第1次课——机械振动

A--O 正 减小
O — 零
0—A’ 负 增大
A’ 负 最大
A’--O 负 减小
O — 零
O--A 正 增大
负
负
—
正
正
正
—
负
Hale Waihona Puke 最大负减小 负 减小
负 增大 增大 减小
零 — 零
负 最大 最大 零
增大
正 增大 负 减小 减小 增大
最大 正 最大 —
零 零 最大
减小 正 减小
正 增大 增大 减小
零
—
增大 负
A OA OA '
2、周期（T）：振子完成一次全振动的时间叫振 动的周期。 3、频率（f）：振子在单位时间内完成全振动的次 数叫振动的频率。
理解要点：
1、振幅和位移的关系： （1）对一个特定的振动而言，振幅是不变的，但 位移会随时间而变化；
（2）振幅是标量，位移是矢量； （3）位移的最大值在数值上等于振幅。
1、定义：物体在跟位移大小成正比， 并且总是指向平衡位置的力作用下的振 动叫做简谐运动。
2、简谐运动是最简单、最基本的机 械振动，是理想化的振动. 3、动力学特征：F回=-kx
回复力大小与位移成正比，方向与位移方向相反。
常 见 的 简 谐 运 动
三、简谐运动的振幅、周期、和频率
1、振幅（A）：振动物体离开 平衡位置的最大位移叫振幅。如
课堂训练
简谐运动各物理量的变化规律
1、(1)简谐运动的物体，每经过同一位 置时，相同的物理量有（ ACDEFG ） (2)简谐运动的物体，在返回平衡位置 过程中，变小的物理有（ ACDE ） A、回复力 B、速度 C、加速度 D、位移 E、势能 F、动能 G、机械能

【2019最新】精选高考物理一轮复习第十三章波与相对论第1讲机械振动教案【研透全国卷】在新课标全国卷中，对本部分知识的考查是在选考题中出现.从近几年的高考试题来看，主要考查简谐运动的图象、波动图象以及波的传播规律等；另外对光学知识的考查主要以折射定律、全反射等为主.预测在2018年高考中，对本部分内容的考查仍将以图象为主，考查振动和波动问题；并以光的折射和全反射为重点考查光学知识.(实验：用单摆测定重力加速度)知识点一简谐运动1.定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向的回复力作用下的振动.2.平衡位置：物体在振动过程中为零的位置.3.回复力(1)定义：使物体返回到的力.(2)方向：总是指向.(3)来源：属于力，可以是某一个力，也可以是几个力的或某个力的.4.简谐运动的两种模型合力分力 4.弹力重力原长2π弹性势能重力势能知识点二简谐运动的公式和图象1.简谐运动的表达式(1)动力学表达式：F＝，其中“－”表示回复力与位移的方向相反.(2)运动学表达式：x＝，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ叫做.2.简谐运动的图象(1)从开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图甲所示.②从处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图乙所示.答案：1.(1)－kx (2)Asin (ωt＋φ) 初相 2.(1)平衡位置(2)最大位移知识点三受迫振动和共振1.受迫振动系统在作用下的振动.做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率) .2.共振做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者时，振幅达到最大，这就是共振现象.共振曲线如图所示.答案：1.驱动力驱动力无关 2.相等(1)简谐运动是匀变速运动.( )(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量.( )(3)振幅等于振子运动轨迹的长度.( )(4)简谐运动的回复力可以是恒力.( )(5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大.( )(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动.( )(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关.( )(8)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹.( )答案：(2)√(5)√(7)√简谐运动的角频率与周期公式推导简谐运动的运动方程及速度、加速度的瞬时表达式分别为：振动方程：x＝Acos (ωt ＋φ)速度表达式：v＝x′＝－ωAsin (ωt ＋φ)加速度表达式：a＝v′＝－ω2Acos (ωt ＋φ)又根据牛顿第二定律a＝和回复力F＝－kx得ω＝，T ＝＝2π.考点一简谐运动的特征1.动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数.2.运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比且方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反.3.运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同.4.对称性特征(1)相隔或T(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反.(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等.