第三章微分中值定理与导数的应用答案
§3.1 微分中值定理
1． 填空题
（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是
π
π
-4．
（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．
2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．
A ． 必要条件
B ．充分条件
C ． 充要条件
D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．
A . x
e x
f =)( B. ||)(x x f = C. 2
1)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=0
,00
,1sin )(x x x
x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成
立（ B ）．
A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ
B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间
C ． 211221)
()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ
D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ
3．证明恒等式：)(2
cot arctan ∞<<-∞=
+x x arc x π
．
证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011
11)(2
2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．
设c x f =)(，又因为(1)2
f π
=，
故 )(2
c o t a r c t a n ∞<<-∞=
+x x arc x π
．
4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<
3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．
证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在
),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．
5． 证明方程06213
2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03
1)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使
0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02
1
12=++ηη，这与
02
112
>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根． 6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<>
7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使
证明： 只需令2
)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明. 8．证明下列不等式
（１）当π< x cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即 0sin cos sin >=-ξξx x x x (π< 因此， 当π< x cos sin >． （２）当 0>>b a 时，b b a b a a b a -< <-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有 因为' 1()f x x =，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而 b b a b a a b a -< <-ln ． §3.1 洛毕达法则 1． 填空题 （１） =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- （２）=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim 0 （３）)tan 11(lim 20x x x x - →=3 1 （４）0 lim(sin )x x x + →=1 ２．选择题 （１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞ →∞ →n n n n n e n ln lim lim 11 lim =∞→n n e B ． =-+→x x x x x sin sin lim 0 ∞=-+→x x x cos 1cos 1lim 0 C ． x x x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim sin 1sin lim 020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11 lim 0=→x x e （２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ） A ． x x x sin lim 20→ B ． x x x tan 0)1(lim +→ C ． x x x x sin lim +∞→ D ． x n x e x +∞→lim 3． 求下列极限 （１）n n m m a x a x a x --→lim ． 解： n n m m a x a x a x --→lim =n m n m a x a n m nx mx ---→=11lim ． （２）2 02 22lim x x x x -+-→． 解： 20222lim x x x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2 )2(ln ． （３）3 0tan sin lim x x x x -→ ． 解：30tan sin lim x x x x -→＝3 2030) 21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４） 20)(arcsin 1 sin lim x x e x x --→． 解：20)(arcsin 1 sin lim x x e x x --→＝201sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ． （５）x x x x x x ln 1lim 1+--→． 解： )ln 1()(x x x x x +='， x x x x x x ln 1lim 1+--→＝x x x x x 1 1) ln 1(1lim 1+ -+-→＝2 2111)ln 1(lim x x x x x x x x --+-→ 2])ln 1([lim 1221 =++=++→x x x x x x ． （６） )1 1 1( lim 0 --→x x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→x x e x x e e x x x x x x x （７） x x x tan 0)1(lim +→ ． 解：1)1(lim 20200 0sin lim csc 1 lim cot ln lim ln tan lim tan 0=====+→+→+→+ →+----→x x x x x x x x x x x x x x e e e e x ． （８）)3 1ln()21ln(lim x x x +++∞ →． 解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 2 3ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim 1 x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =x x x 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3． （９） n n n ∞ →l i m ． 