高中数学选修2-1精品教案1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【教学目标】1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》课件“新课导入”部分，通过对平面向量的基本定理和正交分解及坐标表示知识的回顾，引入本节课要学习的空间向量的正交分解及其坐标表示的知识.二、自主学习知识点一 空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．知识点二 空间向量的坐标表示(1)设e 1，e 2，e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x ，y ，z )．(2)向量p 的坐标是把向量p 的起点平移到坐标原点O ，则OP →的终点P 的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.三、合作探究问题1 平面向量基本定理的内容是什么？答案 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．问题2 平面向量的坐标是如何表示的？答案 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是点A 的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立(O 是坐标原点)．探究点1 空间向量的基底例1 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底？解 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．∴{1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．反思与感悟 空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．探究点2 用基底表示向量例2 如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.解 连接AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(a ＋b ＋c )．(2)AM →＝12(AC →＋AD →′)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC →′＋AD →′)＝12[(AB →＋AD →＋AA →′)＋(AD →＋AA →′)]＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA →′＝AC →＋45(AA →′－AC →) ＝15AC →＋45AA →′＝15(AB →＋AD →)＋45AA →′＝15a ＋15b ＋45c . 反思与感悟 求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义．探究点3 应用空间向量坐标表示解题例3 棱长为1的正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，E 、F 、G 分别为棱DD ′、D ′C ′、BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →；(2)EF →，EG →，DG →.解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD →′＝AD →＋12AA →′＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0， AF →＝AA ′→＋A ′D →′＋D ′F →＝AA →′＋AD →＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝(AA →′＋AD →＋12AB →)－(AD →＋12AA →′)＝12AA →′＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝(AB →＋12AD →)－(AD →＋12AA →′) ＝AB →－12AD →－12AA →′＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD → ＝(1，－12，0)． 反思与感悟 (1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e 1，e 2，e 3}，a ＝λe 1＋μe 2＋k e 3，则a 的坐标为(λ，μ，k )．(2)AB →的坐标等于终点B 的坐标减去起点A 的坐标．四、当堂测试1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 ①正确．基底的量必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线．当c ＝λa ＋μb 时，a 、b 、c 共面，故只有①②正确．2．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85答案 A解析 设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )．又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →， ∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85. 3．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA →、OB →、OC →共线B.OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面答案 D解析 由OA →、OB →、OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面．4．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．答案②解析①∵a－b与a，b共面，∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底．②∵a＋b－c与a，b不共面，∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底．5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是________．答案(12,14,10)解析设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．(2)空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．(3)用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．。

3.14 空间向量的正交分解及其坐标表示1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；从空间向量的正交分解到空间向量基本定理，是特殊到一般的思想．把空间向量用不共面的三个向量表示是利用向量解决几何问题的基础.新知：1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c________，那么对于空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________.其中__________叫做空间的一个基底，__________都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O的____________的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为______，分别以___________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示→对于空间任意一个向量p，一定可以把它________，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝______________把__________称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________.探究点一空间向量的基底问题1平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？问题2 基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？问题3 类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解，请思考此时的基底应满足什么条件？例1 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底？跟踪训练1 设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }，其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个探究点二 用基底表示向量问题1 和平面向量基本定理类似，请你思考怎样用空间的基底来表示任何一个空间向量？问题2 用基底表示向量应注意哪些问题？例2 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量GH →.跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →； (2)AM →； (3)AN →； (4)AQ →.※学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算※知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形.※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．对于空间中的三个向量a ，b ，2a －b .它们一定是( )．A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．以上均不对2．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一组基底的关系是( )． A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →3．已知A (3，4，5)，B (0，2，1)，O (0，0，0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )． A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，854．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，a ＝2i －4j ＋5k ，b ＝i ＋2j －3k ，则向量a ，b 的坐标分别为____________．5．设命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，命题q ：a 、b 、c 是三个非零向量，则命题p 是q 的________条件．1．如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.2．已知{i ，j ，k }是空间的一个基底设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k .试问是否存在实数λ，μ，υ，使a 4＝λa 1＋μa 2＋υa 3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．——★ 参 考 答 案 ★——新课导学1.不共面；xa ＋yb ＋zc ；{a ，b ，c }；{a ，b ，c }2.（1）两两垂直；（2）原点；e 1，e 2，e 3（3）平移；xe 1＋ye 2＋ze 3；x ，y ，z ；p ＝(x ，y ，z )典例探究探究点一问题1[答案]空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．问题2[答案]基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量．问题3[答案] 此时可选用单位正交基底，如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．例1[答案]解假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底．∴a ，b ，c 不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ， 此方程组无解．∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．【小结】 空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．跟踪训练1[答案] 如图所示，设a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→，由A 、B 1、C 、D 1四点不共面，可知向量x 、y 、z 也不共面，探究点二问题1[答案] 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .问题2 [答案] (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．例2[答案]解 ∵H 为△OBC 的重心，D 为BC 的中点，∴OD →＝12(OB →＋OC →)，OH →＝23OD →， 从而OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )． 又OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →，AD →＝OD →－OA →， ∴OG →＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA → ＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． ∵GH →＝OH →－OG →，∴GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .【小结】 表示向量要充分结合图形的几何性质．本题要注意到重心是△ABC 的中线的一个三等分点，为向量的模提供关系．跟踪训练2[答案]解 连接AC 、AD ′、AC ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(a ＋b ＋c )；(2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→)＝12a ＋b ＋12c ；(3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)]＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c ；(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45b .当堂检测1．[答案] A2．[解析] 对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →，MB →，MC →共面，故只有选项C 中MA →，MB →，MC →不共面．[答案] C3．[解析] 设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →， ∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85. [答案] A4．[解析] a ，b 的坐标即为i ，j ，k 前面的系数，故a 的坐标为(2，－4，5)，b 的坐标为(1，2，－3)．[答案] (2，－4，5) (1，2，－3)5．[解析] {a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，所以a ，b ，c 是三个非零向量，但反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件．[答案] 充分不必要课后作业1．[答案]解 连接AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→) ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→) ＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋2b ＋c )． (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[ (AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c .2．[答案]解 假设存在实数λ，μ，υ使a 4＝λa 1＋μa 2＋υa 3成立，则有 3i ＋2j ＋5k ＝λ(2i －j ＋k )＋μ(i ＋3j －2k )＋υ(－2i ＋j －3k ) ＝(2λ＋μ－2υ)i ＋(－λ＋3μ＋υ)j ＋(λ－2μ－3υ)k ∵{i ，j ，k }是一组基底，∴i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ－2υ＝3，－λ＋3μ＋υ＝2，λ－2μ－3υ＝5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1，υ＝－3，故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(重点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法.(难点) 基础·初探教材整理1 空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝________.其中{a ，b ，c }叫做空间的一个________，a ，b ，c 都叫做基向量. 预习自测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间一个基底.( ) (2)若{a ，b ，c }为空间一个基底，且p ＝x a ＋y b ＋z c .若p ＝0，则x ＝y ＝z ＝0.( ) (3)若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面.( ) 教材整理2 空间向量的正交分解及其坐标表示 1.单位正交基底有公共起点O 的三个________________e 1，e 2，e 3称为单位正交基底. 2.空间向量的坐标表示以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以____________的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得________.把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作________. 预习自测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以原点O 为起点的向量OP →的坐标和点P 的坐标相同.( ) (2)若OP →＝(2,3,0)，则点P 在平面xOy 内.( ) (3)若OP →＝(0,0,1)，则点P 在z 轴的正半轴上.( )(4)设|e 1，e 2，e 3|是空间向量的一个单位正交基底，a ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ＝(－2，－3,7).( ) 合作探究类型1 基底的概念与判断例1 设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }.其中可以作为空间一个基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个名师指导1.判断一组向量能否作为空间向量的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.2.判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 跟踪训练1.已知{e 1，e 2，e 3}为空间一基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，能否以OA →，OB →，OC →作为空间的一个基底？类型2 空间向量基本定理的应用例2 四棱锥P -OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →. 名师指导1.本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底{a ，b ，c }，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止.2.基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底.(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘. 跟踪训练2.点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )A.－23，16，16B.23，－16，16 C.－23，16，－16D.－23，－16，16探究共研型探究点空间向量的坐标表示探究1 在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系.探究2 用坐标表示空间向量的步骤是什么？例3 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标.名师指导在空间坐标系中确定向量坐标的方法,用坐标形式表示向量需解决两个问题：一是恰当建立空间直角坐标系，通常选取互相垂直的直线为坐标轴，顶点或中点为原点；二是正确求出向量的坐标.确定向量的坐标一般有两种方法：①运用基底法，即把空间向量正交分解，用相互垂直的三向量为一组基底表达某一向量，进而得坐标；②运用投影法，求出起点和终点坐标. 跟踪训练3.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图3-1-28所示建立空间直角坐标系.(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标. 课堂检测1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量的一个基底的是( ) A.AB →，AC →，AD → B.AB →，BC 1→，AC 1→ C.AB 1→，AA 1→，C 1D →D.AB →，AD →，CC 1→2.已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为( ) A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,10,12)D.(4,2,3)3.三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________.4.如图，已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，E ，F 分别是BB 1和DC 的中点，试找一空间的基底，并写出向量EF →，B 1F →，A 1E →在此基底下的坐标.——★参考答案★——基础·初探教材整理1空间向量基本定理[答案] x a ＋y b ＋z c 基底 预习自测[答案] (1)√ (2)√ (3)√教材整理2 空间向量的正交分解及其坐标表示 1.[答案] 两两垂直的单位向量2.[答案] e 1，e 2，e 3 p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3 p ＝(x ，y ，z ) 预习自测[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 合作探究类型1 基底的概念与判断 例1 [答案] C[解析] 如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →， 则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C.跟踪训练1.解：假设OA →，OB →，OC →共面，根据向量共面的充分必要条件有：OA →＝xOB →＋yOC →， 即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解.∴OA →，OB →，OC →不共面，∴{OA →，OB →，OC →}可作为空间的一个基底. 类型2 空间向量基本定理的应用例2 解：连接BO ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(BA →＋AO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .跟踪训练 2.[答案] D[解析] 如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝⎛⎭⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16，故选D.探究共研型探究点空间向量的坐标表示探究1 【提示】 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.探究2 【提示】 用坐标表示空间向量的方法步骤为：例3 解：∵CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，且CA ＝CB ＝1，CC 1＝2，∴以⎩⎨⎧⎭⎬⎫CA →，CB →，12CC 1→为单位正交基底建立空间坐标系Cxyz ，如图所示，∴BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→，∴BN →的坐标为(1，－1,1)， 而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ∴BA 1→的坐标为(1，－1,2).又∵A 1B →＝－BA 1→，∴A 1B →的坐标为(－1,1，－2). 跟踪训练3.解：(1)设x 轴，y 轴，z 轴的单位向量分别为i ，j ，k .因为正方体的棱长为2，所以DA →＝2i ，DC →＝2j ，DD 1→＝2k .因为D (0,0,0)，所以A (2,0,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2).又因为DB →＝DA →＋DC →＝2i ＋2j ，所以B (2,2,0). 同理可得，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2). (2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0).所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →＝(0,2，－1). 课堂检测 1.[答案] D[解析] 由条件知，AB →，AD →，CC 1→不共面，故选D. 2.[答案] A[解析] 8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ， ∴点A 在{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10). 3.[答案] ⎝⎛⎭⎫12，0，－12 [解析] MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－12. 4.解：易知{DA →，DC →，DD 1→}为空间的一个基底. EF →＝BF →－BE →＝BC →＋CF →－BE → ＝－DA →－12DC →－12DD 1→，所以EF →的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－12，－12. B 1F →＝B 1B →＋BF →＝－DA →－12DC →－DD 1→，所以B 1F →的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－12，－1. A 1E →＝A 1B 1→＋B 1E →＝DC →＋⎝⎛⎭⎫－12DD 1→， 所以A 1E →的坐标为⎝⎛⎭⎫0，1，－12.。