2sec 77tan 7(10)lim lim lim 11ln tan 2tan 7sec 22sec 22tan 2+++→→→⋅⋅⋅===⋅⋅⋅x x x x x x x x x x x x x
(11)lim arctan 2→+∞
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
x x x π
2
222
1
arctan 12
lim lim
lim 1
1
1
1→+∞
→+∞
→+∞-
-+====+-x x x x x x x x
x
π
2
lim ln(arctan )2(12)lim arctan →+∞→+∞⎛⎫
= ⎪⎝⎭x x
x x x x e π
π
2
lim ln(arctan )
→+∞
x x x π
2
22
2
11
ln arctan ln
ln arctan arctan 1lim
lim
lim 111
→+∞
→+∞
→+∞+⋅+===-x x x x x x x x
x
x
π
π
222
2
lim 1x x x ππ
→+∞=-=-+ 2
2lim arctan -→+∞⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
x
x x e ππ .
()
tan 2
1
(13)lim 2→-x x x π
解：()
()()
1
1sin ln 22lim
lim tan ln 2cos tan 2
2
2
1
lim 2x x x x x x x
x x x e
e
π
π
ππ
→→--→-==
1
122
sin
lim
22
x x
x e e
πππ
→---⋅==
tan 0(14)1lim +→⎛⎫
⎪⎝⎭x
x x 001
1lim tan ln
lim ln
+
+
→→⋅⋅==x x x x x
x
e
e
2
0011
10ln lim
lim
1x x x x
x x
e e
e
++
→→-
-
-====
2． 验证罗尔中值定理对函数3
2
452y x x x =-+-在区间[]0,1上的正确性.
解：()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，()()012f f ==-满
足罗尔定理条件.
（3分）
令()2121010f x x x '=-+=
，得()0,1x =，满足罗尔定理结论.
3． 试证明对函数2
y px qx r =++应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总
是位于区间的正中间.
证明：在区间[],a b 上，
()()
()f b f a f b a
ξ-'=- 代入：
()()
2
22pb qb r pa qa r p q b a
ξ++-++=+-
解得：2
a b
ξ+=
. 4． 证明方程5
31x
x -=在()1,2之间有且仅有一个实根．
证明：令()531f x x x =--，()11310f =--<， ()522610f =-->
所以 ()0f x =在()1,2上至少一个根，又()4'53f x x =-，
当()1,2x ∈时()'0f x >，所以单增，因此在()1,2上至多有一个根.
()0f x =在()1,2上有且仅有一个根.
5． 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：
至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=. 提示:令
()()x F x e f x =
证明：令()()x
F x e f x =，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()()()x F x e f x f x ''=+ （3分）
由Larange 中值定理，则至少(,)a b ξ∈，使得()()
()F b F a F b a
ξ-'=
-
又
()()0f a f b == ∴()()0f f ξξ'+=
6． 设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明存在一点
(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.提示:令 ()()F x xf x =.
证明：构造辅助函数()()F x xf x =， ()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a
内可导
∴()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，()()()F x f x xf x ''=+
且(0)()0F F a ==
由Rolle 定理，至少(0,)a ξ∃∈，有()0F ξ'= 即()()0f f ξξξ'+=
7． 证明：不论b 取何值，方程033
=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实
根
证：令
()()()()323,33311f x x x b f x x x x '=-+=-=+-()1,1x ∈-时，
0,,f f
'<故()f x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.
8． 证明：当1x >时，x
e x e >⋅.
证明: 令()x
f x e x e =-⋅，显然()f x 在[1,]x 上满足Lagrange 中值定理的条
ξ∈，使得件，由中值定理，至少存在一点(1,)x
()(1)(1)()(1)()f x f x f x e e ξξ'-=-=--
即
()(1)0f x f >=又即x e x e >⋅
9． 证明：当0x >时，1
12
x +
>
证：()()1110
22f x x f x '=+==>
()()
00f x f >=,即有1
12
x +>
10． 求证：1,(0,)>+∈+∞x
e
x x
证明：令()1,,[0,)x
f x e x x =--∈+∞
当(0,)x ∈+∞时，()10x f x e '=->
故在区间[0,)+∞上，()f x 单调递增
从而当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=即1x e x >+
或者：
证明：()2
2
1112!
2
x
f e e x x x x x ξξ''=++
=++>+
……8分
11． 当1>x 时，证明：13>-x
. 答案参看课本p148 例6 12． 证明：当0x >时， ln(1).1x
x x x
<+<+ 答案参看课本P132 例1 13． 设0,1a b n >>>， 证明:1
1()()n n n n nb
a b a b na a b ---<-<-.
