高等数学微积分课件7.4.2 三重积分的计算(柱面、球面)

例．计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由球面
x2 y2 z2 R2所围成的空间闭区域。
解： {(x, y, z) x2 y2 R2 z2, c z c}，
z2dxdydz R Rz2dzdxdy,
D (z)
故
z 2 dxdydz
RR
z
2
(R2
z2
)dz
4 15
R3
。
课堂练习题：
2．设f(x,y,z)在有界闭区 上域连续 ，且关 于 原 点 对称。若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为奇函数，即
f (x,y,z)f (x,y,z)，则f(x,y,z)dxdydz0 ；
若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为偶函数，即 f(x,y,z)f(x,y,z) ，则三重积分等于其一半对称
（ 1 ） 求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所 围 成 。
z
R
o
Ry
x
解 ： 在 x面 o 上 的 投 y 影 区 域 为 D x ： y x 2 y 2 R ，
R2x2y2
yzdxdydydz x0dy
zdz
Dxy
1 2
y(R2x2y2)dxdy
当函 f(x,y 数 ,z)在 上连 ,则 续得 时
f(x,y,z)d v [z2(x,y)f(x,y,z)d]d z
D xyz1(x,y)
（ 先 一 后 二 法 ） 。
若 D x 可 用 y 不 等 式 y 1 ( x ) y y 2 ( x ) ， a x b 表 示 ， 则
f(x ， y ， z )d v b dy x 2 (x )dz 2 y (x ,y )f(x ， y ， z )dz

2005
只需求 x2 y2 R2
在第一卦限的面积，再乘以16
z R2 x2
柱面下方曲线
L : r R (0 )
L
2
柱面上方曲线方程 z f (x, y) R2 x2
ds Rd
z R2 Βιβλιοθήκη 2 R2 (R cos )2 Rsin
2005
取一弧微分 ds
与 L 的方向一致
在 ds 上取一点(x, y) 流速： V(x, y)
T(x, y)
V(x, y)
单位切矢： T(x, y)
ds V T
V 沿 T 方向的流量：V T
单位时间流经 ds 的流量：
L
(V T)ds d
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R3( sin cos ) 上一页 | 首页 | 下一页 四川大学数学学院
L
ds
y
R
2005
例1.4 平面流速场的流量
有一平面流速场 V(x, y)=P(x, y)i Q(x, y) j
场内有一曲线 L
求单位时间内流经 L 的流量（流体面积）
with(plots):
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2005
ds d z Rsin
z R2 x2
A 16 f (x, y)ds L
16 2 R sin Rd 0
16R2
此法比用二重积分简单
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2005
例1.3 曲线的转动惯量
L : r R

二重积分的计算方法
总结词
二重积分的计算方法和步骤
详细描述
二重积分的计算方法包括直角坐标系法和极坐标系法。在直角坐标系中，将二重积分转化为累次积分 ，通过逐次积分来计算。在极坐标系中，将二重积分转化为极坐标形式，利用极坐标的性质简化计算 。
三重积分的概念与计算
总结词
三重积分的概念、性质和计算方法
详细描述
三重积分是定积分在三维空间中的扩展，用于计算三维物体的体积和更复杂几何形状的量。它具有连续性、可加 性和可交换性等性质。三重积分的计算方法包括直角坐标系法、柱面坐标系法和球面坐标系法，根据不同的几何 形状选择合适的坐标系进行计算。
04
曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
曲线积分定义
曲线积分是计算函数在曲线上的积分值，其定义为函数在曲线上的 每一点处的值与该点处切线的角度的正弦或余弦值的乘积的积分。
数项级数是无穷多个数按照一定的顺序排列 的序列，其和为有限或无限。
数项级数的性质
数项级数具有可加性、可减性、可乘性和可 除性等基本性质。
数项级数的收敛与发散
数项级数收敛时，其和为有限；发散时，其 和为无限。
数项级数的极限
数项级数的极限是数列的极限的推广，其性 质与数列的极限类似。
函数项级数的概念与性质
线的方向和斜率的关键。
全微分的概念
表示函数在某点处所有方向上的变化 量的总和，是偏导数的线性组合。
全微分的应用
用于近似计算函数在某点处的值，以 及判断函数在某点处的连续性和可微
性。
多元函数的极值
极值的定义
函数在某点的值大于或小于其邻 近点的值，是研究函数最优化的 关键概念。
极值的判定条件
包括一阶条件和二阶条件，用于 判断函数在某点处是否取得极值 以及极值的类型。

x c os z
显 然 ： y s 。 in
z z
M(x,y,z)
c o s 0 i s n
y J ( ( x , , y , , z z ) ) s i c n 0 o ， s O
00 1 x
P(,)
∴ f (x, y, z)dxdydz f ( cos, sin, z) dddz.
z cr cos .
x2 a2
by22
cz22
r2.
r1
I (a x 2 2 b y2 2c z2 2)dx d y r2 d Jd z rd d
Jabcr2sin
I a b c 0 2 d0 s in d0 1 r 4 d r 54abc.
例 1 1 . 求 I ( a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 ) d x d y d z , :a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1 .
f (rs ic n o ,rss isn i,r n c o )r2 s id n r d d
例 1 1 . 求 I ( a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 ) d x d y d z , :a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1 .
x ar sin cos , 解： y br sin sin ,
zzu,v,w
（ 2 ） 上 面 变 换 中 的 函 数 在 区 域 具 连 续 偏 导 有 数 ；
（ 3 ） J u x , , v y , , w z 0 , u , v , w ， 则
f (x, y,z)dxdydz
f(xu ,v,w ,yu ,v,w ,z(u ,v,w )Jdudv
z
d
d
dz