2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.4 4.4.4 平摆线与圆的渐开线

4．4.4　平摆线与圆的渐开线[对应学生用书P26]1．平摆线(1)半径为r的圆所产生的摆线的参数方程：(¸为参数)．由上述参数方程所确定的曲线称为平摆线(或称旋轮线)．(2)平摆线的几何特性：①由无数个呈周期性排列的拱组成；②每个拱的高为2r；③拱的底为2 Àr，即在x轴上每隔2 Àr拱将重复一次．2．圆的渐开线(1)半径为r的圆的渐开线的参数方程(¸为参数)．(2)渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．[对应学生用书P27]平摆线[例1]　已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时刻平摆线的参数方程．[思路点拨]　将点(2,0)代入平摆线的参数方程中求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程．[精解详析]　令y＝0，可得r(1－cos Æ)＝0，由于r>0，即得cos Æ＝1，所以Æ＝2kÀ(k∈Z)．代入x＝r(Æ－sin Æ)，得x＝r(2kÀ－sin 2kÀ)．又因为x＝2，所以r(2kÀ－sin 2kÀ)＝2，即得r＝(k∈Z)．又r>0，所以r＝(k∈N*)．易知，当k＝1时，r取最大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为(Æ为参数)．由圆的平摆线的参数方程的形式可知，只要确定了平摆线生成圆的半径，就能确定平摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将平摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．1．已知圆C：(±为参数)和直线l：x－y－6＝0.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程；(3)求平摆线和x轴的交点．解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是(Æ为参数)．(3)令y＝0，得6－6cos Æ＝0⇒cos Æ＝1.所以Æ＝2kÀ(k∈Z)．代入x＝6Æ－6sin Æ，得x＝12kÀ(k∈Z)，即圆的平摆线和x轴的交点为(12kÀ，0)(k∈Z)．2．已知一个圆的参数方程为(¸为参数)，那么圆的平摆线方程中，求参数Æ＝对应的点A与点B之间的距离．解：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(Æ为参数)．把Æ＝代入参数方程中可得即A，∴AB＝＝.圆的渐开线[例2]　当¸＝，时，求圆的渐开线上的对应点A，B，并求出A，B的距离．[思路点拨]　把¸＝，分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而求出两点间的距离．[精解详析]　把¸＝，分别代入参数方程得和即A，B两点的坐标分别为，，∴AB＝.＝相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．的定点M变)，求得到的曲线的焦点坐标．解：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝1.它表示焦点在x轴上的椭圆，其中c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．4．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．解：因为基圆的直径为22 mm，所以基圆的半径为11 mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为(Æ为参数)．[对应学生用书P28]1．给出直径为6的圆，写出此圆的渐开线的参数方程．解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．因为的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是(Æ为参数)．2．求平摆线(0≤t≤2 À)与直线y＝2的交点的直角坐标．解：当y＝2时，有2(1－cos t)＝2，∴t＝或t＝.当t＝时，x＝π－2；当t＝时，x＝3 À＋2.∴平摆线与直线y＝2的交点为( À－2,2)，(3 À＋2,2)．3．已知一个圆的平摆线方程是(Æ为参数)，求该圆的面积．解：由平摆线方程(Æ为参数)知圆的半径为4，故圆的面积为16 À.4．已知圆的半径为1，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A，B的参数值分别为和，求A与B两点的距离．解：圆的渐开线参数方程为(¸为参数)．当¸＝时，得x＝，y＝；当¸＝时，得x＝，y＝1，所以A，B，故AB＝＝ .5．已知平摆线的参数方程为(Æ为参数)，求平摆线一个拱的宽度与高度．解：法一：由平摆线参数方程可知，产生平摆线的圆的半径r＝2，又由平摆线的产生过程可知，平摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2 Àr＝4 À，平摆线的拱高等于圆的直径为4.法二：由于平摆线的一个拱的宽度等于平摆线与x轴两个相邻交点的距离，令y＝0，即1－cos Æ＝0，解得Æ＝2kÀ(k∈Z)，不妨分别取k＝0,1，得Æ1＝0，Æ2＝2 À，代入参数方程，得x1＝0，x2＝4 À，所以平摆线与x轴两个相邻交点的距离为4 À，即平摆线一个拱的宽度等于4 À；又因为平摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x1,0)，(x2,0)的中点，此时Æ＝＝π，所以平摆线一个拱的高度为|y|＝2(1－cos À)＝4.6．已知一个参数方程是如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把±当成参数(t>0)，它表示半径为t的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆心平移到(0，t)，求出圆对应的平摆线的参数方程．解：(1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为：y－2＝tan ±(x－2)，即y＝x tan ±－2tan ±＋2，如果把±看成参数且t>0时，它表示半径为t的圆，其普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝t2.(2)由于圆的圆心在(0，t)，圆的半径为t，所以对应的平摆线的参数方程为(Æ为参数)．7．有一个直径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M与轮子中点连线的中点P的轨迹方程．解：以M落在轨道上的某一位置为原点，轨道所在直线为x轴，建立直角坐标系，则x M＝a(Æ－sin Æ)，y M＝a(1－cos Æ)．设轮子中心为C，则x c＝a Æ，y c＝a.而P是CM中点，则P的轨迹方程是(Æ为参数)8.如图，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平平摆线，取AQ＝或AQ＝，请推出Q的轨迹的参数方程．解：设Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(r ¸，r)，则当AQ＝时，有代入∴点Q的轨迹的参数方程为(¸为参数)．当AQ＝时，有代入.∴点Q的轨迹方程为(¸为参数)．对应学生用书P29]*考情分析从考试内容上来看，极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化是考查的重点，着重考查直线与圆的极坐标方程或参数方程的应用，难度中等．*真题体验1．(江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________________．解析：消去曲线C中的参数t得y＝x2，将x＝Ácos ¸，y＝Ásin ¸代入y＝x2中，得Á2cos2¸＝Ásin ¸，即Ácos2¸－sin ¸＝0.答案：Ácos2¸－sin ¸＝02．(重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为Ácos ¸＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则AB＝________.解析：Ácos ¸＝4化为直角坐标方程为x＝4①化为普通方程为y2＝x3②①②联立得A(4,8)，B(4，－8)，故AB＝16.答案：163．(广东高考)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为______________．解析：曲线C是圆x2＋y2＝2，点(1,1)处的切线l为x＋y＝2，其极坐标方程为Ácos ¸＋Ásin ¸＝2，化简得Ásin＝.答案：Ásin＝4．