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最新微分中值定理习题课

微分中值定理习题课

第三微分中值定理习题课

教学目的通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识．

教学重点对知识的归纳总结．

教学难点典型题的剖析．

教学过程

一、知识要点回顾

1．费马引理．

2．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理．

3．微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C ，使曲线在点C 处的切线平行于弦AB ．

4．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的．即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立．

如，函数

(){

2,01,0 , 1 x x f x x ≤<== 在[]1,0上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的．而函数

(){

21,11,1, 1 x x f x x --≤<== 在[]1,1-上不满足罗尔定理的第一和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的．

5．泰勒中值定理和麦克劳林公式．

6．常用函数x e 、x sin 、x cos 、)1ln(x +、α

)1(x +的麦克劳林公式．

7．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系．

8．00、∞∞

、∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式．

9．洛必达法则．

10．∞?0、00、∞1、0∞型未定式向00或∞∞

型未定式的转化．

二、练习

1. 下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？

由于()x f 、()x F 在[]b a ,上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点

()b a ,∈ξ，使得

()()()()a b f a f b f -=-ξ',

()1

()()()()a b F a F b F -'=-ξ.

()2

又对任一 (),,()0x a b F x '∈≠，所以上述两式相除即得

()()()()()()ξξF f a F b F a f b f ''=--.

答上述证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数()x f 和()x F ，拉格朗日中值定理公式中的ξ未必相同．也就是说在()b a ,内不一定存在同一个ξ，使得()1式和()2式同时成立．

例如，对于()2x x f =，在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的21

=ξ；对

()3x x F =，在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的33

=ξ，两者不等．

2. 设函数()x f y =在区间[]1,0上存在二阶导数，且

()()()()x f x x F f f 2,010===.试证明在()1,0内至少存在一点ξ，使

()0='ξF ．还至少存在一点η,使()0F η''=

分析单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知，()()010==F F ，且()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的前两个条件，故在()1,0内至少存在一点ξ，使()0='ξF ．至于后一问，首先得求出()x F '，然后再考虑问题．

()()()x f x x xf x F '+='22，且()00='F ．这样根据题设，我们只要在[]ξ,0上对函数()x F '再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论．

证由于()y f x =在[]1,0上存在二阶导数，且()()10F F =，()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的条件，故在()1,0内至少存在一点ξ，使()0='ξF ．

由于

()()()x f x x xf x F '+='22，且()00='F ，()x F '在[]ξ,0上满足罗尔定理的条件，故在 ()ξ,0内至少存在一点η，使()0=''ηF ．由于()()1,0,0?ξ，所以()1,0∈η．

3.设12,,

,n a a a 为满足方程()112110321n n a a a n --++-=-的实数，试证明

方程 ()12cos cos3cos 210n a x a x a n x ++

+-= 在??? ??2,0π内至少有一个实根．分析证明一个方程在某个区间内至少有一个实根的问题，就同学们目前所掌握的知识来看主要有两种方法，一种是用零点定理，另一种是用罗尔定理.要用零点定理,函数

()()x n a x a x a x f n 12cos ...3cos cos 21-+++=，

需要满足在??????2,0π上连续，且()020

不能直接应用．换一种方法，就应考虑罗尔定理，而要用罗尔定理解决上述问题，就得设

()()12cos cos3cos 21n F x a x a x a n x '=+++-，

并将()x F '的原函数()x F 求出来，然后对原函数()x F 应用罗尔定理．

在这个问题中()x F '的原函数求起来很容易，

()()()21sin sin 3sin 21321n a a F x a x x n x n =+++--．

求出()x F 后，根据题设条件，对()x F 在??????2,0π上应用罗尔定理即可得到所要的

结论．

证引入辅助函数

()()()21sin sin 3sin 21321n a a F x a x x n x n =+++--．

因为()x F 在?????