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(陈菊仙)一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，同学们能由平面向量基本定理拓展到空间向量基本定理，能够将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来，并能熟练应用于空间几何体中，借助图形进行空间向量的运算，用以解决证明与求值问题． （二）学习目标 1．理解空间向量基本定理及基向量、基底、坐标等概念．2．掌握将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来的基本方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，为立体几何证明与求值问题作好铺垫．（三）学习重点 1．空间向量基本定理及相关概念．2．空间任意一个向量用三个不共面的向量表示的方法．3．空间向量的分解在立体几何中的应用．（四）学习难点 1．深刻理解空间向量基本定理及合理选取基底，得到坐标．2．将空间任意向量拆分成三个不共面的向量．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第92页至第94页，填空：类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来． （2）写一写：特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标),,(z y x ．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换． 2．预习自测（1）已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则以下向量一定可以与向量b a p +=，b a q -=构成空间的另一基底的是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．都不可以【知识点】空间向量的基底．【解题过程】由平面向量基本定理知，b a p +=，b a q -=不共线，且在向量a ，b 决定的平面内，而c 不在该平面内，故p ，q ，c 构成空间的一组基底． 【思路点拨】三个向量构成空间的一组基底的充要条件是它们不共面． 【答案】C ．（2）已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，且向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则点O ，A ，B ，C 一定（ ） A ．共线B ．不共线C ．共面D ．不共面【知识点】空间向量的基底．【解题过程】向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则向量OA ，OB ，OC 共面，故点O ，A ，B ，C 共面．【思路点拨】深刻理解空间向量的基底．【答案】C ．（3）已知平行六面体1111D C B A ABCD -，点E 是侧面C C BB 11的中心且a AB =，b AD =，c AA =1，若c z b y a x AE ++=，则=++z y x ．【知识点】空间向量基本定理．【解题过程】∵AE )(211BB BC AB BE AB ++=+=AB ++=a ++= ∴1=x 21=y ，21=z ，=++z y x 2． 【思路点拨】合理的使用基底表示空间中的任意向量． 【答案】2．（4）已知向量a ，b ，c 不共面，向量b a p +=，c b q +=，a c r +=，若向量c b a AB ++=，则以p ，q ，r 为基底，=AB ． 【知识点】空间向量基底的线性运算． 【解题过程】c b a AB ++=)222(21c b a ++=)]()()[(21a c cb b a +++++==++． 【思路点拨】将基底a ，b ，c 转化为基底p ，q ，r 来表示．++ (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）平面向量基本定理； （3）基向量、基底、坐标等概念． 2．问题探究探究一 由平面向量基本定理类比空间向量基本定理★ ●活动① 类比提炼概念同学们，我们知道，平面内的任意一个向量p 都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．【设计意图】由学生熟悉平面向量基本定理类比空间向量基本定理，从二维拓展到三维，让学生体会概念的类比过程． ●活动② 巩固理解，深入探究我们在平面向量基本定理的学习中，有哪些重要的概念呢？（抢答）由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，从而更深刻的理解基底的概念，有利于合理选取基底来表示空间任意向量． ●活动③ 深入探究，发现规律空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．但为了方便，我们会选取便于向量计算的基底．怎么选取才会更合适呢？（抢答）三个两两垂直的单位向量，它们的模长都是1，两两之间的数量积都是0，运算最简便． 【设计意图】通过设问，引导学生进行探究，为找到单位正交基底作出铺垫，使学生的理解更加深入．探究二 探究空间向量的坐标表示★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量基本定理类似，我们要找出最合适的基底．特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．【设计意图】通过找出单位正交基底，让向量和直角坐标系联系起来，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x,y,z)．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解定理的同时，指出有序实数组},,{z y x 和坐标),,(z y x 的关系，有利于下节课坐标的计算． 探究三 探究空间向量基本定理的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，与平面向量类似，空间向量基本定理把向量的线性表达式由二维拓展到了三维．同时使用单位正交基底，确定了空间中任意向量和坐标的对应关系，从而在下堂课顺利引出坐标表示和运算．【设计意图】归纳知识点和定理，学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量a ，b ，c 是不共面的三个向量，则以下选项中能构成一个基底的一组向量是（ ）A ．2,,2a a b a b -+B ．2,,2b b a b a -+C ．,2,a b b c -D ．,,c a c a c +-【知识点】合理选取空间向量的基底． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设a ，b 2，c b -共面，则有2b c xa y b -=+⋅， 解得()(12)c x a y b =-+-，与a ，b ，c 不共面矛盾， ∴a ，b 2，c b -不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面．【答案】C ．同类训练 已知向量{p ，q ，r }是空间的一个基底，q p m 2+=，q p n +=2，则以下向量一定可以与向量m ，n 构成空间的另一基底的是（ ） A ．pB ．qC ．rD ．都不可以【知识点】空间基底的选取． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设r 与q p m 2+=，q p n +=2共面， 则有r n y m x +=)2()2(q p y q p x +++=，与r ，p ，q 不共面矛盾，∴r 与q p m 2+=，q p n +=2不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面． 【答案】C ．【设计意图】不共面的向量可以作基底，让学生的理解更加深刻． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试以向量AC ，1AB ，1AD 为空间的一个基底表示1AC ．【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面都是平行四边形， ∴1111,,AC AB AD AB AB AA AD AD AA =+=+=+，∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++)(21AA AD AB ++=12AC =，故1111()2AC AC AB AD =++．【思路点拨】先将AC ，1AB ，1AD 用侧面上的向量AB ，AD ，1AA 表示，再利用向量加法的平行四边形法则和运算律． 【答案】1AC )(2111AD AB AC ++=．同类训练 若向量21e e a +=，32e e b +=，31e e c +=，32132e e e d ++=，向量1e ，2e ，3e 不共面，则当c b a d γβα++=时，=++γβα ． 【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由已知得321)()()(e e e d γββαγα+++++=32132e e e ++=∴1=+γα，2=+βα，3=+γβ，故6321)(2=++=++γβα，∴3=++γβα 【思路点拨】将d 表示成1e ，2e ，3e 的组合，再利用空间向量基本定理求解． 【答案】3．【设计意图】使用不同的基底表示同一个向量，让学生对向量的分解的运算更加熟练． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标为(8,6,4)，其中a i j =+，k j b +=，c k i =+，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标为（ ） A ．)10,14,12(B ．)14,12,10(C ．)12,10,14(D ．)3,2,4(【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】864OA a b c =++8()6()4()121410i j j k k i i j k =+++++=++． 【思路点拨】先将OA 用基底},,{c b a 表示，再通过条件转化到用基底},,{k j i 表示． 【答案】A ．同类训练 设},,{k j i 是空间向量的一个正交基底，32a i j k =+-．242b i j k =-++，则向量b a +的坐标为 ．【知识点】空间向量的坐标表示及运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】b a +)23(k j i -+=)242(k j i ++-+k j i ++=6．【思路点拨】以},,{k j i 为基底来表示向量a ，b ，计算后再转化为坐标形式． 【答案】)1,6,1(．【设计意图】基底表示和坐标表示是空间向量基本定理的两种重要形式，它们之间的相互转化是非常重要，也是必须掌握的． 3.课堂总结 知识梳理（1）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=，即空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．（3）若1e ，2e ，3e 为三个两两垂直的单位向量（单位正交基底），那么对于空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．这就是从正交基底到直角坐标系的转换． 重难点归纳（1）空间向量基本定理是平面向量基本定理的三维拓展，表示的重点在于合理拆分． （2）选取单位正交基底后，向量就转化到了直角坐标系中，计算更方便． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知},,{c b a 是空间的单位正交基底，c b a d --=32，则向量d 在基底},,{c b a 下的坐标为（ ）A ．)1,3,2(B ．)1,3,2(--C ．)1,3,2(-D ．)1,3,2(--- 【知识点】向量数量基底表示与空间坐标的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】根据空间坐标的定义，向量a ，b ，c 的系数组成的有序实数组就是向量d 的空间直角坐标．【思路点拨】深刻理解空间直角坐标系的概念．【答案】B ．2．已知},,{c b a 是空间的一个基底，若b a p +=，b a q -=，则（ ） A ．a ，p ，q 是空间的一组基底 B ．b ，p ，q 是空间的一组基底 C ．c ，p ，q 是空间的一组基底D ．p ，q 与a ，b ，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底【知识点】空间向量基底的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设q y p x c +=，即c )()(b a y b a x -++=b y x a y x )()(-++=，与c 与a ，b 不共面矛盾．故c ，p ，q 不共面． 【思路点拨】三个向量成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．3．已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标是)3,1,2(，其中j i a 24+=，k j b 32+=，j k c -=3，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标是 ． 【知识点】向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】c b a OA 32++=)24(2j i +=)32(k j ++)3(3j k -+k j i 1238++=，故点A 在基底},,{k j i 下的坐标是)12,3,8(．