(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′.(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO.5.能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒.考向1 描述简谐运动的物理量[典例1] 如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是( )A.振子从B经O到C完成一次全振动B.振动周期是1 s，振幅是10 cmC.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD.从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm [解析] 振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为 40 cm，3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm.[答案] D考向2 简谐运动的对称性和周期性[典例2] (多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期为( )A.0.53 sB.1.4 sD.3 sC.1.6 s [解析] 如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C所需时间为.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故＝0.3 s＋＝0.4 s，解得T＝1.6 s.如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2 s.振子从点O到点M′和从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为＝ s，故周期为T＝ s＝s≈0.53 s.[答案] AC分析简谐运动的技巧(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小，反之，则产生相反的变化.另外，各矢量均在其值为零时改变方向.(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性.考点简谐运动的公式和图象1.对简谐运动图象的认识(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示.(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹.2.图象信息(1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率.(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移.(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴.(4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴；下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴.(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小.(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小.考向1 简谐运动公式的应用[典例3] (多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m.t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )A.h＝1.7 mB.简谐运动的周期是0.8 sC.0.6 s内物块运动的路程为0.2 mD.t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反[问题探究] (1)小物块做简谐运动的振幅是多少？周期为多少？(2)在0.6 s内，小物块的位移是多少？路程是多少？[提示] (1)A＝0.1 m T＝0.8 s(2)x＝－0.1 m s＝0.3 m [解析] 由物块简谐运动的表达式y＝0.1sin (2.5πt) m知，ω＝2.5π，T＝＝s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，y＝－0.1 m，对小球：h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；物块0.6 s内运动的路程为0.3 m，t＝0.4 s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同，故选项C、D错误.[答案] AB [变式1] (多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin t，则质点( )A.第1 s末与第3 s末的位移相同B.第1 s末与第3 s末的速度相同C.3 s末至5 s末的位移方向都相同D.3 s末至5 s末的速度方向都相同答案：AD 解析：因为ω＝，所以T＝＝8 s，作出简谐运动的图象如图所示.