解： 因为1lim 1 lim ln 1 lim ===∞→∞→∞ →x x x x x x x e e x ，所以n n n ∞ →lim =1． §3.3 泰勒公式 １．按1-x 的幂展开多项式43)(2 4++=x x x f ． 解： 10)1(,64)(3 ='+='f x x x f ， 同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)() 5(=x f ． 由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =4 32)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ． 2． 求函数x e x x f 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式． 解：因为)(! !2!112n n x x o n x x x e ++++ += ， 所以 x e x x f 2 )(==2 222[1()]1!2! (2)!n n x x x x o x n --+++ ++-=)()! 2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ． 3． 求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设x x f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ， 故 )(! 2)2(ln !12ln 1222 2x x x x ο+++=， 则 2 22 )2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2 x x x x + -∞ →． 解：因为 ))1 ((3)1(2)1(1)11ln(33 2x o x x x x ++-=+， 所以 )11ln(2 x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[33 22x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-， 故 2 1)]1(3121[lim )]11ln([lim 2 =+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ． 5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0) (lim 2 0==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ． 证明： 因为 0) (lim 2 0=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ． 由麦克劳林公式得：3 32! 3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之 间），因此 ! 3) ()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ． §3.4函数的单调性与曲线的凹凸性 1． 填空题 （１） 函数)ln(42 2 x x y -=的单调增加区间是),2 1 ()0,21(+∞- ，单调减少区间)2 1 ,0()21,( --∞． （２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则x x f x F ) ()(=在+∞< （３）函数12 +=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>． （４）若点（1，3)为曲线2 3bx ax y +=的拐点，则=a 2 3 - ，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞， 凸区间为),1(∞． 2． 单项选择题 （１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . x y -=2 ),(∞+-∞ B . x y e = )0,(-∞ C . x y ln = ),0(∞+ D . x y sin = ),0(π （２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,2 1(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的 （３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增 （４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x ． 解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0 （２）(2y x =- 解：)1(3 103 1-='-x x y ， 当1>x ，或0 （３）)1ln(2x x y ++= 解： 0111112 2 2 >+= ++++ = 'x x x x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加． 3． 证明下列不等式 （１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式| |1| |||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++． 证明：令x x x f += 1)(，则0)1(1)(2 >+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即 （２）当1>x 时, 1 ) 1(2ln +->x x x ． 证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )(' -+=x x x f ，由于当1x >时， 211 ()0f x x x ''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在 ),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f , 因此1 ) 1(2ln +->x x x ． （３）当 0>x 时，6sin 3 x x x ->． 证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 02 1cos )(2 =+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->， 所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从 而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6 sin 3 x x x ->． 4． 讨论方程k x x =-sin 2π (其中k 为常数)在)2 ,0(π 内有几个实根． 解：设()sin ,2x x x k πϕ=- - 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(π ϕϕ， 由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2 ,0(π 内的唯一驻点． ()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2π π上单调增加． 故k --- =242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π 的最大值是k -,最小值是k --- 2 4 2arccos 2ππ． （１） 当,0≥k 或2 4 2 arccos 2-- <ππ k 时,方程在)2 , 0(π 内无实根； （２） 当024 2 arccos 2<<--k ππ 时,有两个实根； （３） 当2 4 2 arccos 2-- =ππ k 时，有唯一实根． 5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=2 3中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上． 