【思路点拨】将点A 在基底},,{c b a 下的坐标转化为向量，再通过计算，将向量转化为在基底},,{k j i 下的坐标．【答案】)12,3,8(．4．下列能使向量MA ，MB ，MC 成为空间的一个基底的关系式是（ ）A ．OM ++=B ．MC MB MA +=C ．OC OB OA OM ++=D ．MC MB MA -=2【知识点】选取基底的判断． 【数学思想】转化思想．【解题过程】对于选项A ，OC z OB y OA x OM ++=中，1=++z y x ，则有M ，A ，B ，C 四点共面，故向量MA ，MB ，MC 共面；对于选项B 、D ，由空间向量共面定理知，MA 在MB ，MC 确定的平面内．【思路点拨】三个向量能够成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．5．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且1==AD PA ，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则MN 的坐标为 ． 【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵AN PN AP +=AP +=)(21AC PA AP ++=)(21AD AB ++=，AM =MN AM AN -=+=，故MN 的坐标为)21,21,0(．【思路点拨】AB ，AD ，AP 两两垂直且长度为1，故{AB ，AD ，AP }为单位正交基底，所求向量用它们的线性组合表示后，系数就是该向量的坐标． 【答案】)21,21,0(．6．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 是上底面对角线11C A 和11D B 的交点，若a AB =，b AD =，c AA =1，则BM 可表示为（ ）A c ++B ．c +-C ．c +--D ．c ++-【知识点】空间向量的基底表示．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】BM AB AM -=AB AA AD AB -++=1)(211AA ++=．【思路点拨】将所求向量拆分为基底的线性组合． 【答案】D ．能力型 师生共研7．设b a x +=，c b y +=，a c z +=，且},,{c b a 是空间的一个基底，给出下列向量组： ①},,{x b a ，②},,{z y x ，③},,{z c b ，④},,{c b a y x ++，其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④【知识点】空间向量的基底．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵b a x +=，∴x 在a ，b 确定的平面内，故},,{x b a 不能作为基底．而},,{z y x ，},,{z c b ，},,{c b a y x ++都不共面．【思路点拨】能够作为空间的基底的向量组一定不共面． 【答案】A ．8．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外的一点，M ，N 分别为线段PC ，PD 上的点，且MC PM 2=，ND PN =，求满足AP z AD y AB x MN ++=的实数x ，y ，z 的值．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】AM AN MN -=)(21AP AD +-+=AD AB AP AD )](32)21=++-+=（，故32-=x ，61-=y ，61=z ． 【思路点拨】先将AN 和AM 表示出来，再进行向量的运算． 【答案】32-=x ，61-=y ，61=z ． 探究型 多维突破9．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD 上一点，ED BE 3=，以},,{AD AC AB 为基底，则=GE ．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵ED BE 3=，∴)(43AB AD BE -==， 又)(31)(2132AC AB AC AB AG +=+⨯=，∴=GE AG AE -AG BE AB -+=)(31)(43AC AB AB AD AB +--+=+-=．【思路点拨】先将AG 和BE 表示出来，再进行向量的运算．【答案】 10．已知},,{321e e e 是空间的一个基底，且3212e e e OA -+=，32123e e e OB ++-=，321e e e OC -+=，试判断},,{OC OB OA 能否作为空间的一个基底．若能，试以此基底表示向量32132e e e OD +-=；若不能，请说明理由．【知识点】空间向量基底的选取．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=， ∴3212e e e -+)23(321e e e x ++-=)(321e e e y -++321)2()()3(e y x e y x e y x -++++-=， ∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴13=+-y x ，2=+y x ，12-=-y x ，此方程组无解， 即不存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=，∴OA ，OB ，OC 不共面，},,{OC OB OA 能作为空间的一个基底．设OC r OB q OA p OD ++=， 则32132e e e +-)2(321e e e p -+=)23(321e e e q ++-+)(321e e e r -++321)2()2()3(e r q p e r q p e r q p -+-+++++-=，∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴23=+-r q p ，12-=++r q p ，32=-+-r q p ，解得17=p ，5-=q ，30-=r ，∴OC OB OA OD 30517--=．【思路点拨】判断一组向量能否作为空间的一个基底，关键是判断它们是否共面，再利用空间向量基本定理解决． 【答案】能，OC OB OA OD 30517--=．自助餐1．已知向量p 在基底},,{c b a 下的坐标是)1,3,2(-，则p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是 ．【知识点】向量的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=p )()(c b a z b a y a x +++++c z b z y a z y x +++++=)()(c b a -+=32， ∵},,{c b a 是一组基底，∴2=++z y x ，3=+z y ，1-=z ，解得1-=x ，4=y ，1-=z ， 故p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是)1,4,1(--．【思路点拨】将p 表示为a ，b a +，c b a ++的线性组合，通过解方程组得到所求坐标．【答案】)1,4,1(--． 2．在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，D ，E 分别为1AA ，C B 1的中点，若记 a AB =，b AC =，c AA =1，则=DE （用a ，b ，c 表示）【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】DE E A DA 11+=)(21111C A B A ++=)(211AA AC AB -++=)(21c b a -++==+ 【思路点拨】用向量的运算法则将DE 转化为用AB 、AC 、1AA 表示的向量.+． 3.已知空间的一个基底},,{c b a ，c b a m 2+-=，c b y a x n ++=，若m 与n 共线， 则=x ，=y ．【知识点】空间向量基本定理，向量共线．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵m 与n 共线，∴n m λ=，即c b y a x ++）c b a 2(+-=λc b a λλλ2+-=， 由空间向量基本定理，有λ=x ，λ-=y ，λ21=，解得21=x ，21-=y ．【思路点拨】由共线定理，将向量用基底表示再列式． 【答案】21，21-． 4．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b AD =，c AA =1，P 是C A 1的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在C A 1上，且1:4:1=QA CQ ，用基底},,{c b a 表示以下向量．（1）AP ；（2）AM ；（3）AN ；（4）AQ ．【知识点】在空间几何体中用基底表示向量．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）)(211AA AC AP +=)(211AA AD AB ++=)(21c b a ++=；（2）)(211AD AC AM +=)2(211AA AD AB ++=b ++=；（3）)(2111AD AC AN +=)]()[(2111AA AD AA AD AB ++++=c b ++=；（4）CQ AC AQ +=)(541AC AA AC -+=+=)(51AD AB ++=++=． 【思路点拨】将要求的向量合理拆分，用a ，b ，c 表示出来．【答案】（1）)(21c b a ++；（2b ++（3c b ++；（4++． 5．正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是底面11C A 和侧面1CD 的中心，若01=+D A EF λ)(R ∈λ，则=λ ．【知识点】空间几何体中向量的线性表示．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a DA =，b DC =，c DD =1，则)(1c a D A +-=，又])(21[)(21c b a c b DE DF EF ++-+=-=-=，∴EF =，故21-=λ． 【思路点拨】将EF 与D A 1用a ．b ，c 表示，可得到两者的数乘关系． 【答案】21-． 6．已知},,{k j i 是空间的一个基底，设k j i a +-=2，k j i b 23-+=，k j i c 32-+-=，k j i d 523++=．试问是否存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立？如果存在，求出λ，μ，ν的值；如果不存在，请给出证明．【知识点】平面向量基本定理的应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立， 则有325i j k ++)2(k j i +-=λ)23(k j i -++μ)32(k j i -+-+νk j i )32()3()22(νμλνμλνμλ--+++-+-+=，∵},,{k j i 是空间的一个基底， ∴322=-+νμλ，23=++-νμλ，532=--νμλ，解得2-=λ，1=μ，3-=ν，故存在． 【思路点拨】先用基底},,{k j i 表示向量，再利用空间向量基本定理列出等式求解． 【答案】2-=λ，1=μ，3-=ν．。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、教学目标1、知识与技能：掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，理解空间向量的投影的定义，会求空间向量的投影。

2、过程与方法：从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点；通过向量的正交分解的相关运算提高学生的运算能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

3、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、教学重点和难点重点：空间向量的正交分解与坐标表示。

难点：空间向量的正交分解与坐标表示；空间向量的投影的定义及运算三、教学设计创设情境—感知概念（一）问题情境我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示.在空间中，向量的坐标又是怎样定义的？向量的投影又是怎样定义的？（二） 课前练习1、在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的-单位向量把,i j k ，叫作 2、标准正交分解：若,i j k ，是标准正交基，对空间任意向量a ，存在三元有序实数（x ，y ，z ），使=a xi y j zk ++叫作a 的3、坐标的意义(1)坐标的意义：向量的坐标等于(2)投影的定义：一般地，若0b 为b 的单位向量，称0cos ,a b a a b =为向量a 在向量b 方向上的（三）新课讲解1、空间向量标准正交分解的过程在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，a 是空间中的任意向量2、空间向量标准正交分解及坐标的定义在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间中的任意向量a ，存在唯一 一组三元有序实数（x ，y ，z ），使得=a xi y j zk ++我们把=a xi y j zk ++叫作a 的标准正交分解，把,i j k ，叫作标准正交基 （x ，y ，z ）叫作空间向量的坐标.记作(,,)a x y z =.(,,)a x y z =叫作向量的坐标表示.在空间直角坐标系中，点p 的坐标为（x ，y ，z ），向量的坐标也是（x ，y ，z ）注：当a 的起点在坐标原点时，a 的终点的坐标为（x ，y ，z ）(,,)a x i y j z k a x y z ⇔=++⇔=Oi jk例1在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -2,AB =3,BC =1 5.AA =(1)写出1C 的坐标，给出1AC 关于,i j k ，的分解式 (2)求1BD 的坐标解：(1)因为1235AB BC AA ===，，，所以 (2)因为点1(3,0,5),(0,2,0)D B 所以1(3,2,5)BD =-3、空间向量的坐标意义设a xi y j zk =++，那么a i ⋅()xi y j zk i =++⋅xi i y j i zk i =⋅+⋅+⋅由于2||1i i i ⋅==，而i j ⊥，0i j ⋅=，同理0k i ⋅=所以a i x ⋅=，同理,a j y a k z ⋅=⋅=我们把,,a i x a j y a k z ⋅=⋅=⋅=分别称为向量a 在x 轴，y 轴，z 轴正方向上的投影。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【学情分析】：本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。