证明：
令()n
f x x =，
显然()f x 在[,]b a 上满足lagrange 定理条件，故至少存在一点(,)b a ξ∈，使得
()()()()f a f b f a b ξ'-=- 即
1()n n n a b n a b ξ--=-
又由b a ξ<<及1
(1)n n n ξ
->的单增性，得
1
1()()n n n n nb
a b a b na a b ---<-<-
14． 设0a b >>，证明：
ln a b b a b
a a b
--<< 证明：令()ln f x x =，在区间[],b a 上连续，在区间(,)b a 内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点(),b a ξ∈，使得1
ln ln ()a b a b ξ
-=
-，又
因为1110,a b ξ<
<<因此，ln a b a a b
a b b
--<<
. 15． 证明恒等式()arcsin arccos ,112
x x x π
+=
-≤≤.
证：令()arcsin arccos f x x x =+ 则()f x 在[]
1,1-上连续.在()1,1-内有:
()
0,f x f C '=
≡≡
令0,,arcsin arccos 2
2
x C x x π
π
==
+=
在()1,1-内成立.
再根据()f x 在[]1,1-上的连续性,可知上式在[]
1,1-上成立.
16． 求函数2y x =的极值点和单调区间. 解：1
3
2(1)y x
-'=-
因此，2y x =在定义域(,)-∞+∞内有不可导点10x =和驻点
21x =
17． 求函数32
535y x x x =-++的单调区间，拐点及凹或凸的区间. 解：2
3103y x x '=-+,
易得函数的单调递增区间为1(,)(3,)3-∞+∞,单调减区间1
(,3)3
.
610y x ''=-,令0y ''=，得53
x =. 当5
3
x -∞<<
时，0y ''<，因此曲线在5(,]3-∞上是凸的；
当5
3
x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在5[,)3+∞上是凹的，
故520
(,)327
是拐点
18． 试确定,,a b c 的值，使曲线32
y x ax bx c =-++在（1,1-）为一拐点，
在0x =处有极值，并求曲线的凹凸区间.
解：2
32y x ax b '=-+ 62y x a ''=-
(1,1)-为拐点，则062a =- 3a ∴=
由0y '=，则2
360x x b -+= , 代入0x =，则0b =.
11,1a b c c -++=-=
曲线为3
2
31y x x =-+, 66y x ''=-. 凸区间为(,1)-∞-, 凹区间为(1,)+∞.
19． 求函数()7ln 124
-=x x y 的单调区间，拐点及凹或凸的区间.
解： 3431
4(12ln 7)124(12ln 4)y x x x x x x
'=-+⋅⋅
=-， 易得函数的单调递增区间为13
(,)e +∞,单调减区间13
(0,)e . ()2321
12(12ln 4)412144ln 0y x x x x x x x
''=-+⋅⋅=>， 令0y ''=，得1x =.
当01x <<时，0y ''<，因此曲线在(0,1]上是凸的；
当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在[1,)+∞上是凹的，故(1,7)-是拐点 20． 求函数arctan x
y e
=的单调区间，拐点及凹或凸的区间．
解：arctan 2
1
1x y e x '=⋅
+>0,因此单调增区间是R , arctan arctan arctan 2222221212(1)(1)(1)x
x x x x y e e e x x x ⎡⎤⎡⎤-''=+-=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦
， 令0y ''=，得1
2
x =. 当12x -∞<<
时，0y ''>，因此曲线在1
(,]2
-∞上是凹的； 当
1
2
x <<+∞时，0y ''<，因此曲线在1[,)2+∞上是凸的，
故1
arctan 2
1(,)2
e
是拐点 21． 求函数123
4+-=x x y 的拐点和凹凸区间. 解：3
2
46y x x '=- 2
121212(1)y x x x x ''=-=- 令0y ''=，得10x =，21x = 列表 （4分）
22． 求函数3
2
391=+-+y x x x 的极值.
解：2
'3693(1)(3)y x x x x =+-=-+ ''66y x =+ 令0'=y 得驻点：121,3x x ==-.
当21x =时，''0,y >取得极小值，其值为4-. 当33x =-时，''0y <，取得极大值，其值为28.
23． 求函数23
(1)1=-+y x 的极值.
解： 22
6(1)y x x '=-
22226(1)24(1)y x x x ''=-+-
令0y '=，得1231,0,1x x x =-==
(0)60y ''=>，故20x =是极小值点.
