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第三章 3.1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
a,b, c都叫做基向量
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，

第三章 3.1 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (共72张PPT)

第三章 3.1 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (共72张PPT)
当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的间。
为我敲已过去了的钟点。人的全部本领无非是耐心和时间的混合物。任何节约归根到底是时间的节约。时间就是能力等等发展的地盘。时间是世界上一切成就 想者痛苦，给创造者幸福。时间是伟大的导师。时间是一个伟大的作者，它会给每个人写出完美的结局来。时间最不偏私，给任何人都是二十四小时；时间也 都不是二十四小时。忘掉今天的人将被明天忘掉。辛勤的蜜蜂永没有时间的悲哀。在所有的批评中，最伟大、最正确、最天才的是时间。从不浪费时间的人， 不够。时间是我的财产，我的田亩是时间。集腋成裘，聚沙成塔。几秒钟虽然不长，却构成永恒长河中的伟大时代。春光不自留，莫怪东风恶。抛弃今天的人 昨天，不过是行去流水越努力，越幸运。人之所以能，是相信能。任何的限制，都是从自己的内心开始的不为失败找理由，只为成功找方法。一个人几乎可以 忱的事情上成功。一切失败都源于执行力太差！从你每天一睁眼开始起，你就要对自己说今天是美好的一天每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到 人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。世上没有绝望的处境， 人。性格决定命运，气度决定格局，细节决定成败，态度决定一切，思路决定出路，高度决定深度。未曾见过一个早起勤奋谨慎诚实的人抱怨命运不好。伟人 为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。一个有信念者所开发出的力量，大于99个只有兴趣者。只要有信心，人永远不会挫败 毅力以磨平高山。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。一个人最大的破 资产是希望。喜欢追梦的人，切记不要被梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为 再升起；月亮不会因为你的抱怨，今晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！路再长也会有终点， 不管雨下得有多大，总会有停止的时候。乌云永远遮不住微笑的太阳！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿的脖子再长，总 人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认为太阳不可能从西边 到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西 样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环无穷。机遇孕育着挑战，挑战 是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选择决定命运，环境造就人生！懂得 胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！得之物而失之本，此乃大 要的，他和成功对我一样有价值。我的那些最重要的发现是受到失败的启发而获得的。不会从失败中找寻教训的人，他们的成功之路是遥远的。没有多次失败 5、这世界除了心理上的失败，实际上并不存在什么失败，只要不是一败涂地，你一定会取得胜利的。明智的人决不坐下来为失败而哀号，他们一定乐观地寻找 谬误有多种多样，而正确却只有一种，这就是为什么失败容易成功难脱靶容易中靶难缘故。什么叫做失败，失败是到达较佳境地的第一步。一个人失败的最大 己的能力永远不敢充分的信任；甚至自己认为必将失败无疑败莫败于不自知失败是成功之母，高不过脚底板。凡百事之成也在敬之，其败也必在慢之。成功者 口。因为害怕失败而不敢放手一搏，永远不会成功。为伟大的事业捐躯，从来就不能算做失败。错误经不起失败，但是真理却不怕失败。一个志在有大成就的 所说，知道限制自己。之，什么事都想做的人，其实什么事都不能做，而终归于失败。许多赛跑的人失败，都是失败在最后几步无数人的失败，都是失败于做 做到离成功只差一步就停下来。一经打击就灰心泄气的人，永远是个失败者。人的聪明和自己的明智及道路的选择，往往在失败以后一个人的希望越大，他的 许就越多，就跟一个人走的路越长，踢着的石子会越多一样。失败是坚忍的最后考验。十九次失败，到第二十次获得成功，这叫坚持。在意志力个和斗争性方 往是导致他们成功或失败的重要原因之一。不论成功或失败，都系于自己。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O


M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

C
N
B
仲元中学黄锡泉
作业 课本第98页,习题A组第11题
仲元中学黄锡泉
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
设 i, j, k 是空间三个两两垂直的向量,
p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
p xi y j zk
P
k
io
j
y
x 仲元中学黄锡泉
Q
空间向量的基本定理
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间
任一向量 p ,存在有序实数组{x,y,z},使得
AB’的中点为M,BC’的中点为N,求下列向量
的坐标:
(1, 1 , 1 )
(1)OM ________2_2
(2)ON _______(12_,_1_, 12) (3)MN ______(__12_,_12 ,0)
(4)C ' M