【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面（2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用【教学难点】：空间向量的分解【课前准备】：课件【教学过程设计】：例1．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r表示向量OG u u u r解：OG OM MG =+u u u r u u u u r u u u u r2312()231211[()]2322111()233111633OM MNOA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+=+-=++-=++-=++u u u u r u u u u r u u ur u u u r u u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r∴111633OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r四．练习巩固1、如图，在正方体///BDCAOADB-中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE 的交点，试分别用向量OCOBOA,,表示OD和OM解：OCOBOAOD++=/OCOBOAOM313131++=五．拓展与提高1．下列说法中正确的是()A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等解析：选C.A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项中，空间基底有无数个；D项中因为基底不惟一，所以D错．故选C.2．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有()A．1个B．2个充分认识基底的特征，即线性无关的三个向量就可以构成空间的一个基底。

1e 2e a3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【教学目标】1.掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的;2.在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量. 【重点】空间向量的基本定理及其推论. 【难点】空间向量基本定理唯一性的理解.【创设情景】平面向量基本定理的内容及其理解:如果12e ,e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对 于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ， 使1122λλ=+a e e .【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 ９2 页~第 94 页） 1.空间向量的分向量的概念：如图.设i ,j ,k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起 点O .对于空间任意一个向量OP =p ,设点Q 为点P 在i ,j 所确定的平面上的正投影．由平面向量基本定理可知,在OQ ,k 所确定的平面上,存在实数z ,使得 OP OQ z =+k .而在i ,j 所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(,)x y ,使得OQ x y =+i j .∴OP x y z =++i j k .由此可知,如果i ,j ,k 是空间三个两两垂直的向量，那么，对于空间任一向量p ,存在一个有序实数组{,,}x y z ,使得/Dx y z =++p i j k .我们称,,x y z i j k 为向量p 在i ,j ,k 上的分向量.探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量a,b,c 代替两两垂直的微向量i ,j ,k ，能得出类似的结论吗?２．空间向量的基本定理及基底的概念：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{,,}x y z ,使得x y z =++p a b c .由此可知, 若三向量a,b,c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{|,,,}x y z x y z =++∈R p p a b c .我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{}i ,j ,k 表示. 3.空间向量的坐标的定义:设123e ,e ,e 为空间向量的一个单位正交基底，以公共起点O 为原点,分别以123e ,e ,e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .对于任意一个空间向量p ，一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量OP =p .由空间向量基本定理,存在有序实数组{,,}x y z ，使得123x y z =++p e e e ．我们把,,x y z 称作向量p 在单位正交基底123e ,e ,e 下的坐标,记作(,,)x y z =p . 【基础练习】 【典型例题】例1 如图,在正方体///B D CA OADB -中，,点Ｅ是ＡB 与OD 的交点,Ｍ是OD /与C Ｅ的交点，试分别用向量OC OB OA ,,表示OD 和OM【审题要津】解:OC OB OA OD ++=/； OC OB OA OM 313131++=.ABCOMNG【方法总结】例2 如图，已知空间四边形OABC ,其对角线,OB AC ,,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上,且2MG GN =,用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG【审题要津】 解：OG OM MG =+2312()231211[()]2322111()233111633OM MNOA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+=+-=++-=++-=++ ∴OC OB OA OG 313161++= 【方法总结】1．O 为平面上的定点，A 、Ｂ、C 是平面上不共线的三点，若（ OB -OC ）·(OB +OC -2OA )=0,则∆AB Ｃ是（ ）Ａ.以A Ｂ为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C.以ＡB 为斜边的直角三角形 D ．以ＢＣ为斜边的直角三角形２.Ｐ是△ＡBC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则Ｐ是△ABC 的( ） Ａ.外心 B ．内心 C.重心 D ．垂心3.在四边形ABCD 中,−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD =0，则四边形AB ＣD 是( ） A. 矩形 Ｂ. 菱形 C ．直角梯形 D.等腰梯形4.已知||22p =，||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+,3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为( ) A ．15B.15 C ． 14 D ．165.O 是平面上一定点,Ａ,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OA OP =)||||(AC AC AB AB ++λ，),0[+∞∈λ则Ｐ的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 Ｄ．垂心6．设平面向量a =(-2，1),b =(λ，-１),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是（ ）A.),2()2,21(+∞-B.),2(+∞C.),21(+∞- Ｄ.)21,(--∞ 7.若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则b c 上的投影为 。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示【对点讲练】 知识点一向量基底的判断 已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，那么向量a ＋b ，a －b ，c 能构成空间的一个基底吗？为什么？解∵a ＋b ，a －b ，c 不共面，能构成空间一个基底．假设a ＋b ，a －b ，c 共面，则存在x ，y ，使c ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .从而由共面向量定理知，c 与a ，b 共面．这与a 、b 、c 不共面矛盾．∴a ＋b ，a －b ，c 不共面．【反思感悟】解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB u u u r ·AC →＝0D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底[答案] B[解析]使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB u u u r ·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B. 知识点二用基底表示向量在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，－*6]·OC →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：（1）AP u u u r ； (2)AM →；(3) AN u u u r ； (4)AQ →.解连结AC 、AD ′. （1）AP u u u r = 1(')2AC AA +u u u r u u u r = 1(')2AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r ＝12(a ＋b ＋c )； (2)AM →＝12(AC →＋'AD u u u u r ) = 1(2')2AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r ＝12a ＋b ＋12c ； (3) AN u u u r = 12(AC ′→＋AD ′→)＝12[( 'AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r ) ＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(2AB u u u r ＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c ； (4) AQ uuu r ＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AB u u u r ＋15AD →＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c . 【反思感悟】利用空间的一个基底{a ，b ，c }可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．已知三棱锥A —BCD .(1)化简12(AB u u u r ＋AC →－AD →)并标出化简结果的向量； (2)设G 为△BCD 的重心，试用AB u u u r ，AC →，AD →表示向量AG →.解 (1)设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P.1(2AB u u u r ＋AC →－AD →)＝AE →＋AF u u u r = AP u u u r －AH →＝HP →. （2）AG u u u r ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD →= AP →＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD →＝23·12(AB u u u r ＋AC →)＋13AD → ＝13( AB u u u r ＋AC →＋AD →)． 知识点三求空间向量的坐标已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN＝2NC ，AM ＝2MB ，P A ＝AB ＝1，求MN u u u u r 的坐标．解∵PA=AB=AD=1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设AD u u u r ＝i ，AB →＝i ，AD u u u r ＝j ，AP →＝k .