解： c bx ax y ++='232 ,b ax y 26+=''，所以 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ． 6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 （１）12 -+ =x x x y 解： 222)1(11-+-='x x y , 3 23) 1(62-+=''x x x y , 令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在． 当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1- 故曲线1 2-+=x x x y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的， 曲线的拐点为)0,0(． （２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间 解： y '= ，y ''=． 当0=x 时，y y ''',不存在；当2 1 -=x 时，0=''y ． 故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,2 1 (3--是曲线的拐点, 7．利用凹凸性证明: 当π< x x >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2 sin 41)(x x f -=''． 当π< x x x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线 )(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f , 即π x x >2sin ． §3.5 函数的极值与最大值最小值 1． 填空题 （１）函数x x y 2=取极小值的点是1ln 2 x =- ． （２） 函数3 12 3 2)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为3 2 2 )21( = f ，最小值为 (0)1f =- ． 2．选择题 （１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则 )(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ） A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点 B ． 0x x =是)(x f 的极大值点 C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负 D ． )(x f ''不为零 （２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足x e x f x x f x --='+''1)]([3)(2 ，若 00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ） A. )(0x f 为)(x f 的极大值 B. )(0x f 为)(x f 的极小值 C. ))(,00x f x （为拐点 D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点 （３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1) () ()(lim 2 000 -=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ ) A ． 取得极大值 B ． 取得极小值 C ． 无极值 D ． 不一定有极值 3． 求下列函数的极值 （１） ()3 /22 3x x x f -=． 解：由13 ()10f x x - '=-=，得1=x ． 4 ''31(),(1)03 f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值． （２）x x x f 1)(=． 解：定义域为),0(+∞，11ln 21 , (1ln )x x x y e y x x x '==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<． 因此e e e y 1 )(=为极大值． 4． 求1412322 3+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值． 解：(3)23, (4)132y y -==． 由2 66120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ． 而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7． 5． 在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大． 解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 3 1 π=， 由于2 2 2 )(R r R h =+-，因此)2( 3 1 )(2h Rh h h V -= π )20(R h <<， 由0)34( 31)(2 =-='h Rh h V π，得3 4R h =，此时R r 322=． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当3 4R h = , R r 322=时, 内接锥体体积的最大． 6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？ 解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ）， 其中k 是某一正数． 由 0)34005( 2 =-+='x x k y , 得15=x . 由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 21005 1 1500|+ ==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省． 7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少? 解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且 t b y t a x sin ,cos = = , t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ． 则 t t b t t a l 2 2sin cos cos sin -='， 由0='l 得3 tan a b t =, 此时23 32 32 )(b a l +=， 故木料最长为2 33 23 2)(b a l +=． §3.6 函数图形的描绘 １．求2 3 ) 1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→2 3 1)1(lim x x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线． 因为 2)1(lim )(lim ,1)1(lim lim 2 3 22-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线． 2．作函数2 3)1(22 --=x x y 的图形。 解： 函数的定义域为() (),11,-∞-+∞． ()()()()() 2 342132, 211x x x y y x x -+-'''==--． 令0='y ，得1 ,2-==x x ；令0=''y ，得2=x ．列表讨论如下： ()()21122lim lim 23=--=∞→∞→x x x x x f x x ， ()()11222lim 21lim 22=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞→∞→x x x x x f x x ， 所以，12 1+=x y 是曲线的斜渐近线．又因为()-∞=--→231122 lim x x x ， 所以1=x 是曲线的铅垂渐近线． 当0=x 时1 -=y ；当0=y 时32=x ． 综合上述讨论，作出函数的图形如下 1． b 上任一点的曲率为__0__． 2 1． 2． x e 相切，且有相同的凹向与曲率． 