(1)0y ''±=， 无法用第二充分条件进行
判定.
在11x =-的附近的左右两侧取值均有0y '<，故11x =-不是极值点. 在21x =的附近的左右两侧取值均有0y '>，故21x =不是极值点. 极小值(0)0y =
24． 求函数3
2
(1)(23)=-+y x x 的极值点和单调区间.
解：2
2
3
2
3(1)(23)4(1)(23)(1)(23)(105)0y x x x x x x x '=-++-+=-++=
所以，驻点11x =，232x =-，31
2
x =- 列表
∴()f x 在32x =-
处取得极大值3
()02
f -= ()f x 在12x =-
处取得极小值127()22
f -=- 单调递增区间3
1(,],[,)2
2-∞--
+∞，单调递增区间31
[,]22
-- 25． 试问a 为何值时，函数1
()sin sin 23
=+f x a x x 在
3
π
处取得极值？它是
极大值还是极小值？并求此极值.
解：
2
()cos cos2
3
f x a x x '=+
()
f x在
3
π
处取得极值
22121
()cos
cos 03
333232
f a a ππ
π'∴=+=⋅-⋅= 2
3
a ∴=
即 ()2()cos cos 23f x x x '=
+ ()2
()sin 2sin 23
f x x x ''∴=--
222()sin 2sin 203
3333f π
ππ⎛⎫''∴=
--=-⋅+< ⎪⎝⎭⎝⎭
所以它是极大值，极大值为212()sin sin 3
3333f π
ππ∴=
+=26． 求函数3
2
23y x x =-在区间[]1,4上的最大值与最小值.
解
：
212660,0,1
y x x x x '=-===(舍去
x =)
()()11,480,f f =-=，故最大值为80，最小值为－1.
27．、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁.问应
围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
解：设小屋长 x m ，宽 y m ，220,102
x
x y y +==-.
2101022x x S x x ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，100,10S x x '=-==
故小屋长10米，宽5米时，面积最大.
28.某厂每批生产产品x 单位的总费用为
()5200C x x =+（元）
， 得到的收入是
()2100.01R x x x =-（元）.
问每批生产多少个单位产品时总利润()L x 最大？
解：
()()()22100.0152000.015200L x x x x x x =--+=-+-
()0.0250,250L x x x '=-+==（单位）
()0.020L x ''=-<，故250x =单位时总利润最大.
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第三章 微分中值定理与导数的应用 一、要求： 1、罗尔定理，拉格朗日定理应用； 2、洛必达法则； 3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘； 4、简单不等式证明； 5、最值在实际问题中的应用。 二、练习 1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ). A. 1 B. f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2 D. f ( x ) x 2 2 x 1 . f ( x) x 2 2. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的 值是 ( ). A. 4 B. 4 1 C. 1 D. 4 . 1 1 3. 4 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点 所在的范围是 ；. 3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点所在 的范围是 . 4. 函数 f ( x ) ln x x 2在(0, ) 内的零点的个数为 . e 5. 曲线 6. 函数 y xe x 的拐点 ，凹区间 ，凸区间 . y ln x 1 x 2 的单调 区间 . 7. 曲线 f ( x) e x 的渐近线为 . x 1 8. 计算： 5 x 4 x 1 1 (1 2 （2） lim ( cos x ) （1） lim x 1 x x ) （3） lim tan 2 x x 1 x e 1 x 0 arctan x x (1 x 2 )1 / 3 1 ； 1 （ 4） lim ； （5） lim （6） lim (csc x ) ； x 0 x ln(1 2 x 2 ) x cos x 1 x 0 x （ 7） lim x 3 (sin 1 1 sin 2 ) ；（ ） lim (tan x ) 2 x ；（ 9） lim x ； e x x 2 x 8 x ln x x 2 9. 证明 2 arctan x arcsin 2 x x 1 . 2 1 x
第三章 微分中值定理习题课 一、判断题（每题3分） 1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（ √ ） 2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（ × ） 3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( × ) 4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . ( × ) 5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 . （ √ ） 6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件. ( × ) 7.函数()arctan f x x x =的图形没有拐点. （ √ ） 8.因为函数y = 0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =.（ × ） 二、选择题（每题3分） 1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x e B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()2 1 1f x x =+，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. （A ）[]2,0-； （B ）[]0,1； （C ）；[]1,2- （D ）[]2,2- 3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ） (A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个. 4．已知函数3 ()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）. （A ） 1 3 （B （C ）1 2 （D 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数