以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN u u u u r ＝MA →＋AP →＋PN u u u r ＝－23AB u u u r ＋AP →＋23PC →＝－23AB u u u r ＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB u u u r ) = 13AP u u u r ＋23AD →＝13k ＋23AD →＝23i ＋13k ， ∴MN u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫23，0，13. 【反思感悟】空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．在直三棱柱ABO —A 1B 1O 1中，∠AOB= 2π，|AO| = 4，|BO|= 2， |AA 1| = 4，D 为A 1B 1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B u u u r u u u u r 的坐标. 解∵11(),DO OD OO O D =-=-+u u u r u u u r u u u u r u u u u r 11111[()]222OO OA OB OO OA OB =-++=---u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 又1||OO u u u u r = 4，|OA →|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2，∴DO →＝(－2，－1，－4)，∴1A B u u u u r ＝ (－4,2，－4)．课堂小结：1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2．对于OP uuu r ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P 、A 、B 、C 四点共面．3．对于基底{a ，b ，c }除了应知道a ，b ，c 不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标1.知识与技能理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量．2．过程与方法通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质． 教学重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握用基底表示已知空间向量． 教学难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 空间向量基本定理 问题导思图3－1－231．如图3－1－23所示平行六面体中，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，能否用a ，b ，c 表示向量AC 1→？【答案】 AC 1→＝a ＋b ＋c .2．在图中任找一向量p ，是否都能用a ，b ，c 来表示？ 【答案】 是．如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量. 空间向量的正交分解及其坐标表示 问题导思图3－1－241．如图3－1－24正方体的棱长为3，向量AB 1→如何用向量e 1、e 2、e 3(e 1、e 2、e 3为棱AB 、AD 、AD 1上的单位向量)表示？【答案】 AB 1→＝AB →＋AD →＋AD 1→＝3e 1＋3e 2＋3e 3.2．基底{e 1，e 2，e 3}与图3－1－23中的基底{a ，b ，c }有何不同？ 【答案】 e 1、e 2、e 3为单位向量且相互垂直．1．有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量e 1、e 2、e 3称为单位正交基底． 2．以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .3．空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xe 1＋ye 2＋ze 3.把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z ). 例题解析.u u r u u r u u r u u r u u r例1.如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点.用向量 O A,OB,OC 表示OP 和OQ.u u r u u r u u r u u r u u r u ur u u r u u r u ur u u r u u r 12解:OP =OM +MP =OA +MN23121=OA +(ON -OA)232111=OA +OB +OC 633 .u u r u u r u u r u ur u u r u ur u u r u u r u ur u u r u u r u u r u u r u u r OQ =OM +MQ11=OA +MN 23111=OA +(ON -OA)23211111=OA +(OB +OC)=OA +OB +OC 36366变式训练图3－1－25如图3－1－25所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示如下向量：(1)AP →；(2)AM →. 解 连结AC ，AD 1(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(a ＋b ＋c )．(2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→)＝12a ＋b ＋12c .课堂训练 一、选择题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 由空间基底的概念知，p q ，但q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．【答案】 B2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同【解析】 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不对，B 、C 都不对，由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．【答案】 D3．点A (－1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A ．(－1,0,1)，(－1,2,0) B ．(－1,0,0)，(－1,2,0) C ．(－1,0,0)，(－1,0,0) D ．(－1,2,0)，(－1,2,0)【解析】 点A 在x 轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy 面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.【答案】 B图3－1－294．在空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC ＝c ，则OG →等于( )A.13a ＋13b ＋13cB.12a ＋12b ＋12c C ．a ＋b ＋c D ．3a ＋3b ＋3c【解析】 ∵G 是△ABC 的重心，∴CG →＝23CM →＝23·12(CA →＋CB →)＝13(OA →＋OB →－2OC →)，∴OG →＝OC →＋CG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13a ＋13b ＋13c .【答案】 A5．正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO→2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2 【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→， 由空间向量的基本定理，x ＝y ＝z ＝1. 【答案】 A 二、填空题6．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a 与b 的位置关系是________．【解析】 ∵a ·b ＝－6i 2＋8j 2－2k 2＝－6＋8－2＝0. ∴a ⊥b . 【答案】 a ⊥b图3－1－307．如图3－1－30, 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________.【解析】 B 1M →＝AM →－AB 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c . 【答案】 －12a ＋12b －c8．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．【解析】 由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 【答案】 (8,3,12) 三、解答题9．已知{e 1，e 2，e 3}为空间一基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，能否以OA →，OB →，OC →作为空间的一个基底？解 假设OA →，OB →，OC →共面，根据向量共面的充要条件有：OA →＝xOB →＋yOC →， 即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1.此方程组无解．∴OA →，OB →，OC →不共面．∴{OA →，OB →，OC →}可作为空间的一个基底．图3－1－3110．如图3－1－31，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.解 连结AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c )＝13(－a ＋b ＋c )．11．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，求向量MN →、DC →的坐标．解 如图所示，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz . 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2)＝－12e 1＋12e 3，∴MN →＝(－12，0，12)，DC →＝(0,1,0)．12.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E ，F 分别在线段A 1D ，AC 上，且EF⊥A 1D ，EF ⊥AC ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)．(1)试求向量EF →的坐标； (2)求证：EF ∥BD 1.解 (1)∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，根据题意知{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交基底，设DA →＝i ，DC →＝j ，DD 1→＝k ，∴向量EF →可用单位正交基底{i ，j ，k }表示，∵EF →＝ED →＋DC →＋CF →，ED →与DA 1→共线，CF →与CA →共线，∴设ED →＝λDA 1→，CF →＝μCA →，则EF →＝λDA 1→＋DC →＋μCA →＝λ(DA →＋DD 1→)＋DC →＋μ(DA →－DC →)＝(λ＋μ)DA →＋(1－μ)DC →＋λDD 1→＝(λ＋μ)i ＋(1－μ)j ＋λk ，∵EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，即EF →⊥A 1D →，EF →⊥AC →， ∴EF →·A 1D →＝0，EF →·AC →＝0， 又A 1D →＝－i －k ，AC →＝－i ＋j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧[λ＋μi ＋1－μj ＋λk ]·－i －k ＝0，[λ＋μi ＋1－μj ＋λk ]·－i ＋j ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ－λ＝0，－λ＋μ＋1－μ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝0，λ＋2μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝－13，μ＝23.∴EF →＝13i ＋13j －13k ，∴EF →的坐标是(13，13，－13)．(2)∵BD 1→＝BD →＋DD 1→＝－i －j ＋k ， ∴EF →＝－13BD 1→，即EF →与BD 1→共线，又EF 与BD 1无公共点，∴EF ∥BD 1. 课堂小结1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1．理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题． 2．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标． 学习重点：空间向量基本定理． 学习难点：1. 用基底表示已知向量．2. 在不同坐标系中向量坐标的相对性． 学习过程 自学导引1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个，a ，b ，c 都叫做．试一试：空间的基底是唯一的吗？提示 由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O 的两两垂直的单位向量e 1，e 2，e 3称为． (2)空间直角坐标系：以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立.(3)空间向量的坐标表示：如图，对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.