所以1 s末和3 s末的位移相同，但速度方向相反，A正确，B错误；3 s末和5 s末位移方向相反，C项错误；根据简谐运动的对称性可知D项正确.考向2 简谐运动图象的应用[典例4] (2017·广东深圳一调)(多选)一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图(a)所示，它的振动图象如图(b)所示，设向右为正方向，下列说法正确的是( )图(a) 图(b)A.OB＝5 cmB.第0.2 s末质点的速度方向是A→OC.第0.4 s末质点的加速度方向是A→OD.第0.7 s末时质点位置在O点与A点之间E.在4 s内完成5次全振动[解析] 由图(b)可知振幅为5 cm，则OB＝OA＝5 cm，A项正确；由图可知0～0.2s内质点从B向O运动，第0.2 s末质点的速度方向是B→O，B项错误；由图可知第0.4 s末质点运动到A点处，则此时质点的加速度方向是A→O，C项正确；由图可知第0.7 s末时质点位置在O与B之间，D项错误；由图(b)可知周期T＝0.8 s，则在4 s内完成全振动的次数为＝5，E项正确.[答案] ACE[变式2] (多选)如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象.已知甲、乙两个振子质量相等.则( )A.甲、乙两振子的振幅之比为2∶1B.甲、乙两振子的频率之比为1∶2C.前2 s内甲、乙两振子的加速度均为正值D.第2 s末甲的速度最大，乙的加速度最大答案：AD 解析：根据甲、乙两个振子做简谐运动的图象可知，两振子的振幅A甲＝2 cm，A乙＝1 cm，甲、乙两振子的振幅之比为2∶1，选项A正确；甲振子的周期为4 s，频率为0.25 Hz，乙振子的周期为8 s，频率为0.125 Hz，甲、乙两振子的频率之比为2∶1，选项B错误；前2 s内，甲的加速度为负值，乙的加速度为正值，选项C错误；第2 s末甲通过平衡位置，速度最大，乙在最大位移处加速度最大，选项D正确.对简谐运动的进一步理解(1)简谐运动的图象不是振动质点的轨迹，它表示的是振动物体的位移随时间变化的规律.(2)因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴.(3)速度方向可以通过下一个时刻位移的变化来判定：下一个时刻位移如果增加，振动质点的速度方向就远离t轴；下一个时刻的位移如果减小，振动质点的速度方向就指向t轴.考点受迫振动和共振1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A.它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大.(2)受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.考向1 对受迫振动及共振条件的理解[典例5] (2017·江西重点中学联考)(多选)如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动.开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2 Hz.现匀速转动摇把，转速为240 r/min.则( )A.当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5 sB.当振子稳定振动时，它的振动频率是4 HzC.当转速增大时，弹簧振子的振幅增大D.当转速减小时，弹簧振子的振幅增大E.振幅增大的过程中，外界对弹簧振子做正功[解析] 摇把匀速转动的频率f＝n＝ Hz＝4 Hz，周期T＝＝0.25 s，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A错误，B正确.当转速减小时，其频率将更接近振子的固有频率2 Hz，弹簧振子的振幅将增大，C错误，D正确.外界对弹簧振子做正功，系统机械能增大，振幅增大，故E正确.[答案] BDE考向2 共振曲线的应用[典例6] (多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则下列说法正确的是( )A.此单摆的固有周期约为2 sB.此单摆的摆长约为1 mC.若摆长增大，单摆的固有频率增大D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动[解析] 由共振曲线可知，单摆固有频率为 0.5 Hz，所以固有周期为2 s，根据周期公式T＝2π可计算摆长约为 1 m.摆长增大，由T＝2π可知，周期变大，频率变小，共振曲线的峰将向左移动.[答案] AB1.无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到最大.2.受迫振动系统中的能量转化不再只有系统内部动能和势能的转化，还有驱动力对系统做正功补偿系统因克服阻力而损失的机械能.考点实验：用单摆测定重力加速度1.实验原理：由单摆的周期公式T＝2π，可得出g＝l，测出单摆的摆长l和振动周期T，就可求出当地的重力加速度g.2.实验步骤(1)做单摆：取约1 m长的细丝线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，如图所示.(2)测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝L＋.(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期.(4)改变摆长，重做几次实验.3.数据处理(1)公式法：g＝l.(2)图象法：画l­T2图象.4.