解： 由题设可知 函数c bx ax y ++=2与x e y =在0=x 处由相同的函数值，一阶导数值，二阶导数值，故 2 1,1,1= ==a b c ． 3． 曲线弧)0(sin π<<=x x y 上哪一点处的曲率半径最小?求出该点的曲率半径． 解： x y x y sin ,cos -=''=', 曲线在一点处的曲率为 令 322 ()(2)x f x x = -, 2522 2(1) ()(2) x f x x +'= -， 当10≤≤x 时,0)(>'x f ,故)(x f 在]1,0[上单调增加, 因此)(x f 在]1,0[上的最大值是1)1(=f , 即)0(sin π<<=x x y 在点)1,2(π处的曲率半径最小, 其曲率半径为11 ==K R ． 4．求椭圆 ⎩ ⎨⎧==t b y t a x sin cos 在() b ,0点处的曲率及曲率半径． 解：t b y t a x t b y t a x sin ,cos ;cos ,sin -=''-=''='-=' 因此曲率|||) cos sin (||)(||) ,0(2/322222/322a b t b t a ab y x y x y x k b =+='+''''-'''=， 曲率半径||/1b a k ==ρ． §3.7方程的近似解 1. 试证明方程0155 =++x x 在区间)0,1(-内有唯一的实根，并用切线法求这个根的近似值， 使误差不超过0.01. 证明: 令055)(,15)(4 5 >+='++=x x f x x x f ，函数)(x f 在)0,1(-单调递增．)(x f 在[1,0]-上连续，且01)0(,05)1(>=<-=-f f ,故方程0155 =++x x 在区间)0,1(-内有唯一的实根．求近似值的过程略． 第三章 综合练习题 1．填空题 （１） 01ln(1) 1lim sin lim arctan x x x x x x →→+∞++= 0 ． （２） 函数)1ln(+-=x x y 在区间)0,1(-内单调减少，在区间),0(+∞内单调增加． （３） 曲线)1ln(1 x e x y ++= 的渐近线是00==y x 和． （４）=-→x x x cos 0 2 ) (tan lim π 1 ． 2． 求下列极限 （１） 2 )1ln(sin 1tan 1lim x x x x x x -++-+→ 解：20 )1ln(sin 1tan 1lim x x x x x x -++-+→＝x x x x x x x x sin 1tan 11])1[ln(sin tan lim 0+++⋅-+-→ ＝ x x x x x x x tan lim )1ln(cos 1lim 2100→→⋅-+-＝x x x x -+-→)1ln(cos 1lim 210＝111 sin lim 210-+→x x x ＝2 1)1(sin lim 210-=+-→x x x x ． （２） x e e x x x x a a x x 1sin )(1cos )1cos 11sin (lim 21-+-+∞→ 解：x e e x x x x a a x x 1sin )(1cos )1cos 11sin (lim 21-+-+∞→=x e e x x x x x a x 1sin )1(1 cos )1cos 11sin (lim 212-+-∞→=x x e x x x a x 1)1(1cos 11sin lim 22+-∞→ =a x a e x x x x x x x e 24 32223131sin 11cos 11cos 1lim 1-=-+-∞→． 3． 求证当0>x 时， )1ln(2 12 x x x +<-． 证明： 令2 2 1)1ln()(x x x x f +-+=, 则 2 1()111x f x x x x '=-+=++, 当0>x 时, ()0f x '>，故)(x f 在),0[+∞单调增． 当0>x 时，有()(0)0f x f >=，即 )1ln(2 1 2x x x +<-． 4． 设)(x f 在],[b a 上可导且4≥-a b ，证明：存在点),(0b a x ∈使)(1)(02 0x f x f +<'. 证明： 设)(arctan )(x f x F =, 则)(1)()(2x f x f x F +'='，且2|)(|π ≤ x F ． 由拉格朗日中值定理知, 存在),(0b a x ∈，使)() ()(0x F a b a F b F '=--, 即 14422|)(||)(|)()() (1)(02 0<=+ ≤-+≤--=+'π π π a b a F b F a b a F b F x f x f ． 5． 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有二阶导数且存在相等的最大值, 且)()(a g a f =, )()(b g b f =, 证明： 存在),(b a ∈ξ,使得)()(ξξg f ''=''． 证明： 设)(),(x g x f 分别在),(,21b a x x ∈取得最大值M ， 则12()()f x g x M ==, 且12()()0f x g x ''==． 令)()()(x g x f x F -=． 当21x x =时, 0)()()(1===x F b F a F , 由罗尔定理知, 存在),(),,(1211b x x a ∈∈ξξ, 使 0)()(21='='ξξF F , 进一步由罗尔定理知, 存在),(21x x ∈ξ，使0)(=''ξF ，即)()(ξξg f ''='' 当21x x ≠时, 0)()(11≥-=x g M x F ,0)()(22≤-=M x f x F ，由零点存在定理可知，存在 ],[211x x ∈ξ，使0)(1=ξF ． 由于0)()(==b F a F ，由前面证明知, 存在),(b a ∈ξ，使0)(=''ξF ，即)()(ξξg f ''=''． 6． 设0≤k ,证明方程11 2=+x kx 有且仅有一个正的实根． 证明：设11)(2-+=x kx x f ． 当0=k ，显然11 2=x 只有一个正的实根．下考虑0 情况． 先证存在性： 因为)(x f 在),0(+∞内连续，且+∞=→)(lim 0 x f x ，-∞=+∞ →)(lim x f x ，由零点存在定 理知，至少存在一个),0(+∞∈ξ，使0)(=ξf ，即11 2=+ x kx 至少有一个正的实根． 再证唯一性：假设有12,0x x >，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在 12(,)(0,)x x η∈⊂+∞，使0)(='ηf ，即023=-ηk ，从而02 3>=η k ，这与0 程11 2=+x kx 只有一个正的实根． 7． 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在t 小时之后，生产出t t t t Q 129)(2 3 ++-=个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？ 解：因为12183)()(2++-='=t t t Q t x ,186)()(+-=''='t t Q t x , 令0)(='t x ,得3=t ． 又当3t <时，()0x t '>．函数()x t 在[0,3]上单调增加；当3t >时，()0x t '<，函数()x t 在[3,)+∞上单调减少．故当3=t 时，)(t x 达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高． 第三章 微分中值定理与导数的应用习题 专业、班级： 学号： 姓名： 一、选择题 1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 2.下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ） A.x e x f =)( B.||)(x x f = C.21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧ =≠=0 ,10 ,1sin )(x x x x x f 3.在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ ） A.x x x sin lim 2 0→ B.x x x tan 0)1 (lim +→ C. x x x x sin lim +∞→ D.x n x e x +∞→lim 4.设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21 (内（ ） A. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 D. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的 5.下列函数中，在指定区间内单调减少的函数是（ ） A.x y -=2 ),(∞+-∞ B.x y e = )0,(-∞ C.x y ln = ),0(∞+ D.x y sin = ),0(π 6.若)(x f 在0x 至少二阶可导，且1) () ()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ，则函数)(x f 在0x 处（ ） A.取得极大值 B.取得极小值 C.无极值 D.不一定有极值 第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin = M 12丿」I 2丿 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题3-1 1.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。可见， f(x) 在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即: f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏 0,—】，F'(X)H 0 , ”■. f (x), F (x)满足柯西 I 2丿 中值定理条件。 — 12© 宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续, f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在 一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3 ), y ‘ = 一 2 3 —12x 2 厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5 第三章 微分中值定理习题课 一、判断题（每题3分） 1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（ √ ） 2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（ × ） 3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( × ) 4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . ( × ) 5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 . （ √ ） 6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件. ( × ) 7.函数()arctan f x x x =的图形没有拐点. （ √ ） 8.因为函数y = 0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =.（ × ） 二、选择题（每题3分） 1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x e B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()2 1 1f x x =+，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. （A ）[]2,0-； （B ）[]0,1； （C ）；[]1,2- （D ）[]2,2- 3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ） (A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个. 4．已知函数3 ()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）. （A ） 1 3 （B （C ）1 2 （D 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数 第三章微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧ =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成 立（ B ）． A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221) ()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π =， 故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞= +x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在 ),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 5． 证明方程06213 2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03 1)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使 > 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ ， 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4 , 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， & 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 、 二、填空题 2 x - 第3章 微分中值定理与导数的应用 3.1 微分中值定理 习题 3-1 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的 数值ξ. (1) 2()23f x x x =--，[]1,1.5-； (2) ()f x =[0,3]. 2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间[0,1]上的正确性，并求 出满足定理的数值ξ. 3.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区 间的正中间. 4.一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速为65公里/小时的收费道路 上在2小时内走了159公里.罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶.为什么？ 5.函数3()f x x =与2()1g x x =+在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件？ 如满足，请求出满足定理的数值ξ. 6.设()f x 在[0,]π上连接，在(0,)π内可导，求证：存在(0,)ξπ∈，使得 ()()cot f f ξξξ'=-. 7.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导函数，且123()()()f x f x f x ==12(a x x << 3)x b <<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=. 8.证明：方程015=-+x x 只有一个正根. 9.证明下列不等式： (1)当0a b >>，1n >时，11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-; (2)当0b a >>时，ln b a b b a b a a --<<； (3)当1>x 时，x e e x ?>； (4)当0>x 时， x x x x <<+arctan 12 ； (5)当0>x 时，x x +>??? ? ?+1111ln . 