我们称x e 1，y e 2，z e 3为向量OP →在e 1，e 2，e 3上的分向量，把 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．试一试：你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上的向量的坐标吗？ 名师点睛 1．基底的选择为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一是所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及其夹角已知或易求．选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量在该基底下的坐标．同一基底下的向量运算可以简化为坐标进行．一般情况下，选的基底是单位正交基底．2．空间向量的正交分解及其坐标表示的理解(1)建立空间直角坐标系Oxyz.分别沿x轴、y轴、z轴的正方向引单位向量i，j，k，则{i，j，k}叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．(2)在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，可记作a＝(a1，a2，a3)．(3)空间任一点P的坐标的确定，如图所示，过点P作面xOy的垂线，垂足为P′，在面xOy中，过P′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z|＝PP′.空间中一点P(a，b，c)关于xOy面、xOz面、yOz面、x轴、y轴、z轴及坐标原点对称的点的坐标分别为P1(a，b，－c)，P2(a，－b，c)，P3(－a，b，c)，P4(a，－b，－c)，P5(－a，b，－c)，P6(－a，－b，c)，P7(－a，－b，－c)．例题[解析]拓展训练1、以下四个命题中正确的是( )A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量.u u r u u r u u r u u r u u r例1.如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用向量O A,OB,OC表示OP和OQC ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB u u u r ·AC →＝0D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底2、已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，那么向量a ＋b ，a －b ，c 能构成空间的一个基底吗？为什么？3、已知三棱锥A —BCD .(1)化简12(AB u u ur ＋AC →－AD →)并标出化简结果的向量；(2)设G 为△BCD 的重心，试用AB u u u r ，AC →，AD →表示向量AG →.4、在直三棱柱ABOA 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO →、A 1B →的坐标．5、已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，求MN →的坐标．——★参考答案★——学习过程自学导引1．空间向量基本定理基底基向 试一试：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一．2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 (2)空间直角坐标系Oxyz (3) x ，y ，z试一试：xOy 平面上的点的坐标为(x ，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z )，yOz 平面上的点的坐标为(0，y ，z )，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0，z )．另外还要注意向量OP →的坐标与点P 的坐标相同． 例题[解析] 例1拓展训练 1、B[解析]使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB u u u r ·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB→＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.2、解∵a ＋b ，a －b ，c 不共面，能构成空间一个基底． 假设a ＋b ，a －b ，c 共面，则存在x ，y ， 使c ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b . 从而由共面向量定理知，c 与a ，b 共面．.u u r u u r u u r u u r u u r u ur u u r u u r u ur u u r u u r 12解:OP =OM +MP =OA +MN23121=OA +(ON -OA)232111=OA +OB +OC 633.u u r u u r u u r u ur u u r u ur u u r u u r u ur u u r u u r u u r u u r u u r OQ =OM +MQ11=OA +MN 23111=OA +(ON -OA)23211111=OA +(OB +OC)=OA +OB +OC 36366这与a 、b 、c 不共面矛盾． ∴a ＋b ，a －b ，c 不共面．3、解 (1)设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P .1(2AB u u ur ＋AC →－AD →)＝AE →＋AF u u u r = AP u u u r －AH →＝HP →. （2）AG u u u r ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD →= AP →＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD →＝23·12(AB u u ur ＋AC →)＋13AD → ＝13( AB u u ur ＋AC →＋AD →)． 4、解：(1)∵DO →＝－OD →＝－(OO →1＋O 1D →) ＝－[OO 1→＋12(OA →＋OB →)]＝－OO 1→－12OA →－12OB →.又|OO 1→|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2，∴DO →＝(－2，－1，－4). (2)∵A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→)＝OB →－OA →－AA 1→. 又|OB →|＝2，|OA →|＝4，|AA 1→|＝4，∴A 1B ＝(－4,2，－4). 5、解 作以AD ，AB ，AP 为坐标轴 建立空间直角坐标系如图所示，则M (0，12，0)，N (12，12，12)．∴MN →＝(12，0，12)．。

《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1教学目标1.知识与技能掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.2.过程与方法通过分析、推导让学生掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.3.情感、态度与价值观通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量.教学重点空间向量坐标运算的规律.教学难点空间向量坐标运算的规律.教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.教学过程活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量的夹角及范围？空间向量的数量积的概念？表示？性质？运算律？问题2：说说平面向量的基本定理？正交分解？由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的正交分解及其坐标表示并进行一些简单的应用．点题：今天我们学习“空间向量的正交分解及其坐标表示”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、空间向量类比：由平面向量的基本定理,推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.问题3：（书本P93探究）在空间中，如果用任意三个不共面向量,,a b c 代替两两垂直的向量123,,a a a ，你能得到类似的结论吗？1、 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ）；,,a b c 都叫做基向量.2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．练习：书本P94：1、2、3活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例4：如图：M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 分别MN 的三等分点，用向量,,,OA OB OC →→→表示OP OQ →→和解略：书本P94页2．1、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则（12e e -）12(32)e e -+等于（ ）A.-8B.92 C. 52- D.8 2、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e3、在A B C ∆中，设=a ，=b ，=c ，若0)(<+b a a ，则A B C ∆（ ）)(A 直角三角形 )(B 锐角三角形 )(C 钝角三角形 )(D 无法判定4、已知a 和b 是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。

选修2-1 3.1.4《空间向量的正交分解及其坐标表示》教案3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海中学陈科钧一、教材分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-1）中第三章空间向量与几何体：第一节“空间向量及其运算”的第四课时；空间向量是平面向量的推广，是近代数学的一个重要工具，是联系代数、几何、三角的重要桥梁，为用空间向量解决立体几何问题做好铺垫，同时通过不断与平面向量的正交分解及基本定理进行类比学习，不断将三维空间问题向二维平面问题转化，充分体现了类比与转化思想在研究问题过程中的作用。

二、教学目标1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2.通过类比，转化，归纳，推广等思想，提高观察、分析、抽象概括的能力,进一步培养学生的空间观念。

3.通过本节课学习，培养学生的积极探究，合作学习，不断创新的思维品质。

2.学法分析让学生通过观察、分析、类比，合作、总结、归纳，培养学生发现问题，分析问题、解决问题的能力，培养不断创新、追求精益求精的“工匠精神”。

六、教学过程（一）复习引入（开门见山）微课复习：微课展示共线向量、共面向量的表示方法，提出探究的问题“空间任一向量如何来表示”师生活动：假设某一时刻我们对空中的一架飞机进行定点监测，如图，提出向量d 此时能否被向量,a b 表示出来？ 生：学生会说不可以. 师：追问要想把此时飞机P 定位，既向量d 表示出来，那我们需要如何改进呢？生：再添加一个向量c .师：怎样添加？在地平面上任意取一个可以吗？ 生：不可以，向量c 必需与向量,a b 不在同一平面. 师：换句话说，向量,,a b c 有什么约束条件? 生：既不共面的三个．设计意图：通过复习共线向量、平面向量的表示，引导学生类比到空间向量的表示；达成两点共a b 飞机P d O识：①可以表示；②需要三个不共线的向量。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1.理解空间向量的正交分解，空间向量基本定理，能用空间的一个基底表示空间的任意向量.2.学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示.知识点1空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.【预习评价】设向量a，b，c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是()A.{a－2b，3a－b，0}B.{a，b，a＋b}C.{3a＋b，a＋b，c}D.{a＋b＋c，a＋b，c}[解析]A中由于0与任意两个向量共面，不能作基底；B中a＋b＝a＋b，故三向量共面，不能作基底；D中a＋b＋c＝(a＋b)＋c，故三向量共面，不能做基底.[答案] C知识点2空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底.(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP →＝p .由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z ). 【预习评价】思考 对于空间的一个向量a ，其坐标表示a ＝(x ，y ，z )是唯一确定的吗？ 提示 由空间向量基本定理可知，向量a 的坐标表示是唯一确定的.题型一 空间向量的基底【例1】 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底. 解 假设OA→，OB →，OC →共面， 则存在实λ，μ使得OA→＝λOB →＋μOC →，∴e 1＋2e 2－e 3＝λ(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋μ(e 1＋e 2－e 3) ＝(－3λ＋μ)e 1＋(λ＋μ)e 2＋(2λ－μ)e 3. ∵e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＋μ＝1，λ＋μ＝2，2λ－μ＝－1，此方程组无解， ∴OA→，OB →，OC →不共面， ∴{OA→，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底. 