高中数学苏教版选修2-3教学案：2.6 正态分布-缺答案

机变量 ξ 服从正态分布 N(2，σ2)，且 P(ξ<4)＝
0.8，则 P(0<ξ<2)＝________.
解析：∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ>4)＝0.2.
由题意知图象的对称轴为直线 x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2， ∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
例2 (本题满分14分)设X～N(6,1)，求P(4<X<5)． 【思路点拨t;X<5＝12[P4<X<8－P5<X<7] → 求解得结果
【规范解答】 由已知μ＝6，σ＝1，2分 ∵P(5<X<7) ＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683，4分 P(4<X<8)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954，6分 P(4<X<5)＋P(7<X<8)＝P(4<X<8)－P(5<X<7)＝ 0.271.8分 如图，由正态密度曲线的对称性知
因此，参赛总人数约为0.10223≈522(人)．
方法感悟 1．正态曲线的性质可以用来求参数 μ 和 σ.具体方 法如下： (1)正态曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称．由 此性质结合图象可求 μ. (2)正态曲线在 x＝μ 处达到峰值 1 ，由此性质，
σ 2π 结合图象可求 σ.
2．正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记 P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)， P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (2)P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋ a)， 若 b<μ，则 P(X<b)＝1－Pμ－b2<X<μ＋b.

2.6 正态分布一、填空题1．若P(x)＝12πe－（x－1）22(x∈R)，则下列判断正确的是________．①有最大值，也有最小值；②有最大值，无最小值；③无最大值，有最小值；④无最大值，也无最小值．【解析】这是当μ＝1，σ＝1时的正态分布密度函数，所以其在x＝1时取得最大值，无最小值．【答案】②2．如图2－6－3所示的是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3按从小到大的顺序排列是________．图2－6－3【解析】图象越陡峭的，概率分布越集中，σ越小，故σ1<σ2<σ3.【答案】σ1<σ2<σ33．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________．【解析】由对称性，P(X≤μ)＝1 2.【答案】1 24．已知随机变量X～N(2.5，0.12)，则X落在区间(2.4，2.6)中的概率是________．【解析】P(2.4<X<2.6)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683.【答案】0.6835．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ 在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为________．【解析】由对称性知，P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8.【答案】 0.86．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．【解析】 由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝μ＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，即P(10≤ξ≤11)＝0.2，又P(ξ≥10)＝0.5，∴P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.【答案】 0.37．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于________．【解析】 ∵最高点为(10，12)，∴12πσ＝12，∴σ2＝2π，即V(X)＝2π. 【答案】 2π8．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩X 服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的人数所占的百分比约为________．【解析】 根据正态分布参数的意义，可知正态密度曲线关于直线x ＝90对称，由60分以下的人数占10%可知120分以上的人数占10%，所以60分至120分之间的人数占80%，故90分至120分之间的人数占40%.【答案】 40%二、解答题9．若随机变量ξ～N(0，1)，查标准正态分布表，求：(1)P(ξ≤1.24)；(2)P(ξ>2.35)；(3)P(ξ<－1.24)；(4)P(|ξ|<1.54)．【解】 (1)P(ξ≤1.24)＝0.892 5；(2)P(ξ>2.35)＝1－P(ξ≤2.35)＝1－0.990 6＝0.009 4；(3)P(ξ<－1.24)＝P(ξ>1.24)＝1－P(ξ≤1.24)＝1－0.892 5＝0.107 5；(4)P(|ξ|＜1.54)＝P(－1.54<ξ<1.54)＝P(ξ<1.54)－P(ξ≤－1.54)＝2P(ξ<1.54)－1＝2×0.938 2－1＝0.876 4.10．一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布，其中μ＝8，σ＝0.2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度不到7 m ．这时，他应该让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋，还是让钢筋工停止加工，检查钢筋切割机？【解】 设这批钢筋的长度为X m ，则X ～N(8，0.22)，所以钢筋长度在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，即在区间(7.4，8.6)内的概率为0.997，而质检员在检查时发现有的钢筋长度不到7 m ，即出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为钢筋切割机出现了问题，应停工检查．11．若某省2014年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500，1002)，现有考生75 000名，计划招生30 000名，试估计录取分数线．【解】 设录取分数线为μ，则分数超过μ的概率为录取率．即P(ξ≥μ)＝30 000750 000＝0.4. ∵ξ～N(500，1002)，∴P(ξ≥μ)＝P(ξ－500100≥μ－500100) ＝1－P(ξ－500100<μ－500100) ＝0.4.∴P(ξ－500100<μ－500100)＝0.6. 查标准正态分布表可得μ－500100≈0.25. ∴μ＝525.∴可以估计录取分数线为525分．。

2.6 正态分布一、单选题 1．若()2,X N μσ~，()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，若()10,4Z N ~，则()6P Z <=（ ）A ．0.3174B ．0.1587C ．0.0456D ．0.0228 【答案】D 【解析】随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，()220.9544P X μσμσ-<<+=， ()10,4Z N ~， ()6140.9544P X ∴<<=，10,2μσ==，所以 D. 2．设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10 【答案】B【解析】由正态密度函数的定义可知,总体的均值10μ=，方差24σ=，即2σ=.故选B .3．已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，且(P 4)0.8ξ<=，则(P 02)ξ<<=（ ）A 、6.0B 、4.0C 、3.0D 、2.0 【答案】C 【解析】试题分析：因为(P 4)0.8ξ<=，所以(P 0.3)42=<<ξ，由正态分布曲线的对称性知：(P 02)ξ<<=3.0。

考点：正态分布。

点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题。

4．已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.4 【答案】A 【解析】试题分析：随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，∴曲线关于1x =对称，∴(01)(12)0.4P P ξξ<<=<<=，∴(02)2(01)0.8P P ξξ<<=<<=，故选：A ． 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．5．甲、乙两类水果的质量（单位： kg ）分别服从正态分布()()221122,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量1=0.4kg μB ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D【解析】由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，∴μ1=0.4,μ2=0.8，故A 正确，C 正确， ∵甲图象比乙图象更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确； ∵乙图象的最大值为1.99,∴δ2≠1.99，故D 错误。

1
F














1
所以，正态总体 N , 2 在区间: , 、
内取值的概率是：
F F 1 1 211
20.84131 0.683;
据此可认为该批零件是不合格的。
例3:分别求正态总体N , 2 在区间:
, 、 2 , 2 、 3 , 3 、
内取值的概率.
解：同理，正态总体 N , 2 在区间: 2 , 2 、
内取值的概率是：
F 2 F 2 2 2 0.954
通常称这些情况发生为小概率事件。 即事件在一次试验中几乎不可能发生。
②介绍假设试验方法的基本思想
首先，假设总体应是或近似为正态总体；
然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验 中发生的原理对试验结果进行分析。
例4：某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从
正态分布 N4, 0.25 ，质检人员从该厂生产的
1000件零件中随机抽查一件， 测得它的外直 径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合 格？
解： 由于服从正态分布 N4，0.25
由正态分布的性质知，
正态分布N 4，0.25在4 3×0.5, 4 3×0.5之外取值的
概率只有0.003， 而5.7 2.5, 5.5
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件.
解：
利用等式 p

x2

x1 ,
有：
p 2 1
21 1
2 11
0.9772 0.84131