文科高等数学第三版教材答案第一章：函数及其图像 1. 函数的概念及性质 函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。函数有定义域和值域，可以用图像来表示。 2. 函数的表示方法 函数可以用函数表、公式、图像等方式表示。其中，函数表是一种列出定义域与值域对应关系的方式，而函数公式则是通过数学表达式来表示。 3. 常见的函数类型 常见的函数类型包括线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。不同类型的函数有不同的性质和特点。 4. 函数的性质 函数有奇偶性、单调性、周期性等性质。奇偶性指的是函数的对称性，单调性指的是函数在定义域内的增减性，周期性指的是函数具有重复性。 5. 函数的限制 函数的限制是指函数在某些条件下的取值范围。常见的限制包括定义域的限制、值域的限制以及其他约束条件的限制。
第二章：导数与微分 1. 导数的定义与性质 导数是函数在某一点处的变化率，表示函数曲线在该点处的切线 斜率。导数具有线性性、乘法性、和法则、差法则等性质。 2. 导数的计算方法 导数的计算方法包括求导法则、链式法则、参数法则等。其中， 求导法则包括常规函数的求导公式，链式法则适用于复合函数的求导，参数法则适用于含有参数的函数的求导。 3. 函数的凹凸性与拐点 函数的凹凸性与拐点与其导数的变化有关。例如，函数的二阶导 数大于零时，函数凹，二阶导数小于零时，函数凸，二阶导数为零时，可能存在拐点。 4. 微分的概念与应用 微分表示函数在某一点处的变化量，是导数的微小改变量。微分 在近似计算、极值问题等方面有广泛的应用。 第三章：不定积分与定积分 1. 不定积分的基本概念 不定积分是确定函数的原函数的过程，表示函数在一个区间内的 积分。不定积分可以通过求导的逆运算来求得。
第一章 函数、极限与连续习题题解(P27) 一、判断题题解 1. 正确。设h (x )=f (x )+f ( x ), 则h (x )= f (x )+f (x )= h (x )。故为偶函数。 2. 错。y =2ln x 的定义域(0,+), y =ln x 2的定义域 ( ,0)∪(0,+ )。定义域不同。 3. 错。+∞=→2 1 lim x x 。故无界。 4. 错。在x 0点极限存在不一定连续。 5. 错。01lim =-+∞ →x x 逐渐增大。 6. 正确。设A x f x x =→)(lim 0 ，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有 εε+<<-A x f A )(。 7. 正确。反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x ) f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而 g (x )在x =x 0处 也连续，与已知条件矛盾。 8. 正确。是复合函数的连续性定理。 二、选择题题解 1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ 2. y =x (C ) 3. 01sin lim 0 =→x x x (A ) 4. 0cos 1 sin lim 0=→x x x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 1 1111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→+ + - - (B ) 6. 3092 <⇒>-x x (D )
高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社） 习题三答案详解 1． 确定下列函数的单调区间： (1) 3226187y x x x =---； 解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且 2612186(1)(3)y x x x x '=--=+- 可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少. (2) 82 (0)y x x x =+ >； 解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且2 82y x '=-，则函数 有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少. (3) ln(y x =+； 解: 函数定义域为(,)-∞+∞， 0y '= >,故函数在(,)-∞+∞上单调增加. (4) 3 (1)(1)y x x =-+； 解: 函数定义域为(,)-∞+∞,2 2(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2 x x =-=,在 1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1 [,)2 +∞内， 0y '>，函数单调增加. (5) e (0,0)n x y x n n -=>≥； 解: 函数定义域为[0,)+∞，1 1 e e e ()n x n x x n y nx x x n x -----'=-=- 函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单
第三章总练习题 111 121 22 1.N ew to n -L eib n iz 1(1).[1,1],.tan (2).tan (0,2)2tan 2.,x x x d d e d x e e d x d x x d x d x u x x f F F ππ-??????=-- ? ? ???????=+? ? 为什么用公式于下列积分会得到不正确结果?无界从而不可积在的一些点不可导. 证明奇连续函数的原函数为偶函数,而偶连续函数的原函数之一为奇函数.设奇连续函数的原函数为 现在证明是偶证. ()().(()())()()()()0,()(),(0)(0)0.()()0.,. ()().(()())()()()()0,()().(0)0,(F x f x F x F x F x F x f x f x F x F x C C F F F x F x f F F F x f x F x F x F x F x f x f x F x F x C F C F ''''=--=---=---=--==--=--=''''=-+=--+=--+=--===函数设偶连续函数的原函数为现在证明是奇函数设则3003 4 4 00 10 10 0)(0)0.()()0.sin ,0,3.()()()?0,0. , 0,()()()sin co s |1co s . 4 4 4.sin (). sin ()s b a b b b a a a a b F F x F x x x f x f x f x d x a b x x f x d x f x d x f x d x x d x xd x x a x b d x t d x d x d d x t d x d x d x --=-+=≥?==<>?
