当前位置：文档之家› 微分中值定理及定积分极限题型

微分中值定理及定积分极限题型

第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009

智轩

一、完整的积分中值定理包含下列全部内容

1．函数平均值 [

]()1

b a

M f

x dx b a

2．第一中值定理

()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()b a

a b f x dx f b a ξξ?≤≤?=-?

。（教材上的描述）

()2如果函数()(), f x x ?在积分区间

[],a b 上连续，且当a x b <<时，()x ?不变号，则

则()()()()b b

a b f x x dx f x dx ξ?ξ??≤≤?

?。

3．第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用）

()1若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b

<时，()x ?单调，则

()()()()()()00b b

f x x dx a a f x dx b f d b x x ξ

?ξ???≤-≤=++?

??。

()2若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，

当且当a x b

<<时，()x ?单调递减（广义上），

且为非负数，则

()()()()0b a

a b f x x dx a f x dx ξ

ξ???≤≤?

=+?

?。

()3若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，

当且当a x b

<<时，()x ?单调递增（广义上），

且为非负数，则

()()()()0b b

a b f x x dx b f x dx ξ

ξ???≤≤?

=-?

?。

二、与积分有关的求极限问题【例1】求极限1

lim 1n

n x

I dx x

→∞=+?

解：

110

10100111

lim

n x

x x dx x dx x

n x

I dx x

→∞

≤≤?≤

≤?≤

≤

+++?==+?

【例2】求极限220

lim sin n

n I xdx π

→∞

解：

对任意给定的0ε>，且设2

ε<

，则

220

0sin sin

sin 22sin 1lim sin 0

2220, sin 220sin

2lim

sin

n n n n n

n xdx xdx N n N xdx I xdx π

ππ

εεεε

πππ

εεεππεεε

ε-→∞

→∞

????≤

≤

+≤--+ ? ?????

??????->--< ? ?????

?≤

≤?==?

当时，有

【例3】求极限()3sin lim 0n p n

n x I dx p x

+→∞

=>?

解：当n x n p ≤≤+，有

3sin 1sin sin lim

0n p n p n

n x

x p x dx I dx x

++→∞

≤

?==?

【例4】求极限142

lim 1

I x εε→+=+?

解：

(

)

()

(

)

1142

lim

arctan

lim

arctan

|lim

I x x

x εεεεεεε

εε

→+→+→+→+==++===?

【例5】求极限()5

lim

f x I dx x

εε

ε→+=?，已知()[]0,1, 0, 0f

x C a b ∈>>。

解：应用第一中值定理

()

()()()

()()50

lim

lim ln

0ln

x dx b a b dx f f x

a f

x b b I dx f f

εεε

εεεξεξ

ξξ→+→+?≤≤?=====???

【例6】宽型罗毕达法则已知()[)0, f

x ∈+∞和()lim x f x A →+∞

=，求证 ()0

lim

x x f

x dx

A x

→+∞

=?。

证明：分三种情况

()1 0A >

()()()()()()()()

()()()

lim 0, 2

lim 1

lim

x x R

R R R

x x x x x A f

x A R x R f

x A A f

x dx f

x dx f x dx f

x dx dx f

x dx x R f

x dx f

x f

x dx A

→∞

→+∞

=??>>>

=+>+=

-?=+∞

?????

?当时，

()2 0A <

()()()()()()()()

()()()

lim 0, 2

lim 1

lim

x x R

R R R

x x x x x A f

x A R x R f

x A A f

x dx f

x dx f x dx f

x dx dx f

x dx x R f

x dx f

x f

x dx A

→+∞

=??>>>

=+>+=

-?=-∞

?????

?当时，

()3 0A =

()()()()()()()()00

0,lim lim 01

lim 11

1lim

lim 0x x x x x x

x x x B g x f x B g x f x B B g x dx B x

f x dx

g x dx Bdx B B A

x →+∞→∞→+∞

→+∞

→+∞>=+?=+=>?????=???????=-=-==???

????

任选并设的结论

所以 ()()0

lim lim x x x f

x dx

x A x

→+∞

【例7】宽型罗毕达法则举例求60

lim arctan x x I xdx x

→+∞

解：

lim

arctan lim arctan 2x x x I xdx x x

→+∞

===

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

一元微分中值定理练习题

一元微分中值定理练习题一、证明ff (nn )(ξξ)=00成立 1.若函数f(x)在(a,b)内有二阶导数，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中 a 0, 证明存在ξ∈(a,b)，使得f ′′(ξ)=0。 4.设曲线y=f(x)在[a,b]上二阶可导，连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线交曲线于点C（c,f(c)）(a

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。