规律方法 空间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.【训练1】 已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA→＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA→ B.OB→ C.OC→ D.OA→或OB → [解析] ∵OC →＝12a －12b 且a ，b 不共线， ∴a ，b ，OC→共面，∴OC →与a ，b 不能构成一组空间基底. [答案] C题型二 用基底表示向量【例2】 如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE→，AE →，EF →.解 连接BO ，则BF→＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE→＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →) ＝－a －12b ＋12c .AE→＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →) ＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c . EF→＝12CB →＝12OA →＝12a . 规律方法 (1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一的；(2)用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用.【训练2】 如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点.用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP→；(2)AM →. 解 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中连接AC ，AD 1，(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→) ＝12(AB →＋AD →＋AA 1→) ＝12(a ＋b ＋c ). (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→) ＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→) ＝12a ＋b ＋12c . 题型三 空间向量的坐标表示【例3】 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN→的坐标. 解 以AD ，AB ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12. 规律方法 建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示. 【训练3】 如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则BE 1→等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1 [解析] B (1，1，0)，E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，1，BE 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1. [答案] C课堂达标1.在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线；③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底. A.0B.1C.2D.3[解析] ①正确.基底的向量必须不共面；②正确；③错误，a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确. [答案] C2.已知e 1，e 2，e 3是空间直角坐标系Oxyz 中与x 、y 、z 轴的正方向相同的单位向量，若AB →＝－e 1＋e 2－e 3，则B 点的坐标为( )A.(－1，1，－1)B.(－e 1，e 2，－e 3)C.(1，－1，－1)D.不确定[解析] 向量AB →的坐标与B 点的坐标不同，由于A 点的坐标未知，故无法确定B 点的坐标. [答案] D3.已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是______.(填序号) ①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c .[解析] ∵p ＝2a －b ，q ＝a ＋b ，∴p 与q 共面，a ，b 共面. 而c 与a ，b 不共面，∴c 与p ，q 可以构成另一个基底， 同理a ＋c 与p ，q 也可构成一组基底. [答案] ③④4.如图在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取D 点为原点建立空间直角坐标系，O ，M 分别是AC ，DD 1的中点，写出下列向量的坐标.AM →＝________，OB 1→＝________.[解析] ∵A (2，0，0)，M (0，0，1)，O (1，1，0)，B 1(2，2，2)，∴AM →＝(0，0，1)－(2，0，0)＝(－2，0，1)，OB 1→＝(1，1，2). [答案] (－2，0，1) (1，1，2)5.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA →＝a ，OB→＝b ，OC →＝c ，则向量OD →用a ，b ，c 表示为________.[解析] ∵AB→＝－2CD →，∴OB→－OA →＝－2(OD →－OC →)， ∴b －a ＝－2(OD →－c )，∴OD→＝12a －12b ＋c . [答案] 12a －12b ＋c课堂小结1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示.2.向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示.在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课题：空间向量的根本定理教学目标：1 .掌握及其推论,理解空间任意一个向量可以用不共面的三个向量线性表示,而且这种表示是唯一的；2 .在简单问题中,会选择适当的基底来表示任一空间向量.教学重点：空间向量的根本定理及其推论教学难点：空间向量的根本定理唯一性的理解教学过程：一、创设情景平面向量根本定理的内容及其理解如果e i,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、空间向量的根本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组x,y,z ,使p xa yb zc所以 p xa yb zc综上两方面,原命题成立,〔注：上述证实不须给学生讲授〕由此定理, 假设三向量a,b,c 不共面,那么空间的任一向量都可由 p p xa yb zc, x , y , z R , 这个集合可看作是由向量a,b, c 生成的,我们把｛ a,b, c ｝叫做空间的一个 基底,a,b,c 叫做基向量.注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.,—•- ■, »特别地,设e 、e 2、e 3为由公共起点 O 的三个两两互相垂直单位向量,称这个基底为单位-- ► 1—► *J正交基底,以e 、0、e 3的公共起点O 为原点,分别以e 、e 2、e 3的方向为x 轴、y 轴、证实：〔存在性〕设a,b,c 不共面, 过点.作OA a,OB b,OC c,OP p 过点P 作直线PP 平行于OC ,交平面OAB 于点P ；在平面OAB 内,过点P 作直线 P A // OB, P B // OA ,分别与直线 OA,OB 相交于 是,存在三个实数x,y,z,OA / OA xa,OB / OB/yb, OC OC zc uur uuur uuu umu OP OA OB OCuiu xOA uuu yOB uur zOC〔唯一性〕假设还存在x /ay /b z /c xa yb zc x /a y/b zc (x/\x )a/(y y )b (z/z )c 0不妨设x x 即x x 0/ ・ ° y y K, , a 丁b/z , -c xa,b,c 共面此与矛盾,该表达式唯一■a,b,c 线性表示,所有空间向量组成的集合就是rz轴的正万向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,对于空间任意一个向量p, 一TE可以把匕平移,使它的起点与原点O重合,得到向量OP p o有空间向量根本定理可知,存在有序,r —————.一 .一r ,一、一、——头数组x, y, z ,使得p xe1 ye2 ze3,我们把x, y, z称作向重p在单位正父基底e1、 -V. -*e2、拿下的坐标,记作p (x,y,z)推论：设O, A, B,C是不共面的四点,那么对空间任一点P ,都存在唯.一的三个有序实数uur uuu uuu uuurx, y,z ,使OP xOA yOB zOC .有空间向量定理可知, 空间任意一个向量都可以用不共面的向量表示出来, 这能为解决问题带来方便.三、典例分析例1如图,M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点,P、Q是MN的三等分点.用向量OA、OB、OC表示OP和OQ..例2如图,在正方体OADB CA/D/B/中,,点E是AB与OD的交点,M是O D与CE的交点,试分别用向量OA,OB,OC表示OD和OM例3如图,空间四边形OABC ,其对角线OB, AC , M , N分别是对边OA,BC的中uuu uuu uuir uur点,点G在线段MN上,且MG 2GN ,用基底向量OA,OB,OC表示向量OG.四.课堂练习1 .｛a, b, c｝是空间向量的一个基底,那么可以与向量p=a+b, q = a—b构成基底的向量是〔〕A. aB. bC. a+2bD. a +2c2 . CX A B C为空间四点,且向量OA OB O不能构成空间的一个基底,那么〔〕A.OA OB O共线B. OAO既线C.OBO〔共线D . Q A B C四点共面3 .设｛i, j, k｝是空间向量的一个单位正交基底,a=2i —4j +5k, b= i+ 2j —3k,那么向量a, b的坐标分别为4 .ABCDABCD是棱长为2的正方体,E、F分别为BB和DC的中点,建立如下图的空间直角坐标系,试写出图中各点的坐标．六、布置作业__ * __ ■ ___ * 1 _ ? 9 __ _+ 1 —>例1【答案】解：OP OM MP -OA -MN -OA 2 3 21—— 2 1—— 1—— 2 1————OA —(ON OA)= OA — —(OB OC) 2 3 2 6 3 2 例2【答案】解： OD / OA OB OC・ 1 —1 — 1 — ■ OM OA OB OC 3 3 3uuir uuuu uum例3【答案】解：OG OM MGuuuu OM 2 uuuu 一 MN 31 uuu2 uuir uuuu -OA —(ON OM ) 2 31 uuu2 1 uuu uuir 1 uuu -OA2-[-(OB OC) 20A] 1 uuu 1 uuu uuir 1 uuu -OA —(OB OC) — OA 2 3 3 1 uuu 1 uuu 1 unr OA OB OC 6 3 3■ 1 , 1 i 1- OG 10A 1OB 1OC +6 33课堂练习1 .【答案】D.【解析】构成基底的条件是三个向量不共面,故只有 D 选项满足条件.2 .【答案】D.【解析】由OA O B O 〔不能构成基底知OA O B OC 三向量共面,所以 O A2 , 一-(ON 3OM )1—1-1 - -OA -OB -OC 6 3 3———1 OQ OM MQ OA 2 1 — 1 — 1 —-OA -(ON -OA) 2 3 21 MN 31 - 1」■ _ 、 OA (ON OM ) 231 — 1 1 — —■■ -OA(OB OC) 3 3 2 1 一 1 — ■-OB -OC 6 6I OA 3共面．3 .【解析】由空间向量坐标概念知a=(2, — 4,5) , b=(1,2 , —3).【答案】(2 ,－4,5) , (1,2 ,－3)4 ．【答案】解：根据空间直角坐标系中点的坐标的定义,可知D(0,0,0) , A(2,0,0) , B(2,2,0) , C(0,2,0) , D1(0,0,2) , A1(2,0,2) , B1(2,2,2) , C1(0,2,2) , E(2,2,1) , F(0,1,0) ．。

3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
一、学习目标：1.掌握空间向量基本定理，会用空间向量基本定理解决问题；
2.理解空间向量坐标的含义，能用坐标表示空间向量.
学习重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握基底表示已知空间向量；
学习难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
二、导学指导与检测
三、巩固诊断
1、判断下列说法是否正确？并说明理由.
（1）空间中任意三个不共线向量均可作为一组基底.
（2）基向量中可以含有零向量，但至多一个.
（3）如果向量,与空间任何向量都不能构成一组基底，那么向量,一定是共线向量.
2、如图所示，空间四边形OABC 中，H G ,分别是ABC ∆，OBC ∆的重心，设=，=，c OC =，试用向量c b a ,,表示向量GH .
闯关题：如图,三棱锥ABC P -中,点G 为ABC ∆的重心,点M 在PG 上,且PM ＝3MG ,过点M 任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC 于点,,,F E D 若,,,t n m ===求证：
t
n m 111++为定值,并求出该定值.。