高等数学第六版（上册）第三章课后习题答案及解析 习题3-1 1.验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]6 5 ,6[ππ上的正确性. 解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续,在)6 5 ,6(ππ内可导,且)65()6(ππy y =, 所 以由罗尔定理知,至少存在一点)6 5 ,6(ππξ∈,使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)6 5 ,6(2πππ∈. 因此确有)65 ,6(2πππξ∈=,使y '(ξ)=cot ξ=0. 2.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性. 解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续,在(0, 1)内可导,由拉格朗日中值定理 知,至少存在一点ξ∈(0, 1),使00 1) 0()1()(=--= 'y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12 135∈±=x . 因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ,使01) 0()1()(--='y y y ξ. 3.对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的 正确性. 解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续,在)2 ,0(π可导,且 F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0,所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(πξ∈, 使得 )() ()0()2 ()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2 ()0()2 ()() (F F f f x F x f --=''ππ,即2 2sin 1cos -=-πx x . 化简得14)2(8s i n 2-+-=πx .易证114 )2(802<-+-<π,所以 14)2(8s i n 2-+-=πx 在
习题3-2 1. 用洛必达法则求下列极限: (1)x x x )1ln(lim 0+→; (2)x e e x x x sin lim 0-→-; (3)a x a x a x --→sin sin lim ; (4)x x x 5tan 3sin lim π→; (5)22 )2(sin ln lim x x x -→ππ; (6)n n m m a x a x a x --→lim ; (7)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→; (8)x x x 3tan tan lim 2π→; (9)x arc x x cot )11ln(lim ++∞→; (10)x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→; (11)x x x 2cot lim 0 →; (12)120lim x x e x →; (13))1 112(lim 21---→x x x ; (14)x x x a )1(lim +∞→; (15)x x x sin 0 lim +→; (16)x x x tan 0)1(lim +→.
解 (1)111lim 111lim )1ln(lim 000=+=+=+→→→x x x x x x x . (2)2cos lim sin lim 00=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . (3)a x a x a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→. (4)5 35sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22 222-=---=-?-=-→→→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n m m a x a n m na mx nx mx a x a x -----→→===--1111lim lim . (7)22sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 2200????=+→+→x x x x x x x x 17 7s e c 22s e c l i m 277t a n 2t a n l i m 272200=??==+→+→x x x x x x . (8)x x x x x x x x x 222 2222cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim πππ→→→=?= )s i n (c o s 23)3s i n (3c o s 2lim 312x x x x x -?-=→π x x x c o s 3c o s l i m π→-= 3s i n 3s i n 3l i m 2 =---=→x x x π. (9)2221lim 11 )1(111lim cot arc )11ln(lim x x x x x x x x x x x ++=+--?+=++∞→+∞→+∞→ 12 2lim 212lim ==+=+∞→+∞→x x x x . (10)x x x x x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→ 1s i n lim )sin (cos 22lim 00==--=→→x x x x x x x .