_____(_1_, _12_,_
1 2
)
z
O'
C' B'
G C
B
发展性训练1
1.在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则 AB _(_x_2-_x_1_,y_2_-_y_1_,z_2_-_z1_), BA _(_x_1_-_x_2,_y_1_-y__2,_z_1-_z_2.)
仲元中学黄锡泉
发展性训练２
2.如图,边长为1的正方体OABC-O’A’B’C’中,
p xa yb zc {a, b, c}叫做空间一个基底(base) a,b,c都叫做基向量(base vectors).
仲元中学黄锡泉
单位正任一向量,则存在一个有序

第三章 3.1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

第三章 3.1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

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[随堂即时演练]
1．已知 a，b，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个 基底的一组向量是 A．3a，a－b，a＋2b C．a,2b，b－c ( B．2b，b－2a，b＋2a D．c，a＋c，a－c )
解析：对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a ＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B、D错误． 答案：C 返回
返回
解：(1)∵ BD ＝ BD ＋ DD ＝
BA ＋ BC ＋ DD ＝－ AB ＋ AD ＋ AA ，
又 BD ＝x AD ＋y AB ＋z AA ， ∴x＝1，y＝－1，z＝1. 1 (2)∵ AE ＝ AA ＋ A E ＝ AA ＋2 AC 1 1 1 ＝ AA ＋2( A B ＋ A D )＝ AA ＋2 A B ＋2 A D 1 1 ＝2 AD ＋2 AB ＋ AA ，又 AE ＝x AD ＋y AB ＋z AA ， 1 1 ∴x＝2，y＝2，z＝1.
[导入新知]
空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底： 三个有公共起点 O 的 两两垂直 的单位向量 e1，e2，e3 称为 单位正交基底 ．
(2)空间直角坐标系： 以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为原点，分别以 e1，e2，e3 的 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.
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[化解疑难]
空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基 底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则 b 的坐标为(λ，μ，k)．
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空间向量基本定理的理解
[例 1]
已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 OA ＝
e1＋2e2－e3， OB ＝－3e1＋e2＋2e3， OC ＝e1＋e2－e3，试 判断{ OA ， OB ， OC }能否作为空间的一个基底？

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
由此可知，如果 i, j , k 是空间两 两垂直的向量，那么，对空间任一 向量 p ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p xi y j zk. 我们称 xi, y j , zk 为向量 p 在
k j i O
p
P
x
P(x,y,z) e3 e1 O e2 y
练：请说出 e1 , e2 , e3
在空间直角坐标系下的坐标
例1
M OABC的 边 例 2. 如 图 ， ，N分 别 是 四 面 体 OA，BC的 中 点 ， ，Q是MN的 三 等 分用 向 P . 量OA OB， 表 示OP和OQ. ， OC
O 1 2 解:OP OM MP OA MN 2 3 1 2 M OA (ON OM ) 2 3 Q 1 2 1 OA (OB OC ) A 6 3 2 P 1 1 1 N OA OB OC
6 3 3
C
B
M OABC的 边 例 2.如 图 ， ，N分 别 是 四 面 体 OA，BC的 中 点 ， ，Q是MN的 三 等 分用 向 P . 量OA OB， 表 示OP和OQ. ， OC
1 1 1 OA (ON OA) 2 3 2 1 1 1 OA (OB OC ) 3 3 2 1 1 1 OA OB OC 3 6 6 1 1 1 1 解:OQ OM MQ OA MN OA (ON OM）
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
和县二中：鲍书斋
问题
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O， 设AB=a, AD=b,利用a, b表示AC, OC, OB

第3章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

思考题 2 如图所示，在平行六面体 ABCD －A′B′C′D′中，点 M 是棱 AA′的中点，点 G 在对角线 A′C 上且 CG∶GA′＝2∶1，设C→D＝ a，C→B＝b，C→C′＝c.试用向量 a，b，c 表示向量C→A，CA→′，C→M， C→G.
第22页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
互动 2 用基底表示向量应注意哪些问题？ 【解析】 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量， 要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算； (3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零 向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0.
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一 个向量，二者是相关连的不同概念．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
授人以渔
第7页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
∵O→G＝O→A＋A→G， 而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A. 又 D 为 BC 中点，∴O→D＝12(O→B＋O→C)．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A ＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G， ∵O→H＝23O→D＝23·12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. ∴O→G＝13(a＋b＋c), G→H＝－13a.