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：Á(cos ¸＋sin ¸)＝1与曲线C2：Á＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x 轴的交点坐标为(，0)，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.答案：5．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(Æ为参数，a＞b＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为Ásin＝m(m为非零数)与Á＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为______________________．解析：椭圆的方程＋＝1，设焦点坐标为(±c,0)．由Ásin＝m，可得Ásin ¸＋Ácos ¸＝m，即直线l的普通方程为x＋y－m＝0，经过焦点(±c,0)，m＝±c，圆O的方程为x2＋y2＝b2，直线与圆相切，＝b，m2＝2b2，c2＝2a2－2c2，＝，e＝.答案：6．(上海高考)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角±＝.若将l的极坐标方程写成Á＝f(¸)的形式，则f(¸)＝________.解析：在直线l上任取点P(Á，¸)，在△OPM中，由正弦定理得＝，即＝，化简得Á＝，故f(¸)＝.答案：7．(辽宁高考)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由x＋y＝1得x2＋2＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.故C的参数方程为(t为参数)．(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得2Ácos ¸－4Ásin ¸＝－3，即Á＝.5．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(Æ为参数，a＞b＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为Ásin＝m(m为非零数)与Á＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________________．解析：椭圆的方程＋＝1，设焦点坐标为(±c,0)．由Ásin＝m，可得Ásin ¸＋Ácos ¸＝m，即直线l的普通方程为x＋y－m＝0，经过焦点(±c,0)，m＝±c，圆O的方程为x2＋y2＝b2，直线与圆相切，＝b，m2＝2b2，c2＝2a2－2c2，＝，e＝.答案：8．(福建高考)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为Ácos＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(±为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由点A在直线Ácos＝a上，可得a＝.所以直线l的方程可化为Ácos ¸＋Ásin ¸＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心为(1,0)，半径r＝1，以为圆心到直线的距离d＝<1，所以直线与圆C相交．对应学生用书P30]简单曲线的极坐标方程及应用1.直线与圆的位置关系问题．2．极坐标与直角坐标的互化公式：Á＝，tan ¸＝，常用方法有代入法、平方法等，还会用到同乘以(或除以)Á等技巧．[例1]　(新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为Á＝2sin ¸ .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(Á≥0,0≤¸＜2 À)．[解]　(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得Á2－8Ácos ¸－10Ásin ¸＋16＝0.所以C1的极坐标方程为Á2－8Ácos ¸－10Ásin ¸＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.[例2]　(江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线Ásin(¸－)＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．[解]　在Ásin(¸－)＝－中令¸＝0，得Á＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P(，)，所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为Á＝2cos ¸.曲线参数方程与普通方程的互化的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的．对于曲线的普通方程转化为参数方程，一定要看清以谁为参数，然后利用普通方程中x，y的关系求得参数方程．同样，转化前后要注意参数的范围．[例3]　求方程4x2＋y2＝16的参数方程：(1)设y＝4sin ¸，¸为参数；(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数．[解]　(1)把y＝4sin ¸代入方程，得到4x2＋16sin2¸＝16，于是4x2＝16－16sin2¸＝16cos2¸，∴x＝±2cos ¸.由于参数¸的任意性，可取x＝2cos ¸，因此4x2＋y2＝16的参数方程是(¸为参数)．(2)设M(x，y)是方程4x2＋y2＝16上异于A的任意一点，则＝k(x≠0)，将y＝kx＋4代入方程，得x[(4＋k2)x＋8k]＝0.∴(k≠0)，∵曲线上还有一点A(0,4)，∴所求的参数方程为(k≠0)和即(k为参数)．[例4]　分别在下列两种情况下，把曲线的参数方程化为普通方程，并指出方程表示什么曲线．(1)¸为参数，t为非零常数；(2)t为参数，¸(¸≠，k∈Z)为常数．[解]　(1)∵t≠0时，∴cos ¸＝，sin ¸＝，消去¸得＋＝1.∵(e t＋e－t)2>(e t－e－t)2.∴方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆．(2)∵¸≠(k∈Z)，∴平方后相减得4＝－，即－＝1.方程表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线.直线参数方程的应用过定点(x0，y0)到定点的距离，其应用十分广泛，解决问题要注意判断直线的参数式是否符合标准形式，否则t无几何意义．[例5]　(湖南高考改编)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(¸为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，求a的值．[解]　曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x 轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝.[例6]　(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(¸为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．[解]　因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.参数方程与极坐标方程的综合应用的位置关系，这是综合应用考查的重点．解决此类问题时要注意数形结合思想的运用．[例7]　(辽宁高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为Á＝4sin ¸，Ácos＝2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)．求a，b的值．[解]　(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，由参数方程可得y＝x－＋1.所以解得a＝－1，b＝2.[例8]　(新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是(Æ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是Á＝2.正方形ABCD的顶点都在C1上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．[解]　(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．(2)设P(2cos Æ，3sin Æ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2Æ＋36sin2Æ＋16＝32＋20sin2Æ.因为0≤sin2Æ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．第11页。