同济高等数学第三版上册答案详解同济大学高等数学第三版上册是比较有名的一本数学教材，最新出版的三版包含了更多的知识和技能。下面是同济高等数学第三版上册答案详解： 第一章：实数和函数 1.练习题： 1、设x与y为实数，请计算： （1）（2x-3)/(x+2y) = 2x/ (x+2y) - 3/ (x+2y) （2）x+|y|-2y = x-y+2（|y|-|y|）=x-y 2、如果a>0,b>0，那么： （1）1/a +1/b = 1/a + 1/b =(ab)/ab=1
（2）(a-b)/ab = a/ab - b/ab = (a/b) -1 3、D=(a +b )2 /4，那么，D/(ab)= (a+b)2/4(ab) =(a+b)/2 2.定理： 1、对任何实数x，均有：x-x=0 2、若a＞b，则a-b＞0 3、若a＞0，b＞0，则a/b＞1 第二章：多项式、函数和系数 1.练习题： 1、如果a+b=3,且a*b=2，那么：
（1）a2 +b2 = 9+4=13 （2）a3 + b3 = 8+1=9 2、若多项式P(x)=2x3+7x2-3x+20，则： （1）P（1）= 2*1^3+7*1^2-3*1+20=26 （2）P（-2）=2*(-2)^3+7*(-2)^2-3*(-2)+20=-18 2.定理： 1、若系数a+b=3，则a*b=3-a 2、若多项式P(x)=ax3 +bx2 +cx +d，则P(x+h)=a(x+h)3 +b(x+h)2 +c(x+h) +d 第三章：极坐标与向量
1.练习题： 1、如果向量m=(-2,4)，则 （1）|m|=根号(-2)^2+4^2=根号20=4.47213 （2）m方向的极坐标r=4.47213，O=45° 2、若向量m=(3,-3)，则 （1）向量m的极坐标r=根号3^2 +(-3)^2 =根号18 =4.24264，\theta=135° （2）向量m在极坐标中的表示法为(4.24264,135°) 2.定理：
高等数学第三版上册课后习题答案 高等数学是大学数学的一门重要课程，它为学生提供了丰富的数学知识和解决问题的能力。而课后习题作为巩固和拓展知识的重要方式，对于学生来说是非常重要的。然而，由于高等数学的复杂性和抽象性，许多学生在解题过程中会遇到困难。因此，本文将为大家提供高等数学第三版上册课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门课程。 第一章：极限与连续 1. 习题1：设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求f(x)在x = 2处的极限。 解答：将x = 2代入f(x)，得到f(2) = 2^2 + 3*2 - 2 = 10。因此，f(x)在x = 2处的极限为10。 2. 习题2：求函数f(x) = (x - 1) / (x + 1)在x = -1处的极限。 解答：将x = -1代入f(x)，得到f(-1) = (-1 - 1) / (-1 + 1) = 0/0。由于0/0是一个不确定形式，我们需要进行进一步的计算。通过分子有理化，可以得到f(x) = (x - 1) / (x + 1) = (x + 1 - 2) / (x + 1) = 1 - 2 / (x + 1)。当x趋近于-1时，2 / (x + 1)趋近于无穷大，因此f(x)在x = -1处的极限为负无穷大。 第二章：导数与微分 1. 习题1：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的导数。 解答：对f(x)进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。 2. 习题2：求函数f(x) = e^x在x = 0处的导数。 解答：e^x的导数等于其本身，因此f'(x) = e^x。将x = 0代入f'(x)，得到f'(0) = e^0 = 1。因此，函数f(x) = e^x在x = 0处的导数为1。 第三章：微分中值定理与导数的应用
第三章 练习题 一、填空 1、设常数，函数在内零点的个数为 2 2、 3、曲线 的拐点是（1,4）． 4、曲线 的拐点是 (0, 0) 5、.曲线 的拐点是 . 6、 2 1 7、 3 8. 9、函数x xe y =的极小值点是 ____1-=x ______ 10、函数x x e y x cos -+= 在 []π,0上的最小值是 0 11．=-→x e x x 1 lim sin 0 1 二、选择 1、设 ，则 有（ B ）实根. A.. 一个 B. 两个 C. 三个 D. 无 2、的拐点是（ C ） A. B C. D. 3． ( B ) A 、 B 、 C 、 D 、 4．
( B ) A、B、 C、D、 5．( C ) A、 B、 C、 D、 6．( A ) A、 B、 C、 D、 7．A A、B、 C、D、 8．D A、 B、C、 D、 9．( C ) A、B、 C、 D、 10．函数( C ) A、0 B、132 C、120 D、60 11．( B ) A、B、 C、D、 12．（B） A、B、
C 、 D 、 13．设在＝2处 （ A ） A. 连续 B.不连续 C. 可导 D.不存在极限 14．( B ) A 、 B 、 C 、 D 、 15.设，则 （ C ） A. 0 B. 1 C.-1. D. 2 三、计算与证明： 1、 解：⎪⎭⎫ ⎝ ⎛--→x e x x 111 lim 0()11lim 0-+-=→x x x e x e x 11lim 0-+-=→x x x x xe e e 2121lim lim 00-=+-=++-=→→x xe e e e x x x x x x 2、 ()()()()2000ln 1ln 111lim lim lim ln 1ln 1x x x x x x x x x x x x →→→⎡ ⎤ -+-+-==⎢⎥++⎣⎦解： ()001 11lim lim 221x x x x x x x →→- +==+ 12 = 3、 2ln lnarctan 2lim arctan lim x x x x x x e ππ⎛⎫ + ⎪⎝⎭ →+∞→+∞ ⎛⎫ = ⎪⎝⎭解： 11 2 ln ln arctan 2 arctan 111 2 lim lim x x x x x x x e e π ⋅ ++-→+∞ →+∞ ==2 e π - = 4、 1)1(1lim 11 )1(1lim cot ) 11ln(lim 22 =++=+- +-=++∞→+∞→+∞→x x x x x x x arc x x x x