注意事项(1)选用1 m左右的细线.(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定.(3)小球在同一竖直面内摆动，且摆角小于10°.(4)选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数.(5)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r.考向1 对实验原理与操作的考查甲[典例7] 根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度.如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆.乙(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为mm.(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有.a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度d.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T e.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝Δt50[解析] (1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm.(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小、密度大的；偏角不超过5°，故a、b正确，c错误.为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间，故d错误，e正确.[答案] (1)18.6 (2)abe考向2 对数据处理和误差分析的考查[典例8] 某同学利用单摆测量重力加速度.(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是.A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆.实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式 g＝. [解析] (1)应选用密度较大且直径较小的摆球，A错.在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B对.摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C对.摆动中摆角要控制在5°以内，所以D错.(2)设两次摆动时单摆的摆长分别为L1和L2，则T1＝2π，T2＝2π，则ΔL＝(T－T)，因此，g＝.[答案] (1)BC (2)4π2ΔLT21－T221.[描述简谐运动的物理量]关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法中正确的是( )A.位移减小时，加速度减小，速度也减小B.位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同C.物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同D.物体向负方向运动时，加速度方向与速度方向相同；向正方向运动时，加速度方向与速度方向相反答案：C 解析：位移减小时，加速度减小，速度增大，A错误；位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向有时相同，有时相反，B、D错误，C正确.2.[简谐运动的图象](多选)甲、乙两弹簧振子的振动图象如图所示，则可知( )A.两弹簧振子完全相同B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大D.振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2答案：CD 解析：从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，得频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D选项正确.弹簧振子的周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误.由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，所以B错误.对简谐运动进行分析可知，在振子达到平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，所以C正确.3.[简谐运动](多选)如图所示，一质点为x轴上以O为平衡位置做简谐运动，其振幅为8 cm，周期为4 s，t＝0时物体在x＝4 cm处，向x轴负方向运动，则( )A.质点在t＝1.0 s时所处的位置为x＝＋4 cmB.质点在t＝1.0 s时所处的位置为x＝－4 cmC.由起始位置运动到x＝－4 cm处所需最短时间为 sD.由起始位置运动到x＝－4 cm处所需最短时间为 s答案：BC 解析：由题意可知，质点振动的角速度ω＝＝ rad/s，因t＝0时，x＝4 cm，所以质点的振动方程为x＝8sin t＋ cm，当t＝1 s时，x＝8sin cm＝－4 cm，B正确.