高中数学22向量的分解与向量的坐标运算222向量的正交分解与向量的直角坐标运算课后导练新人教B版4!
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2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课后导练
基础达标
1.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是（ ）
A.（3，-4） B.（-3，4）
C.（3，4） D.（-3，-4）
答案:D
2.设a=（-1，2），b=（-1，1），c=(3,-2),用a，b作基底，将c表示为c=pa+qb,则（ ）
A.p=4,q=1 B.p=1,q=-4
C.p=0,q=4 D.p=1,q=4
答案:B
3.已知ABCD中，AD=（3，7），AB=（-2，3），对角线AC、BD交于O，则CO坐标为（ ）
A.（21，5） B.（21，5）
C.（21，-5） D.（21，-5）
解析:如图所示，AC=AB+AD=（-2，3）+（3，7）=（1，10）,
∴OC=21AC=（21，5）.
∴CO=（21，-5）.
答案:C
4.设A、B、C、D坐标依次为（-1，0）、（3，1）、（4，3）、（0，2），则四边形ABCD为（ ）
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形
解析:如图所示，AD=（0，2）-（-1，0）=（1，2）,
BC
=（4，3）-（3，1）=（1，2）,
∴AD=BC.
又AB=(3,1)-(-1,0)=(4,1)且|AD|≠|AB|,
∴四边形ABCD为平行四边形.
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答案:D
5.设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且AD=2AB-3BC,则点D坐标为( )
A.(2,16) B.(-2,-16)
C.(4,16) D.(2,0)
解析:设D(x,y),则AD=(x+1,y-2),AB=(3,1),BC=(1,-4),
由(x+1,y-2)=2(3,1)-3(1,-4)得.16,2.142,31yxyx
答案:A
6.设a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且c=pa+qb,则实数p、q的值为( )
A.p=4,q=1 B.p=1,q=-4
C.p=0,q=1 D.p=1,q=4
解析:由(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)得.22,3qpqp
解得p=1,q=4.
答案:D
7.已知A、B、C坐标分别为（2，-4）、（0，6）、（-8，10），则AB+2BC=_________，
BC
-AC21=________.
答案:（-18，18） （-3，-3）
8.已知边长为单位长的正方形ABCD.若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y
轴的正方向上，则向量2AB+3BC+AC的坐标为___________.
解析:根据题意建立坐标系（如图），则各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（1，0）、C（1，1）、
D（0，1）.
∴AB=（1，0），BC=（0，1），AC=（1，1）.
∴2AB+3BC+AC=（2，0）+（0，3）+（1，1）=（3，4）.
答案:(3,4)
综合运用
9.(2006山东高考,4) 设向量a=(1,-3),b=(-2,4).若表示向量4a、3b-2a、c的有向线段首
尾相接能构成三角形,则向量c为( )
A.(1,-1) B.(-1,1)
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C.(-4,6) D.(4,-6)
解析:若使向量4a,3b-2a,c表示的有向线段首尾相接构成三角形,则4a+(3b-2a)+c=0,
∴c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).故选D.
答案:D
10.(2006湖南高考,10) 如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的
阴影区域内(不含边界),且OP=xOA+yOB,则实数对(x,y)可以是…( )
A.(43,41) B.(32,32)
C.(43,41) D.(57,51)
解析:据平面向量基本定理和平行四边形法则,
A(43,41),OP=41OA+43OB,P在OB下方,
B(32,32),P在OM边界上,
D(57,51),P在AB延长线上方,故选C.
答案:C
11.已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设OA=a,OB=b,OC=c且
|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c.
解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如下图所示坐标系.由|OA|=2,得OA=(2,0).
由∠AOB=150°,根据三角函数定义可求出B点坐标xb=1·cos150°=23,yb=21,
∴B(23,21),即OB=(23,21).
同理,∠AOC=150°+90°=240°,
∴xc=3×cos240°=23,
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yc=3sin240°=233.
∴C(233,23),
即OC=(233,23).
设OC=mOA+nOB,
则(233,23)=m(2,0)+n(23,21),
即.33,3.21233,23223nmnnm解得
∴OC=-3OA-33OB,即c=-3a-33b.
拓展探究
12.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+λ·AC(λ∈R),则λ=___________时,
点P在第一、三象限角平分线上;λ___________时,点P在第三象限内.
思路分析:由题设条件可用λ分别表示点P的横、纵坐标,再根据点P在第一、三角限角平
分线上的充要条件是它的横、纵坐标相等,点P在第三象限内的充要条件是它的横、纵坐标
均为负,就能求出相应的λ值.
解:设点P的坐标为(x,y),
则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
AB
+λ·AC=［(5,4)-(2,3)］+λ［(7,10)-(2,3)］=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵AP=AB+λAC,
∴.74,55.713,532yxyx
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若P在一、三象限角平分线上,则5+5λ=4+7λ,
∴λ=21.
若P在第三象限,则.074,055∴λ<-1.
∴λ=21时,点P在一、三象限角平分线上;λ<-1时,点P在第三象限内.
答案:21 <-1