高等数学上册习题册答案 高等数学是大学中的一门重要课程，它对于培养学生的数学思维能力和解决实 际问题的能力起着重要的作用。而习题册作为高等数学学习的重要辅助材料， 对于巩固和提高学生的数学水平至关重要。在这篇文章中，我将为大家提供高 等数学上册习题册的一些答案，帮助大家更好地学习和掌握这门课程。 第一章：极限与连续 1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的极限。 解：我们可以通过直接代入法求得极限。当x趋近于任意实数时，函数f(x)的极限为无穷大。 2. 求函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)的极限。 解：我们可以通过化简的方法求得极限。将分子进行因式分解，得到f(x) = (x + 2)，所以当x趋近于2时，函数f(x)的极限为4。 第二章：导数与微分 1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1的导数。 解：我们可以通过求导的方法求得导数。对于函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，它的导数为f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。 2. 求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。 解：我们可以利用链式法则求得导数。对于函数f(x) = e^x * sin(x)，它的导数为 f'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)。 第三章：微分中值定理与导数的应用 1. 求函数f(x) = x^3在区间[0, 1]上的极大值和极小值。 解：我们可以通过求导和二阶导数的方法求得极值。首先，求得f'(x) = 3x^2，
然后求得f''(x) = 6x。对于区间[0, 1]，当x = 0时，f''(x) = 0，所以函数f(x)在x = 0处取得极小值；当x = 1时，f''(x) = 6，所以函数f(x)在x = 1处取得极大值。 2. 求函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线方程。 解：我们可以利用切线的斜率公式求得切线方程。对于函数f(x) = x^2，它的导 数为f'(x) = 2x。在点x = 2处，导数的值为f'(2) = 4，所以切线的斜率为4。根 据切线的斜率公式y - y1 = k(x - x1)，其中k为斜率，(x1, y1)为切点的坐标，代入x1 = 2，y1 = 4，k = 4，得到切线方程为y - 4 = 4(x - 2)。 第四章：不定积分 1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的不定积分。 解：我们可以通过求积分的方法求得不定积分。对于函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，它的不定积分为F(x) = x^3 + x^2 - x + C，其中C为常数。 2. 求函数f(x) = sin(x)的不定积分。 解：我们可以直接利用积分的公式求得不定积分。对于函数f(x) = sin(x)，它的 不定积分为F(x) = -cos(x) + C，其中C为常数。 通过以上习题的答案，我们可以更好地理解和掌握高等数学上册的知识点。同时，习题册的答案也可以帮助我们检验自己的学习成果，及时发现和纠正错误。希望大家能够善用习题册答案，不断提高自己的数学水平。
第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根， 分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=++ +。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥-
高数上册课后习题答案 高数上册课后习题答案 高等数学作为大学本科教育中的一门重要课程，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力起着至关重要的作用。然而，由于高数上册课程的难度较大，学生们往往会在课后习题上遇到一些困难。为了帮助大家更好地理解和掌握高数上册的知识，本文将提供一些常见习题的答案和解析。 第一章：极限与连续 1. 计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^3 + 2x^2 - 5}$。 解析：将分子和分母同时除以$x^3$，得到 $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^3}}$。当$x$趋向于无穷大时，分子的前两项趋近于0，分母的后两项趋近于0，所以原式等于 $\frac{0}{1+0-0}=0$。 2. 计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。 解析：将分子展开，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...)-1-x}{x^2}$。化简后得到 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...}{x^2}$。当$x$趋向于0时，分子的每一项都趋近于0，所以原式等于 $\frac{0}{1}=0$。 第二章：导数与微分 1. 求函数 $y = x^3 - 4x^2 + 3x + 2$ 在点 $x = 2$ 处的导数。 解析：对函数进行求导，得到 $y' = 3x^2 - 8x + 3$。将$x$的值代入，得到 $y'(2) = 3(2)^2 - 8(2) + 3 = 4$。所以函数在点 $x = 2$ 处的导数为4。 2. 求函数 $y = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。
高等数学基础教材课后答案1. 第一章：函数与极限 1.1 函数的概念与性质 1.2 极限的定义与性质 1.3 常用极限和极限运算法则 2. 第二章：导数与微分 2.1 导数的定义与基本性质 2.2 高阶导数与导数的计算 2.3 微分的概念与运算 3. 第三章：微分中值定理与导数应用 3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理 3.2 洛必达法则与泰勒公式 3.3 极值与最值的判定 3.4 应用题：切线与法线、曲率与弧长 4. 第四章：不定积分与定积分 4.1 不定积分的概念与性质 4.2 基本积分表与积分方法
4.4 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法 5. 第五章：多元函数微分学 5.1 多元函数的概念与性质 5.2 偏导数与全微分 5.3 隐函数与参数方程的求导 5.4 高阶导数与泰勒展开 5.5 一元函数与多元函数的导数比较 6. 第六章：多元函数的极值与条件极值6.1 多元函数的极值判定与求解 6.2 条件极值的求解 6.3 隐函数的极值 7. 第七章：重积分与曲线积分 7.1 二重积分的概念与计算 7.2 广义积分的概念与性质 7.3 三重积分的概念与计算 7.4 曲线积分的概念与计算
