空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示I)【课时目标］1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题 .2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念 .3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.1. 空间向量基本定理 （1） 设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点 0,那么，对于空间任一向量 P ,存在一个 ________________ ，使得 ____________ ，我们称 ______ , ______ , ______ 为 向量P 在i 、j 、k 上的分向量. （2） 空间向量基本定理：如果三个向量 a , b , c 有序实数组｛X, y, Z ｝，使得 ________________⑶如果三个向量a , b , c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 __________________ .这 个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的，我们把｛a , b , c ｝叫做空间的一个 __________ , a , b , c 都叫做 ___________ .空间中任何三个 __________ 的向量都可构成空间的一个基底. 2. 空间向量的坐标表示若e 1、62、e 3是有公共起点0的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为 ，以 61、62、63的公共起点 0 为原点，分别以 61、62、63的方向 为X 轴、y 轴、Z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量P ,由空间向量基本定理可知， 存在有序实数组｛X, y, Z ｝,使得p =x e 1+y 62+ Z 63,把x,y, Z 称作向量P 在单位正交基底 61, 62, 63下的坐标， 一、选择题 1. 在以下3个命题中，真命题的个数是 （ ） ① 三个非零向量 a , b , c 不能构成空间的一个基底，则 ② 若两个非零向量 a , b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a , b 共线； ③ 若a , b 是两个不共线向量，而 c =扫+收入吐R 且入哥0），则｛a , b , c ｝构成空间 的一个基底. A . 0 B . 1B. 设向量｛a , b , c ｝是空间一个基底，则｛a + b ,C. |（ab ）c |= a||b||c ・2. 已知0、A 、B 、C 为空间不共面的四点， —0C,则与a 、b 不能构成空间基底的是 A. 0AB . 3. 以下四个命题中，正确的是1 7 1 7A.若 0P = 20A + 30B ，贝y P 、且向量 a = 0A + 0B + 0C,向量 b = 0A + 0B0B（ ）A 、B 三点共线c.oCD.OA 或 OB，那么对空间任一向量 p,存在 记作a ,b ,c 共面; b + c , c + a ｝构成空间的另一个基底3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示I)D. △ ABC 是直角三角形的充要条件 AB AC = 04.设0 — ABC 是四面体，G i 是^ ABC 的重心，G 是OG i 上的一点，且0G = 3G,G i 若 =xOA + yOB +Z 0C ,贝U （X, y, z ）为（ A.（4,4 4） c.（3 3,3）) (3, (2 =.(3' 3' 3 3 4, 2OG5.已知点 A在基底｛a, b, c｝下的坐标为（8,6,4），其中a = i + j, b= j+ k, c= k +i,则点A在基底｛i, j, k｝下的坐标是（A. （12,14,10）C. （14,12,10）6■已知空间四边形 OABC中OA = a,N为BC的中点，贝U MN等于（）A 1 2 1A.尹-3 b+ 2c1 1 1C.^a + 2b— 2 c二、填空题)B. (10,12,14)D. (4,3,2)OHB = b, O>C = c,点 M 在 OA 上，且 OM = 2MA,2 1 1—3 a+ 2 b+2c2 2 1D.3a+ 3b—2c7.设｛i, j, k｝是空间向量的一个单位正交基底，则向量a= 3i+ 2j—k, b=— 2i+ 4j + 2k的坐标分别是______________ .8.已知空间四边形 ABCD中，A B= a — 2c, CD = 5a+ 6b— 8c,对角线 AC、BD的中点分别为E、F，则EF = ______________________ .9■已知正方体 ABCD — A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，A O = xAB+ yBC +zCC i，贝y x+y+ z=三、解答题10.四棱锥P— OABC的底面为一矩形，PO丄平面OABC设O A= a, OC = b, OP = c, E、 F分别是PC和PB的中点，用a, b, c表示BF、B E、AE、EF.11■已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD, 求MN'、DC的坐标.【能力提升】12•甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F i, F2, F3,若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1= i+ 2j+ 3k, F2=-2i + 3j- k, F3= 3i-4j+ 5k,则这三名工人的合力 F = x i + y j + z k，求x、y、乙13.如图，在正方体 ABCD — A i B i C i D i中，E、F分别是BB i、D1B1的中点，求证：EF1.空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个.一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量.2.0P = xoA = xoA + yoB + zoC，当且仅当 x+y+ z= 1 时，P、A、B、C 四点共面.3.对于基底｛a, b, c｝除了应知道a, b, c不共面，还应明确:(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的 所有向量均可由基底惟一表示.(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向 量不共面，就隐含着它们都不是0.假设存在实数 k 1, k 2,使 c + a = k 1(a + b ) + k 2(b + c ) = k 1 a + (k 1 + k 2)b + k 2c , jk1 =1; 则有*1 + k 2= 0; 方程组无解，lk2= 1.即向量a + b , b + c , c + a 不共面，故 B 正确. C 中，ab =a||b |cos 〈a , b 〉w ai I •，故 C 错.D 中，由A B A C > 0? △ ABC 是直角三角形，但^ ABC 是直角三角形，可能角B 等于90° 则有"BABC ^O .故D 错.]4. A [因为 0G= 4。

学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示xx年xx月xx日contents •空间向量基本概念及性质•空间向量的坐标表示•立体几何中空间向量的应用•空间向量与立体几何的结合•例题分析和解答目录01空间向量基本概念及性质三角形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。

其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和平行四边形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。

其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和对于任意一个实数$r$和任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$。

其数乘向量$r\overset{\longrightarrow}{a}$等于$r$与$\overset{\longrightarrow}{a}$在平面上的投影向量的数乘向量的长度：对于任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$，其长度记作$\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$，其中$|\overset{\longrightarrow}{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$。

对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。

设$\theta$为向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角空间向量的夹角及垂直、平行关系向量的垂直：如果两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$90^{\circ}$或者一个向量是另一个向量的零向量，则称这两个向量互相垂直。