当x＝－4 cm时，sin ＝－，t的最小值为 s，C正确.4.[简谐运动的公式和图象](多选)一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图所示.a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置，且b、d关于平衡位置对称，则下列说法中正确的是( )A.质点做简谐运动的方程为x＝AsintB.质点在位置b与位置d时速度大小相同，方向不同C.质点从位置a到c和从位置b到d所用时间相等D.质点从位置a到b和从b到c的平均速度相等答案：AC 解析：由题给的质点位移随时间变化的图象可知，振幅为A，周期T＝8 s，质点简谐运动的方程为x＝Asin t＝Asin t，选项A正确；根据对称性可知质点在位置b与位置d时速度相同，选项B错误；质点从位置a到c与从位置b到d所用时间均为2 s，选项C正确；质点从位置a到b和从b到c的时间都为1 s，时间相等，位移不等，所以平均速度不相等，选项D错误.5.[受迫振动、共振](多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击.由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动.普通钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s.下列说法正确的是( )A.列车的危险速率为40 m/sB.列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象C.列车过桥需要减速，是为了防止桥梁发生共振现象D.列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的E.增加钢轨的长度有利于列车高速运行答案：ACE 解析：列车在钢轨上运动时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，当列车固有振动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时，列车振动的振幅最大，因v＝＝＝40 m/s，故A对；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力频率远小于桥梁的固有频率，防止桥发生共振现象，而不是防止列车发生共振现象，B错、C对；增加钢轨的长度有利于列车高速运行，E对.6.[用单摆测定重力加速度]某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，可读出摆球的直径为cm.把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L.(2)用秒表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝s(结果保留三位有效数字).(3)测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2­L图线如图丙，此图线斜率的物理意义是( )B. C. D.gA.g4π2(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小( )B.偏小A.偏大D.都有可能C.不变答案：(1)2.06 (2)2.28 (3)C (4)C解析：(1)摆球的直径为d＝20 mm＋6× mm＝20.6 mm＝2.06 cm. (2)秒表的读数为t＝60 s＋7.4 s＝67.4 s，根据题意t＝T＝T，所以周期T＝＝2.28 s.(3)根据单摆的周期公式T＝2π，可得＝＝k(常数)，所以选项C正确.(4)因为＝＝k(常数)，所以＝＝k，若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足＝＝k，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变.。

第一章绪论1-1 机械振动的概念振动是一种特殊形式的运动,它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动;如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构,这种运动称为机械振动;振动在大多数情况下是有害的;由于振动,影响了仪器设备的工作性能；降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损,以至破坏;此外,由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害,交通运载工具的振动恶化了乘载条件,这些都直接影响了人体的健康等等;但机械振动也有可利用的一面,在很多工艺过程中,随着不同的工艺要求,出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备,被用来完成各种工艺过程,如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等;这些都在生产实践中为改善劳动条件、提高劳动生产率等方面发挥了积极作用;研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律,振动对机器及人体的影响,进而防止与限制其危害,同时发挥其有益作用;任何机器或结构物,由于具有弹性与质量,都可能发生振动;研究振动问题时,通常把振动的机械或结