8. 第八章：无界区域上的积分 8.1 狄利克雷条件 8.2 无界闭区域上的积分 8.3 圆周率的计算 9. 第九章：常微分方程 9.1 一阶常微分方程的解法与应用 9.2 高阶常微分方程的解法 9.3 变量分离与恰当方程 9.4 拉普拉斯变换与常系数线性微分方程 10. 第十章：偏微分方程 10.1 偏微分方程的基本概念 10.2 分离变量方法与特征线法 10.3 热传导方程与波动方程 10.4 边界值问题与最值问题 以上为《高等数学基础教材》课后习题答案的大致内容。对于每个章节的习题，下面是一些示例题目及其解答作为参考： 【第一章：函数与极限】
习题3-5 1. 求函数的极值: (1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ; (3) y =-x 4+2x 2 ; (4)x x y -+=1; (5)2 5431x x y ++= ; (6)1 4 4322++++=x x x x y ; (7) y =e x cos x ; (8)x x y 1=; (9) 3 1 )1(23+-=x y ; (10) y =x +tan x . 解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表 可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47. (2)函数的定义为(-1, +∞), x x x y += +-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1
习题3-3 1. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解 设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56, f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以 4)4(3 2)4(! 4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+ -'+=x f x f x f x f f x f =-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1) 3. 解 因为 f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3), f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720; f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以 6 )6(5)5(4)4(32! 6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+= =1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6. 3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为 24)4(==f , 4121)4(4 2 1 =='=- x x f , 32 14 1)4(4 23 -=-=''=-x x f , 32838 3)4(4 2 5 ⋅=='''=- x x f , 27 )4(16 15)(--=x x f , 所以 4)4(3 2)4(! 4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ
高等数学第3版答案 【篇一：中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3 章课后习题详解】 t>习题3-1 ★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 ?。 （1） f(x)?2x2?x?3,[?1,1.5]； （2） f(x)?x?x,[0,3]。 知识点：罗尔中值定理。 2 解：（1）∵f(x)?2x?x?3在[?1, 1.5]上连续，在(?1,1.5)内可导，且f(?1)?f(1.5)?0， ∴ （2）∵∴ 1 ?(?1,1.5)即为所求。 4 f(x)?x?x在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)?f(3)?0， f(x)?x?x 在[0,3]上满足罗尔定理的条件。令 y?4x3?5x2?x?2在区间[0,1]上的正确性。 f(1)?f(0) 1?0 3 2 知识点：拉格朗日中值定理。 可验证定理的正确性。 1]连续，在(0,1)内可导，∴y?4x?5x?x?2在解： ∵y?f(x)?4x?5x?x?2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。又区间[0, f?(?)? 32 f(1)??2,f(0)??2，f?(x)?12x2?10x?1， ∴要使
f(1)?f(0)5?0，只要：??(0,1)， 1? 012 ∴??? 1?012 ★3.已知函数 。 解：要使 的?。 f(2)?f(1)3 2?1★★4.试证明对函数 总是位于区间的正中间。 证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y?px2?qx?r在[a,b]上 连续，在(a,b)内可导，从 而有 f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r) b?ab?a b?a ，结论成立。 2 ★5.函数 f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满 知识点：柯西中值定理。 思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程 便为所求。 解：∵f(x)?x3及g(x)?x2?1在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有 g?(x)?2x?0，所以满足柯西中值定理的条件。要使 ? 14 即为满足定理的数值。 ★★★6.设 f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0。求证： / 结论出发，变形为 f/(x)x?f(x)，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数 也是利用中值定理解决问题时常