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
2 2 2
| AB | AB AB
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 ab 则 cos a , b ab x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
DA i , DC j , DD1 k . 建立如图的空间直角坐标系
D1
C1 B1
A1 D A
E F
B C
y
x
AE D1 F (0,1, ) (0, , 1) 0. AE D1 F .
2 2 2 2
例 4.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
∵ a， b ，不同面， c
1 （x y ） 1 2 x 1 ∴ B1C OD OC1， ∴1 （ x y ） 0 即 2 y 1 x 1
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
类比：
由平面向量的基本定理，平面内的任意向量a, 均可分解为可分解为不共线的向量 1a 1和2 a 2，使得 a 1a 1 2 a 2 .如果 a 1 a 2时，这种分解就是平 面向量的正交分解. 如果取a 1，a 2为平面直角坐标 系的坐标的坐标轴方向单位向量 i , j , 则存在 一 对实数x、 y，使得 a x i y j ,，即得到平面向量 的坐标坐标a ( x, y).

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

z p e3 e2
e1 x
O
y
p＝xe1＋ye2＋ze3
思考4：若p＝xe1＋ye2＋ze3则把x，y，z 称为向量p在单位正交基底e1，e2，e3下 的坐标，记作p＝(x，y，z). 对一个给 定的向量 p ，其坐标惟一吗？相等向量 C 的坐标相等吗？ l (x，y，z)
z p B e3 e1 O A e2
2. 把空间向量放到空间直角坐标系中进行 研究，向量可以用坐标表示，从而使空间 向量的几何运算转化为坐标运算.
课后作业
每一个成功者都有一个开始。 能找到成功的路。
勇于开始，才
基础训练
z D′
2 B′ k j A′ 3i O 4
x A B
C′ C
y
AC (3, 4,0) ' AC (3, 4, 2) ' AD (3,0, 2)
AB (0, 4,0)
例2.如图, M , N分别是四面体 OABC的边OA, BC的 中点, P, Q是MN的三等分点 , 用向量OA, OB, OC表 示OP和OQ.
O M A
Q P B
N
1 1 1 OP OA OB OC 6 3 3
C
1 1 1 OQ OA OB OC 3 6 6
课堂小结
1. 空间向量基本定理表明，空间任意一个 向量都可以用三个不共面的向量线性表示， 并且基向量的系数是惟一的，它是平面向 量基本定理的推广，也是空间向量的合成 与分解原理.
空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
思考5：以{a，b，c}为基底，空间所有 向量组成的集合如何表示？
{ p| p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R }