?2,0π上连续，在??? ??2,0π内可导，()00=F ，()1121102321n n a F a a n π-??=-++-= ?-??，所以由罗尔定理知，在??? ??2,0π内至少存

在一点ξ，使得()0='ξF ，即

()12cos cos3cos 210n a a a n ξξξ++

+-=. 于是方程()12cos cos3cos 210n a x a x a n x ++

+-=在??? ??2,0π内至少有一个实

根． 4. 设函数()x f 在[]2,2-上可导，且()()()02,20,02===-f f f ．试证明曲线弧C ：

()() 22y f x x =-≤≤

上至少有一点处的切线平行于直线012=+-y x ．

分析由于直线012=+-y x 的斜率为21

，所以上述命题的本质是要证明在()2,2-内存在一点ξ，使得()21

='ξf ．

由于()()212-'='?????

?-x f x x f ，因此若设()()2x x f x F -=，则要证上述命题，只须证明在()2,2-内存在一点ξ，使得()0='ξF 即可．这是一个用罗尔定理解决的问题．

()x F 在[]2,2-上满足罗尔定理的前两个条件没问题，只是由题设我们还不能直接得到()x F 所满足的是罗尔定理的第三个条件.但是我们注意()F x 在[]2,2-上连续，而()()()12,20,12-===-F F F ，且1介于-1和2之间．因此由介值定理知，在()2,0内必存在一点η，使得()1=ηF ．这样在[]η,2-上对()x F 应用罗尔定理即可证得所要的结果．

证引入辅助函数

()()2x

x f x F -=．()x F 在[0,2]上连续,且(0)2,(2)1F F ==.由介值定理知,在()2,0内比存在一点η，使得()1=ηF ．又()12=-F ，且()x F 在[]η,2-上满足罗尔定理的前两个条件,故在(2,)η-内必存在一点ξ，使得()0='ξF ，即()21

='ξf ．由于()ηξ,2-∈，所以()2,2-∈ξ．

5. 设()x f 在[]b a ,上可导，()()b f a f =，试证明在()b a ,内必存在一点ξ,使得

()()()ξξξf f a f '=-．

象上述这种含有中值ξ的等式,一般应考虑用微分中值定理去证明．

方法一用罗尔定理证

分析要用罗尔定理证明一个含有中值ξ的等式，第一步要将等式通过移项的方法化为右端仅为零的等式，即

()()()0=-'+a f f f ξξξ．

第二步将等式左端中的ξ都换为x ，并设

()()()()a f x f x x f x F -'+='．

第三步是要去确定()x F '的原函数()x F ，并在相应的区间[]b a ,上对()x F 应用罗尔定理即可．

本问题中()x F '的原函数为

()()()x a f x xf x F -=．

证引入辅助函数

()()()x a f x xf x F -=．

由题设知，()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()0==b F a F ，由罗尔定理知，在()b a ,内必存在一点ξ，使得()0='ξF ，即

()()()0,f f f a ξξξ'+-=

()()()f a f f ξξξ'-=.

方法二用拉格朗日中值定理证

分析要用拉格朗日中值定理证明一个含有中值ξ的等式，第一步要将含有ξ的项全部移到等式的右端，其余的项全部移到等式的左端,即作如下恒等变形：

()()()ξξξf f a f '+=.

(3)

第二步是把等式右端中的ξ都换为x ,并设

()()()F x f x xf x ''=+.

第三步是要去确定()F x '的原函数()F x .本问题中()F x '的原函数()F x 为

()()F x xf x =.

第四步确定了()F x '的原函数()F x 后,针对相应的区间[,]a b ,验证(3)式

左端是否为

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

一元微分中值定理练习题

一元微分中值定理练习题一、证明ff (nn )(ξξ)=00成立 1.若函数f(x)在(a,b)内有二阶导数，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中 a 0, 证明存在ξ∈(a,b)，使得f ′′(ξ)=0。 4.设曲线y=f(x)在[a,b]上二阶可导，连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线交曲线于点C（c,f(c)）(a

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。