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节基本概念与内容提要 一、微分中值定理 1、费马定理 2、罗尔中值定理 3、拉格朗日中值定理 4、柯西中值定理 5、泰勒公式 二、不定式的极限 三、导数的应用 1、平面曲线的切线与法线 2、单调性 3、极值(求极值的程序) 4、最值(求最值的程序) 5、凸性 6、拐点 7、渐近线 8、曲率 9、函数作图 10、经济上的应用 第二节 中值定理与泰勒公式 一、 注解 1、 中值定理的条件、结论要清楚 2、 中值定理建立了一个函数与其（某点）导数之间的关系 3、 中值定理的应用，常与积分不等式联合出题，以大题为主 4、 中值定理的证明题中关键是辅助函数的构造，请注意构造的方法 二、举例 （一）、 比较含函数导数的大小 1、设在【0,1】上，()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-的大小顺序为 分析： （二）、 结论为()()0n f ξ=的命题的证明（证明方法有三：（1）证明(1)()n f x -有极值点， 后用费马定理（2）(1)()n f x -用罗尔定理（3）用泰勒公式或多次用罗尔定理 （4）用零点存在定理也可 1、设函数()f x 在【a,b 】上可积，且()()0f a f b -+''?<，则在(a,b)内，存在ξ，使得()0f ξ'= 分析： 2、设12,, ,n a a a 为n 个实数，并满足：2 1(1)03 21 n n a a a n - ++-=-，证明： 存在(0, )2 π ξ∈使得，12cos cos3cos(21)0n a a a n ξξξ+++-=。 分析： 1 第三章 微分中值定理与导数的应用 本章概述：本章以微分中值定理为中心，讨论导数在研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性）方面的应用． 重点：中值定理；洛必达法则；函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点；函数极值的求法；函数的最值问题；方程根的存在性及不等式的证明． 难点：三个中值定理及泰勒公式；方程根的存在性及不等式的证明． 基本要求：理解中值定理的条件和结论，它是本章内容的理论基础，是建立导数与函数关系的桥梁；掌握中值定理证明的思想方法--构造性证明方法．此方法不仅在中值定理的证明中，而且在不等式的证明、方程根的存在性及导数的应用中都具有广泛的应用；掌握洛必达法则，它是求未定型极限的一种重要方法；掌握导数的应用，会利用导数研究函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性和拐点等． 第一节 微分中值定理 1．填空与选择： （1）下列函数在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ） （A ）x e x f =)(； （B ）||)(x x f =； （C ）2 1)(x x f -=； （D ）⎪⎩⎪⎨⎧ =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ． （2）下列条件不能使)(x f 在],[b a 上应用拉格朗日中值定理的是（ ） （A ）在],[b a 上连续，在),(b a 内可导； （B ）在],[b a 上可导； （C ）在),(b a 内可导，且在a 点右连续，b 点左连续； （D ）在),(b a 内有连续的导数． （3）函数()ln (1)f x x =+在[0,1]e -上满足拉格朗日定理中的数值ξ是（ ） （A ）e ； （B ）1e -； （C ）2e -； （D ）1． （4）设)(x f y =在),(b a 内可导，,x x x +∆是),(b a 内的任意两点，()-()y f x x f x ∆=+∆，则（ ） （A ）x x f y ∆'=∆)(； （B ）在x x x ∆+,之间恰有一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ； （C ）在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ； 第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程， 故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=++ +。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥- 习题3-1 1．设某产品的总成本C是产量q的函数:C=q2+1，求 (1) 从q=100到q=102时，自变量的改变量∆q； (2) 从q=100到q=102时，函数的改变量∆C； (3) 从q=100到q=102时，函数的平均变化率； (4) 总成本在q=100处的变化率. 解：(1) ∆q=102-100=2, (2) ∆C=C(102)-C(100)=(1022+1)-(1002+1)=404 (3) 函数的平均变化率为 ∆CC(q0+∆q)-C(q0)404 ∆q=∆q=2=202. (4) 总成本在q=100处的变化率为 C(q)-C(100)21002 qlim→100q-100=qlimq-→100q-100=qlim→100(q+100)=200 2 ．设f(x)=f'(4). 解 f'(4)=limf(x)-f(4)x→4x-4=limx→4x-4 =lim1 x→4=2 3．根据函数导数定义，证明(cosx)'=-sinx. 证根据函数导数定义及“和差化积”公式，得 h (cosx)'=limcos(x+h)-cosxhsin=-sinx. h→0h=-hlim→0sin(x+2)⋅h 2 4．已知f'(a)=k，求下列极限： (1) limf(a-x)-f(a) x→0x; (2) limf(a+x)-f(a-x) x x→0 解 (1) limf(a-x)-f(a) x=-limf(a-x)-f(a) -x=-f'(a)=-k;x→0x→0 (2) limf(a+x)-f(a-x) x→0x=limf(a+x)-f(a)+f(a)-f(a-x) x→0x =limf(a+x)-f(a)f(a-x)-f(a) x+limx→0x→0-x=f'(a)+f'(a)=2k 5．已知f(0)=0.f'(0)=1，计算极限limf(2x) x→0x. 解 limf(2x)f(2x)-f(0) x=2limx→0x→02x=2f'(0)=2 6．求下列函数的导数： (1) y=x5； (2) y= - 1 - (3) y=e-x； (5) y=lgx； (4) y=2xex; (6) y=sin 34x - π 4 解(1) (x5)'=5x4； 3 14 ； (2) '=(x4)'= (3) (e-x)'=e-xlne-1=-e-x； 1xln10 (4) (2xex)'=[(2e)x]'=(2e)xln(2e)=2xex(ln2+1); (5) (lgx)'= (6) (sin π 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>〔 〕 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==〔 〕 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=〔 〕 ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 〔 〕 (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处〔 〕 (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=〔 〕 (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是〔 〕 (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，假设0x 为)x (f 的极值点，则必有〔 〕 ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =〔 〕 (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=〔 〕 ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=〔 〕 的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ． 