20-21版：3.1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示（步步高）


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3.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(1,2,3)关于x轴对称的点为N，则向量
→ ON
的
坐标是
A.(－1,2,3) C.(1,2，－3)
B.(1，－2,3)
√D.(1，－2，－3)
解析 易得N(1，－2，－3). ∴O→N＝(1，－2，－3).
B→E＝B→C＋C→E＝－a＋12C→P＝－a＋12(C→O＋O→P) ＝－a－21b＋12c. A→E＝A→P＋P→E＝A→O＋O→P＋12(P→O＋O→C)
＝－a＋c＋21(－c＋b)＝－a＋12b＋21c. E→F＝21C→B＝21O→A＝12a.
三、空间向量的坐标表示
例3 设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3， b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为__(4_，__－__8_,_3_)_，__(－__2_，__－__3_,_7_)__.
12345
4.如图在边长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，取 D 点为原点建立空间 直角坐标系，O，M 分别是 AC，DD1 的中点，写出下列向量的坐标：A→M ＝___(_－__2_,0_,_1_)__，O→B1＝__(_1_,1_,_2_) _.
12345
解析 DA＝DC＝DD1＝2，且DA，DC，DD1两两互相垂直， 设12D→A＝e1，12D→C＝e2，12D→D1＝e3. ∵A→M＝A→D＋D→M＝－D→A＋21D→D1＝－2e1＋e3， ∴A→M＝(－2,0,1). ∵O→B1＝O→B＋B→B1＝12D→B＋B→B1＝12D→A＋12D→C＋D→D1＝e1＋e2＋2e3， ∴O→B1＝(1,1,2).
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＝12(b＋c)－23a＝－23a＋12b＋12c.
答案：B
[活学活用] 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给 出下列向量组： ①{a，b，x}， ②{x，y，z}， ③{b，c，z}， ④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组有______个．
解析：如图，所设 a＝―A→B ，b＝―AA→1 ，c＝―A→D ， 则 x＝―AB→1 ，y＝―AD→1，z＝―A→C ，a＋b＋c＝―AC→1 . 由 A，B1，D，C 四点不共面可知向量 x，y，z 也不共面．同 理可知 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间 的基底．因 x＝a＋b，故 a，b，x 共面，故不能作为基底． 答案：3
[随堂即时演练]
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的
一组向量是
()
A．3a，a－b，a＋2b
B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面， 不能作为基底；同理可判断B，D错误． 答案：C
[类题通法] 用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则 和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行； (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所 选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其 夹角已知或易求．
[活学活用] 如 图 ， 已 知 正 方 体 ABCD-A′B′C′D′ ， 点 E 是 上 底 面 A′B′C′D′的中心，求下列各式中 x，y，z 的值．
2.如图，在四面体OABC中，
―→ OA
＝a，
―→ OB
＝b，
―→ OC
＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，点N为
BC的中点，则―M→N ＝
()
A.12a－23b＋12c
B．－23a＋12b＋12c
C.12a＋12b－23c
D.23a＋23b－12c
解析：连接ON(图略)，―M→N ＝―O→N －―OM→＝12(―O→B ＋―O→C )－23―O→A
―B→E ＝―B→C ＋―C→E ＝－a＋12―C→P ＝－a＋12(―C→O ＋―O→P )＝ －a－12b＋12c， ―A→E ＝―A→P ＋―P→ E ＝―A→O ＋―O→P ＋12(―PO→＋―O→C ) ＝－a＋c＋12(－c＋b) ＝－a＋12b＋12c， ―E→F ＝12―C→B ＝12―O→A ＝12a.
(3)空间向量的坐标表示： 对于空间任意一个向量 p，一定可以把它 平移 ，使它 的起点与原点 O 重合，得到向量―O→P ＝p，由空间向量基本 定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xe1＋ye2＋ze3 .
把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，
[成功破障] 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长 AB＝2，侧棱 BB1＝2，点 O，O1 分别是 AC，A1C1 的中点．若 M 为 BC1 的中点，试建立适当 的空间直角坐标系并写出―AM→的坐标．
解： 建系方法不唯一．如：连接 OB，OO1，则由已 知易得―O→B ，―O→C ，―OO→1两两垂直，故可以 O 为坐标 原点，以―O→B ，―O→C ，―OO→1的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 故 A(0，－1,0)，B( 3，0,0)，C1(0,1,2)， 则―A→B ＝( 3，1,0)，―AC→1 ＝(0,2,2)， ∴―AM→＝12(―A→B ＋―AC→1 )＝ 23，32，1.
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理 [提出问题] 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4，在 AB， AD，AD1 上分别取单位向量 e1，e2，e3.
问题 1：e1，e2，e3 共面吗？ 提示：不共面． 问题 2：试用 e1，e2，e3 表示―AB→1 .
其中，{a，b，c}叫做空间的一个 基底 ，a，b，c 都叫做 基向量 ．
