2017第四章 根轨迹法-2

求得
s 1 = − 0 . 422 , s 2 = − 1 . 578
法2： D ( s ) N ′( s ) − D ′( s ) N ( s ) = 0 可得 3 s 2 + 6 s + 2 = 0
s1 = −0.422, s2 = −1.578
§4-2根轨迹的绘制法则
验证：由于 s 2 ∈ [ − 2 , − 1] ，不存在根轨迹，故不 是分离点。而 s1不仅属于[-1，0]且能使 K g > 0 ，s2 使 Kg < 0 注：此方法对求复平面上的分离，会合点也有 效。 5、根轨迹的渐近线
§4-2根轨迹的绘制法则
２.根轨迹数（分支数）和它的对称数 根轨迹数（分支数） 分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）。 由实系数特征方程知，特征根不是实根，就是共 轭复根，故根轨迹一定对称于实轴。 ３.实轴上的根轨迹 由轴上某个区段，若它的右侧开环零极点总 数 为奇数，则该区段为一根轨迹分支 由辐角条件可知：
K g → ∞时系统有n-m条根轨迹趋于无穷远处
，成为一条直线，即根轨迹渐近线。
§4-2根轨迹的绘制法则
（1）倾角：开环有限零点极点到无穷远特征 根矢量辐角都相等 α i = β i = ϕ ，即由辐角条件
∑α − ∑ β
i =1 i j =1
m
n
j
= m ϕ − n ϕ = ( 2 k + 1)π , k ∈ Z
§4-2根轨迹的绘制法则
设闭环系统特征方程为：F(s) = Kg (s)N(s) + D(s) = 0
Kg > 0 若有重根将使 F ′ ( s ) = 0 ∴ K g N ′( s ) + D ′( s ) = 0

2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2

1 K*
m
n
b1 (z j ), a1 (pi )
j 1
i 1
25
当 K * 时，由于m<n，满足上式的 s 也必趋向于无
穷远处，即 s ，这时，上式可近似写成：
smn
[b1
a1 ]s mn 1
1 K*
亦即：
smn[1 b1 a1 ] 1
s
K*
两边开m-n次方可得：
s(1
b1
能够熟练的应用根轨迹的绘制法则绘制系统的概略 根轨迹；
能够根据系统根轨迹分析和估算系统性能指标。
2
4.1 根轨迹的基本概念
控制系统的稳定性完全是由系统的闭环 特 征 根(即闭环极点) 决 定 的，而系统的动 态性能则是由系统闭环传 递 函 数 的极点( 即闭环特征根)和零点共同决定的。 因 此 ， 确定特征根在s平面上的位置对于分析系 统性能有重要意义。特别是设计控制系统 时，希望通过增加和调整开环零、极点， 使特征根处在[s]平面上所希望的位置，以 满足性能指标要求。
s[1
b1 a1
] (
1
1
) mn
(m n)s
K*
或写为：
s b1 a1
1
(K *)nm
nm
这就是渐近线方程。
（2）
若令 s j 并代入上式，得：
(
b1
a1 )
j
1
1
(K * ) nm (1) nm
nm
(K
*
)
1 nm
e
j
(2k 1) nm
( 1 e j(2k1) )
（3）
27
因为系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定， 而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点 在[s]平面上的位置密切相关，所以根轨迹图不仅 可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而 且可以指明开环零、极点应该怎样变化才能满足 给定的闭环系统的性能指标要求。另外，用根轨 迹法求解高阶代数方程的根，比用其它近似求根 法更简便 。下面，用具体例子来说明什么是根轨 迹。

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n阶特征方程有n个根。当Kg从0到无穷大变 化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨 迹。即根轨迹的支数等于系统阶次。
3、实轴上的根轨迹： 实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环 实数零点数和极点数的总和为奇数。
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[例]设系统的开环传递函数为 Gk ( s ) s 2 ( s 1)(s 5)(s 10) 试求实轴上的根轨迹。 [解]：零极点分布如下：
G( s ) H ( s ) 为开环传递函数。
因为s是复数，所以G(s)H(s)也是复数，需 满足幅值和幅角（相角）两方面的条件，即： 1.幅值条件：
G( s ) H ( s ) 1
2.相角条件： G( s ) H ( s ) ( 2k 1)
k 0 , 1 , 2
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K g ( s 2)
10

5

2 1
0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
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4、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
倾角：设根轨迹在无限远处有一点 s k ，则s平面上所有的 开环有限零点和极点到 s k 的相角都相等，即为渐近线的倾 角 。代入根轨迹的相角条件得：
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二、绘制根轨迹的基本规则
开环传递函数
G( s) H ( s) K g
(s z ) (s p
j 1 i 1 n i j
m
)
下面介绍以Kg为参变量时绘制根轨迹的基 本规则。（Kg从0变化到+∞）