4、函数f 〔x 〕＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 第三章 微分中值定理与导数的应用 【考试要求】 1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞ ”、“0 0”和“0 ∞”型未定式极限的方法． 3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式． 4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题． 5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线． 【考试内容】 一、微分中值定理 1．罗尔定理 如果函数()y f x =满足下述的三个条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a b ξ <<），使得()0f ξ'=． 说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若 0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点． 2．拉格朗日中值定理 如果函数()y f x =满足下述的两个条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a b ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式） 成立： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-． 说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只 能 ()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于 拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理． 3．两个重要推论 （1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一 个常数． 证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证） ，应用拉格朗日中值公式可得 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<） ． 由假定， ()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =． 因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是 相等的，即 ()f x 在区间I 上是一个常数． （2）如果函数 ()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=， 则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即 ()()f x g x C -=（C 为常数）． 证：设()()()F x f x g x = -，则 ()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=． 二、洛必达法则 1．x a →时“0 ”型未定式的洛必达法则 第三章中值定理与导数的应用 基本内容 (一)中值定理 1.罗尔定理 如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a) = f(b), 那么在(a,b)内存在一点©，使得f'(©)=0. 2.拉格朗日中值定理 如果函数f (x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少 f(b)—f⑻ f4 b -a 其微分形式为 f(X + A x) - f(X)= f'(◎丛X 这里匕=x+0血x,0 <0 <1 . 推论如果函数f (X)在开区间(a,b)内的导数恒为零，那么f(x)在(a,b)内是 个常数. 3.柯西中值定理 如果函数f (x)及g(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且g'(x)在(a,b)内的每一点均不为零，那么在(a,b)内至少有一点©，使得 f(b)-f(a) _ f® g(b)-g(a) g'G) 中值定理是导数应用的理论基础，在应用中值定理证明题时，关键是构造适当的辅助函数. (二)洛必达法则 1.法则1 如果函数f (x)及g(x)满足条件: ⑴ lim f(x) =0, lim g(x) =0 ； X—J a x—S ⑵在点a的某去心邻域内，f '(X)及g(X)都存在且g '(x) H 0 ； ⑶lim 匚也存在（或为无穷大），那么 T g '（X ） limf2XL|im 空 T g(x) yg'(x) 2. 法则2 如果函数f （X ）及g （x ）满足条件: (1)lim f(x) =0, lim g(x) =0； x _jiC ⑵当X 》N 时，f '（X ）及g '（X ）都存在且g '（x ） h 0 ； ⑶存在（或为无穷大）； 那么 lim 竺=lim 匸凶 Y g(x) Y g '(x) 以上两个法则是针对2型未定式对一型未定式，也有相应的两个法则 0 比 对0^、乂、00、1汽ac 0型未定式，可以通过变形将其转化成0或一型来求. 0 处 （三）泰勒公式 1. 带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数y = f （X ）在x o 的某邻域U （x 。®）内有n +1阶导数，那么在此邻域内有 f(X)= f (X 0)+ f(X 0)(X -X 0)+ f (X 0 ) (X — X 0)2 +■■■ 2 n! 帥=甘（—0严 其中©在X o 和X 之间，R n （x ）是拉格朗日余项 （四）函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数y=f （x ）在［a,b ］上连续，在（a,b ）内可导. ⑴如果在（a,b ）内f '（X ）＞0，那么函数y = f （x ）在［a,b ］上单调增加; ⑵如果在（a,b ）内厂（X ）co ，那么函数y = f （x ）在［a,b ］上单调减少. 第三章 中值定理与导数的应用 第1节 中值定理 1．若)(x f 在),(b a 可导且)()(b f a f =,则（ B ）。 A.至少存在一点),(b a 使0)('=ξf B. 不一定存在点 ),(b a 使0)('=ξf C.恰存在一点 ),(b a 使0)('=ξf D.对任意的),(b a 均不能使0)('=ξf 2．已知)(x f 在],[b a 可导，且方程0)(=x f 在),(b a 有两个不同的根与， 则0)('=x f 在),(b a （ A ）。 A.必有根 B.可能有根 C.没有根 D.无法确定根的存在性 3．下列函数中在[-1,1]上满足罗尔定理条件的是（ C ）。 A.x e B.||ln x C.2 1x - D. 2 11 x - 4．若)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则0)('=x f 的实根个数为（ B ）。 A.4个 B.3个 C.2个 D.0个 5．函数3 3 4)(x x f = 在]3,0[上满足拉格朗日定理的条件，则=ξ（ C ）。 A.3- B.3 C.3 D.2 6、证明等式)1,0(21arctan 1arcsin 22 ∈=-+-x x x x π。 证：设)1,0(1arctan 1arcsin )(2 2 ∈-+-=x x x x x f 。由于 111111)1(1111)(2 2 22 22 222 22=-+-+ -- =-----⋅-++--⋅='x x x x x x x x x x x x x x x x x f 所以C x f ≡)(，)1,0(∈x 。为了确定C ， 取21= x 得2 6331arctan 23arcsin )21(πππ=+=+==f C 。 故)1,0(,21arctan 1arcsin 22 ∈=-+-x x x x π。 