[化解疑难] 1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基 底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量 共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0. 3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都 可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．
记作p＝(x，y，z)，即点 P 的坐标为 (x，y，z) ．
[化解疑难] 空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基 底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则 b 的坐标为(λ，μ，k).
空间向量基本定理的理解 [例 1] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且―O→A ＝e1 ＋2e2－e3，―O→B ＝－3e1＋e2＋2e3，―O→C ＝e1＋e2－e3，试判断 {―O→A ，―O→B ，―O→C }能否作为空间的一个基底． [解] 假设―O→A ，―O→B ，―O→C 共面，由向量共面的充要条 件知存在实数 x，y，使―O→A ＝x―O→B ＋y―O→C 成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)．
(1) B―D→′＝x―A→D ＋y―A→B ＋zA―A→′； (2)―A→E ＝x―A→D ＋y―A→B ＋zA―A→′.
解：(1)∵B―D→′＝―B→D ＋D―D→′＝―B→A ＋―B→C ＋D―D→′ ＝－―A→B ＋―A→D ＋A―A→′， 又B―D→′＝x―A→D ＋y―A→B ＋zA―A→′，∴x＝1，y＝－1，z＝1. (2)∵―A→E ＝A―A→′＋―A′―→E ＝A―A→′＋12A―′―C→′ ＝A―A→′＋12(A―′―B→′＋A―′―D→′)＝A―A→′＋12A―′―B→′＋12A―′―D→′ ＝12―A→D ＋12―A→B ＋A―A→′， 又―A→E ＝x―A→D ＋y―A→B ＋zA―A→′，∴x＝12，y＝12，z＝1.
空间向量基本定理的应用
[例 2] 如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形， PO⊥平面 OABC，设―O→A ＝a，―O→C ＝b，―O→P ＝c， E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表 示―B→F ，―B→E ，―A→E ，―E→F .
[解] 连接 BO， 则―B→F ＝12―B→P ＝12(―B→O ＋―O→P ) ＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c，
则 A0， 23，0，A10， 23，2， B1－12，0，2，C112，0，2， 所以 ―AA→1 ＝(0,0,2)，―AB→1 ＝－12，－ 23，2， ―AC→1 ＝12，－ 23，2.
[易错防范] 1．建系时，误认为―A→B 与―A→C 垂直，从而以 A 为原点， 以―A→B ，―A→C ，―AA→1 方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向 建立坐标系导致错误． 2．在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根 据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境．
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
－3x＋y＝1， ∴x＋y＝2，
2x－y＝－1，
此方程组无解，
即不存在实数 x，y，使―O→A ＝x―O→B ＋y―O→C 成立．
∴―O→A ，―O→B ，―O→C 不共面．
空间向量的正交分解及其坐标表示
[提出问题] {a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位正交 基底． 问题 1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？ 提示：一定．
问题 2：任一向量 p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是唯一的 吗？
提示：是．
问题 3：单位正交基底之间的数量积 e1·e2，e1·e3，e2·e3， e1·e1，e2·e2，e3·e3 分别为多少？
法二：如图所示，连接 AC，BD 交于点 O.则 O 为 AC，BD 的中点，连接 MO，ON，
∴―M→O ＝12―B→C ＝12―A→D ， ―O→N ＝12―A→P ， ∴―M→N ＝―M→O ＋―O→N ＝12―A→D ＋12―A→P ＝12e2＋12e3. ∴―M→N ＝0，12，12.
[类题通法] 用坐标表示空间向量的方法步骤为
提示：―AB→1 ＝4e1＋4e2＋4e3. 问题 3：若 M 为 A1B1 的中点，能否用 e1，e1，e3 表示―AM→？ 提示：能，―AM→＝4e1＋2e2＋4e3.
[导入新知] 空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面 ，那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc .
[活学活用] 在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中，∠AOB＝π2， AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为 A1B1 的中点．在 如图所示的空间直角坐标系中，求―D→O ，―A1→B 的坐标．
解：∵―D→O ＝－―O→D ＝－(―OO→1＋―O1→D) ＝－[―OO→1＋12(―O→A ＋―O→B )]＝－―OO→1－12―O→A －12―O→B ＝－4e3－12×4e1－12×2e2＝－2e1－e2－4e3， ∴―D→O ＝(－2，－1，－4)． ∵―A1→B ＝―O→B －―OA→1＝―O→B －(―O→A ＋―AA→1 ) ＝―O→B －―O→A －―AA→1 ＝2e2－4e1－4e3， ∴―A1→B ＝(－4,2，－4).
故{―O→A ，―O→B ，―O→C }能作为空间的一个基底．
பைடு நூலகம்
[类题通法] 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判 断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次 判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是 否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程 组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量 不共面．