构称为振动系统简称振系;实际的振系往往是复杂的,影响振动的因素较多;为了便于分析研究,根据问题的实际情况抓住主要因素,略去次要因素,将复杂的振系简化为一个力学模型,针对力学模型来处理问题;振系的模型可分为两大类：离散系统或称集中参数系统与连续系统或称分布参数系统,离散系统是由集中参数元件组成的,基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器;其中质量包括转动惯量只具有惯性；弹簧只具有弹性,其本身质量略去不计,弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧；在振动问题中,各种阻力统称阻尼,阻尼器既不具有惯性,也不具有弹性,它是耗能元件,在有相对运动时产生阻力,其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器;连续系统是由弹性元件组成的,典型的弹性元件有杆、梁、轴、板、壳等,弹性体的惯性、弹性与阻尼是连续分布的;严格的说,实际系统都是连续系统,所谓离散系统仅是实际连续系统经简化而得的力学模型;例如将质量较大、弹性较小的构件简化为不计弹性的集中质量；将振动过程中产生较大弹性变形而质量较小的构件,简化为不计质量的弹性元件；将构件中阻尼较大而惯性、弹性小的弹性体也可看成刚体;这样就把分布参数的连续系统简化为集中参数的离散系统;例如图1-1a所示的安装在混凝土基础上的机器,为了隔振的目的,在基础下面一般还有弹性衬垫,如果仅研究这一系统在铅垂方向的振动,在振动过程中弹性衬垫起着弹簧作用,机器与基础可看作一个刚体,起着质量的作用,衬垫本身的内摩擦以及基础与周围约束之间的摩擦起着阻尼的作用阻尼用阻尼器表示,阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成;活塞上下运动时,油液从间隙中挤过,从而造成一定的阻尼;这样图1-1a所示的系统可简化为1-1b所示的力学模型;又如图1-2中假想线表示的是一辆汽车,若研究的问题是汽车沿道路行驶时车体的上下运动与俯仰运动,则可简化为图中实线所示的刚性杆的平面运动这样一个力学模型;其中弹簧代表轮胎及其悬挂系统的弹性,车体的惯性简化为平移质量及绕质心的转动惯量,轮胎及其悬挂系统的内摩擦以及地面的摩擦等起着阻尼作用,用阻尼器表示;下面以最简单的力学模型图1-1b,其中略去阻尼为例来阐明物体如何在平衡位置附近作往复运动的过程;当物体静止时,物体处于图1-3a所示的静平衡位置0-0,此时物体的重力与弹簧的弹性恢复力此时弹簧有静变形互相平衡,故合力为零,速度及加速度皆为零；当物体受到向下的冲击作用后,即向下运动,弹簧被进一步压缩,弹簧恢复力逐渐加大,合力的方向向上,使物体作减速运动;当物体的速度减小到零,物体则运动到如图1-3b所示的最低位置,此时速度为零,由于合力的方向向上,使物体产生向上的加速度,物体即开始向上运动；当物体返回到如图1-3c所示的平衡位置时,其所受的合力又为零,但其速度不为零,由于惯性作用,物体继续向上运动；随着物体向上运动,弹簧逐渐伸长,弹簧恢复力逐渐变小,物体重力大于弹簧恢复力,合力的方向向下,故物体又作减速度运动;当物体向上的速度减小到零时,物体即运动到如图1-3d所示的最高位置;此后,物体即开始向下运动返回平衡位置；当物体返回到如图1-3e所示的平衡位置时,其所受合力又为零,由于惯性作用,物体继续向下运动;这样,物体便在平衡位置附近来回往复运动;从图1-3a到图1-3e这一往复运动过程称为完成一次振动;从运动学的观点来看,机械振动是指机械系统的某些物理量位移、速度、加速度,在某一数值附近随时间t的变化关系;当振动物体经过某一确定的时间间隔之后继续重复前一时间间隔的运动过程,这种振动称为周期振动,如图1-4a所示;往复一次所需的时间间隔T称为周期;最简单的周期振动是简谐振动,可以用正弦或余弦函数加以描述,如图1-4b所示,如果没有一定的周期的振动,则称为非周期振动,如图1-4c所示;1—2 振动的分类一个实际的振动系统,在外界激扰亦称激励,可以是随时间变化的力、速度、加速度及位移作用下,会呈现一定的振动响应亦称反应,如位移、速度及加速度等;这种激扰就是系统的输入,响应就是系统的输出;二者由系统的振动特性联系着,振动分析就是研究这三者间的相互关系;为了便于分析研究问题,有必要对振动作如下的分类;一．按系统的输入振动原因可分为：1.自由振动—系统受初始激扰或原有的外界激扰取消后,只依靠系统本身的弹性恢复力维持的振动;2.强迫振动—系统受外界持续激扰作用下所产生的振动;3.自激振动—激扰是由系统振动本身控制的,在适当的反馈作用下,系统会自动地激起的定幅振动;二．按系统的输出振动规律可分为：1.简谐振动—能用一项正弦和余弦函数表达其运动规律的周期性振动;2.非简谐振动—不能用一项正弦或余弦函数表达其运动规律的周期性振动;3.瞬态振动—振动量为时间的非周期函数,通常只在一定的时间内存在;4.随机振动—振动量不是时间的确定性函数,而只能用概率统计的方法来研究的非周期性振动;三．按系统的自由度数可分为：1.单自由度系统振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置只需要一个独立坐标就能确定的振动;2.多自由度系统振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要多个独立坐标才能确定的振动;3.弹性连续体的振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要无限多个独立坐标位移函数才能确定的振动,也称为无限自由度系统振动;四. 按振动系统的结构参数的特性可分为：1.