7、设1,0>< 第三章微分中值定理与导数的应用 1 •函数y =x 2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕= 2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕= 3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕= 4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕= 5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。 T 6」 6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。 7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。 9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y ⑶当a汕＞«¥＜"¥ 10.用洛必达法则求下列极限: X _x ⑵ lim e ~e T sin X In R +丄］⑷ li% __¥ —鈕 1 arcta n — x ⑸1x m1x 1 .1 - x 1 ⑹ lim (cot X - 一) T x (7)lim (cos X) ⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .X In (1 +x)⑴lim T X ⑶ lim 沁—sina X T x -a sin X — xcosx 2~； x sinx 11. 确定下列函数的单调区间。 ⑷ y =1 n(x +J 1 + x 2 12. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间: ⑷ y = In(x 2 +1 ) 13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式: (11)lim (1 -x)ta n 便' (2丿 (12) tanx ⑽ lim — - x -^l x 「1 2 、 —2x ~ e -1 丿 ⑴ y = 2x 3 -6x 2 -18x -7 ⑵ y = 2x +8 (X A O ) x =x 3 -5x 2 +3x +5 / \ -x ⑵ y = xe = (x +1y +e x 微积分试题及答案 第三章 中值定理与导数应用 一、填空题 1、=→x x x ln lim 0 __________。 2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增。 3、函数()4 3 384x x x f -+=的极大值是____________。 4、曲线x x x y 362 4+-=在区间__________是凸的。 5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________。 6、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是_________。 7、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的 最大值。 8、123 ++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。 9、________)1 sin 1( cot lim 0=-→x x x x 。 10、_________)tan 1 1(lim 20=-→x x x x 。 11、曲线2 x e y -=的上凸区间是___________。 12、函数1--=x e y x 的单调增区间是___________。 二、单项选择 1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2 )(lim x x x f x （ ） （Ａ）不存在 ； （Ｂ）0 ； （Ｃ）-1 ； （Ｄ）-2。 2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,2 1(内曲线)(x f （ ） （Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。 3、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值； （Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。 4、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则Ⅰ：在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ：在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系是（ ） （Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件； （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件； （Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件； （Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必要条件。 5、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ ） （Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <； （Ｃ） )()()()(a g a f x g x f <； （Ｄ）)() ()()(a f a g x f x g >。 6、方程0133 =+-x x 在区间),(+∞-∞内（ ） （Ａ）无实根； （Ｂ）有唯一实根； （Ｃ）有两个实根； （Ｄ）有三个实根。 7、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1) (lim 0=-→x x f x ，则在点0=x 处)(x f （ ） （Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C ）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。 第三章中值定理与导数的应用 一、是非题 1 .函数y = x 2十1.在区间[—1 ,1 ]上满足罗尔中值定理条件的是( V ) 2.方程x 5 -5x+1=0在(-1,1)内有且仅有一个实根 (V ) 3. 若对任意 X E (a,b )，有"(x )=g ，(x ),则对任意 x ^(a,b )，有 f (x )=g (x ), (x ) 4. lim 皿'是未定型。.(x ) X —,： x 5 .在罗比塔法则中，lim 旦41= A 是lim 工也 =A 的充要条件 x >x 0 g '(x) x >x 0 g (x) x -sin x 1—cosx x —sin x 十+心 6.. 因lim = lim 不存在，所以lim 不存在. XT x sin x x ，二1 cosx ')二x sin x /'mW 2 (x 2 x-1)' x * 2x 1 8.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，贝U f'(x)》0是f(x)在(a,b)内单调增加的充分 必要条件.(x ) 9.. 若x 0是f (x)的极值点，则一定有 f'(x 0)=0. ( x ) 10.. 若x 0是f (x )的一个不可导点，则一定是 f (x)的一个极值点.(X ) 二、选择题 1. 函数 f (x) =xj3-x 在]0, 3]上满足罗尔中值定理的 匕=(D ) 3 — 一 (A ) 0; (B) 3 ; (C) - ； (D) 2 . . ............ 1……、,… _____________ _____ - 2. 函数f(x)= ——满足拉格朗日中 值定理条件的区间是 (A ) 2x (A) [1 , 2]; (B ) [—2, 2] ; (C) [—2 ,0]; (D) [0, 1 :. 3. 函数 f(x)=3x 5-5x 3 在 R 上有(C ) A. 四个极值点； B.三个极值点 C. 7. x 2 -1 ,lim ------------ = lim x 1 x 2 x -1 x 1第三章微分中值定理与导数的应用习题
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