线性振动—系统的惯性力、阻尼力及弹性恢复力分别与加速度、速度及位移成线性关系,能用常系数线性微分方程描述的振动;2.非线性振动—系数的阻尼力或弹性恢复力具有非线性性质,只能用非线性微分方程来描述;五. 按振动位移的特征可分为：1.纵向振动—振动物体上的质点只作沿轴线方向的振动;2.扭转振动—振动物体上的质点只作绕轴线转动的振动;3.横向振动—振动物体上的质点只作垂直轴线方向的振动;纵向振动与横向振动又可称为直线振动;1—3 简谐振动的矢量表示法和复数表示法1.矢量表示法：简谐振动可以用旋转矢量在坐标轴上的投影来表示;设有一模为A 的旋转矢量OA ,以匀角速度ω,由初始角为ϕ位置开始,逆时钟向旋转见图1-5a;则任一瞬时,这一旋转矢量在纵坐标轴上的投影表示一简谐振动见图1-5b;同样它在横坐标轴上的投影为一余弦函数,也表示一简谐振动;旋转矢量的模就是简谐振动的振幅,而旋转角速度就是简谐振动的频率;2.复数表示法：如图1-6所示,设P 为复平面上的一个点,连接P 与坐标原点,得一矢量OP ,称为复矢量;设复矢量OP 的模为A,它在实轴和虚轴上的投影分别为Acos θ和Asin θ,则复矢量OP 可表示为如下复数形式ωθθcos sin cos A iA A Z =+=t iA t ωsin +其中,复数Z 的模A 就是复矢量OP 的模,复数Z 的复角θ,t ωθ=就是复矢量OP 与实数轴的夹角;上式表明,简谐函数可以用复数表示,复数的实部代表正弦函数,虚部代表余弦函数; 在具体应用复数对简谐振动进行计算时,可取复数的实部或虚部进行计算,其结果亦取复数的实部或虚部,本书如无特殊说明时均取复数虚部进行计算;根据欧拉公式 ,sin cos θθθi ei += 复数Z 可改写为,t i Ae Z ω=而其虚部对应的简谐振动为：t i t i i t i e A e Ae Ae X ωωϕϕω===+)(式中 θi Ae A =,称为复振幅, -ϕ初相位角;简谐振动的速度和加速度也可用复数表示为：=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πωωωωt i t i Ae Ae i=X2i ()πωωωω+=t i t i Ae Ae 22 将上述结果画在复平面上,这些矢量关系如图1-7所示;可以看出,对复数Ae i ωε每求导一次,则相当于在它前面乘上一个i ω,而每乘上一个i,就相当于把这个复数矢量逆时针旋转900;这就给运算带来一定的方便;1—4 振动问题及其解决方法,本课程的任务前面已经提到,振动分析就是研究激扰输入、响应输出和系统振动特性三者的关系,如图1-8所示;不论是哪一类型振动问题,一般说来,无非是在激扰、响应及系统特性三者之中,已知二者求第三者;从这个意义上说,工程振动分析所要解决的问题可归纳为下列几类：1.响应分析—这是在已知激扰与系统特性的情况下求系统的响应的问题,包括位移、速度、加速度和力的响应;这为计算机器或结构的强度、刚度、允许的振动能量水平提供了依据;2.环境预测—这是在已知系统特性与响应的情况下来确定系统的输入,以判别系统的环境特性;3.系统识别—这是在已知激扰与响应的情况下来确定系统的特性;后一种情况下,问题的另一种提法是：在一定激扰条件下,如何来设计系统的特性使得系统的响应满足指定的条件;这就是系统设计;实际的振动问题往往是错综复杂的,解决振动问题的方法,不外乎是理论分析和试验研究,二者是相辅相成的;计算机的日益发展和普及,以及振动测试仪器的迅速发展和完善,为解决复杂的振动问题的理论分析和试验研究提出了强有力的工具与手段;“机械振动”是范围相当宽广的一门学科,涉及到多方面的知识;由于振动的基本理论在解决振动问题中的重要性;本课程的任务力求突出基础内容,按振动力学的体系着重阐明机械振动的基础理论与分析方法,内容限于线性振动而不涉及更为深入的内容;掌握本课程的内容将为进一步深入研究机械振动问题奠定必要的基础;。

a
O
M
b
运动方向不确定带来的多解问题
向右：O→M a t=? 向左：M→O 3s O 3s M 1s b
2s
1s
1s 2s
t=?
a
O
M
b
1s
3、如图，轻弹簧的劲度系数k=39.2N/m，物体 A的质量mA=0.1kg,物体B的质量mB=0.2kg，两 物块间接触水平，最大静摩擦力F＇=1.96N， 为使两物体在光滑水平面上一起做简谐运动， 它们之间不发生相对滑动，振动的最大振幅应 为多大？
精彩点评
点评组 要求
问题1 针对1
后黑板
后黑板
6
4
5
2
①选择题 要展示选 项解析 ②作图题 要规范作 图
问题2
归纳总结
展台
前黑板
8
9
③解答题 要规范解 要求：展示者应快速准确，板书工整 题过程
一、机械振动
1.机械振动：物体(或物体的某一部分)在某一位置 两侧所做的往复运动，简称振动。 2.振动特点： (1)普遍存在的运动形式。 (2)振动是一种往复运动，具有“空间运动”的往复性 和“时间”上的周期性。 3.物体做机械振动的条件： ①物体一离开平衡位置就受到一个指向平衡位置力 的作用。 ②阻力足够小。 4.平衡位置：物体(或物体的某一部分)做机械振动 的中心位置。
③与振子质量有关，质量越大，周期越大。
m T 2 k
实验结果
1、振动周期与振幅大小无关。 2、振动周期与弹簧的劲度系数有关，劲度系数较大时， 周期较小。 3、振动周期与振子的质量有关，质量较小时，周期较小。
结论：弹簧振子的周期由振动系统本身的质量 和劲度系数决定，而与振幅无关，所以常把周 期和频率叫做固有周期和固有频率。 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期 (或频率)是固定的，与振幅无关。